CC BY
11УДК: 519.83 MSC2010: 91A65
DOI: https://doi.org/10.37279/1729-3901-2020-19-4-18-29
ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
© А. Е. Бардин, Ю. Н. Житенева
Государственный гуманитарно-технологический университет факультет математики, Физики и экономики ул. Зеленая, 22, г. Орехово-Зуево, Московская обл., 142611, Российская Федерация e-mail: bardin.ae@yandex.ru, ulya_ zhiteneva@mail.ru
Hierarchical model of competition under uncertainty.
Bardin A. E., Zhiteneva J. N.
Abstract.
Oligopoly is a basic concept in the theory of competition. This structure is the central object of research in the economics of markets. There are many mathematical models of the market that are formalized in the form of an oligopoly in economic theory.
The Cournot oligopoly is an elementary mathematical model of competition. The principle of equilibrium formalizes the non-cooperative nature of the conflict. Each player chooses the equilibrium strategy of behavior that provides the greatest profit, provided that the other competitors adhere to their equilibrium strategies.
The Stackelberg model describes a two-level hierarchical model of firm competition. The toplevel player (center, leader) chooses his strategy, assuming reasonable (optimal) decision-making by the lower-level players. Lower-level players (agents, followers) recognize the leadership of the center. They consider the center's strategies known. These players choose their strategies, wanting to maximize their payoff functions. This hierarchical structure is from a game point of view a case of a hierarchical game Г1.
The indefinite uncontrolled factors (uncertainties) are the values for which only the range of possible values is known in this paper. Recently, studies of game models under uncertainty have been actively conducted. In particular, non-coalitional games under uncertainty are investigated.
The concepts of risk and regret are formalized in various ways in the theory of problems with uncertainty. At the same time, the decision-maker takes into account both the expected losses and the possibility of favorable actions of factors beyond his control. This article examines the two-level hierarchical structure of decision-making in the problem of firm competition. A linear-quadratic model with two levels of hierarchy is considered. This model uses the concepts of Cournot and Stackelberg under uncertainty. Uncontrolled factors (uncertainties) are identified with the actions of the importing company.
The Wald and Savage principles are used to formalize the solution. According to Wald's maximin criterion, game with nature is seen as a conflict with a player who wants to harm the decision-maker as much as possible.
Savage's minimax regret criterion, when choosing the optimal strategy, focuses not on winning, but on regret. As an optimal strategy, the strategy is chosen in which the amount of regret in the worst conditions is minimal.
A new approach to decision-making in the game with nature is formalized. It allows you to combine the positive features of both principles and weaken their negative properties. The concept of U-optimal solution of the problem in terms of risks and regrets is considered. The problems of formalization of some types of optimal solutions for a specific linear-quadratic problem with two levels of hierarchy are solved.
Keywords: two-level hierarchical structure, Cournot oligopoly, the Stackelberg model, problem with uncertainty, the optimality principle
Введение
Олигополия является распространенной рыночной структурой. В экономике отраслевых рынков данная структура выступает центральным объектом анализа.
Основными чертами олигополистического рынка являются: немногочисленность фирм, а также взаимозависимость. Олигополии возникают в отраслях, производящих как стандартизированные однородные (например, нефть), так и дифференцированные (автомобили) продукты.
Существуют различные модели, предложенные экономистами при анализе рынка, относящегося к олигополистическому типу рыночной структуры. Можно выделить модели Курно, Бертрана, Штакельберга и др.
Олигополия Курно — простейшая математическая модель конкуренции. Основные предположения:
- фирмы производят одну и ту же продукцию;
- каждая фирма предполагает выпуск продукции конкурента постоянным;
- все фирмы знают, что цена на продукцию зависит от общего производства и знают функцию рыночной цены;
- фирмы принимают решения одновременно, независимо друг от друга;
- основным принципом оптимальности является равновесие (по Курно-Нэшу).
