CC BY
9УДК: 519.83 MSC2010: 91A65
ДВУХУРОВНЕВАЯ ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОНКУРЕНЦИИ ТРЁХ ФИРМ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
© Ю. Н. Житенева, Л. В. Смирнова, Ю. А. Бельских
Государственный гуманитарно-технологический университет факультет математики, Физики и экономики ул. Зеленая, 22, г. Орехово-Зуево, Московская обл., 142611, Российская Федерация e-mail: ulya_ zhiteneva@mail.ru, smirnovalidiya@rambler.ru, belskihja@gmail. com
Two-level hierarchical model of competition between three firms under uncertainty.
Zhiteneva J. N., Smirnova L. V., Belskih J. A.
Abstract.
The paper considers a problem of competition between three manufacturing firms in the market of homogeneous infinitely divisible products. It is assumed that the nature of the interaction of manufacturing firms in the market has a hierarchical structure. Namely, one of the companies, the leader company, is the leading manufacturer and is the first to decide on the volume of product deliveries to the market. While the other two firms decide on the number of products delivered after the leading firm and must take into account the volume of its deliveries. Taking into account such a hierarchy in the interaction of firms leads to the need to formalize the problem in the form of a two-level hierarchical game. In this case, the leader firm is identified with the top-level player, and the other two firms are identified with the lower-level players. In addition, it is assumed that the cooperation of lower-level players is impossible. As a result, when formalizing the optimal solution for lower-level players, the concept of Nash equilibrium from the game theory is used.
In addition to the above, the problem under consideration assumes the presence of uncontrolled uncertain factors, about which only a set of possible values is known, and there are no probabilistic characteristics. The presence of uncertainty in the framework of this problem is interpreted as the presence of an importing company on the market, the volume of products supplied by which is not known in advance by any of the manufacturing companies. However, it is possible for them to estimate the limits of the estimated volume of imports. The presence of uncertainty obliges all manufacturing firms to take this fact into account and, as a result, in their choice of the optimal solution, use one of the principles of the theory of decision-making under uncertainty. The paper considers the case when one of the lower-level players uses the Wald principle (maximin principle, the principle of guaranteed results), and the second one is guided by the Savage principle (the principle of minimax regret) when choosing his decision. For
a top-level player a leading firm two cases are considered in this paper. The first is when the player uses the Wald principle, and the second is the Savage principle.
Thus, the problem described in this paper is formalized as a two-level hierarchical game with uncertainty. For the game in this setting, the algorithm for constructing the proposed optimal solution is described and its explicit form is found for a specific type of payoff functions of all participants in the game. In addition, coefficient criteria for the existence of an optimal solution are obtained.
Keywords : hierarchical game, uncertainty, Nash equilibrium, Wald's principle, Savage's principle.
В работах [1]—[3] формализованы различные виды иерархических моделей конкуренции фирм-производителей в условиях действия неконтролируемых неопределенных факторов. Отличительной особенностью рассматриваемых моделей является наличие как одного игрока верхнего уровня (центра, лидера), так и одного игрока второго уровня (агента). Вместе с тем, при моделировании практических задач вполне реальным является наличие на каждом уровне иерархии не одного, а нескольких участников. В предлагаемой работе рассматривается иерархическая модель конкуренции трех фирм, одна из которых является игроком верхнего уровня, а две других - игроками нижнего уровня.
Рассматривается модель конкуренции трех предприятий (фирм), производящих и реализующих на одном рынке однородную бесконечно делимую продукцию. Помимо указанных фирм на рынок поставляет аналогичную продукцию фирма-импортер. Объем импортной продукции заранее не известен, имеется информация только о его максимально возможной величине 1, 1 > 0.
Обозначим xi - объем продукции, произведенный ¿-ой фирмой (г € {1, 2, 3}), у -объем импорта.
Рассмотрим случай, когда фирмы поставляют на рынок всю произведенную продукцию. При этом производственные мощности предприятий ограничены. Именно, каждая г-ая фирма может произвести продукцию в объёме не более Постоянные величины с > 0 (г € {1, 2, 3}).
Предположим, что цена единицы продукции линейно зависит от суммарного объема продукции на рынке, т. е.
ВВЕДЕНИЕ
(1)
где положительная величина а - цена товара при нулевом предложении, Ь - показатель падения цены при увеличении предложения, Ь > 0.
