CC BY
1803
УДК 519 ББК 32.81
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ВОЕННЫХ ДЕЙСТВИЙ
Новиков Д. А.1
(ФГБУН Институт проблем управления РАН, Москва)
Обсуждаются современные тенденции построения комплексных иерархических моделей военных действий. Для этого сначала приводится краткий навигатор по описанным в открытых источниках математическим моделям военных действий, включая описательные, имитационные, оптимизационные и теоретико-игровые модели. Затем в качестве «примеров» несколько более подробно рассматриваются два хрестоматийных класса моделей - игра полковника Блотто и ланчесте-ровские модели. И, наконец, обсуждается собственно иерархический подход к моделированию.
Ключевые слова: математическое моделирование, игра
полковника Блотто, ланчестеровские модели, мультиагент-ные системы, иерархия моделей.
1. История
С исторической точки зрения одним из первых приложений «исследования операций» к военному делу считается (см. [22]) деятельность Архимеда при организации обороны Сиракуз. Ключевыми вехами уже нашего времени являются модели Ф. Ланчестера и разработки Т. Эдисона периода Первой Мировой войны, затем - количественные (в основном вероятностные) методы оценки боевой эффективности различных видов вооружения (см. краткий обзор в [13]), получившие активное развитие, начиная с 1939 г. (т.е. с начала Второй Мировой войны), и
1 Дмитрий Александрович Новиков, доктор технических наук, профессор ([email protected]).
приведшие к формированию такого самостоятельного научного направления как исследование операций (см., например, классические учебники [11, 13, 56, 76, 79, 87, 88] и современные учебники [126, 152]).
2. Классификация
Условно можно выделить четыре общих класса математических моделей военных действий (основанием выделения являются функции моделирования [58]):
- описательные модели;
- имитационные модели;
- оптимизационные модели;
- модели принятия решений.
Каждый из этих классов (возможны и другие основания классификации - см., например, [158]) включает значительное число подклассов, различающихся используемым математическим аппаратом - см. рис. 1.
Так, описательные модели военных действий основываются на методах теории вероятностей и статистической теории решений (принятие решений в условиях «природной» неопределенности) [74, 82], теории надежности и теории массового обслуживания [13, 83, 87], теории экспертных оценок [82]. К описательным моделям можно отнести и качественный анализ соответствующих динамических систем, исследование их структурной устойчивости [3, 5].
Имитационные модели военных действий основываются на аппарате марковских цепей, дифференциальных уравнений, конечных автоматов или методах распределенного искусственного интеллекта (так называемые мультиагентные системы -МАС).
к
о
Б
О
О
К
К
.§
§
К
Л
О
К
*
О
О/
§
Кг
Ой
о
<ъ
а:
а:
с-
Я
О/
<ъ
Кг
О
Ой
К
Кг
Математические модели военных действий
Наиболее известными и получившими широкое развитие являются так называемые ланчестеровские модели (см. также раздел 5), использующие аппарат дифференциальных уравнений для описания динамики численности сил участников военных конфликтов (первая модель Ланчестера описана в [131], ее развитие, например - в [56, 109]).
Значительное место занимают так называемые военные игры (деловые, имитационные), основывающиеся на тех или иных математических моделях [22, 90, 108]. На сегодняшний день создаются и эксплуатируются многочисленные компьютерные системы (включая среды имитационного моделирования и специальные языки - например, Battle Management Language и т.п.) и имитационные модели (включая элементы систем поддержки принятия решений (C l II1Р)) по управлению военными действиями - в авиации [12, 69], на флоте [10, 18].
Оптимизационные модели военных действий используют аппарат линейного и динамического программирования [13, 82, 87], теории оптимального управления [13, 83, 87], дискретной оптимизации (включая теорию графов и методы календарно-сетевого планирования и управления (КСПУ) применительно к планированию боевых действий и управлению войсками [78, 82, 87]) и отчасти теории массового обслуживания и теории управления запасами [13, 82, 83, 87].
Модели принятия решений можно условно разделить на модели индивидуального и коллективного принятия решений. В первых основной акцент обычно делается на многокритериальное принятие решений [13], во вторых - на использование теории игр (принятие решений в условиях игровой неопределенности). Теоретико-игровые модели военных действий более подробно рассматриваются в третьем разделе ниже.
Другим возможным основанием классификации моделей военных действий являются области применения моделей военных действий - их приложения к авиации [29, 31, 56, 85, 120], флоту [22, 56, 80], сухопутным операциям [74, 82, 87], пограничной безопасности [89] и др.
3. Теоретико-игровые модели военных действий
Теория игр (в основном антагонистических) активно используется для моделирования военных действий начиная с конца 40-х - начала 50-х годов XX века и до наших дней (информативными с исторической точки зрения являются многочисленные отчеты RAND Corporation, например, [93, 124] и [120]).
Интересно, что первоначально учебники и монографии по теории игр содержали примеры приложений этой теории в основном именно к военному делу [14, 29, 147], а начиная с конца 80-х годов XX века большинство примеров стало браться из области экономики [20, 135] (в середине 80-х годов примеры приводились, как правило, из обеих областей - см., например, [32]). Сейчас эта тенденция абсолютно доминирует - см. современные учебники по теории игр [114, 136] (хороший обзор середины 1990-х годов приведен в [137]), в которых почти нет содержательных примеров из военной области.
Многие авторы ограничиваются, в основном, рассмотрением антагонистических игр (игр двух лиц с нулевой суммой) -см. ставшие хрестоматийными работы [14, 29, 74, 98, 123].
Классическая теория игр (некооперативные, в первую очередь - биматричные игры) [14, 20, 28, 32] используется в приложении к задачам организации, планирования и проведения военных операций [158], выбора оптимальных группировок вооруженных сил и систем вооружения [13, 29, 82, 87]. Сюда же следует, наверное, отнести:
- задачу распределения ограниченных ресурсов обороны и нападения (обобщенное название - игра полковника Блотто, рассматриваемая более подробно ниже) [74], в том числе - с разведкой (игра в развернутой форме сводится к матричной игре [29]);
- игры типа дуэлей (выбор оптимальных моментов или оптимальных дистанций открытия огня) [29, 83];
- «политологические» модели анализа причин войн - см. обзоры [99, 118];
- модели гонки вооружений и международного сотрудничества в военной сфере [137].
Вторым обширным классом теоретико-игровых моделей, нашедших широкое применение в военном деле, являются дифференциальные игры [1, 12, 35, 44, 72, 73] и игры поиска [70, 87], включая современные задачи управления движением в конфликтной среде (см. [1, 21, 30] и ссылки в них).
Задачи поиска подвижного объекта, активно противодействующего обнаружению поисковой системой, получили название «поиск в условиях конфликта». Можно выделить две основные группы постановок задач, в зависимости от характера противодействия:
- поиск истинной цели в наблюдаемом составе группы целей, включающей ложные цели; идеологически эти задачи близки к задачам о распределении ресурсов, и, в частности, к задаче о коммивояжере;
- поиск цели при подавленном канале наблюдений.
Задачи второй группы формулируются как дифференциальные игры в смешанных стратегиях с критерием «вероятность обнаружения». Конструктивных решений на сегодняшний день немного; они получены для случаев, когда удается свести дифференциальную игру к игре на компакте [71, 92, 115, 151].
Другие «неклассические» (пока) разделы теории игр также имеют отдельные (далеко не массовые) примеры приложений в моделировании военных действий и принятии решений по управлению силами и средствами в военных конфликтах:
- иерархические игры [23, 40], включая динамические иерархические игры [26, 38];
- модели коллективного поведения [39-41];
- повторяющиеся игры и игры в развернутой форме [32, 49, 72, 161];
- рефлексивные игры [48, 60, 67] и метаигры [40, 128] для моделирования принятия стратегических и оперативных военных решений;
- игры на сетях и сетевые игры [49, 59, 77, 119, 144];
- алгоритмическая (вычислительная) теория игр [91, 133];
- поведенческая теория игр (экспериментальная экономика) [100];
- когнитивные игры, позволяющие осуществлять прогноз стратегического взаимодействия факторов и субъектов [46, 47, 61].
