Ідентифікація поверхневого ушкодження в конструкціях оболонкового типу Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

УДК 539.3

Канд. техн. наук Ю. В. Мастиновський, Д. I. Анплогов

ЗапорЬький нацюнальний техтчний утверситет, м. Запоргжжя

1ДЕНТИФ1КАЦ1Я ПОВЕРХНЕВОГО УШКОДЖЕННЯ В КОНСТРУКЦ1ЯХ ОБОЛОНКОВОГО ТИПУ

Проанал1зовано збурення пол^в перемщенъ в перетиш ушкодженог оболонки при розк-ритт1 трщини. Визначено параметр, який ттегралъно описуе спотворення пол1в пере-м^щенъ. Оцтено в1дносне зменшення жорсткост1 ушкоджених оболонок зразними геомет-ричними параметрами. Одержат резулътати в1дпов1даютъ р1вню чутливост1 сучасних вим^рювалъних приладив.

Ключов1 слова: ушкоджена оболонка, збурення пол1в перемщенъ, в1дносне зменшення жорсткост1.

Вступ

Конструктивы! елементи оболонкового типу досить поширеш в ав1адвигунобудуванш. Важ-ливою е науково-техшчна задача вдентифжаци ушкоджень таких елеменпв як в процес! вироб-ництва, так ! на початкових стаддях експлуатаци. Методи в!брацшно! д1агностики [1], придатт для виршення ще! задач!, обГрунтовано для стриж-невих конструкцш [2, 3] або пластин [4], але роз-повсюдження цих результатов на оболонки е без-тдставним.

1дентиф1кащя ушкодження можлива при анал!з! спектру коливань конструкци, але зв'я-зок параметр!в спектру з величиною ушкодження для конструкций оболонкового типу зали-шаеться невизначеним. Головною задачею для роз-в'язання зазначено! проблеми е анал!з пол!в пе-ремщень та ¿х збурень при виникненш ушкодження, а також побудова оцшки в!дносного зменшення жорсткост! конструкци, яке ввдбуваеться при виникненш ушкодження, на основ! анал!зу збурень пол!в перемщень. Тому актуальним за-лишабться аналз напружено-деформованого стану цилшдричних оболонок з ушкодженням.

Постановка задач!

Розглядаеться статична задача теорц пружносп для цилшдрично! оболонки раддусом а, товщи-ною Н ! центральним кутом у тах , яку згинають зовшшшм моментом М 0, р1вношрно розподле-ним вздовж контурних тшрних оболонки (рис. 1).

Для довгих оболонок за умови нехтування крайовими ефектами достатньо розглянути на-пружено-деформований стан елементу довжини, який мтститься м!ж парою паралельних площин, перпендикулярних до тв!рно!. Цей елемент в перетиш е юльцевим сектором (рис. 2).

Рис. 1. Згин цилшдрично! оболонки зовшштм моментом

у

тУтах в^ ----А/зУ Р ХГ Е\ О \ X

1 Т /

Рис. 2. Перетин цилшдрично! оболонки

При виникненш ушкодження у вигляд! по-верхнево1 тр!щини на опукл!й поверхн! оболон-ки вздовж напряму СС (рис. 1) цей сектор до-повнюеться вир!зом глибини И1 на опуклш

дшянщ АО контуру, який обмежуе область юльцевого сектору (рис. 2).

Розв'язання задач теори пружност! для чистого згину таких сектор!в (без вир!зу чи з вир!-зом) можливо при застосуванш методу комп-

© Ю. В. Мастиновський, Д. I. Аншлогов, 2012 - 68 -

лексних потенцДалДв М. I. Mycxeлiшвiлi [5] з ви-користанням функцДй, якД конформно вДдобра-жають кДльцевД сектори на одиничне коло [6]. За умови, що такi функцй вiдомi, за результатами, викладеними в [5], можна побудувати поля пере-мДщень.

Розглянемо вДдрДзок E1E2 , проведений вздовж одного з радДусДв кiльцeвого сектору (см. рис. 2). Цей вiцрiзок представляе радiальний перетин

кiльцeвого сектору. Кут ß0 називатимемо кутом розташування радального перетину. Нехай пicля деформацй згину цей рад1альний перетин зай-

мае положення E[E'2 . Це положення можна виз-начити, використовуючи розв'язки вДдповДдних граничних задач. Кут Aß називатимемо кутом повороту рад1ального перетину. Визначимо за-лежн1сть кута повороту радального перетину вДд

кута його розташування, Aß(ß0), та поставимо задачу досл1дження впливу вадносно! глибини g = hi/h вир1зу на параметри цДеД залежностД. Далi, використовуючи цД результати, визначимо кутов1 розм1ри зони збурень полДв перемДщень, зумов-ленД вирДзом, та побудуемо оцДнку вДдносного зменшення жорсткостД при розкриттД трДщини.