Принцип равновесия формализует некооперативное (бескоалиционное) поведение участников конфликта: каждая фирма принимает решения, которые дают наибольшие возможные прибыли при данных действиях своих конкурентов. Это означает,
что ни одной из фирм невыгодно изменять равновесную стратегию (объем выпуска) при условии, что остальные фирмы не меняют своих равновесных стратегий.
Модель Штакельберга формализует иерархическую модель конкуренции фирм по принципу «лидер-последователь». Последователь, зная лидерство конкурента, рассматривая объем выпуска лидера как заданный, следовательно, принимает решение об оптимальном объеме своего выпуска, желая максимизировать свою прибыль.
Лидер (игрок верхнего уровня), в свою очередь, понимает, что оказывает влияние на принятие решений конкурента (игрока нижнего уровня), и поэтому учитывает стратегию последователя при решении задачи на максимум своей функции прибыли.
Модель Штакельберга с игровой точки зрения является случаем иерархической игры Г1. Игрок верхнего уровня (центр), выбирая свою стратегию, предполагает рациональное поведение игрока нижнего уровня. Именно, нижний уровень, зная стратегию центра, выбирает свою стратегию, для которой достигается наибольшее значение его функции выигрыша. При этом центр предполагает благожелательное отношение к нему игрока нижнего уровня.
В работе формализуется игровая модель конкуренции фирм, которая использует идеи Курно и Штакельберга в условиях действия неконтролируемых (неопределенных) факторов.
Неконтролируемые факторы (неопределенности) отождествляются с действиями компании-импортера. При этом предполагается выполнение следующих условий:
1. фирмы производят однородный товар;
2. известна зависимость цены на товар от количества поставляемой на рынок продукции;
3. о действиях компании импортера имеется неполная информация;
4. решения о поставляемой продукции принимается участниками игры независимо друг от друга.
В работах [1]—[4] формализованы различные виды моделей в условиях неопределенности. Для принятия решения в условиях неопределенности используется ряд критериев. Согласно максиминному критерию Вальда игра с природой рассматривается как конфликт с разумным и агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать лицу, принимающему решение, достигнуть успеха. Таким образом, осторожная (максиминная) стратегия лица, принимающего решение (ЛПР) является оптимальной согласно этому критерию. Этот критерий олицетворяет «позицию пессимизма». Он ориентируется на самую неблагоприятную для ЛПР реализацию неопределенности. Такой подход естественен для того, кто боится проиграть.
Критерий минимаксного сожаления Сэвиджа [5] при выборе оптимальной стратегии ориентируется не на выигрыш, а на сожаления. В качестве оптимальной стратегии выбирается та стратегия, при которой величина сожаления в наихудших условиях минимальна. Такая стратегия поведения часто соответствует принципам азартного игрока.
Очевидно, разумный игрок должен учитывать как возникающие риски при принятии решения, так и возможность получения большего выигрыша. Возникает идея формализации нового подхода к принятию решений в игре с природой, который мог бы соединить позитивные особенности обоих принципов и ослабить их негативные свойства. В данной работе формализуется понятие и-оптимального по рискам и сожалениям решения задачи и указан алгоритм построения оптимального решения.
1. Постановка задачи
Пусть имеются несколько предприятий (фирм), производящих и реализующих на одном рынке однородную бесконечно делимую продукцию. Предполагаем, что предприятия обладают разными производственными возможностями и оказывают неодинаковое влияние на рассматриваемый рынок. Именно, одна фирма является ведущим производителем указанной продукции. Будем называть её фирмой-лидером. Оставшиеся п фирм, принимая решение об объеме производства, учитывают количество продукции, поставляемое фирмой-лидером. Помимо рассматриваемых фирм на рынок поставляет аналогичную продукцию фирма-импортер. Объем импортной продукции заранее не известен, имеется информация только о его максимальной возможной величине ¿, 6 > 0.
Обозначим х0 - объем продукции, произведенный фирмой-лидером, х{ -- количество продукции, произведенной ¿-ой фирмой (г € {1, 2,..., п}), у - объем импорта.