Одним из примеров приложений являются теоретикоигровые модели информационного противоборства в социальных сетях [27], где используется аппарат и иерархических, и рефлексивных игр.
Эмпирической основой теоретико-игрового моделирования обычно являются стратагемы [16, 50] и их рефлексивный анализ [7, 67]. При этом очень популярен опыт Древнего Китая [81] и Древнего Рима [84], а также история европейских войн [33, 36].
Ниже мы приведем краткий обзор результатов построения и исследования двух упоминавшихся выше классов моделей -игра полковника Блотто (раздел 4) и ланчестеровские модели (раздел 5).
4. Игра полковника Блотто
Игрой полковника Блотто (ИПБ), впервые рассмотренной в [95], называется игра двух лиц, в которой игроки однократно, одновременно и независимо (не зная выбора оппонента) распределяют свои ограниченные ресурсы между конечным числом объектов (полей сражений или объектов защиты/нападения [117], одновременных конкурсов/аукционов [130], групп избирателей [132] и т.п.).
Обозначим через N = {1, ..., п} множество объектов, через X = (хь ..., хп) - действие первого игрока, через у = (уь ..., уп) -действие второго игрока, где х7 > 0 (у, > 0) - количество ресурса, выделенного первым (вторым) игроком на 7-й объект, 7 = 1, п. Ограниченность ресурсов отражена условиями
(1) Е х - X у 7 - ку
7eN
4.1. А УКЦИОННАЯ МОДЕЛЬ
В рамках аукционной модели победу на объекте одерживает игрок, выделивший на него большее количество ресурсов (в случае равенства ресурсов каждый из игроков одерживает победу с вероятностью 1/2). Ценность 7-го объекта для первого (второго) игрока обозначим через Х7 (^). Тогда выигрыши игроков в аукционной модели будут определяться следующим образом:
(2) fx(x, у) = X XI (X, > у,) + 1 X XI (X, = у,),
iеN 2 iеN
fy(x, у) = ЕъI(у, > X,) + 1 ЕъI(X, = у,),
^ 2 ^ где /(•) - функция-индикатор. Более общим является случай, когда ограничения типа (1) отсутствуют, но из выигрыша (2) вычитаются затраты, монотонные по суммарному количеству использованного игроком ресурса.
Случаи п = 1 и п = 2 являются тривиальными. Действительно, при п = 1 побеждает игрок, обладающий большим количеством ресурса (в случае равенства ресурсов победа каждого равновероятна). При п = 2 оптимальной стратегией каждого игрока является приоритетное выделение ресурса на наиболее ценный для него объект (см., например [130]).
Простейшим является симметричный (X, = Yl, , е N, К = Яу) вариант дискретной (ресурсы игроков дискретны) ИПБ, являющейся матричной игрой (с нулевой суммой). Впервые решение этой игры (равновесие Нэша в смешанных стратегиях) для случая п = 3 было описано в [96]; в [117] были найдены решения для симметричного случая для произвольного конечного п и для случая X, = Yl, , е N, К Ф Яу при п = 2. Следующим шагом была частичная характеризация равновесия Нэша для случая X] = Y7, , е N, К Ф Яу при произвольном конечном п
[112]. В дальнейшем, как правило (см. обзор в [142]), исследователи ограничивались либо дискретным, либо симметричным непрерывным случаями.
Существенное продвижение в характеризации равновесия в аукционной модели было получено в [142], следующими шага-
ми можно считать статью [127], где исследуется равновесие Нэша в чистых стратегиях для несимметричного случая, и [121], где произведено обобщение ИПБ на стохастический случай.
Описание экспериментальных исследований ИПБ можно найти в [102, 134].
В [130] ИПБ интерпретируется в терминах одновременных конкурсов (применяется аукционное решение), причем учитываются затраты на используемые игроками ресурсы. Динамическое обобщение ИПБ - многоэтапный конкурс (Dynamic Contest)
[113], в котором игроки на каждом шаге выбирают количество расходуемого ресурса, победитель определяется вероятностной моделью (см. ниже), а оставшийся ресурс уменьшается на долю израсходованного (в игре Блотто эта доля равна единице) [148].
4.2. ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ
В вероятностной модели ИПБ вероятность px(xi, yi) победы первого игрока на i-м объекте не зависит от других объектов и «пропорциональна» количеству выделенного им на этот объект ресурса и «обратно пропорциональна» взвешенной сумме ресурсов, выделенных на этот объект обоими игроками:
(3) Px(Xi, yi) = ---------, Py(Xi, yi) = 1 -Px(Xi, yi),
O ( xt f + (y, f
где r, e (0; 1], Oi > 0, Px(x, = 0, у, = 0) = [102, 112, 134]
a. +1
i
(см. общее обсуждение свойств подобных зависимостей в [116, 143, 156], а также обзор [104]). Содержательно коэффициенты {а,} позволяют соизмерять эффективности использования игроками ресурсов на одном и том же объекте.
Выигрыши игроков в вероятностной модели определяются следующим образом:
(4) Fx^ y) = X XrPx(x, Уi X Fy^ y) = X YtPy (x, Уi) .
ieN ieN
Равновесием Нэша в чистых стратегиях (x , у ) является пара векторов, удовлетворяющих условиям (1), таких, что V(x, y), также удовлетворяющих условиям (1), выполнено
(5) ^(/, у) > ^(х, у ), ^(/, у*) > ^(/, у).
Вероятностная модель в определенном смысле «проще», чем
аукционная: как показано в [112], единственным равновесием Нэша для случая X- = Yi = Сош^ ri = 1, а. = 1, - е Ы, Rx Ф Ry при произвольном конечном п (см. выражение (2)) является использование игроками чистых стратегий, заключающихся в равном распределении имеющихся у них ресурсов между объектами.
В [143] в рамках вероятностной модели найдено равновесие в чистых стратегиях для случая X = Yi при произвольных
г. е (0; 1], а > 0, - е N. Приведем аналогичный результат для случая, когда ценность победы на объекте для различных игроков различна (в общем случае X. Ф Yi, - е Ы).
Условиями первого порядка для игроков являются (легко показать, что условия (1) в равновесии выполняются как равенства)
/ *\г- —1 / *\Г-
(6) аг(х,>' (уЛ' х. = л, /еы,
[а, (х,)'+ (у,)']" ' х
(7) ЗДОО'Ь-,)' у = л, , е N [а,(хУ+ (у*)']" ' у
где Лх и Лу - множители Лагранжа, соответствующие первому и второму условиям выражения (1).
Разделив (6) на (7), получим
(8) Л. е N.
х. У Л
1 1 у
В частном случае, когда X. = Yi = V, из (8) и (3) (с учетом монотонности (1) по действию игрока) следует, что (см. также [143])
(9) Л Я.
Лу К
Из (6) и (8) получаем:
а г
(X X Л
___1__х
V У X У
X.
X
X. X ,г а. + (—)' 1 У¥, X/
а г
(11) У. =
(X X У
___1__х_
У X у
У
X. X ,г а. + (—)'
1 У X/
Условия первого порядка (10) и (11) являются общей характеризацией равновесия Нэша. В частном случае - при X. = У. = V, а = г. = 1, 1 е N - из (10) и (11) с учетом (8) следуют выражения для равновесных действий и выигрышей, полученные в [112]:
* V * V
(12) х = vyRx, У = ~^КУ, 1 е N,
(13) Бх(х*, у*) = V, Бу(х*, у*) = R•
■ V,
Ях + Яу Rx + Ry
п
где V = XV , т е. агенты делят свой ресурс пропорционально
1=1
ценности объектов и получают выигрыш, пропорциональный их суммарным ресурсам. Отметим, что при этом равновесные действия каждого из игроков зависят только от «их собственных» параметров - так, например, действия первого игрока х не зависят от суммарного количества ресурса Яу, имеющегося у второго игрока, и т.п.
При Xi = У = V', 1 е N, из (10) и (11) с учетом (8) следуют выражения для равновесных выигрышей, полученные в [143] (там же приведены и аналитические выражения для равновесных действий игроков):
а,- (Ях )г
(14) Бх(х, у) = X
^ а (Ях )г+ (Яу )г
-V,
2
2
Ру(х\ у*) = X---^--------V.