Анал1з iio.iiB перемщень

Нехай поле перемДщень мае компоненти u, v. Введемо безрозмДрне поле перемДщень

(U ,V ) = A (u, v), де A = 3M0a2/(|mh3), | - модуль

зсуву. Оберемо Np = 20 точок недеформованого

радДального перетину E1E2 з координатами

(xj, yj). Очевидно, пДсля деформаци цД точки ма-

тимуть координати (x, + AUj; y, + AVj). При роз-ташуваннД радДального перетину далеко вДд вирД-зу цД точки групуватимуться також навколо дея-ко! прямо!. Нехай ii рДвняння

y = kx + b , к = tg ß . (1)

Тут ß — кут, який визначае орДентацДю перетину пДсля деформування кДльцевого сектору. Кое-фДцДенти к, b забезпечують мДнДмальнДсть вДдхи-лення прямо! (1) вДд системи змДщених точок:

S ° 2 S{ к (x, + AU,) + b - y, - AV, }2 ® min .

Розв'язуючи вдцповдцнy систему öS/дк = 0 , öS/ db = 0, знаходимо

к =

Np + AUг )(y, + AV, )-S(x + AU, )-S(y, + AV,) Np • S(x, + AU,) -{s(x, + AU, )}2

.(2)

Зауважимо, при зникненнД навантаження (тобто при A = 0) вираз (2) приймае значення

Np ■ Sx,y,-Sx, ■ Sy,

к0 =

Np • Sxf -(Sx, )2

= tg ß0 , яке вДдповДдае

вДдсутностД деформацДй. Використовуючи цю об-ставину, а також обмежуючись утриманням лДнДйних членДв, запишемо ряд Маклорена функци

к (A) (2) у виглядД:

/ ; дк

к = к0 +--

0 dA

• A.

(3)

A=0

ТодД для кута Aß повороту перетину E1E2 з кутом розташування ß0 маемо

Aß = ß-ß0 »tg ß-tg ß0 = к - к0 =

( дк ö

a--

dA V A=0 y

A a

де похДдна a- (iдк/ dA|A=0) може бути обчислена безпосередньо з (2). Типовий графДк залежностД (a- Aß)/ A = f (ß0) зображено на рис. 3.

Рис. 3. Накопичення кутДв повороту радДальних перетинДв

Для кДнцДв Ei, E2 перетинДв прийнято

i

x2 + y2 = (a ± 0,1h). За вДдсутностД вирДзу (суцДль-

на лДнДя) накопичення кута повороту перетину вДдбуваеться лДнДйно. При виникненнД вирДзу (лДнДя з маркерами) спочатку вДдбуваеться при-скорене накопичення, а далД вДдновлюеться лДнДйний характер цДеД залежностД, причому з таким самим кутовим коефДцДентом, як Д за вДдсутностД вирДзу. ВДдновлення лДнДйно1 залежностД при

певному значеннД ß0 значить, що кутовД розмДри

зони збурення полДв перемДщення при виник-

неннД вирДзу е меншими за ß0. ЦД кутовД розмДри,

ISSN 1727-0219 Вестник двигателестроения № 1/2012

— 69 —

як бачимо, слад оцшювати десятими долями ку-тового градусу. Подальше накопичення кутв повороту перетишв можна асимптотично описати залежтстю

(а • Ару A = pbo (4)

при вщсутносп вир1зу, або залежшстю

(a• Ар')/ A = pр о + q (5)

при наявносп вир1зу. Кутовий коефтщент р може бути обчислений за допомогою методу най-менших квадратв з використанням точок су-цшьно! криво! рис. 3, а вшьний член q — тим самим методом з використанням точок криво! з маркерами; щ точки треба розташовувати поза зоною впливу вир1зу на напружено-деформова-ний стан кшьцевого сектору. Вт1м, розрахунки за наведеною схемою доводять, що величину р мож-на обчислити також залучаючи методи опору матер1ал1в. Результат в припущент поздовжшх зусиль мае вигляд

P » Pо =

1

6(1 + п) 1 -а/ 1п— / 2-а

(6)

Тут через а = Н/а позначено ввдносну товщи-ну сектору; V — коефшдент Пуассона материалу. Навпаки, визначити вшьний член q , виходячи з уявлень опору матер1ал1в, неможливо, оск1льки область застосування цих уявлень, очевидно, не розповсюджуеться на випадки наявносп вир1зу.