Далее считаем, что цена является положительной величиной, т.е. выполнено неравенство
Предполагаем, что предприятия обладают разными производственными возможностями и оказывают неодинаковое влияние на рассматриваемый рынок. Именно, одна из фирм является ведущим производителем указанной продукции. Будем называть её фирмой-лидером. Эта фирма первой принимает решение об объеме поставок продукции на рынок. Оставшиеся две фирмы, принимая решение об объеме производства, учитывают количество продукции, поставляемое фирмой-лидером. При этом они действуют одновременно и независимо друг от друга. Кроме того, все фирмы должны учитывать возможный объем поставок аналогичной импортной продукции. Рассмотрим случай, когда импортер принимает решение о поставке продукции одновременно с фирмами, не являющимися лидерами. Будем считать, что импортеру выбор фирмы-лидера может быть известен, а информацией о действиях оставшихся двух фирм он не обладает.
Пусть прибыль ¿-ой фирмы (г € {1, 2, 3}) задана равенством
В (2) положительная постоянная величина к* определяет издержки на выпуск единицы продукции г-ой фирмы (г € {1, 2, 3}).
Каждая фирма стремится получить наибольшую возможную прибыль, при этом кооперация фирм невозможна. О намерениях фирмы-импортера какая-либо информация отсутствует.
Формализуем рассматриваемую математическую модель задачи оптимизации производства в виде двухуровневой иерархической игры трех лиц при неопределенности
В игре Г игроки отождествляются с соответствующими фирмами, причем фирма-лидер является первым игроком - игроком верхнего уровня. Игроков с порядковыми номерами 2 и 3 будем считать игроками нижнего уровня. Множества стратегий игроков X* = [0, с*] (г € {1,2,3}). Действия неопределенности отождествляются с
fi(x 1,Х2, X3, y) = p(x 1,X2, X3, y)Xi - fcjXj,
или, с учетом (1),
Г = ({Xi}i=i,2,3 ,Y, (fi(Xi,X2,X3,y)}i=ii2,3).
поставками фирмы-импортера. Совокупность значений неопределенности У = [0,1]. Функция выигрыша г-го игрока (г € {1,2, 3}) определена в (2).
Игра происходит следующим образом (рис. 1). Первый ход совершает игрок с номером 1. Он выбирает стратегию х\ € Второй ход делают игроки нижнего уровня. Имея информацию о выборе игрока верхнего уровня, второй и третий игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают стратегии х2(хх) € Х2 и хз(хх) € Х3, соответственно. Одновременно и независимо от действий игроков нижнего уровня реализуется неопределенность у € У. В результате складывается ситуация игры (х, у) = (хь х2(хх), х3(хх), у). Игроки получают выигрыши - значения своих функций выигрыша в сложившейся ситуации.
Рис. 1. Схема принятия решений в игре Г
Цель каждого г-игрока в игре Г - выбором своей стратегии xi € добиться наибольшего возможного значения своей функции выигрыша /¿(хх, х2, х3, у) (г € {1, 2, 3}). При этом игроки действуют независимо друг от друга и каждый из них должен учитывать интересы остальных игроков, а также возможность реализации любой неопределенности у, о которой заранее известно только множество возможных значений У.
Формализация решения
Разобьем процесс построения решения в игре Г на два этапа. I этап. Формализация решения игроков нижнего уровня
Учитывая иерархическую процедуру принятия решений в игре Г, будем считать, что второй и третий игроки имеют информацию о выборе первого игрока, т.е. значение хх € Хх известно. При этом игрокам нижнего уровня не известна реализация неопределенности у € У.
Рассмотрим бескоалиционную игру двух лиц при неопределенности
Гх = ({Х^=2,з,У, ШхЬх2,хз,у)^=2,з).
В этой игре стратегия г-го игрока xi = х.(хх) € X. = [0, с.], с. > 0 (г € {2, 3}). Множество значений неопределенности У = [0,1], 1 > 0. Функция выигрыша г-го игрока (г € {2, 3}) определена в (2).
Решение игры Гх является решением игроков нижнего уровня исходной игры Г.
Предположим, что игроки в игре Гх (т.е. игроки нижнего уровня в игре Г) для учета действий неопределенности используют разные принципы принятия решений в условиях действия неконтролируемых факторов. Именно, пусть второй игрок является рискофобом, т.е. выбирая решение, использует принцип Вальда [4]. Третий игрок при выборе своей стратегии руководствуется принципом Сэвиджа [5].
В соответствии с принципом Вальда второй игрок ориентируется на реализацию самой «плохой» для него неопределенности. Следовательно, для оценки выбора своей стратегии он использует функцию
^2(хх,х2,хз) = /2(хЬх2,хз,у^) = ШШ ^(хх,х2,хз,у).