Предположим,что фирмы поставляют на рынок всю произведенную продукцию. При этом производственные мощности предприятий ограничены. Именно, фирма-лидер может произвести продукцию в объеме не более чем с0, каждая г- фирма — в объёме не более с{. Постоянные величины с > 0 (г € {0,1, 2,..., п}).
Цена единицы продукции линейно зависит от суммарного объема продукции на рынке
п
р(хо, XI,..., Хп, у) = а - Ь^ ^ Х{ + у), (1)
{=0
где положительная величина а - цена товара при нулевом предложении, Ь - показатель падения цены при увеличении предложения, Ь > 0.
Рассмотрим случай, когда цена является положительной величиной, т. е. считаем выполненным неравенство
п
а - + ^ > 0.
*=0
Принятие решения об объеме поставляемой продукции осуществляется участниками игры не одновременно. Рассмотрим случай, когда первыми принимают решение фирма-лидер и импортер. При этом они действуют одновременно и независимо друг от друга. Оставшиеся фирмы получают информацию о количестве продукции, поставляемой фирмой-лидером, и объеме импортной продукции, и с учетом этих сведений осуществляют выбор своих стратегий.
Прибыль ¿-ой фирмы (г € {0,1,..., п}) задана равенством
/¿(Ж0,Ж1, . . . ,Хп,у) = Р(Ж0,Ж1, . . . ,Жп,У)Х - кх*,
или, с учетом (1),
/¿(ж0,жь...,жп,у) = (а -+ у) - кх*. (2)
В (2) положительная постоянная величина к определяет издержки на выпуск единицы продукции фирмы. Предполагаем, что величина к одинакова для всех фирм.
Каждая фирма стремится получить наибольшую возможную прибыль, при этом кооперация фирм невозможна.
Формализуем математическую модель задачи оптимизации производства в условиях действия неконтролируемых факторов в виде двухуровневой иерархической игры лиц при неопределенности
Г = {{Хг}г=0,1,..,п,У, {/* (Х0,Х1, . . . , Хп, у) }г=0,1,...,п).
В игре Г игроки отождествляются с соответствующими фирмами, причем фирма-лидер является нулевым игроком - игроком верхнего уровня. Игроков с порядковыми номерами 1, 2, ...,п будем считать игроками нижнего уровня. Множества стратегий игроков X* = [0,с] (г € {0,1, 2,..., п}). Действия неопределенности отождествляются с поставками фирмы-импортера. Совокупность значений неопределенности У = [0, Функция выигрыша ¿-го игрока (г € {0,1,..., п}) определена в (2).
Игра происходит следующим образом (рис. 1). Первый ход совершает игрок с номером 0. Он выбирает стратегию х0 € Х0. Одновременно и независимо от действий игрока верхнего уровня реализуется неопределенность у € У. Второй ход делают игроки нижнего уровня. Зная х0 и у, эти игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают свои стратегии х1(х0, у), х2(х0, у),..., хп(х0, у). В результате
складывается ситуация игры (х, у) = (х0, хх(х0, у),..., хп(х0, у), у). Игроки получают выигрыши - значения своих функций выигрыша в сложившейся ситуации.
Рис. 1. Схема принятия решений в игре Г
В игре Г каждый ¿-игрок выбором своей стратегии х{ € X стремится добиться наибольшего возможного значения своей функции выигрыша /¿(х0,хх,... ,хп,у) (г € {0,1, 2,..., п}). Игроки действуют независимо друг от друга. При этом игрок верхнего уровня должен учитывать возможность реализации любой неопределенности у, о которой заранее известно только множество возможных значений У, а реализоваться может любое значение этого множества.
2. Формализация решения
Реализуем один из возможных подходов к формализации оптимального решения в игре Г. Именно пусть игроки второго уровня выбирают равновесные по Нэшу стратегии х|, т. е. при любых значениях х0 € Х0 и у € У выполнена система неравенств
/¿(х0,хе||х{,у) < /{(х0,хе,у), г € {1, 2,... ,п},
где набор
х11хг = уХ ..., х'-!^ уХ хе(х0, уХ ^х^ уХ ..., xn(xо, у)).