£ а,(Ях)г+ (Яу )г '
Отметим, что выражения (12)—(14) можно интерпретировать как пропорциональный механизм распределения ресурса (механизм прямых приоритетов) [65].
Система (1), (10), (11) состоит из 2п + 2 уравнений и содержит столько же неизвестных, однако записать ее решение в аналитическом виде представляется затруднительным (в отличие от [143], где предполагалось, что X = У = V-, 1 е ^.
Самостоятельный интерес представляет исследование различий в оценках игроками одних и тех же объектов - модели стратегической и информационной рефлексии в ИПБ описаны в [42].
5. Ланчестеровские модели
Общеизвестными и получившими широкое развитие являются так называемые ланчестеровские модели, использующие аппарат дифференциальных уравнений для описания динамики численности сил участников военных конфликтов - первая модель Ланчестера [131] и ее развитие (см. обзоры в [56, 109, 154]). Следует также обратить внимание на наличие тесных аналогий между ланчестеровскими моделями военных действий и популяционными моделями в биологии и экологии (см., например, [19]).
Пусть имеются две противоборствующие стороны. Обозначим через х^) (у^)) численность войск первой (второй) стороны в момент времени t > 0. Начальные условия (численности в нулевой момент времени) - х0 и у0 соответственно. Скорость изменения численности войск каждой из сторон определяется тремя факторами:
- операционными потерями (пропорциональными численности своих войск);
- боевыми потерями (пропорциональными численности войск противника или произведению численностей войск обеих сторон);
- вводом резервов (выводом в резерв).
Обычное сражение описывается следующей системой дифференциальных уравнений (слагаемые соответствуют вышеперечисленным факторам):
(15) х(0 = -ах(0 - Ьу(0 + и({),
(16) у(^ = -сх(0 - dy(t) + v(t),
где а, Ь, с и d - положительные константы; и(0 и у(0 - темпы ввода резервов.
Аналогично описывается партизанская война (многие современные войны приобрели иррегулярный «партизанский» характер [52]):
(17) х(0 = -ах(0 - gx(t)y(t) + и(0,
(18) у(0 = ^уф - йх(0у(0 + v(t),
где g и Н - положительные константы, и смешанная война:
(19) х (0 = -ах(0 - gx(t)y(t) + и(0,
(20) у(^ = -cx(t) - dy(t) + v(t).
Модели отличаются учетом боевых потерь. Предполагается, что в обычном сражении каждая сторона в единицу времени поражает число противников, пропорциональное своей численности - коэффициенты Ь и с, называемые коэффициентами боевой эффективности, могут измеряться как число выстрелов, производимое одним сражающимся в единицу времени, умноженное на вероятность поражения одним выстрелом одного противника (именно такую модель первоначально и предложил Ф. Ланчестер в [131]). Другой тип сражения - «партизанский», или «стрельбы по площадям», когда потери противника зависят как от интенсивности огня, так и от концентрации его войск, что отражается «смешанными» слагаемыми, пропорциональными х(0у(0. Существует и другая (так называемая дуэльная) интерпретация модели (17)-(18), в соответствии с которой сражение рассматривается как война в древнем мире - набор индивидуальных попарных поединков между воинами (в условиях невозможности локализации и концентрации поражающих факторов). Можно говорить не о типах сражений, а о типах ведения огня:
1. Прицельный огонь по рассредоточенным целям.
2. Прицельный огонь по сосредоточенным целям.
3. Стрельба по площадям [43].
Отметим, что возможно рассмотрение более общих моделей, т.е. таких, в которых скорости изменения численностей пропорциональны произведению численностей, возведенных в определенные степени (эти степени могут быть и дробными -так называемые фрактальные модели Ланчестера [138]).
Следует подчеркнуть, что выше речь идет только о традиционном оружии (боевых единицах с низкой вероятностью поражения в отдельном выстреле): применение современного высокоточного оружия, разведывательно-огневых и разведывательно-ударных комплексов описывают другими моделями.
Самым простым (ставшим хрестоматийным) случаем является случай отсутствия операционных потерь и резервов, когда
(15)-(16) превращается в
(21) X (0 = -Ьу(0, у (0 = -ех(ґ).
Решением системы (21) является так называемая квадратичная модель динамики численности войск:
(22) Ь(у2^) - у02) = с(х2(0 - х02).
Траекториями (22) в координатах (х, у) будут гиперболы (прямая при Ьу2 = сх<2). Проигравшей будет сторона, чья численность войск первая обратится в ноль (поэтому ланчестеров-ские модели иногда называют моделями истощения). Если Ь у2 > с х^, то побеждает вторая сторона, при Ь у2 < с х0 побеждает первая. Условие «равенства сил» имеет вид
(23) У0 = ^
Следует отметить некоторую условность выражений типа
(23), которые не учитывают известного факта, что существует определенный критический процент потерь, при которых сторона отказывается от продолжения боя (см., например, [17, 25]).
По аналогии, рассмотрев (17)-(18) в отсутствии операционных потерь и резервов, получим
(24) х(0 = ^х(^), у(0 = ^х(0у(0.
Решением системы (24) является прямая g(y(t) - у0) = й(x(t)- х0), а условием «равенства сил»
(25) у0 = Нх0. g
Смешанная война (см. (19)-(20)) в отсутствии операционных потерь и резервов описывается системой
Решением системы (26) является g(y2(t) - у2) = 2с(х(0 - х0).
Результаты идентификации модели (26) для действия регулярных войск против партизанских движений приведены в [107].
Рассмотрим ситуацию, когда стороны могут делить свои войска на части и осуществлять последовательный боевой контакт своих частей с частями противника.
Из условия (25) можно получить следующее выражение численности войск первой стороны, оставшейся после победы над противником:
(27) х(х0, у0) = х0 - 5у0,
где 8 = g/h - отношение коэффициентов боевой эффективности соответственно второй и первой сторон в модели (24). В силу линейности выражения (27) исход боя определяется только начальными количествами войск и отношением 8 и не зависит от того, как стороны разделили свои войска на части, какие части сражаются с какими и в какой последовательности. Ситуация становится несколько более разнообразной в рамках модели (21).
Из условия (22) можно получить следующее выражение численности войск первой стороны, оставшейся после победы над противником:
где у = Ь/с - отношение коэффициентов боевой эффективности соответственно второй и первой сторон в модели (21). Пусть
у < 1 и х0 < ТУу0, т.е. первая сторона более эффективна, но
обладает начальной численностью войск, недостаточной для
(26) х(0 = ^(Г)у(Г), у(0 = -сх(0.
того, чтобы одержать победу над второй стороной при вводе ими в действие одновременно всех своих сил.
Предположим, что имеется п плацдармов, по которым вторая сторона уже распределила свои силы. Обозначим через у1 > 0 численность войск второй стороны на 7-м плацдарме, 1 = 1, п,
п
X у = у0. Без ограничения общности предположим, что плац-
1=1
дармы пронумерованы так, что у1 < у2 < ... < уп. Пусть первая сторона, используя все имеющиеся у нее на текущий момент силы, может последовательно сражаться на различных плацдармах. Определим, какова оптимальная для первой стороны последовательность сражений и при каких условиях (значениях х0 и у, а также векторе у = {уь ..., уп)) она может последовательно победить на всех плацдармах. Ответ на этот вопрос тривиален - конечная численность войск первой стороны не зависит от последовательности плацдармов, а победа в рамках модели (28) возможна в случае, когда (29) х0 > ^ .
Так как сумма квадратов неотрицательных чисел не превышает квадрата их суммы, то из (29) следует, что первой стороне в рассматриваемой модели всегда выгодно дробление войск противника - их равное разделение между п плацдармами снижает их «эффективную численность» в уГп раз. Хрестоматийным примером последовательного разгрома превосходящих сил противника является Трафальгарская битва.
Легко убедиться, что вывод о том, что конечная численность войск первой стороны не зависит от последовательности плацдармов, справедлив и для общего случая так называемых «степенных» уравнений Ланчестера:
х (0 = - gxp(t)yq(t),
у (^ = - Нхч{()ур{().
