CC BY
20
УДК 624.271
ГЛУШКОВ СЕРГЕЙ ПАВЛОВИЧ, докт. техн. наук, профессор, rcpl@rambler. ru ООО «Мидель»,
630004, г. Новосибирск, ул. Вокзальная магистраль, 2, СОЛОВЬЕВ ЛЕОНИД ЮРЬЕВИЧ, канд. техн. наук, доцент, lys@stu. ru
ДОНЕЦ НИКОЛАЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ, donetsna@gmail com
Сибирский государственный университет путей сообщения, 630023, г. Новосибирск, ул. Д. Ковальчук, 191/3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОВРЕЖДЕНИЙ В МОСТОВЫХ КОНСТРУКЦИЯХ НА ОСНОВЕ АНАЛИЗА ИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ
В статье дан обзор методов идентификации повреждений в конструкциях по данным исследования колебательных процессов применительно к пролетным строениям мостов. Описаны основные вехи в развитии методов идентификации повреждений, в основе которых лежит фурье-анализ и вейвлет-анализ. Выделены сильные и слабые стороны базирующихся на них методов. В результате определены пути совершенствования и направления будущего развития методов идентификации повреждений в мостовых конструкциях на основе анализа их колебательных процессов.
Ключевые слова: идентификация повреждений, фурье-анализ, вейвлет-анализ, пролетные строения мостов.
GLUSHKOV, SERGEY PAVLOVICH, Dr. of tech. sc., prof., rcpl@rambler. ru Midel llc,
2 Vokzalnaya magistral st., Novosibirsk, 630004, Russia, SOLOVJEV, LEONID YURYEVICH, Cand. of tech. sc., assoc. prof., lys@stu. ru
DONETS, NIKOLAIALEKSANDROVICH, donetsna@gmail. com
Siberian State University of Railway Service, 191/3 D. Kovalchuk st., Novosibirsk, 630023, Russia
IDENTIFICATION OF DAMAGE TO BRIDGE STRUCTURES BASED ON THE ANALYSIS OF THEIR VIBRATIONAL PROCESSES
The paper presents a review of methods for identification of damage in structures according to the study of oscillatory processes in relation to the superstructure. The major stages in the development of methods for identifying the damage, which are based on Fourier analysis and wavelet analysis, are described. The strong and weak points of these methods are stressed. As a result, the ways of improvement and future development of methods for identification of damage in bridge structures based on the analysis of their vibrational processes are defined.
Keywords: identification of damage, Fourier analysis, wavelet analysis. © С.П. Глушков, Л.Ю. Соловьев, Н.А. Донец, 2011
Идентификация повреждений в искусственных сооружениях на транспорте является одним из направлений деятельности по содержанию инфраструктуры в надлежащем техническом состоянии. Основными процедурами содержания всех объектов транспортной инфраструктуры являются осмотры и испытания, которые проводятся через определенные промежутки времени. Цель осмотров и испытаний - поиск повреждений в элементах конструкций, которые могут обусловить отклонение параметров работы сооружения от оптимальных. Регулярные осмотры, испытания и оценка технического состояния конструкций делают возможным планирование ремонтных работ и рентабельное управление инфраструктурой.
Обследование сооружений включает в себя визуальный осмотр и выполнение инструментальных измерений. Проведение обследований пролетных строений мостов является трудоемкой задачей - следует провести большие объемы визуальных и инструментальных исследований. Снижение затрат труда при повышении степени достоверности информации о положении повреждений и техническом состоянии является актуальной научно-практической задачей. Одним из способов ее решения является применение неразрушающих методов, основанных на исследовании колебаний в системе «пролетное строение моста -вынуждающая сила». Так, в Российской Федерации было проведено обследование нескольких сотен сталежелезобетонных пролетных строений [26]. Результаты обследований показали наличие большого числа однотипных повреждений - разрушения швов омоноличивания стыков плит балластного корыта. Оценка степени влияния повреждений на безопасную эксплуатацию сооружений в ходе этих обследований была выполнена на основе исследования колебаний пролетных строений мостов, что позволило снизить трудоемкость и повысить достоверность полученных результатов.