Рассмотрим случай, когда множества стратегий игроков нижнего уровня совпадают (производственные мощности всех фирм, кроме фирмы-лидера, одинаковы),
т. е. справедливы равенства
с1 = с2 = ... = сп = с.
Используя достаточные условия существования равновесной по Нэшу ситуации, получим для любых значений г € {1, 2,..., п}
= , (3)
п +1
где постоянная величина
Н = -. (4)
2Ь 1 ;
Заметим, что при любых значениях стратегии игрока верхнего уровня х0 € Х0 и неопределенности у € У должны быть выполнены неравенства
2Н - х0 - у
0 < - < с. (5)
п + 1 1 ;
С учетом множеств возможных значений стратегии игрока верхнего уровня Х0 и неопределенности У ограничения (5) примут вид
^ <Н<с(п +1). (6)
22
Учитывая (3), запишем функцию выигрыша игрока верхнего уровня следующим образом
Ь
/э(х0,хе(х0,у),у) =--— х2 + (у - 2Н)х0 . (7)
п +11. 1
Примем предположение о том, что для любого значения неопределенности у € У выполнены неравенства
у
0 < Н - 2 < С0,
т. е. имеют место ограничения
2 < Н < С0. (8)
Из (6) и (8) следует
со + d . fc(n + 1)
< h < min
2
Лемма 1. Пусть в игре Г выполнены условия
а > 0, Ь > 0, - > 0, с0 > 0, с = с > 0 (г € {1, 2,..., п}), 6 > 0,
а — Ь(с0 + пс + 6) > 0, (9)
< h < min < ^^
2
L,C>},
где величина Н определена в (4).
Тогда для любых значений пар (x0,y) £ X0 х Y существует и единственно равновесие по Нэшу xe (x0, y) = (x1 (x0, y),..., Xn (x0, y)), где
e / 2h — x0 — y
xe(xo,y) = 2__°_y, i £ {1, 2,..., n}.
Замечание 1. Система ограничений (9) непротиворечива. Она выполняется, например, при следующих значениях параметров игры Г:
а =10, b = 0,4, c0 = 8, c = 2, n = 7, d =1, k = 4.
Перейдем к построению оптимального решения для игрока верхнего уровня в игре Г. Данный игрок предполагает, что игроки нижнего уровня используют принцип равновесия по Нэшу. Согласно Лемме 1 при выполнении в игре Г условий (9) равновесие по Нэшу xe(x0, y) для игроков нижнего уровня существует и единственно.
В исследуемой модели игрок верхнего уровня заранее не имеет информации о величине неопределенности. Поэтому при выборе своей стратегии x0 £ X0 он должен учитывать возможность реализации любого значения y £ Y. Рассмотрим возможные подходы к формализации решения игрока верхнего уровня в зависимости от его склонности к риску.
Случай 1. Игрок верхнего уровня использует принцип Вальда
Принцип Вальда предполагает ориентацию игрока на возможность реализации самой плохой для него неопределенности. Следуя этому принципу, игрок в качестве решения выбирает стратегию x^ £ X, обеспечивающую наибольшее значение его функции выигрыша при наихудшем значении неопределенности y £ Y.
Определение 1. Стратегию x^ £ X назовём оптимальным по Вальду решением игрока верхнего уровня игры Г, если выполнено равенство
minfo(xV,xe(xV,y),y) = max minfo(xo,xe(xo,y),y).
yeY жпеХп ygY
Поскольку в игре Г
min /с(жо,же(жо ,y),y) = /о(жо,же(жо ,d),d),
yeY
то
гУ me I „У
/o(xq , d),d) = max /0(x0, xe(x0, d), d).
xneXn
Нетрудно показать, что при выполнении условий (9)
d
= h —
где величина h определена в (4).