Существует множество разновидностей задач оптимизации распределения сил обороны и нападения в рамках ланчестеров-
ских моделей (см. также обзор и результаты в [146]), т.е. модель Ланчестера имеет массу вариаций и обобщений:
- введение переменных (зависящих от времени) коэффициентов боевой эффективности [153];
- учет особенностей боевых действий различных типов - засад, перестрелок, осад и т.д. [145];
- рассмотрение дискретных моделей залпового огня [129];
- многоуровневые модели [103], в которых на нижнем уровне методом Монте-Карло имитируется взаимодействие отдельных боевых единиц, на среднем уровне взаимодействие описывается марковскими моделями, а на верхнем (агрегированном, детерминированном) уровне используются дифференциальные уравнения [155]. Такой подход удобен для идентификации реальных задач и более адекватного учета специфики конкретной моделируемой ситуации;
- рассмотрение дифференциальных игр, в которых управлениями игроков являются темпы ввода резервов и(0 и v(t), а критериями эффективности - разность между численностями войск в заданный момент времени [101];
- анализ моделей длительных (многостадийных) конфликтов с учетом ввода резервов [7, 74, 88];
- модели агрегированного описания театра военных действий, состоящего из нескольких областей, сражения в каждой из которых описываются квадратичным законом Ланчестера [106] (учет и оптимизация распределения сил и средств в пространстве и во времени (см. обзор в [138], а также модели многостадийных конфликтов);
- модели военных конфликтов с использованием нескольких видов вооружений [125];
- модели разоружений Ричардсона [141];
- модели, учитывающие неопределенность в виде стохастических слагаемых - переход к марковским моделям [13, 74, 94, 154, 158], стохастическим дифференциальным уравнениям, и др.
Множество работ посвящены идентификации конфликтов (подбору параметров модели) [54, 97, 105, 110, 111, 122].
Добавление в уравнения типа Ланчестера управляющих переменных (отражающих ввод резервов, распределение сил и средств и т.д. [34]) приводит уже к оптимизационным моделям, т.е. к соответствующим задачам оптимального управления. Перспективным представляется использование подобного «надстроечного» подхода для перехода к иерархиям моделей - теоретико-игровым «надстройкам» над ланчестеровскими моделями.
6. Иерархии моделей
Сложность и многообразие реальных ситуаций требуют для их адекватного отражения в математических моделях гибкости и универсальности последних. Эти свойства неизбежно приходят в противоречие с общностью и обоснованностью результатов моделирования - см. функции и свойства моделей, а также «принцип неопределенности» в [58]. Поэтому при решении тех или иных реальных задач неизбежно использование комплексов моделей, в которых «выход» одной модели является «входом» для другой и т.д. Совокупность подобных моделей может рассматриваться в виде иерархии (обычно более низким уровням иерархии соответствует более высокая степень детализации описания моделируемых систем) или горизонтальной цепочки, в каждом элементе которой степень детализации примерно одинакова. Подобный подход к моделированию зародился и активно развивался в 60-70-х годах XX века [8, 51, 57].
Начнем с нескольких примеров иерархий математических моделей, описывающих ситуации противоборства в военной, информационной и др. сферах. Описывать эти примеры будем единообразно, на каждом уровне иерархии указывая моделируемые явления и процессы, а также аппарат моделирования.
6.1. МОДЕЛЬ БОЕВЫХ ДЕЙСТВИЙ
Если противники однократно и одновременно принимают решения о распределении своих сил «в пространстве» (между плацдармами), то получаем игру полковника Блотто - см. раздел 4 и [42] - в которой победитель на каждом из плацдармов опре-
деляется в результате решения соответствующих уравнений Ланчестера. Другими словами, можно рассматривать «иерархическую» модель, в которой на верхнем уровне иерархии игроки распределяют свои силы межу плацдармами в рамках той или иной вариации теоретико-игровой модели ИПБ, а на нижнем уровне исход сражения на каждом из плацдармов описывается той или иной вариацией модели Ланчестера. Сложность аналитического исследования таких иерархических моделей обусловлена тем, что в большинстве случаев для ИПБ трудно найти аналитическое решение (см. [42]).
Для моделей Ланчестера также можно использовать иерархический подход (см. раздел 5) - на нижнем уровне методом Монте-Карло имитируется взаимодействие отдельных боевых единиц, на среднем уровне взаимодействие описывается марковскими моделями, а на верхнем (агрегированном, детерминированном) уровне используются собственно дифференциальные уравнения ланчестеровского типа. «Над» этими моделями, вводя в них управляемые параметры (распределение сил и средств во времени - ввод резервов и т.д.), можно надстраивать задачи управления в терминах управляемых динамических систем, дифференциальных и/или повторяющихся игр и др.
В результате получим следующую иерархическую модель:
Таблица 1. Модель боевых действий______________________________
Уровень иерархии Моделируемые явления/процессы Аппарат моделирования
5 Распределение сил и средств в пространстве Игра полковника Блотто и ее модификации
4 Распределение сил и средств во времени Оптимальное управление, повторяющиеся игры и др.
3 Динамика численности Уравнения Ланчестера и их модификации
2 «Локальное» взаимодействие подразделений Марковские модели
Уровень иерархии Моделируемые явления/процессы Аппарат моделирования
1 Взаимодействие отдельных боевых единиц Имитационное моделирование, метод Монте-Карло
6.2. МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕННОГО ПРЕОДОЛЕНИЯ СИСТЕМЫ ОБОРОНЫ (ТАК НАЗЫВАЕМАЯ ЗАДА ЧА О ДИФФУЗНОЙ БОМБЕ)
Модель распределенного преодоления системы обороны (так называемая задача о диффузной бомбе) [40]. Одной из современных тенденций в теории и практике управления является стремление к «миниатюризации», «децентрализации» и «интеллектуализации». Как следствие, в последнее десятилетие все большее внимание исследователей привлекает такой объект управления, как мультиагентные системы, состоящие из большого числа взаимодействующих между собой автономных агентов социальной, технической или информационной природы [37, 39, 139, 140, 149, 159, 160]. Такие свойства мультиа-гентных систем, как децентрализованность взаимодействия и множественность агентов, с одной стороны, дают их качественно новые эмерджентные свойства, важные во многих приложениях, в том числе - в задачах оборон и безопасности (колесные и др. роботы, беспилотные летательные аппараты, автономные подводные аппараты и т.п.). С другой стороны, новые свойства объекта управления ставят новые задачи - в частности, необходимость совместного решения задач управления, реализации вычислений и организации коммуникаций (связи) в реальном времени.
Примером является задача о диффузной бомбе, которая заключается в следующем: группа автономных подвижных агентов должна поразить цель с заданными координатами. В каждый такт времени каждый агент может быть с определенной вероятностью обнаружен и уничтожен системой обороны. Вероятность обнаружения/уничтожения зависит от координат агента,
его скорости и расположения относительно других агентов. Задача заключается в синтезе таких алгоритмов децентрализованного взаимодействия агентов и принятия ими решений о направлении и скорости движения, чтобы максимизировать число агентов, достигших цели. «Интеллектуальность» агентов заключается, в том числе, в том, что часть агентов-разведчиков, может оперативно получать информацию о параметрах системы обороны. Остальные агенты, наблюдая за поведением разведчиков (в условиях ограничений на коммуникации между агентами), «рефлексируя» получают оценку опасной области и решают поставленную задачу.
В целях оценки и выбора наиболее эффективных алгоритмов поведения используется следующая иерархическая модель:
Таблица 2. Модель диффузной бомбы
Уровень иерархии Моделируемые явления/ процессы Аппарат моделирования
6 Выбор состава группы агентов и их свойств Методы дискретной оптимизации
5 Выбор агентами траекторий и скоростей движения Оптимальное управление
4 Прогноз агентом поведения других агентов Рефлексивные игры. Метод рефлексивных разбиений
3 Минимизация вероятности обнаружения на основании текущей информации Алгоритмы выбора направления движения
2 Избежание столкновений, обход препятствий Алгоритмы выбора локальных траекторий
1 Движение агента к цели Уравнения динамики движения
В мультиагентных системах иерархия моделей порождается, в том числе, функциональной структурой самого агента, которая имеет несколько иерархических уровней - см. рис. 2 [39, 66]. На нижнем (операционном) уровне осуществляется
реализация действий, например - стабилизация движения по заданной траектории. На тактическом уровне осуществляется выбор действий, в том числе - с учетом взаимодействия с другими агентами. Стратегический уровень отвечает за принятие решений, обучение и адаптивность поведения. И, наконец, высший уровень (целеполагания) соответствует принципам выбора целей и механизмов функционирования агентов.
