CC BY
34
Метод показал высокую эффективность при регистрации спектра пропускания различных участков микроструктуры клеток, который имеет большой диапазон изменения оптической плотности. Разработанные алгоритмы и компьютерные программы позволяют использовать микроскоп-гиперспектрофотометр во многих областях биомедицинских исследований.
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.
Литература
1. Гуров И.П., Лопатин А.И., Мельников А.В. Метод компенсации спектральной неоднородности источника излучения подстройкой его цветовой температуры для гиперспектральных приложений в микроскопии // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. -2012. - № 5 (81). - С. 38-42.
2. Nayar S.K., Branzoi V. Adaptive dynamic range imaging: optical control of pixel exposure over space and time // Proc. the Ninth IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV). - 2003. - V. 2. - P. 1168-1175.
3. Nuske S., Roberts J., Wyeth G. Extending the dynamic range of robotic vision // Proc. IEEE Int. Conference on Robotics and Automation. - 2006. - P. 162-167.
4. Понс Ж., Форсайт Д. Компьютерное зрение: Пер. с англ. - М.: Вильямс, 2004. - 928 с.
5. Белашенков Н.Р., Гуров И.П., Лопатин А.И., Мельников А.В. Микроскоп-спектрофотометр с матричным фотоприемником // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2007. - № 9 (43). - С. 260-265.
6. Бобровников Л.З. Электроника. - СПб: Питер, 2004. - 560 с.
Гуров Игорь Петрович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, [email protected] Лопатин Александр Иосифович - ОАО «ЛОМО», кандидат физ.-мат. наук, главный оптик, ailo-
Мельников Алексей Викторович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, инженер-исследователь, [email protected]
УДК 53.05: 519.219: 519.714.3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ВНУТРЕННЕЙ МИКРОСТРУКТУРЫ БИОТКАНЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМАЛИЗМА СТОХАСТИЧЕСКИХ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Е.А. Воробьева, И.П. Гуров, А.Х. Киракозов
Разработан метод моделирования многослойных случайно-неоднородных сред на основе использования математического аппарата стохастических разностных уравнений. Предложен метод описания случайной границы среды. Приведены примеры представления многослойных случайно-неоднородных сред с различными параметрами их внутренней микроструктуры.
Ключевые слова: микроструктура, стохастические дифференциальные уравнения, многослойные среды.
Введение
Определение внутренней микроструктуры случайно-неоднородных сред неразрушающими оптическими методами представляет важное направление научных исследований и высоких технологий. Перспективным методом исследований является оптическая когерентная томография (ОКТ), обеспечивающая наиболее высокое разрешение при неразрушающем контроле микрообъектов [1-3].
Количественный анализ свойств микроструктуры объектов возможен при учете физических особенностей взаимодействия оптического излучения с веществом и использовании адекватного математического описания микроструктуры исследуемых объектов. Существуют различные подходы к исследованию случайно-неоднородных сред, например, метод диаграмм, метод интегралов по траекториям, метод уравнения переноса и др. [4-5]. Метод диаграмм связан с использованием аппарата квантовой теории поля, а именно, с построением диаграмм Фейнмана [6].
Метод интегралов по траекториям, впервые предложенный Р. Фейнманом, получил широкое распространение [6-8]. Сущность метода заключается в том, что излучение рассматривается как поток фотонов, проходящих через среду по всевозможным траекториям, рассеиваясь на неоднородностях [9]. Интегрирование по всем траекториям (суммирование вкладов по всем траекториям) позволяет описывать распространение света в случайно-неоднородной среде [4]. Виды реализации метода интегралов по траекториям можно разделить на два класса: аналитические и стохастические. Модели рассеяния на броуновских частицах и на потоках частиц составляют основу аналитических методов [9-10], в которых ис-
пользуются некоторые приближения для решения задачи. Метод Монте-Карло является стохастическим методом моделирования рассеяния в случайно-неоднородной среде [11-12].
Одним из наиболее плодотворных методов исследования случайно-неоднородных сред является метод уравнения переноса [4, 13]. Поскольку на сегодняшний день не найдено решение уравнения переноса, корректно описывающее рассеяние всех порядков, стохастическое описание является, по существу, единственным подходом, позволяющим предсказывать результаты экспериментов в случаях, когда важную роль играют как рассеяние низких порядков, так и многократное рассеяние.