ху = h—2, (10)
Таким образом, справедливо утверждение
Теорема 1. Пусть в игре Г выполнены условия (9) и игроки нижнего уровня при любых значениях пары (х0,у) € Х0 х У выбирают равновесное по Нэшу решение хе (х0 , у). Тогда в этой игре оптимальное по Вальду решение игрока верхнего уровня определяется равенством (10).
Пусть игрок верхнего уровня в игре Г использует оптимальное по Вальду решение (10). Тогда оптимальные стратегии игроков нижнего уровня (3) имеют вид
1 /, d
Xе =
(h + d -y), i e {1,2,...,n}.
n + 1 V 2
Случай 2. Игрок верхнего уровня использует принцип Сэвиджа Согласно принципу Сэвиджа, игрок при выборе своей стратегии должен ориентироваться на значение функции сожаления по Сэвиджу
Ф(жо,же(жо,у),у) = max /q(xo, xe(xo, y), y) - /o(xo,xe(xo,y),y).
Оптимальная по Сэвиджу стратегия игрока xS минимизирует функцию сожаления Ф(х0, xe(x0, y), y) при неблагоприятных для него значениях неопределенности.
Определение 2. Стратегию x^ e X назовём оптимальным по Сэвиджу решением игрока верхнего уровня игры Г, если выполнено равенство
maxФ(х^,хе(х^,y),y) = min maxФ(х0,xe(x0,y),y). yeY zoeXo yeY
В игре Г функция сожаления по Сэвиджу для игрока верхнего уровня имеет вид
Ф^оХ^о,y),y) = —^(xq - h + 2. (11)
n +1V 2/
Нетрудно показать, что при выполнении условий (10)
г+г(Xq - h)2, 0 < Xq < h - d,
max ^xro^O^y^ = \ ( ч 2 (12)
I nrr Xq - h + d , h - d < Xq < Cq.
п+1\ -0 •") > " — -0 — 4
п+1 (хо - Л +^ Л - 4
и оптимальная по Сэвиджу стратегия игрока верхнего уровня
х0 = Н - d, (13)
где величина Н определена в (4).
Следовательно, справедливо утверждение
Теорема 2. Пусть в игре Г выполнены условия (9) и игроки нижнего уровня при любых значениях пары (х0,у) € Х0 х У выбирают равновесное по Нэшу решение
же(ж0, у). Тогда в этой игре оптимальное по Сэвиджу решение игрока верхнего уровня определяется равенством (13).
Пусть игрок верхнего уровня в игре Г использует оптимальное по Сэвиджу решение (13). Тогда оптимальные стратегии игроков нижнего уровня (3) имеют вид
1 /, d
X =
(h + d — y), i e {1,2,...,n}.
n + 1 V 4
Случай 3. Игрок верхнего уровня использует смешанный подход Каждую стратегию x0 e X0 игрок верхнего уровня оценивает, используя два критерия:
- риск по Вальду
Rv (хо) = max min /о(хо, хе(хо, y), y) — min /о(хо, хе(хо, y), y),
xneXn ygY ygY
- сожаление по Сэвиджу
RS(хо) = maxФ(хо,хе(хо,y),y) — min maxФ(хо,хе(хо,y),y),
yeY жпеХп ygY
где функции /о(хо,хе(хо,y),y) и Ф(хо,хе(хо,y),y) определены в (7) и (11), соответственно.
С учетом (7) риск по Вальду для игрока верхнего уровня примет вид
b
d
Я (хо) = ^— Х0 - Н +- . (14)
п + 1 Ь 2J
Используя (11) и (12), сожаление по Сэвиджу для игрока верхнего уровня преобразуем к виду
b
RS(хо) = ; n+1
b
n+1
( хо — h)2 — §
(жо — h + d)
0 < жо < h — 4
2'
2 / 16
4'
d
h — 4 < хо < Со.
(15)
Следует отметить, что имеют место равенства
Rv(хУ) = 0, RS (4) = 0.