Рост количества исследований, связанных с поиском положения повреждений и оценкой технического состояния мостовых конструкций на основе анализа их колебаний, является результатом следующих причин:
1) большого количества однотипных конструкций;
2) алгоритмизации действий, выполняемых при осмотре;
3) старения сооружений и необходимости их последовательного ремонта или замены;
4) экономических проблем, связанных с обрушением мостов.
Системы измерения колебаний, состоящие из высокочастотных акселерометров и цифровых вычислительных машин, были разработаны в 1980-е гг. Подобные высокоэффективные измерительные системы стали предпосылкой для разработок новых методов оценки и прогноза технического состояния с использованием инновационных способов обработки колебательных сигналов.
Большинство методов идентификации повреждений основаны на данных, полученных с помощью фурье-преобразования спектров динамических ответов сооружения на различные вынуждающие силы. Повреждения в конструкциях обычно являются локальными, что обусловливает возможность их идентификации с помощью анализа мод высоких порядков. Фурье-анализ преобразует сигнал из временной или пространственной области в частотную область, что приводит к тому, что становится неизвестным, в какой момент
времени произошли события, сигнализирующие о наличии и положении повреждения. Одним из способов избежать потерь такой информации является применение оконного преобразования Фурье [7]. Подобная техника анализа позволяет представить ряд частотных спектров сигнала на ограниченных временных промежутках - окнах. Точность полученных данных зависит от размера окон. Изменить разрешающую способность после выбора временного окна в пространственной/временной и частотной области невозможно. Наибольшее распространение метод оконного преобразования Фурье получил в машиностроении, в то время как его применение при вибрационном мониторинге технического состояния несущих конструкций мостов ограничено. В отношении пролетных строений мостов требовались иные подходы к решению задачи вибрационного мониторинга технического состояния с учетом того, что широкое применение нашел фурье-анализ.
В 1984 г. было представлено первое системное использование информации о форме колебаний для локализации повреждений в элементах конструкций [24]. Для определения степени корреляции формы колебаний у обтекателя космического челнока использовался критерий модальной сходимости (MAC). Формы колебаний были определены с помощью различных способов до и после приложения акустической нагрузки, после чего изменения в критерии модальной сходимости были использованы для локализации повреждений.
В 1992 г. ряд экспериментов показал, что разовая оценка величины изменения форм колебаний - критерий модальной сходимости - не является достоверной при наличии повреждений типа распила/пропила в балочных конструкциях, т. е. имеет ограниченную область применения в сфере идентификации повреждений в пролетных строениях мостов [5]. Кроме того, была затронута проблема записи данных измерений, которая может обусловить наличие ошибок при локализации повреждений. Отмечено, что главным фактором, влияющим на качество анализируемых данных, является точность и частота дискретизации измерительной системы - с их увеличением степень достоверности идентификации повреждений повышается, и наоборот.
Наглядными методами идентификации повреждений в различных конструкциях являются графические методы - сопоставление различных графиков параметров колебаний конструкции - графиков резонансных частот (спектров) и форм колебаний конструкции. Наложение частотных спектров с поиском максимальных смещений пиковых значений позволяет идентифицировать повреждение, а наложение форм колебаний конструкции - локализовать повреждение [5].
Дальнейшие исследования привели к появлению метода локализации повреждений в балке, основанного на использовании конечно-разностного приближения дельта-оператора Лапласа к формам колебаний, применение которого позволило с высокой степенью достоверности определить наличие и местоположение повреждений [14]. Повреждения - местные уменьшения сечения несущей конструкции на 10 % и более - могли быть идентифицированы и локализованы без предварительной обработки данных измерений - без удаления различных помех и шумов. Поиск менее значимых повреждений с помощью данного метода требует дополнительных расчетов. Авторами рабо-
ты отмечено, что метод подходит для обработки таких данных, как формы колебаний, соответствующие низшим частотам собственных колебаний конструкции. Формы колебаний, соответствующие высоким частотам собственных колебаний конструкции, могут использоваться для проверки полученных данных. Применение метода, основанного на использовании конечно-разностного приближения дельта-оператора Лапласа, не требует данных о состоянии конструкции до проведения обследования.