Багаторазов1 розрахунки накопичених купв повороту рад1альних перетинДв з одержанням да-них, под1бних до представление на рис. 3, дозво-ляють скласти уявлення про поведнку вшьного члену q в залежност вщ в1дносно! глибини ви-р1зу при р1зних в1дносних товщинах к1льцевих секторДв. По-перше, вшьний член q збшьшуеть-ся при збшьшент вщносно! глибини вир1зу у : що глибший вир1з, то бшьшою м1рою спостер1-гаеться порушення р1вном1рност1 накопичення купв повороту перетишв. По-друге, виявлений ефект е тим бшьш сильним, чим бшьшою е вщнос-на товщина кшьцевого сектору. Ц1 обида1 обста-вини представлено граф1чно на рис. 4.

Ощнка в1дносного зменшення жорсткост

Визначимо жорстк1сть кшьцевого сектору як коефшдент пропорцшносп мгж моментом M0 та взаемним кутом 2Ар (чи 2Ар') повороту гра-ничних радоальних перетинДв (тобто таких перетишв, для яких кути розташування становлять

р0 =± -2 утах ; цим перетинам ввдповвдають

Рис. 4. Залежтсть параметру q вщ вщносно!' глибини вир1зу

длянки AB та CD на рис. 2). Тодо жорстюсть C1 сектору без вир1зу можна визначити стввщно-шенням формально аналог1чним до закону Гука:

М0 = С • 2Ар. При використант асимптотики (4) маемо:

Мо = СГ РУтах • А .

a

Аналогично, жорсткють C2 сектору з вир1зом

визначимо сшввщношенням M0 = C2 • 2Ар'. При використанш асимптотики (5) маемо:

А

M0 = С2 ^Утах + 2q>

a

Тод1 для вщносного зменшення жорсткосп одержуемо

С - C 2

2q

С1 РУтах + 2q Практика розрахунюв за шею формулою доз-воляе помпити, що рутах >> 2q. Остаточно одержуемо

Cl - C2 = 2q . (7) С1 рутах

Для конкретного кшьцевого сектору параметри у тах, a, Н 1, отже, з урахуванням (6), величина p залишаються сталими незалежно в1д вщносно! глибини вир1зу. Тому можна стверджувати, що поведнка вшьного члену q, яка представлена на рис. 4, надае уявлення про залежтсть вщносного

зменшення жорсткост1

C1 —C2

в1д вддносно! гли-

бини вир1зу для кшьцевого сектору з певною геометр1ею.

2

а

с

Приклад щентифжацп ушкодження

Наведемо приклад застосування формули (7).

Нехай е сектор з параметрами

У п

= 45°,

a = hja = 0,01. 3 (6) маемо p = 0,0248 .

Нехай при вим1рюванш параметр1в в1бро-сигналу виявилось, що ввдносний рiвень стало! складово! становить D0 = 1,1%, а коефщент гармонiчних спотворень дорiвнюe G = 0,27 %. Щ значення на 2—3 порядки переб1льшують чут-лив1сть сучасних вим1рювальних прилад1в. Так, плата в1броанал1зу NIPXI-4461 мае 24-розряд-ний АЦП з власними гармоншними спотво-реннями не бiльше -107 дБ (0,00044%). Це доз-воляе вим1рювати коеф1ц1ент гармон1к 0,003% з погршшстю не б1льше + 0,0005% [8]. Кал1-братор-вимiрювач нелшшних спотворень СК6-20 вим1рюе коеф1ц1ент гармон1к починаючи з 0,001% [9].

При здшсненш гармон1чного анал1зу розв'яз-ку р1вняння в1льних коливань бiлiнiйного осци-лятору встановлено [7], що пост1йна складова коливань та коефшдент гармон1чних спотворень пов'язаш з вщносним зменшенням жорсткосп стввщношеннями

D0 = -•

1 C1 - C

1-^2

G = — • -Cl - C2

p C, 9p C,

Використовуючи надан1 значення, отримуемо

Cl C2- = pD0 »-9pG » 0,035. Тод1 з (7) маемо:

C

2

q =

РУmax Cl - C2_ 0,0248 • 45°

2

C,

2

• 0,035 » 0,0195°

3а граф1ком рис. 4 (верхня крива) знаходимо g = h,/h = 0,35 . Таким чином, попри удавану малсть, ввдносне зменшення жорсткосп вщповь дае параметрам в1бросигналу, надйно вимрюва-ним в розглядуваному д1апазош, i е придатним для оцшки величини ушкодження.