оо
„V тт
Здесь стратегии и определены в (10) и (13) соответственно.
Оптимальной стратегией X для игрока верхнего уровня будет решение двухкри-териальной задачи
(Хо, (ЯУЫ,Я5(хо)}), (16)
где множество Х0 = [0,с0], критерии определены в (14) и (15).
2
Используя метод «идеальной точки», получаем единственное минимальное по Парето решение задачи (16), которое является решением оптимальной задачи
Определение 3. Стратегию хи € Х0 назовём и-оптимальным решением игрока верхнего уровня игры Г, если она является решение задачи (17).
Справедливость следующего утверждения следует из непрерывности функций ВУ(х0) и ВУ(х0) на отрезке [0,с0].
Теорема 3. Пусть в игре Г выполнены условия (9) игроки нижнего уровня при любых значениях пары (х0,у) € Х0 х У выбирают равновесное по Нэшу решение хе(х0,у). Тогда в игре Г существует и-оптимальное решение игрока верхнего уров-нл.
В данной статье исследована иерархическая структура принятия решений в задаче конкуренции фирм. Рассмотрена линейно-квадратичная модель с двумя уровнями иерархии, в которой используются концепции Курно и Штакельберга в условиях неопределенности. Неконтролируемые факторы (неопределенности) отождествляются с действиями компании-импортера.
В рассматриваемой математической модели учитываются как ожидаемые потери при принятии рискованных решений, так и возможность благоприятных для лиц, принимающих решения (игроков) действий внешних факторов. Именно, наличие риска в процессе принятия решений не всегда является негативной особенностью реальной проблемы. Конкретные задачи, связанные с экономическими, социальными, политическими и военными конфликтами, свидетельствуют о возникающей часто необходимости принятия рискованного выбора.
Для конкретной линейно-квадратичной задачи с двумя уровнями иерархии решены проблемы формализации некоторых видов оптимальных решений. Рассмотренная модель допускает различные обобщения, например, усложнение иерархической структуры.
(17)
Заключение
список литературы
1. Бардин, А. Е., Житенева, Ю. Н., Макаркина, Т. В. U-оптимальное по рискам и сожалениям решение игры с природой // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем: сборник научных трудов X Международной школы-симпозиума АМУР-2016. - Симферополь: ТНУ, 2016. - C. 29-35.
BARDIN, A. & ZHITENEVA, J. & MAKARKINA, T. (2016) The U-optimal on risks and regrets solution game with nature. Analysis, Modeling, Management, Development of Economic Systems: Proceedings of the Eighth International School-Symposium AMUR-2016. p. 29-35.
2. Бардин, А. Е., Солдатова, Н. Г. Сильно гарантированное равновесие в одной иерархической двухуровневой игре при неопределенности // Вестник ЮжноУральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2014. — Т. 1. - C. 17-23.
BARDIN, A. & SOLDATOVA, N. (2014) The strongly guaranteed equilibrium in one hierarchical two-level game under uncertainty. Bulletin of the South Ural state University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics. 1. p. 17-23.
3. Жуковский, В. И., Кудрявцев, К. Н., Смирнова, Л. В. Гарантированные решения конфликтов и их приложения. — M.: КРАСАНД, 2013. — 324 с. ZHUKOVSKIY, V. & CUDRYAVCEV, K. & SMIRNOVA, L. (2013) Guaranteed conflict solutions and their applications. Moscow: KRASAND.
4. Жуковский, В. И., Салуквадзе, М. Е. Математические основы золотого правила. — Москва - Тбилиси: Национальная Академия Наук Грузии, 2016. — 263 c.
ZHUKOVSKIY, V. & SALUKVADZE, M. (2016) The mathematical foundations of the Golden rule. Moscow-Tbilisi: The National Academy Of Sciences Of Georgia.
5. SAVAGE, L. Y. (1951) The theory of statistical decision. J. American Statistic Association. 46. p. 55-67.