■е
я
к
я
га
X
Уровень целеполагания и
управления
механизмами
функционирования
Л
Стратегический
уровень
(принятие решений, адаптация, обучение, рефлексия)
Тактический уровень
л
Исполнительный
(операционный)
уровень
Действие
Рис. 2. Обобщенная архитектура агента
Приведенная на рис. 2 структура является достаточно универсальной. Но в то же время большинство реализаций мультиа-гентных систем ограничивается двумя нижними уровнями. Поэтому одной из современных тенденций и теории мультиа-гентных систем, и теории игр, и искусственного интеллекта
(последние два научных направления ориентированы на верхние уровни архитектуры агента) является стремление к их интеграции [63].
6.3. МОДЕЛЬ ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОТИВОБОРСТВА
Объектом и средством управления в данном примере является социальная сеть или другой «сетевой» объект [27, 47, 59,
61, 77].
Можно выделить несколько уровней описания и анализа социальных сетей. На первом (нижнем) уровне сеть рассматривается «в целом» (данное описание, хотя и не является детализированным, обычно необходимо для экспресс-анализа общих свойств объекта). Здесь для агрегированного описания сети используются статистические методы, методы семантического анализа и др. На втором уровне с использованием аппарата теории графов производится анализ структурных свойств сети. На третьем уровне анализируется информационное взаимодействие агентов. Здесь спектр возможных моделей наиболее широк
- марковские модели, конечные автоматы, модели диффузии инноваций, модели заражения и многие другие. На четвертом уровне с использованием аппарата оптимального управления или дискретной оптимизации ставятся и решаются задачи управления. И, наконец, на пятом уровне для описания взаимодействия субъектов, воздействующих на социальную сеть каждый в своих интересах, как правило, используется аппарат теории игр, в том числе - рефлексивных игр.
В результате получим следующую иерархическую модель:
Таблица 3. Модель информационного противоборства
Уровень иерархии Моделируемые явления/ процессы Аппарат моделирования
5 Информационное противоборство Теория игр, теория принятия решений
4 Информационное управление Оптимальное управление, дискретная оптимизация
3 Информационное Марковские модели, конеч-
Уровень иерархии Моделируемые явления/ процессы Аппарат моделирования
взаимодействие агентов ные автоматы, модели диффузии инноваций, модели заражения и др.
2 Анализ структурных свойств сети Теория графов
1 Анализ сети в целом Статистические методы, методы семантического анализа и др.
То есть на каждом уровне имеется большой набор возможных моделей и методов, совокупность которых может рассматриваться как своеобразный конструктор, пользуясь элементами которого исследователь собирает инструмент для решения поставленной перед ним задачи. С одной стороны, возможно адаптированное использование тех или иных известных моделей и методов. С другой стороны, специфика объекта заставляет на каждом уровне разрабатывать и развивать свои специфические методы, учитывающие большую размерность объекта управления, его распределенность и неполную наблюдаемость, наличие многих взаимодействующих объектов и субъектов управления, обладающих различными интересами и т.д.
В заключение настоящего раздела отметим, что иерархические модели используются, естественно, не только в военных приложениях. Широко распространены они практически во всех областях науки и практической человеческой деятельности: организационное управление [53], коллективное поведение [39, 62], экономико-математические модели [6, 77, 86], биология и медицина - см. обзор [4], технические и производственные системы [8] и др.
7. Перспективы
На сегодняшний день издаются несколько десятков журналов по исследованию операций, имитационному моделирова-
нию и т.д., в которых нередко встречаются статьи по применению соответствующих моделей и методов к описанию военных действий, оптимизации принимаемых решений (обзоры применения теории игр и имитационного моделирования можно найти в [108, 157]). Существуют сообщества ученых, занимающихся соответствующими задачами - например, Military Operations Research Society со своими журналами, конференциями и т.д.
Если говорить о перспективных направлениях развития теории игр и ее приложений к описанию военных действий, то, наверное, в будущем можно ждать активного развития приложений к военному делу «неклассических» разделов теории игр -иерархических, эволюционных, когнитивных и других игр. В рамках теории игр и теории коллективного поведения развито множество моделей, учитывающих адаптацию, обучение и другие интеллектуальные свойства игроков (см. [39, 60, 62]), использование которых в моделировании военных действий, наверное, позволит более адекватно отражать многие реальные ситуации.
Перспективным также представляется, во-первых, использование комплексных иерархических интеллектуальных моделей (см. шестой раздел) с соответствующей компьютерной реализацией. Во-вторых - моделирование и учет в системах поддержки принятия решений стратегических и рефлексивных рассуждений ЛПР (командиров соответствующего уровня) на тактическом, оперативном и стратегическом уровнях (с учетом ограничений, накладываемых господствующей военной доктриной, находящей отражение в уставах и учебниках - см., например, [55, 75]). В третьих, столь «модная» сейчас сетецентрическая концепция организации управления войсками и боевыми действиями пока мало находит отражение в соответствующих оптимизационных (теория графов) и игровых (теория игр) моделях. Относительно этого направления можно высказать гипотезу о возможности и целесообразности использования моделей сетевых игр [59, 64, 119].
Автор признателен за конструктивные ценные замечания
д.т.н. Е.П. Маслову и к.т.н. В.В. Шумову.
Литература
1. АБРАМЯНЦ Т.Г., МАСЛОВ Е.П., ЯХНО В.П. Уклонение подвижного объекта от обнаружения группой наблюдателей // Проблемы управления. - 2010. - №5. - С. 73-79.
2. АЙЗЕКС Р. Дифференциальные игры. - М.: Мир, 1967. -480 с.
3. АМЕЛЬКИН В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. - М.: Наука, 1987. - 188 с.
4. АПОНИН Ю.М., АПОНИНА Е.А. Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования // Математическая биология и биоинформатика. - 2007. - Том 2, №2. - С. 347-360.
5. АРНОЛЬД В.И. «Жесткие» и «мягкие» модели / Математическое моделирование социальных процессов. - М.: МГУ, 1998.- С. 29-51.
6. БЕЛОТЕЛОВ Н.В., БРОДСКИЙ Ю.И., ПАВЛОВСКИЙ Ю.Н. Сложность. Математическое моделирование. Гуманитарный анализ: Исследование исторических, военных, социально-экономических и политических процессов. -М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. - 320 с.
7. БИРШТЕЙН БИ., БОРШЕВИЧ В.И. Стратагемы рефлексивного управления в западной и восточных культурах // Рефлексивные процессы и управление. - 2002. - Т. 2, №1. -С. 27-44.
8. БУСЛЕНКО Н.П. Моделирование сложных систем. - М.: Наука, 1968. - 356 с.
9. БУЯНОВ Б.Б., ЛУБКОВ Н.В., ПОЛЯК Г.Л. Математическая модель длительного вооруженного конфликта // Проблемы управления. - 2007. - №5. - С. 48-51.
10. БУЯНОВ Б.Б., ЛУБКОВ Н.В., ПОЛЯК Г.Л. Система поддержки принятия управленческих решений с применением имитационного моделирования // Проблемы управления. -2006. - №6. - С. 43-49.
11. ВАГНЕР Г. Основы исследования операций. - М.: Мир, 1972. Т. 1. - 335 с.; Т. 2. - 488 с.; Т. 3. - 501 с.
12. ВАЙСБОРД Э.М., ЖУКОВСКИЙ В.И. Введение в дифференциальные игры нескольких лиц и их приложения. - М.: Советское радио, 1980. - 304 с.
13. ВЕНТЦЕЛЬ Е.С. Введение в исследование операций. - М.: Советское радио, 1964. - 388 с.
14. ВЕНТЦЕЛЬ Е.С. Элементы теории игр. - М.: Физматгиз, 1961. - 68 с.