уеУ
Поскольку уу = 1, получим
^2 (хх,х2,хз ) = /2(хх,х2 ,хз,1),
или, с учетом (2),
1 2
F2(xx, Х2, Хз) = + 2b(h2 - ^(жх + Хз + d)^Х2, (3)
где величина h2 = a^b2.
Руководствуясь принципом Сэвиджа, третий игрок при выборе своей стратегии использует функцию сожаления
Фз(Жх,Ж2,Жз,у) = max /з(Жх, Ж2, Жз, у) - /з(жх, Ж2, жз, у).
жэеАэ
При выполнении ограничений
1
2(сх + С2 + d) < ^ < Сз (4)
функция сожаления третьего игрока, с учетом (2), примет вид
1, Л2
Фз(х1,х2,хз,у) = Ь(жз - Л,з + 1'(ж1 + Х2 + у)) , (5)
где величина Лз = .
Следуя принципу Сэвиджа, третий игрок ориентируется на реализацию неопределенности, максимизирующей его функцию сожаления. Следовательно, принимая решение, он оценивает значения функции
-Рз(жьж2,жз) = - тах Фз(жь Х2, х, у).
у&у
Учитывая (5), получим
( -^хз - Лз + 2 (XI + Х2)) 2, 0 < хз < Лз - ^ - |,
*з(*1,Х2,*з)= { ) 2 ; \ 2 2 4 (6)
[ -Ь^з - Лз + 1 (XI + Х2 + , Лз - ^ - 4 < хз < сз.
От игры Г1 перейдем к бескоалиционной игре
Г2 = ({Х*}*=2,з, {^(хЬЖ2,Жз)}*=2,з).
В игре Г2 множество стратегий г-го игрока X* = [0, с*] (г € {2,3}), функции выигрыша второго и третьего игроков определены в (3) и (6) соответственно.
Определение 1. Пару (х2(х1),хз(х1)) € Х2 х Хз назовём УБЫ-решением игры Г1, если для любых значений х1 € Х1 она является равновесной по Нэшу ситуацией в игре Г2, т.е. совместна система неравенств
^2(ж1,ж2(ж1),жз(ж1)) < ^(х ,ж2(ж1),жз(ж1)) € Х2, ^з(ж1,ж2(ж1),жз(ж1)) < *з(ж!,х2(х1),х§(Ж1)) Ужз € Хз.
Пусть для параметров игры Г2 выполнены неравенства
(7)
1С1 < 4 ^2 - 2 Л-з - 2 ^ < С2,
1С1 < |Лз - 1^2 < сз,
где постоянные Л* = (г € {2, 3}). Используя достаточные условия существования ситуации равновесия по Нэшу, получим явный вид У5Ж-решения в игре Г1
х2(х1) = 4Л2 - §Лз - зх1 - 1 (8)
хз(х1) = |Лз - 2Л2 - 1Ж1.
Используя подстановку = a^r (i e {2, 3}), преобразуем (4), (7) и равенства (8). Получим
Ь(сх + c2 + d) < а — кз < 2dc3,
1 Сх < а—2f^ - 2d < С2, (9)
1С ^ а—2кэ+к'2 ^ С
з Сх < —зь— < Сз
и
ж (ж ) = а—2k2+k3 1 ж 1 d
Х2(Хх) = зь зХх 2d, (in)
xe (ж ) = а—2кэ+к2 хж V
Хз(Хх) = зь з Хх.
Таким образом, справедливо следующее утверждение
Лемма 1. Пусть в игре Г
а > 0, b > 0, d > 0, Cj > 0, k > 0 (i e {1, 2, 3}), а - Ь(сх + C2 + Сз + d) > 0
и выполнены условия (9).
Тогда для любых значений хх e Хх в игре Гх существует и единственно VSN-решение (10).
II этап. Формализация решения игрока верхнего уровня
Будем считать, что игрок верхнего уровня знает об отношении к риску игроков нижнего уровня, а так же о том какие принципы эти игроки будут использовать для учета действий неопределенности. Помимо этого первый игрок предполагает, что игроки нижнего уровня при выборе своих оптимальных стратегий руководствуются принципом равновесия по Нэшу. Поэтому при выборе своей стратегии игрок верхнего уровня рассчитывает на то, что игроки нижнего уровня используют стратегии из VSN-решения игры Гх. Согласно Лемме 1 при выполнении в игре Г условий (9) и (11) указанное решение (ж2(жх),жз(жх)) игроков нижнего уровня существует и единственно.