Так как большинство работ, связанных с вопросами мониторинга технического состояния сооружений на основе анализа колебаний, предусматривало использование данных нескольких точек измерения, появились исследования, посвященные выбору таких мест. Был рассмотрен вопрос оптимальной установки вибрационных датчиков при локализации повреждений на основе изменений форм колебаний и частот собственных колебаний с использованием метода итераций [18], представлен метод идентификации повреждений в конструкциях по данным исследования колебательных процессов и определения предпочтительных точек установки вибрационных датчиков, основанный на анализе чувствительности собственных векторов конструкций [2].
Ряд исследователей посвятили свои работы установлению взаимосвязи между наличием повреждений и изменениями частот собственных колебаний и соответствующих им форм. В основе установления этой взаимосвязи, а также в разработанном на её основе методе идентификации повреждений лежит использование конечно-элементной модели [25]. Развитие метод получил, когда для локализации повреждений в консольной балке прямоугольного сечения с поперечными трещинами были рассмотрены данные натурного эксперимента и аналитическое решение колебаний конструкции. По данным измеренных амплитуд были найдены и оценены динамические характеристики балки, а также оценено влияние повреждений на них [15].
В 1992 г. представлен метод локализации повреждений в балке на основе конечно-элементной модели [9]. Повреждения задавались изменением жесткости одного дискретного элемента конструкции. Затем сопоставлялись найденные формы и собственные частоты колебаний до и после внесения изменений в такой элемент. Анализ, включающий в себя определение статического прогиба и оценки энергии деформации, приводил к локализации и оценке повреждения.
Важно отметить исследование, посвященное изучению возможности идентификации повреждений в цилиндрической оболочке [19]. Вырез в оболочке, имитирующий повреждение, был локализован с помощью сравнения данных модального анализа двух состояний - до появления повреждений и после. Отмечено, что некоторые частоты собственных колебаний оболочки до и после появления выреза мало изменились, в то время как формы колебаний изменились так, что стала возможной локализация повреждений. Также установлено, что изменение частоты собственных колебаний не является единственным и достоверным признаком наличия повреждений, а при локализации повреждений необходимо учитывать амплитуды колебаний конструкции.
В 1995 г. были проведены испытания многопролетного железобетонного автодорожного моста и предложен метод поиска повреждений в нем на основе динамических испытаний [17]. Была рассмотрена зависимость между
проводимыми ремонтными работами и изменениями в динамических характеристиках пролетных строений, для чего на них был установлен ряд вибрационных датчиков. С помощью анализа динамического ответа пролетных строений на вынуждающую силу найдены частоты собственных колебаний конструкции, коэффициенты демпфирования, построены формы колебаний. На основе данных о степени корреляции соответствующих форм колебаний до и после проведения ремонтных работ была оценена достоверность предложенного метода поиска расположения повреждений. Был сделан вывод о том, что идентификация мест повреждений возможна, однако метод требует доработки, так как степень достоверности полученных данных о наличии и положении повреждений порой недостаточно высока.
Совершенствование метода привело к появлению различных показателей, которые указывают на наличие и места расположения повреждений, - индексов. Одним из первых появились методы на основе расчета индексов по данным измерений частот собственных колебаний конструкции и соответствующих форм. При этом проводится анализ тех мод, которые являются чувствительными к их наличию. Такие методы применимы для вибрационного мониторинга технического состояния, влияющего на пространственную жесткость, то есть применимы для любых сооружений. Эффективность использования индексных методов на практике подтверждена рядом экспериментов [16].