15. ВИШНЯКОВА Л.В., ДЕГТЯРЕВ О.В., СЛАТИН А.В. Имитационное операционное моделирование процессов функционирования сложных авиационных систем и комплексов моделирования / Труды конференции «Имитационное моделирование. Теория и практика». Том 1.- СПб.: СПИИРАН, 2011. - С. 30-41.
16. ВОЕВОДИН А.И. Стратагемы - стратегии войны, манипуляции, обмана. - М.: Белые Альвы, 2002. - 256 с.
17. Война и мир в терминах и определениях / Под общей ред. Д.О. Рогозина. - М.: Изд. дом «ПоРог», 2004. - 624 с.
18. ВОЛГИН Н.С. Исследование операций. - Санкт-Петербург: ВМА им. Н.Г. Кузнецова, 1999. - Часть 1 - 366 с.; Часть 2 -334 с.
19. ВОЛЬТЕРА В. Математическая теория борьбы за существование. - М.: Наука. 1976. - 288 с.
20. ВОРОБЬЕВ Н.Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков. - М.: Наука, 1985. - 272 с.
21. ГАЛЯЕВ А.А., МАСЛОВ Е.П., РУБИНОВИЧ Е Я. Об одной задаче управления движением объекта в конфликтной среде // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2009. -№3. - С. 134-140.
22. ГАРРЕТ Р., ЛОНДОН Д. Основы анализа операций на море. - М.: Воениздат, 1974. - 270 с.
23. ГЕРМЕЙЕР Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. - М.: Наука, 1976. - 327 с.
24. ГЛУШКОВ И.Н. Выбор математической схемы при построении модели боевых действий // Программные продукты и системы. - 2010. - №10. - С. 2-5.
25. ГОЛОВИН Н.Н. Наука о войне. О социологическом изучении войны. - Париж: Издательство газеты «Сигнал», 1938. -248 с.
26. ГОРЕЛИК В.А., ГОРЕЛОВ М.А., КОНОНЕНКО А.Ф.
Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. -М.: Радио и связь, 1991. - 288 с.
27. ГУБАНОВ Д А., НОВИКОВ Д А., ЧХАРТИШВИЛИ А.Г.
Социальные сети: модели информационного влияния, управления и противоборства. - М.: Физматлит, 2010. - 244 с.
28. ГУБКО М.В., НОВИКОВ Д А. Теория игр в управлении организационными системами. - 2-е изд. - М.: Синтег, 2005. - 136 с.
29. ДРЕШЕР М. Стратегические игры. Теория и приложения.
- М.: Советское радио, 1964. - 353 с. (На англ. языке: DRESHER M. Games of Strategy: Theory and Applications. -Santa Monica: RAND, Prentice Hall, 1961.)
30. ДОБРОВИДОВ А.В., КУЛИДА Е.Л., РУДЬКО ИМ. Выбор траектории движения объекта в конфликтной среде // Проблемы управления. - 2011. - №2. - С. 64-75.
31. ДУРОВ В.Р. Боевое применение и боевая эффективность истребителей-перехватчиков. - М.: Воениздат, 1972. -280 с.
32. ДЮБИН Г.Н., СУЗДАЛЬ В.Г. Введение в прикладную теорию игр. - М.: Наука. Главная редакция физико-
математической литературы, 1981. - 336 с.
33. ДЮПУИ Р., ДЮПУИ Т. Всемирная история войн. - М.: Полигон, 1997. - 3968 с.
34. ЖЕРЕБИН А.М., ЗУРАБЬЯН Н И. Модель боевых действий для оценки эффективности перспективного авиационного вооружения // Вестник МАИ. - 2009. - № 11 - С. 8-13.
35. ЖУКОВСКИЙ В.И., САЛУКВАДЗЕ М.Е. Некоторые игровые задачи управления и их приложения. - Тбилиси: Мецниереба, 1998. - 462 с.
36. История военной стратегии России / Под ред.
В.А. Золотарева. - М.: Кучково поле, 2000. - 592 с.
37. КАЛЯЕВ И.А., ГАЙДУК А.Р., КАПУСТЯН С.Г. Модели и алгоритмы коллективного управления в группах роботов. -М.: Физматлит, 2009. - 280 с.
38. КОНОНЕНКО А.Ф., ХАЛЕЗОВ А.Д., ЧУМАКОВ В.В. Принятие решений в условиях неопределенности. - М.: ВЦ АН СССР, 1991. - 211 с.
39. КОРЕПАНОВ В.О. Модели рефлексивного группового поведения и управления. - М.: ИПУ РАН, 2011. - 133 с.
40. КОРЕПАНОВ В О., НОВИКОВ Д А. Задача о диффузной бомбе // Проблемы управления. - 2011. - №5. - С. 66-73.
41. КОРЕПАНОВ В О., НОВИКОВ Д А. Метод рефлексивных разбиений в моделях группового поведения и управления // Проблемы управления. - 2011. - №1. - С. 21-32.
42. КОРЕПАНОВ ВО., НОВИКОВ ДА. Рефлексивная игра полковника Блотто // Системы управления и информационные технологии. - 2012. - №1(47). - С. 55-62.
43. КРАСНОЩЕКОВ П.С., ПЕТРОВ А.А. Принципы построения моделей. - М.: Изд-во МГУ, 1983. - 264 с.
44. КРАСОВСКИЙ Н.Н. Игровые задачи о встрече движений.
- М.: Наука, 1970. - 420 с.
45. КУКУШКИН Н.С., МОРОЗОВ В.В. Теория неантагонистических игр. - М.: МГУ, 1984. - 104 с.
46. КУЛИВЕЦ С.Г. Моделирование конфликтных ситуаций с несогласованными представлениями у агентов на основе игр на линейных когнитивных картах // Проблемы управления. - 2010. - №4. - С. 42-48.
47. КУЛЬБА ВВ., КОНОНОВ ДА., КОСЯЧЕНКО С.А., ШУБИН А.Н. Методы формирования сценариев развития социально-экономических систем. - М.: Синтег, 2004. -296 с.
48. ЛЕФЕВР В.А. Конфликтующие структуры. - М.: Сов. радио, 1973. - 159 с.
49. МАЗАЛОВ В.В. Математическая теория игр и приложения. - СПб.: Лань, 2010. - 448 с.
50. МАЛЯВИН В.В. (перевод с кит.) Китайская наука стратегии. - М.: Белые Альвы, 1999. - 414 с.
51. МЕСАРОВИЧ М., МАКО Д., ТАКАХАРА И. Теория иерархических многоуровневых систем. - М.: Мир, 1973. - 344 с.
52. МЕССНЕР Е.Э. Всемирная мятеже-война. - Жуковский; М.: Кучково поле. 2004. - 512 с.
53. Механизмы управления / Под ред. Д.А. Новикова. - М.: Ленанд, 2011. - 192 с.
54. МИТЮКОВ Н.В. Определение жертв войн через Ланче-стерские модели // Историческая психология и социология истории. - 2009. - №2. - С. 122-140.
55. МИХАЛЕВ С.Н. Военная стратегия. Подготовка и ведение войн Нового и Новейшего времени. - М.: Кучково поле, 2003. - 947 с.
56. МОРЗ Ф., КИМБЕЛЛ Д. Методы исследования операций. -М.: Советское радио, 1956. - 307 с.
57. НЕЙМАРК Ю.И. Математические модели естествознания и техники. - Нижний Новгород: ННГУ. - Вып. 1. -1994. -83 с.; Вып. 2. -1996. -154 с.
58. НОВИКОВ А.М., НОВИКОВ ДА. Методология. - М.: Синтег, 2007. - 668 с.
59. НОВИКОВ Д.А. Игры и сети // Математическая теория игр и ее приложения. - 2010. - Том 2, Выпуск 1. - С. 107-124.
60. НОВИКОВ Д.А. Модели стратегической рефлексии // Автоматика и телемеханика. - 2012. - №1. - С. 3-22.
61. НОВИКОВ Д.А. «Когнитивные игры»: линейная импульсная
модель // Проблемы управления. - 2008. - №3. -
С. 14-22.
62. НОВИКОВ Д.А. Математические модели формирования и функционирования команд. - М.: Физматлит, 2008. - 184 с.