Висновки

В робота з використанням розв'язку ввдповь дно! гранично! задач1 теорц пружносп для кшьце-вого сектору, який моделюе перетин цилшдрич-но! оболонки та мае вир1з, що моделюе поверх-неву трщину, проанал1зовано збурення полiв пе-ремщень при розкригт1 трщини. Визначено ку-тов1 розм1ри зони збурень та проанал1зовано на-копичення купв повороту радоальних перетинiв в секторах без вир1зу та з вир1зом. Це надало змогу ввести параметр, який в штегральному сенс1 описуе спотворення пол1в перемщень.

3 використанням цього параметру одержано про-сту оц1нку вщносного зменшення жорсткост1 оболонки на згин при розкрит трщини, при-датну для 1нженерних застосувань. Ця оц1нка узагальнюе розв'язки граничних задач для кшьцевих сектор1в з р1зними геометричними параметрами. Одержан1 результата ввдповдають р1вню чутливосп сучасних вишрювальних при-ладов.

Список лггератури

1. Постнов В. А. Определение повреждений упругих систем путем математической обработки частотных спектров, полученных из эксперимента / В. А. Постнов // Механика твердого тела. - 2000. - № 6. - С. 155-160.

2. Бовсуновский А. П. Диагностика закрывающихся трещин в стержневых элементах при нелинейных резонансах методом варьирования асимметрией вынуждающей силы / А П. Бовсуновский, О. А. Бовсуновский // Проблемы прочности. - 2010. - № 4. - С. 50-61.

3. Damage detection method in complicated beams with varying flexural stiffness / Kan Feng, Zheng Li, Gui-yun Gao, Xian-yue Su // Applied Mathematics and Mechanics. - 2011. - Vol. 32, № 4. - P. 469-478.

4. Huang C. S. Vibrations of rectangular plates with internal cracks or slits / C.S. Huang, A.W. Leissab, C.W. Chan // International Journal of Mechanical Sciences. - 2011. - Vol. 53, № 6. -P. 436-445.(метод Ритца).

5. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Мусхелишвили Н. И. - Изд. 5-е, испр. и доп. -М. : «Наука», 1966. - 707 с.

6. Анпилогов Д. И. Построение конформного отображения кольцевых секторов на единичный круг / Анпилогов Д. И. // Вестник Харьк. нац. ун-та. Сер. «Матем., прикл. матем. и мех.». -2007. -№ 790, вып. 57. - С. 146-157.

7. Анпилогов Д. И. Расчет относительного уменьшения жесткости поврежденного кольцевого сектора на основе анализа поля перемещений / Д. И. Анпилогов // Прикладная механика. - 2010. - Т. 46, № 8. - С. 90-105.

8. Пивак А. В. Измерение коэффициента гармоник напряжения сигнала, заданного во временной области [Електрон. ресурс] / А. В. Пивак. - Електрон. дань - Режим доступу: http://www.piist.ru/info.php/articles/kni.htm.

- Назва з екрана.

9. Калибратор-измеритель нелинейных искажений СК6-20 [Ел. ресурс]. - Ел. дат. - Режим доступу: http://www.npcentre.ru/view_item.php?id=63.

- Назва з титул. екрана.

Поступила в редакцию 24.11.2011

ISSN 1727-0219 Вестник двигателестроения № 1/2012

- 71 -

Мастиновский Ю.В., Анпилогов Д.И. Идентификация поверхностного повреждения в конструкциях оболочечного типа

Проанализировано возмущение полей перемещений в сечении поврежденной оболочки при раскрытии трещины. Определен параметр, который интегрально описывает искажение полей перемещений. Оценено относительное уменьшение жесткости поврежденных оболочек с разными геометрическими параметрами. Полученные результаты соответствуют уровню чувствительности современных измерительных приборов.

Ключевые слова: поврежденная оболочка, возмущение поля перемещений, относительное уменьшение жесткости.

Mastinivskiy Yu., Anpilogov D. Identification of surface damage in shell-type constructions

Displacement fields perturbation in a section of damaged shell when crack disclosing is analyzed. Parameter that describes the displacement fields distortion integrally is defined. The relative decrease of stiffness of damaged shells with different geometric parameters is estimated. The obtained results correspond to the sensitivity level of modern instrumentation.

Key words: damaged shell, displacement fields perturbation, relative decrease of stiffness.