Как и игрокам нижнего уровня, первому игроку заранее не известно значение неопределенности у e Y.
Таким образом, оптимальная стратегия игрока верхнего уровня является решением следующей игры с природой
Гз = (Хх,ад(жх,у)>.
Здесь множество стратегий игрока совпадает с Хх = [0,сх], множество неопределенностей, как и прежде, Y = [0,d]. Функция выигрыша игрока
^х(жх,у) = /х (жх^жх^жз^х^у) "Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics", 2021, 2
или, с учетом (2) и (8),
b /
') =--x2 + 2b I h - ,„2 ,„3 ч ,
3 2 3 ° 2* 4
Fi(xi,y) = -3Х? + 2b(h - 3h2 - ^ha - ^y + 1 d)xb (12)
где постоянные величины
hi = ^ (i G {1,2, 3}). (13)
Выбирая решение в игре Г3, игрок может руководствоваться любым принципом оптимальности, применяемым в теории игр с природой. Выбор принципа оптимальности определяется, прежде всего, склонностью игрока к риску. Рассмотрим два возможных подхода к формализации решения игрока верхнего уровня. 1 случай. Первый игрок использует в игре Г3 принцип Вальда В этом случае игрок выбирает стратегию x] G X1, обеспечивающую наибольшее значение его функции выигрыша F1(x1, y) при самом неблагоприятном значении неопределенности.
Определение 2. Стратегию x] G X1 назовём оптимальным по Вальду решением игрока верхнего уровня в игре Г, если она является оптимальным по Вальду решением игры Г3, т.е. выполнено равенство
min F1(x], y) = max min F1(x1,y).
yeY xi€Xi yeY
Поскольку в игре Г3
min F1(x], y) = Fl(xv , d),
yeY
то
F1(x], d) = max F1(x1,d).
xieXi
Нетрудно показать, что при выполнении условий
3
0 < 3h1 - h2 - h3 - -d < c1 (14)
оптимальное по Вальду решение игрока верхнего уровня в игре Г
3
x] = 3h1 - h2 - h3 - -d. (15)
Используя (13), ограничения (14) и оптимальную по Вальду стратегию (15) можно представить в виде
а — 3 k + k2 + k3 3 , . ,
0 < -^-3 < C1 + 3d (16)
и
= а - 3k1 + k2 + k3 3 d (17)
x1 = 2b 4 d (17)
соответственно.
Таким образом, справедливо утверждение
Теорема 1. Пусть в игре Г выполнены условия (9), (11), (16) и игроки нижнего уровня при любых значениях хх € Хх выбирают -решение (ж2(жх),ж3(жх)). Тогда в этой игре оптимальное по Вальду решение игрока верхнего уровня определяется равенством (17).
Пусть игрок верхнего уровня в игре Г использует оптимальное по Вальду решение (17). Тогда оптимальные стратегии игроков нижнего уровня (8) имеют вид
же _ а+зкх —5к'2+кэ _ з d
ж2 = 6Ь 4d,
же = а+зкх +к'2—5кэ + з d
6Ь (18) ьз = бь г 4
2 случай. Первый игрок использует в игре Гз принцип Сэвиджа Согласно принципу Сэвиджа, игрок при выборе своей стратегии должен ориентироваться на значение функции сожаления по Сэвиджу
Фх(жх,у) = max ^х(жх,у) - ^(жх,у).
жхеХх
Оптимальная по Сэвиджу стратегия игрока ж^' минимизирует функцию сожаления Фх(жх,у) при неблагоприятных для него значениях неопределенности.
Определение 3. Стратегию ж^ e Хх назовём оптимальным по Сэвиджу решением игрока верхнего уровня игры Г, если она является оптимальным по Сэвиджу решением игры Гз, т.е. выполнено равенство
maxФх(ж^,у) = min maxФх(жх,у).
yeY xieXi ygY
При выполнении в игре Г условия
33
-d < 3Лх - h2 - < сх - -d (19)
функция сожаления по Сэвиджу игрока в игре Гз имеет вид
Фх(жх,у) = 3 (жх - 3h + h2 + hs + 3у - 4d)2. (20)
Здесь постоянные h, (i e {1, 2,3}) определены в (13). Нетрудно показать, что при выполнении условий (19)
i |(жх - 3Л,х + h2 + Лз - зd)2, 0 < жх < 3Лх - h2 - Лз, max Фх(жх,у)= < ) Л
yeY [ Ь (ж - 3Лх + h2 + h3 + §dj , 3Лх - h2 - h3 < жх < Сх.