Альтернативным способом использования формы колебаний является оценка ее производных. Так, первая производная - кривизна формы колебаний может использоваться для получения информации о причинах изменения характера колебаний конструкции (локализации повреждений). Рядом исследователей было отмечено, что у балок, плит и оболочек существует прямая зависимость между кривизной формы колебаний и деформацией изгиба. Некоторые исследователи рассматривают случай практического использования непосредственно измеренных относительных деформаций или вычисленных из перемещений или ускорений.
На примере конечно-элементных моделей консольной и шарнирно опертой балки было показано, что наибольшая величина абсолютных изменений в кривизне формы колебаний сосредоточена в местах повреждений. Сама величина абсолютных изменений формы колебаний зависит от степени развития повреждений [13]. Позднее была рассмотрена возможность использования ограниченного ряда модальных параметров для идентификации и локализации повреждений в конструкциях. В основе метода лежат данные о геометрических характеристиках и свойствах материала элементов конструкции. На основе этих данных записываются матрицы масс и жесткости и решаются уравнения движения, в конечном итоге вычисляются спектры динамического ответа конструкции [21]. М. Stubbs и J.-T. Kim изучили возможность локализации повреждений в конструкциях с помощью сравнения данных натурных испытаний и конечно-элементной модели. Практическое применение метода опробовано на неразрезной балке с повреждениями [20].
Отмечено, что кривизна, найденная с помощью численных методов непосредственно из данных о форме колебаний, может иметь недопустимые ошибки [1]. Использование относительных деформаций вместо непосредст-
венно измеренной кривизны может сильно повлиять на результаты процедуры локализации повреждений.
Общая концепция методов идентификации повреждений в пролетных строениях мостов на основе анализа их колебательных процессов с использованием фурье-анализа представлена в 1998 г. [6]. Основой всех методов является оценка величин критерия модальной сходимости (MAC), критерия координатной модальной сходимости (COMAC) - в том или ином виде решение задачи оптимизации различными способами. Параметрами, входящими в целевую функцию, являются частота собственных колебаний конструкции и соответствующие им формы или ее производные с различными весовыми коэффициентами.
Резюмируя, можно отметить тот факт, что большинство разработанных методов, базирующихся на фурье-анализе, применялось к идеализированным численным моделям конструкций. Использование на практике подобных методов ограничено: с высокой степенью достоверности возможно установить факт наличия повреждений, но не их местоположение, тем более степень развития. Связано это прежде всего с тем, что ошибки в результаты вносят внешние факторы - шумы в сигнале, а также ряд ограничений фурье-преобразований: невозможность идентификации нелинейного поведения конструкции во времени и невозможность идентификации переходных процессов. Преобразование Фурье дает только глобальные сведения о частотах (масштабах) анализируемого сигнала, так как используемая при этом система функций (комплексная экспонента или синусы и косинусы) определена на бесконечном интервале. Кроме того, высокочастотные составляющие имеют большую точность при извлечении из малых временных отрезков, в отличие от низкочастотной информации.
Толчок к дальнейшему развитию методов вибрационной диагностики дало внедрение вейвлет-анализа. Вейвлеты - функции в виде коротких волн с нулевым интегральным значением и с локализацией по оси независимой переменной, способных к сдвигу по этой оси и масштабированию (растяжению/сжатию) [3]. Вейвлет-анализ - частотно-временной анализ спектров динамического ответа конструкций, который дает более детальную информацию, нежели традиционный фурье-анализ. За счет изменения масштаба вейвлеты способны выявлять различия в характеристиках на разных шкалах (частотах), а за счет сдвига - анализировать свойства сигнала в разных точках на всем исследуемом интервале. Поэтому при анализе нестационарного сигнала за счет свойства локальности вейвлет-преобразование получает существенное преимущество над преобразованием Фурье.
Впервые исследовались и применялись методы идентификации повреждений по данным исследования колебаний на основе вейвлет-анализа в машиностроительной отрасли. Было показано, что оправданно применение вейвлет-преобразований для идентификации переходных процессов и повреждений в вертолетной трансмиссии, где типичным было применение оконного фурье-преобразования [23]. Отмечены простота выполнения вейвлет-преобразования и факт того, что для анализа необходим только один спектр динамического ответа трансмиссии, а результатом является всесторонняя информация о повреждениях и неполадках.