63. НОВИКОВ Д.А. Рациональная интеллектуализация муль-тиагентных систем // Труды международной научнопрактической мультиконференции «Управление большими системами-2011». - Т. 3. - М.: ИПУ РАН, 2011. - С. 233238.
64. НОВИКОВ Д.А. Сетевые структуры и организационные системы. - М.: ИПУ РАН, 2003. - 103 с.
65. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. - 2-е изд. - М.: Физматлит, 2007. - 584 с.
66. НОВИКОВ Д.А. Управление системами междисциплинарной природы: результаты и перспективы // Труды IV Международной конференции по проблемам управления. - М.: ИПУ РАН, 2009. - С. 997-1003.
67. НОВИКОВ ДА., ЧХАРТИШВИЛИ А.Г. Рефлексивные игры. - М.: Синтег, 2003. - 149 с.
68. ПАВЛОВСКИЙ Ю.Н. О сохранении структуры вооруженных сил в процессе вооруженной борьбы // Дискретный анализ и исследование операций. - 1998. - Сер. 2, Т. 5, №1. -
С. 40-55.
69. ПАНЬКОВСКИЙ Ю.И., БОБИН А.В., СЛАТИН А.В. Технология построения имитационной математической модели воспроизведения хода боевых действий // Труды конференции «Имитационное моделирование. Теория и практика». -Т. 1- СПб.: СПИИРАН, 2011. - С. 229-233.
70. ПЕТРОСЯН Л.А., ГАРНАЕВ А.Ю. Игры поиска. - СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992. - 216 с.
71. ПЕТРОСЯН Л.А., ЗЕНКЕВИЧ Н А. Оптимальный поиск в условиях конфликта.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 77 с.
72. ПЕТРОСЯН Л.А., ЗЕНКЕВИЧ Н А., СЕМИНА Е.А. Теория игр. - М.: Высшая школа, 1998. - 304 с.
73. ПЕТРОСЯН Л.А., ТОМСКИЙ Г.В. Динамические игры и их приложения. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. - 252 с.
74. Применение теории игр в военном деле / Сборник переводов. - М.: Советское радио, 1961. - 360 с.
75. РЕЗНИЧЕНКО В.Г. и др. Тактика. - М.: Воениздат, 1987. -496 с.
76. СААТИ Т. Математические модели конфликтных ситуаций. - М.: Советское радио, 1977. - 304 с.
77. Сетевые модели в управлении / Под ред. Д.А. Новикова, О.П. Кузнецова, М.В. Губко. - М.: Эгвес, 2011. - 443 с.
78. СКАЧКО П.Г., ВОЛКОВ Г.Т., КУЛИКОВ В.М. Планирование боевых действий и управление войсками с помощью сетевых графиков. - М.: Воениздат, 1968. - 145 с.
79. Справочник по исследованию операций / Под общ. ред. Ф.А. Матвейчука. - М.: Воениздат, 1979. - 368 с.
80. СУЗДАЛЬ В.Г. Теория игр для флота. - М.: Воениздат, 1976. - 317 с.
81. СУНЬ-ЦЗЫ, У-ЦЗЫ. Трактат о военном искусстве. - М.: АСТ, 2002. - 560 с.
82. ТАРАКАНОВ К.В. Математика и вооруженная борьба. -М.: Воениздат, 1974. - 250 с.
83. ТКАЧЕНКО П.Н. и др. Математические модели боевых действий. - М.: Советское радио, 1969. - 240 с.
84. ФРОНТИН С.Ю. Военные хитрости (Стратегемы). -СПб.: Алетейя, 1996. - 160 с.
85. ХРИПУНОВ С.П. Методы аналитико-эвристического прогнозирования поведения противника в групповом воздушном бою // Информационно-измерительные и управляющие системы. - 2008. - №7. - С. 61-72.
86. Человеческий фактор в управлении / Под ред. Н.А. Абрамовой, Д.А. Новикова. - М.: КомКнига, 2006. - 496 с.
87. ЧУЕВ Ю.В. Исследование операций в военном деле. - М.: Воениздат, 1970. - 256 с.
88. ЧУЕВ Ю.В., МЕЛЬНИКОВ П.М. и др. Основы исследования операций в военной технике. - М.: Советское радио, 1965. - 592 с.
89. ШУМОВ В.В. Введение в общую погранометрику. - М.: Либроком, 2011. - 240 с.
90. ЩЕПКИН А.В. Деловые имитационные игры в организации и управлении. - Воронеж: ВГАСУ, 2001. - 384 с.
91. Algorithmic Game Theory / Eds. Nisan N., Roughgarden T., Tardos E., and Vazirani V. - N.Y.: Cambridge University Press, 2009. - 776 p.
92. BENKOSKI S. et al. A Survey of the Search Theory Literature // Naval Research Logistics. - 1991. - Vol. 38. - P. 469-494.
93. BERKOVITZ D, DRESHER M. RAND Report №P-1592. -Santa Monica: RAND, 1959. - 49 p.
94. BLANK L., ENOMOTO С., GEGAX D., MCGUCKIN T., SIMMONS C. A Dynamic Model of Insurgency: The Case of
the War in Iraq // Peace Economics, Peace Science and Public Policy. - 2008. - Vol. 14, №2. - P. 1-26.
95. BOREL E. La theorie du jeu les equations integrales a noyau symetrique // Comptes Rendus de l’Academie. - 1921. -Vol. 173. - P. 1304-1308.
96. BOREL E., VILLE J. Application de la theorie des probabilities aux jeux de hasard. - Paris: Gauthier-Villars, 1938. -P.105-113.
97. BRACKEN J. Lanchester Models of the Ardennes Campaign // Naval Research Logistics. - 1995. - Vol. 42. - P. 559-577.
98. BRAMS S., KILGOUR D. National Security Games // Syn-these. - 1988. - Vol. 76. - P. 185-200.
99. BUENO DE MESQUITA B. Game Theory, Political Economy and the Evolving Study of War and Peace // American Political Science Review. - 2006. - Vol. 100, №4. - P. 637-642.
100.CAMERER C. Behavioral Game Theory: Experiments in Strategic Interactions. - Princeton: Princeton University Press, 2003.
- 544 p.
101.CHEN X., JIANG N., JING Y., STOJANOVSKI G., DIMIROVSKI G. Differential Game Model and Its Solutions for Force Resource Complementary via Lanchester Square Law Equation // Preprints of the 18th IFAC World Congress, Milano, Italy, 2011. - P. 14229-14233.
102.CHOWDHURY S., KOVENOCK D., SHEREMETA R. An Experimental Investigation of Colonel Blotto Game // CESifo Working Paper Series № 2688, 2009. - 31 p.
103.CLARK G. The Combat Analysis Model: Ph.D. Thesis. - Columbus: Ohio State University, 1969. - 138 p.
104.CORCHON L. The Theory of Contests: a Survey // Review of Economic Design. - 2007. - Vol. 11. - P. 69-100.
105.DAVID I. Lanchester Modeling and the Biblical Account of the Battles of Gibeah // Naval Research Logistics. - 1995. -Vol. 42. - P. 579-584.
106.DAVIS P. Aggregation, Disaggregation and 3:1 Rule in Ground Combat. - RAND Research MR-638-AF/A/OSD, 1995.
- 52 p.
107.DEITCHMAN S. A Lanchester Model of Guerilla Warfare // Operations Research. - 1962. - № 10. - P. 818-827.
108.DUNNIGAN J. The Complete Wargames Handbook. - N.Y.: Quill, 1992. - 333 p.
109.DUPUY T. Understanding War. History and Theory of Combat. 2nd ed. - Nova Publishers, 1998. - 312 p.
110.ENGEL J. A Verification of Lanchester’s Law // Operations Research. - 1954. - Vol. 2. № 2. - P. 163-171.
111.FRICKER R. Attrition Models of the Ardennes Campaign // Naval Research Logistics. - 1998. - Vol. 45. - P. 1-22.
112.FRIEDMAN L. Game-theory Models in the Allocation of Advertising Expenditure // Operations Research. - 1958. - Vol. 6.
- P. 699-709.
113.FU Q., LU J. The Optimal Multi-Stage Contest // MPRA Paper. - 2007 - №946. - 22 p.