и оптимальная по Сэвиджу стратегия игрока верхнего уровня
ж* = 3Лх - h2 - Лз, (21)
где Нг (г € {1,2, 3}) определены в (13).
Используя (13), ограничения (19) и оптимальную по Сэвиджу стратегию первого игрока (21) можно представить в виде
3 а — 3^1 + А2 + А3 3 , , . -6 <-Ц—2-3 < С1 — 6 (22)
4 < 25 < 1 4 1 ;
и
Я _ а - 3А1 + + (23)
Х _ 25 , (23)
соответственно.
Следовательно, справедливо утверждение
Теорема 2. Пусть в игре Г выполнены условия (9), (11), (22) и игроки нижнего уровня при любых значениях стратегии х1 € Х1 выбирают -решение (ж|(ж1),ж3(ж1)). Тогда в этой игре оптимальное по Сэвиджу решение игрока верхнего уровня определяется равенством (23).
Пусть игрок верхнего уровня в игре Г использует оптимальное по Сэвиджу решение (23). Тогда оптимальные стратегии игроков нижнего уровня (8) имеют вид
хе _ а+3к'1 — 5к'2+к'з _ 1 6
Х2 _ 6Ь 26, (24)
хе _ д+3к'1 +к'2—5кз V )
Х3 _ 6Ь •
Замечание 1. Следует отметить, что выполнение условий (22) влечет за собой выполнение ограничений (16). Поэтому при выполнении в игре Г условий теоремы 2 для игрока верхнего уровня существуют оба рассмотренных оптимальных решения.
Заключение
Описанная в работе модель конкуренции трех фирм формализована как двухуровневая иерархическая игра при неопределенности. Для игры в такой постановке описан алгоритм построения предложенного оптимального решения и для конкретного вида функций выигрыша всех участников игры найден его явный вид. Кроме того, получены коэффициентные критерии существования оптимального решения.
В работе исследован случай, когда один из игроков нижнего уровня является рискофобом и использует принцип гарантированного результата, а второй при выборе своего решения руководствуется принципом минимаксного сожаления. Для игрока верхнего уровня - фирмы-лидера в работе рассмотрены два случая. Первый, когда игрок использует принцип Вальда, а второй - принцип Сэвиджа. Предложенный подход к формализации оптимальных решений игроков может быть модифицирован при использовании игроками других принципов оптимальности из теории принятия решений при неопределенности.
Список литературы
1. Бардин, А. Е. Гарантированное равновесие в иерархической игре при неопределенности // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем: сборник научных трудов XII Международной школы-симпозиума АМУР-2018. - Симферополь: ИП Корниенко А. А., 2018. - C. 42-46.
BARDIN, A. (2018) Equilibrium of guarantee for hierarchical game under uncertainties. Analysis, Modeling, Management, Development of Economic Systems: Proceedings of the Twelfth International School-Symposium AMUR-2018. p. 42-46.
2. Бардин, А. Е., Житенева, Ю. Н. Иерархическая модель задачи оптимизации деятельности двух фирм при неопределенности // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем: сборник научных трудов XIII Всероссийской с международным участием школы-симпозиума АМУР-2019. — Симферополь: ИП Корниенко А. А., 2019. - C. 24-28.
BARDIN, A. & ZHITENEVA, J. (2019) The hierarchical model the problem of activities optimization of the two companies under uncertainty. Analysis, Modeling, Management, Development of Economic Systems: Proceedings of the Thirteenth All-Russian School-Symposium with International Participation AMUR-2019. p. 24-28.
3. Житенева, Ю. Н. Иерархическая модель конкуренции двух фирм при неопределенности // Анализ, моделирование, управление, развитие экономических систем: сборник научных трудов XI Международной школы-симпозиума АМУР-2017. - Симферополь: ИП Корниенко А. А., 2017. - C. 150-156.
ZHITENEVA, J. (2017) The hierarchical model of two firms competition under uncertainty. Analysis, Modeling, Management, Development of Economic Systems: Proceedings of the Eleventh International School-Symposium AMUR-2017. p. 150-156.
4. Жуковский, В. И., Кудрявцев, К. Н., Смирнова, Л. В. Гарантированные решения конфликтов и их приложения. — M.: КРАСАНД, 2013. — 324 c.
ZHUKOVSKIY, V. & CUDRYAVCEV, K. & SMIRNOVA, L. (2013) Guaranteed conflict solutions and their applications. Moscow: KRASAND.
5. SAVAGE, L. Y. (1951) The theory of statistical decision. J. American Statistic Association. 46. p. 55-67.