Модель случайно-неоднородной среды можно построить также на основе формализма стохастических дифференциальных уравнений [14]. При этом важно учитывать априорную информацию об исследуемой среде, например, о наличии слоистой структуры с неровными границами и т.п.
В настоящей работе рассматриваются особенности описания случайно-неоднородных сред на основе формализма стохастических дифференциальных уравнений первого порядка (в форме уравнения Ланжеве-на) и демонстрируется возможность определения параметров микроструктуры исследуемой среды.
Стохастические дифференциальные уравнения для описания случайно-неоднородных сред
Рассмотрение свойств случайно-неоднородной среды дает основание для использования стохастических математических моделей для моделирования ее внутренней микроструктуры. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение Ланжевена
а 0
— = -а0+аи(О, (1)
Ж
где ) - случайный гауссовский процесс с нулевым средним значением и равномерной спектральной плотностью мощности (белый гауссов шум); а - константа.
Уравнение (1) представляет собой альтернативное описание случайных реализаций величины 0(/) при эволюции плотности вероятности р(0, t), определяемой уравнением Фоккера-Планка. В свою очередь, уравнение Фоккера-Планка широко используется для описания многих процессов в физике и химии [15], а также при изучении процессов самоорганизации в сложных системах, включая биологические системы [16]. Кроме этого, известно, что решение уравнения (1) обладает свойством фрактальности, которое характерно для разнообразных процессов в естественной природе. Таким образом, уравнение вида (1) применимо для описания пространственного распределения степени отражения излучения в случайно-неоднородных средах биологической природы ввиду клеточного механизма формирования биотканей. При этом распределение коэффициента отражения в среде по глубине определяется уравнением (1) в форме
а 0
— = -а0 + ап( г), (2)
где г - координата по глубине среды.
Уравнение (2) удобно для использования ввиду простоты при моделировании и возможности варьировать спектральные свойства получаемых реализаций 0(г). За счет выбора подходящего значения а можно установить характерный масштаб неоднородностей: чем меньше величина этого параметра, тем более крупным является характерный масштаб неоднородностей моделируемой среды.
Большинство биотканей имеет слоистую структуру [17, 18]. По этой причине для описания реальных биотканей уравнение (2) требуется преобразовать к нестационарному виду, когда а =а(0, г) или формирующий шум п(х) характеризуется изменяющимися параметрами - переменной дисперсией или шириной спектра, т.е. является «окрашенным» шумом.
В методах ОКТ, как отмечалось выше, получают значение коэффициента (однократного) отражения по глубине среды вдоль координаты г (так называемые А-сканы), совокупность которых составляет томограмму (В-скан). Поскольку томограмма является двумерным представлением микроструктуры в сечении исследуемого объекта, при описании распределения коэффициента отражения среды нужно учитывать коррелированность характеристик в соседних А-сканах.
Дискретная двумерная модель томограммы показана на рис. 1. Модель представляет собой двумерную сетку, состоящую из N х М ячеек, при этом каждой ячейке соответствует инверсное значение коэффициента отражения: чем оно больше, тем ярче выглядит ячейка на рисунке. Значение коэффициента отражения в ячейке с координатами (/, у) обозначим как 0(/, у).
Используя уравнение (2), можно записать стохастическое разностное уравнение для описания изменения коэффициента отражения внутри среды с учетом коррелированности значений в соседних точках в виде
0(1, у) = (1 - а) (а0(/ -1, у ) + Ь0(/ +1, у) + с0(/, у +1) + а0(/, у -1) + м>{1, у) , (3)
где а, Ь, с, ё - коэффициенты, сумма которых должна быть равна единице. Таким образом, получаем N х М уравнений и N х М неизвестных:
(1 с Ь 0 ^
а 1 0 а 0 0
с Ь 1 с а1
(4)
V...../
где 6 - столбец неизвестных 6(/, ]); V - столбец случайных величин м>(1, ]). При решении системы уравнений (4) полученные значения будут полностью удовлетворять уравнению (3).
А/
М
"ЛИЩГ
Рис. 1. Дискретная двумерная модель В-скана
Рис. 2 иллюстрирует пространственные распределения коэффициента отражения в среде при а=Ь=с=ё=0,25 и различных значениях а . Значение параметра а влияет на скорость изменения характеристик среды, что позволяет определить среды с различными масштабами локальных неоднородностей.