114.FUDENBERG D., TIROLE J. Game Theory. - Cambridge: MIT Press, 1995. - 579 p.
115.GAL S. Search Games. - N.Y.: Academic Press, 1980. - 216 p.
116.GARFINKEL M., SKAPERDAS S. Economics of Conflict: An Overview // Handbook of Defense Economics. Chapter 3 / Eds. T. Sandler, K. Hartley. - Santa Monica, 2006. - 65 p.
117.GROSS O.,WAGNER R. A Continuous Colonel Blotto Game. -RAND Corporation RM-408, 1950. - 13 p.
118.JACKSON M., MORELLI M. The Reasons for Wars // Handbook on the Political Economy of War / Eds. C. Coyne, R. Mathers. - Northampton: Elgar Publishing, 2011. - 704 p.
119.JACKSON M. O. Social and Economic Networks. - Princeton: Princeton University Press, 2008. - 648 p.
120.HAMILTON T., MESIC R. A Simple Game-Theoretic Approach to Suppression of Enemy Defenses and Other Time Critical Target Analyses // RAND Report DB-385-AF. - Santa Monica: RAND, 2004. - 65 p.
121.HART S. Discrete Colonel Blotto and General Lotto Games // International Journal of Game Theory. - 2008. - Vol. 36. -P. 441-460.
122.HARTLEY D., HELMBOLD R. Validating Lanchester’s Square Law and Other Attrition Models // Naval Research Logistics. - 1995. - Vol. 42. - P. 609-633.
123.HAYWOOD O. Military Decision and Game theory // Journal of the Operations Research Society of America. - 1954. - Vol. 2. №3. - P. 365-385.
124.HAYWOOD O. Military Doctrine of Decision and the von Neumann Theory of Games // RAND Report ATI 210383. -Santa Monica: RAND, 1950. - 107 p.
125.HILLESTAD R, OWEN J. Experiments in Variable-Resolution Combat Modeling. RAND Note № 3631-DARPA. - Santa Monica: RAND, 1993. - 46 p.
126.HILLIER F., LIEBERMAN G. Introduction to Operations Research. - 8th ed. - Boston. McGraw-Hill, 2005. - 1061 p.
127. HORTALA-VALLVE R., LLORENTE-SAGUER A. Pure Strategy Nash Equilibria in Non-zero Sum Colonel Blotto Games // International Journal of Game Theory. - 2011 (forthcoming).
128.HOWARD N. Theory of Meta-Games // General systems. -1966. - №11. - P. 187-200.
129.HUGHES W. A Salvo Model of Warships in Missile Combat Used to Evaluate Their Staying Power // Naval Research Logistics. - 1995. - Vol. 42, №2. - P. 267-289.
130.KVASOV D. Contests with Limited Resources // Journal of Economic Theory. - 2007. - Vol. 136. - P. 738-748.
131.LANCHESTER F. Aircraft in Warfare: the Dawn of the Fourth Arm. - London: Constable and Co, 1916. - 243 p.
132.LASLIER J., PICARD N. Distributive Politics and Electoral Competition // Journal of Economic Theory. - 2002. - Vol. 103.
- P. 106-130.
133.MANSOUR Y. Computational Game Theory. - Tel Aviv: Tel Aviv University, 2003. - 150 p.
134.MODZELEWSKI K, STEIN J., YU J. An Experimental Study of Classic Colonel Blotto Games // MITReport №6.207/14.15, 2009. - 19 p.
135.MOULIN H. Game Theory for Social Sciences. - NY: New York University Press, 1986. - 356 p.
136.MYERSON R.B. Game Theory: Analysis of Conflict. - London: Harvard University Press, 1991. - 568 p.
137.O’NEILL B. A Survey of Game Theory Models on Peace and War. -Toronto: York University, Centre for International and Strategic Studies, 1990. - 57 p.
138.PERRY N. Fractal Effects in Lanchester Models of Combat // Australian Joint Operations Division Defense Science and Technology Organization Report DSTO-TR-2331, 2008. - 23 p.
139.REN W., BEARD R. Distributed Consensus in Multi-vehicle Cooperative Control. - London: Springer, 2008. - 319 p.
140.REN W., YONGCAN C. Distributed Coordination of Multiagent Networks. - London: Springer, 2011. - 307 p.
141.RICHARDSON L. Arms and Insecurity: A Mathematical Study of Causes and Origins of Wars. - Pittsburgh: Boxwood Press, 1960. - 307 p.
142.ROBERSON B. The Colonel Blotto Game // Economic Theory.
- 2006. - Vol. 29. - P. 1-24.
143.ROBSON R.W. Multi-Item Contest // Australian National University. Working Paper. - 2005 - №446. - 27 p.
144.ROUGHGARDEN T. Selfish Routing and the Price of Anarchy. - MIT Press, 2005. - 196 p.
145.SCHAFFER M. Lanchester Models of Guerrilla Engagements -RAND Memorandum RM-5053-ARPA. - Santa Monica: RAND, 1967. - 56 p.
146.SCHEEBA P., GHOSE D. Optimal Resource Partitioning in Conflicts based on Lanchester Attrition Model // Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control, and the European Control Conference. - Seville, 2005. - P. 5859-5864.
147.SCHELLING T. The Strategy of Conflict. - Oxford: Oxford University Press, 1963. - 309 p.
148.SELA A., EREZ E. Dynamic Contests with Resource Constraints // Proc. of International Conference “Tournaments, Contests and Relative Performance Evaluation” - North Carolina State University, 2011. - 19 p.
149.SHOHAM Y., LEYTON-BROWN K. Multiagent Systems: Algorithmic, Game-Theoretic, and Logical Foundations. -N.Y.: Cambridge University Press, 2008. - 513 p.
150.SNYDER J. Election Goals and the Allocation of Campaign Resources // Econometrica. - 1989. - Vol. 57, №3. - P. 637660.
151.STONE L.D. Theory of Optimal Search. - N.Y.: Academic Press, 1998. - 279 p.
152.TAHA H. Operations Research: An Introduction. - 9th ed. -NY: Prentice Hall, 2011. - 813 p.
153.TAYLOR J., BROWN G. Canonical Methods in the Solution of Variable-Coefficient Lanchester-Type Equations of Modern Warfare // Operations research. - 1976. - Vol. 24. - P. 44-69.
154.TAYLOR J. Lanchester Models of Warfare. - Arlington: Operations Research Society of America, 1983. Vol. 1. - 570 p; Vol 2. - 815 p.
155.TAYLOR J., YILDIRIM U., MURPHY W. Hierarchy-of-Models Approach for Aggregated-Force Attrition // Proceedings of the 2000 Winter Simulation Conference. - Orlando, 2000. -P. 925-932.
156.TULLOCK G. Efficient rent seeking / Toward a theory of rent-seeking society. - College Station: Texas A&M University Press, 1980. - P. 97-112.
157. Wargame Bibliography. - URL: http://australie.uco.fr/
~cbourles/ GERSAFE/Wargames/Wgbibl.pdf. Дата доступа 31.05.2012.
158.WASHBURN A., KRESS M. Combat Modeling. - London: Springer, 2009. - 281 p.
159.WEISS G. Multiagent Systems: a Modern Approach to Distributed Artificial Intelligence. - Massachusetts: MIT Press, 1999. -619 с.
160.WOOLDRIDGE M. An Introduction to Multi-Agent Systems. -NY: John Wiley and Sons, 2002. - 376 p.
161.YARED P. A Dynamic Theory of War and Peace // Journal of Economic Theory. - 2009. - Vol. 145. - P. 1921-1950.
HIERARCHICAL MODELS OF COMBAT
Dmitry Novikov, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Dr of Sc., Deputy Director ([email protected]).
Abstract: Modern trends in the design of complex hierarchical models of combat are discussed. First the brief navigator of the mathematical models of combat (including descriptive, simulation, optimization and game-theoretical models) is given. Two canonical models and their extensions are considered in more detail, being the typical examples -Lanchester’s equations and colonel Blotto games. Finally, the hierarchical approach to combat modeling is described and analyzed.
Keywords: combat modeling, colonel Blotto game, Lanchester’s equations, multi-agent system, hierarchy of models.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В. Н. Бурковым