Исследования методов идентификации повреждений в конструкциях по данным исследования колебательных процессов начались со второй половины 90-х гг. XX в. Так, в 1998 г. рассмотрено использование вейвлет-преобразо-ваний для идентификации динамического поведения нелинейных систем. С помощью вейвлет-анализа определены кривые гистерезиса, коэффициенты демпфирования конструкции без использования данных о нелинейных характеристиках исследуемой системы [11].
Предпосылкой для применения вейвлет-анализа для идентификации и локализации повреждений в конструкциях стало то, что повреждения вызывают изменения в колебаниях конструкции, которые возможно локализовать при детальном исследовании спектров динамического ответа. Работоспособность метода на основе вейвлет-анализа продемонстрирована на двух примерах: на численной модели балки с поперечной трещиной и на полях смещений в вершине трещины, вычисленных аналитически [22]. Повреждения были идентифицированы и локализованы по возросшим значениям вейвлет-коэф-фициентов. Можно отметить, что применение вейвлет-анализа не требует предварительного анализа и расчета конструкции, информации об используемых при ее возведении материалах, а также о напряженно-деформированном состоянии элементов конструкции.
В 2000 г. рассмотрена симуляция реальных условий эксплуатации конструкции путем включения в модель пружин, свойства которых изменяются с течением определенного количества циклов нагружений и разгружений и впоследствии могут разрушиться [8]. Применение вейвлет-анализа позволило установить характер изменений в пружинах и время появления этих изменений. Аналогичные результаты были получены и при применении вейвлет-анализа для обработки данных динамического ответа здания до и после землетрясения в Сан-Фернандо в 1971 г., когда были установлены места появления возможных повреждений.
В 2003 г. представлен метод идентификации повреждений по данным исследования колебательных процессов в балках [4]. Для этого используется непрерывное (интегральное) вейвлет-преобразование спектра динамического ответа. Выведен коэффициент, полученный по величинам вейвлет-коэффици-ентов, с помощью которого повреждение может быть идентифицировано, локализовано и определена степень его развития. Метод опробован на численных и натурных моделях консольной балки с трещинами.
Вопрос идентификации и локализации повреждений в рамных и балочных конструкциях с помощью вейвлет-анализа рассмотрен в 2004 г. [12]. Эффективность метода, основанного на вейвлет-преобразовании спектра динамического ответа конструкции, подтверждена рядом численных симуляций. При правильном подборе вещественного базиса и разрешающей способности для вейвлет-преобразования может быть получена достоверная информация о наличии и локализации повреждений. При этом нет необходимости в данных предыдущих обследований конструкции.
Методы идентификации повреждений в конструкциях по данным исследования колебательных процессов на основе вейвлет-преобразований могут быть классифицированы и разделены на три группы [10]:
1. Методы, основанные на сравнении различий вейвлет-коэффициентов двух откликов конструкции в разное время.
2. Методы, основанные на исследовании распределения локальных возмущений вейвлет-коэффициентов одного отклика конструкции.
3. Методы, основанные на анализе «волны» вейвлет-коэффициентов, обусловленных повреждениями.
К преимуществам методов, относящихся к первой группе, можно отнести то, что при регулярном их применении (например, при регулярных осмотрах пролетных строений мостов) становится возможным составить историю изменений механических параметров в сооружении. Особенно важным это может быть при оценке технического состояния пролетных строений мостов после стихийных бедствий. А анализ конструкции на основе метода, относящегося к трем перечисленным группам, позволит провести точную и достоверную комплексную оценку технического состояния конструкции - идентифицировать, локализовать и оценить степень развития повреждений.
Недостатком практически всех работ, описывающих методы идентификации повреждений на основе вейвлет-анализа, является то, что у них отсутствует теоретическое обоснование - оценка ведется на основе эмпирических данных. Для оценки вычисленных вейвлет-коэффициентов отклика конструкции авторами используется точечный показатель Гёльдера - показатель гладкости функции. Этот показатель может быть рассчитан путем аппроксимации функции спада коэффициентов вейвлет-преобразования динамического ответа конструкции. Значения данного показателя свидетельствуют о наличии повреждений, а также помогают оценить степень развития повреждения, влияющую на напряженно-деформированное состояние конструкций.
Отличительными особенностями всех методов идентификации повреждений, в основе которых лежит вейвлет-анализ, является то, что необходимыми сведениями являются только данные динамического ответа конструкций на любую приложенную нагрузку (рис. 1) без необходимости какой-либо предварительной подготовки, низкая чувствительность к шумам в полученных для обработки и анализа данных (рис. 2).
В настоящее время в исследованиях и разработках методов идентификации повреждений в конструкциях существует несколько направлений:
1. Разработка методов, не требующих использования предварительных обследований и испытаний конструкций.
2. Разработка методов, учитывающих нелинейное поведение конструкций (например, раскрытие и закрытие усталостных трещин).
3. Разработка методов, использующих минимальное количество точек измерения динамического ответа конструкции.
Последние исследования методов идентификации повреждений в пролетных строениях мостов посвящены процедурам анализа, при выполнении которых требуется информация о спектре динамического ответа минимального количества точек (или одной точки). Наиболее перспективным направлением с точки зрения авторов является разработка метода идентификации повреждений в пролетных строениях мостов на основе вейвлет-анализа динамического ответа движущегося по мосту экипажа.
1 • 10-3 ■:
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Время, мс
Рис. 1. Вертикальное перемещение экипажа при движении со скоростью 6 м/с по шар-нирно опертой балке, длиной 50 м (вверху); спектрограмма модуля вейвлет-коэффициентов вертикального перемещения экипажа (внизу)
Рис. 2. Определение диапазона несущего масштаба вейвлет-коэффициентов при идентификации повреждений (вверху); результаты определения положения повреждения при разных масштабах вейвлет-коэффициентов (внизу)
Результаты численных экспериментов, представленные на рис. 1 и 2, показали эффективность такого метода идентификации повреждений. Его применение на практике позволит сократить время обследования несущих конструкций моста за счет предварительного определения мест, на которые необходимо обратить внимание при детальном обследовании или испытаниях.
Библиографический список
1. A Simplified Approach to the Numerical and Experimental Modeling of the Dynamics of a Cracked Beam [Conference] // 12th International Modal Analysis Conference. - Year Published. - Р. 778-785.
2. Cobb, R.G. Sensor Placement and Structural Damage Identification from Minimal Sensor Information / R.G. Cobb, B. S. Liebst // AIAA Journal. - 1997. - Т. 32. - № 2. - Р. 369-374.
3. Daubechies, I. Ten lectures on wavelets / I. Daubechies. - Philadelphia: SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992.
4. Douka, E. Crack identification in beams using wavelet analysis / E. Douka, S. Loutridis, A. Trochidis // International Journal of Solids and Structures. - 2003. - Т. 40. - № 13-14. -С. 3557-3569.
5. The Location of Defects in Structures: a Comparison of the Use of Natural Frequency and Mode Shape Data [Conference] // 10th International Modal Analysis Conference. - Year Published. - Р. 522-528.
6. Friswell, M.I. A combined genetic and eigensensitivity algorithm for the location of damage in structures / M.I. Friswell, J.E.T. Penny, S.D. Garvey // Computers & Structures. - 1998. -Т. 69. - № 5. - С. 547-556.
7. Gabor, D. Theory of communication. Part 1: The analysis of information / D. Gabor // Journal of the Institution of Electrical Engineers - Part III: Radio and Communication Engineering. -1946. - Т. 93. - № 26. - С. 429-457.
8. Hou, Z. Wavelet-Based Approach for Structural Damage Detection / Z. Hou, M. Noori, R.S. Amand // Journal of Engineering Mechanics. - 2000. - Т. 126. - № 7. - С. 677-683.
9. Kam, T.Y. Detection of cracks in structures using modal test data / T.Y. Kam, T.Y. Lee // Engineering Fracture Mechanics. - 1992. - Т. 42. - № 2. - С. 381-387.
10. Kim, H. Damage detection of structures by wavelet analysis / H. Kim, H. Melhem // Engineering Structures. - 2004. - Т. 26. - № 3. - С. 347-362.
11. Kitada, Y. Identification of Nonlinear Structural Dynamic Systems Using Wavelets / Y. Kitada // Journal of Engineering Mechanics. - 1998. - Т. 124. - № 10. - С. 1059-1066.
12. Ovanesova, A. V. Applications of wavelet transforms to damage detection in frame structures / A.V. Ovanesova, L.E. Suarez // Engineering Structures. - 2004. - Т. 26. - № 1. - С. 39-49.
13. Pandey, A.K. Damage detection from changes in curvature mode shapes / A.K. Pandey, M. Biswas, M.M. Samman // Journal of Sound and Vibration. - 1991. - Т. 145. - № 2. -С. 321-332.
14. Ratcliffe, C.P. Damage Detection Using a Modified Laplacian Operator on Mode Shape Data / C.P. Ratcliffe // Journal of Sound and Vibration. - 1997. - Т. 204. - № 3. - С. 505-517.
15. Rizos, P.F. Identification of crack location and magnitude in a cantilever beam from the vibration modes / P.F. Rizos, N. Aspragathos, A.D. Dimarogonas // Journal of Sound and Vibration. - 1990. - Т. 138. - № 3. - С. 381-388.
16. Salawu, O.S. An Integrity Index Method for Structural Assessment of Engineering Structures Using Modal Testing / O.S. Salawu // Insight: the Journal of the British Institute of NonDestructive Testing. - 1997. - Т. 39. - № 1. - С. 33-37.
17. Salawu, O.S. Bridge Assessment Using Forced-Vibration Testing / O.S. Salawu, C. Williams // Journal of Structural Engineering. - 1995. - Т. 121. - № 2. - С. 161-173.
18. Skjwrbwk, P.S. Identification of damage in reinforced concrete structures from earthquake records-- optimal location of sensors / P.S. Skj®rb®k, S.R.K. Nielsen, A.S. Qakmak // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. - 1996. - Т. 15. - № 6. - С. 347-358.
19. Effects of Damage on the Modal Parameters of a Cylindrical Shell [Conference] // 10th International Modal Analysis Conference. - Year Published. - Р. 529-535.
20. Stubbs, N. Damage localization in structures without baseline modal parameters / N. Stubbs, J.-T. Kim // AIAA Journal. - 1996. - Т. 34. - № 8. - С. 1644-1649.
21. Topole, K.G. Non-destructive damage evaluation of a structure from limited modal parameters / K.G. Topole, N. Stubbs // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. -1995. - Т. 24. - № 11. - С. 1427-1436.
22. Wang, Q. Damage detection with spatial wavelets / Q. Wang, X. Deng // International Journal of Solids and Structures. - 1999. - Т. 36. - № 23. - С. 3443-3468.
23. Wang, W.J. Application of Wavelets to Gearbox Vibration Signals for Fault Detection / W.J. Wang, P.D. McFadden // Journal of Sound and Vibration. - 1996. - Т. 192. - № 5. -С. 927-939.
24. Illustration of the Use of Modal Assurance Criterion to Detect Structural Changes in an Orbiter Test Specimen [Conference] // The Air Force Conference on Aircraft Structural Integrity. - Year Published. - Р. 1-6.
25. Yuen, M.M.F. A numerical study of the eigenparameters of a damaged cantilever / M.M.F. Yuen // Journal of Sound and Vibration. - 1985. - Т. 103. - № 3. - С. 301-310.
26. Результаты полномасштабного обследоваия и испытания сталежелезобетонных пролетных строений железнодорожных мостов Сибири и Дальнего Востока / С. А. Бока-рев, Е.В. Рогова, Л.Ю. Соловьев, Д.Н. Цветков // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. - 2009. - № 2. - С. 160-170.