а б в г
Рис. 2. Примеры пространственного распределения коэффициента отражения в среде для а=0,5 (а); а=0,2 (б); а=0,05 (в); а=0,01 (г) (размер 150*200 пикселей)
Заметим, что параметр а определяет граничную частоту диапазона частот спектральной плотности мощности случайного процесса, определяемого уравнением (2) (см. [19]), что позволяет интерпретировать свойства случайно-неоднородных сред с позиций пространственно-частотного подхода.
Описание границы случайно-неоднородной среды
В описанном выше алгоритме предполагается, что моделируемая среда имеет ровную границу. Однако получаемые ОКТ-изображения реальных биологических сред практически никогда не имеют ровной внешней границы.
Для описания случайной границы целесообразно использовать решение уравнение Ланжевена (2), в котором в качестве случайной реализации 6 рассматривается начальная координата границы х0. Рассмотрим алгоритм определения случайной границы более подробно.
Для формирования случайной границы необходимо задать функцию х0 (]), которая для каждого ]-го столбца определяет номер ячейки, относящейся к границе среды для этого столбца [14]. Для уравнения Ланжевена (2) известно точное решение: если 60 = 6(2 = 0), то
6(г) = 6^ +а|и(§)Та(2ё\ .
(5)
Перепишем уравнение (5) для координаты границы 2/:
z
zj) = у(а, ст, zj_J, Az) = zj_le_az +ajn(t)e_a(z_ydt,.
(6)
где функция у(zJ) представляет решение уравнения (1) при заданных параметрах (а, ст), ст - среднеквадратичное отклонение, характеризующее формирующий гауссов шум п(z).
Алгоритм вычислений состоит из двух этапов. Сначала выбираются некоторые значения для параметров а, ст, z0, Az , и для каждого у-го столбца по формуле (6) рекурсивно вычисляются значения zj = у '(а, ст, zj_1, Д) у = 1,..., М .
Затем функция z0(j) вычисляется по следующей формуле [14]:
( „ , Л
zo( j) = Int
1 + (max {zo( j)}_ i)
zj _ min zj
max j zj _ min j zj y
(7)
где Int(-) обозначает функцию округления до ближайшего целого числа, max {z0( j)} - заданное максимальное значение функции z0 (j). Формула (7), по существу, представляет операцию масштабирования
значений z j на
i отрезок [l, max {z0(j)}].
'*? , . A s ; . щ -
г I -ДА. Z V4 г
Г -TP: i4* н. г-1 Vfttflr
а б
Рис. 3. Томограмма свиной кожи (а) и результат синтеза В-скана для среды со случайной верхней границей для а=0,1 (б) (размер 300*150 пикселей)
На рис. 3, б, показан результат моделирования случайно-неоднородной среды со случайной верхней границей. Сравнение рис. 3, а, б, демонстрирует соответствие реальной томограммы биоткани и синтезированной томограммы.
Описание структуры многослойной случайно-неоднородной среды
Реальные биологические ткани в большинстве случаев состоят из нескольких слоев, отличающихся свойствами их микроструктуры. Для многослойной среды необходимо определить параметры для каждого отдельного слоя и для границ слоев [14].
На рис. 4 представлены примеры синтезированных многослойных случайно-неоднородных сред. Случайная граница между слоями задается так же, как и внешняя граница среды.
б
Рис. 4. Фрагменты представления двухслойной (а) и трехслойной (б) случайно-неоднородных сред
(размер 300*150 пикселей)
На рис. 4, а, показан фрагмент двухслойной среды при значениях параметров для обоих слоев а=Ъ=с=й=0,25 и значениях а=0,2 для верхнего слоя, а=0,1 для нижнего слоя. На рис. 4, б, представлен фрагмент трехслойной среды с параметрами а, равными 0,1; 0,01; 0,05 для верхнего, среднего и нижнего слоев соответственно.
а
Рассмотренный алгоритм позволяет компактно описать внутреннюю микроструктуру случайно-неоднородной среды с произвольным числом слоев при различной степени выраженности границ между слоями. Представленные среды на рис. 4 имеют ярко выраженную границу между слоями. Для моделирования слабо выраженной границы было реализовано усреднение коэффициентов а, и а} на границе
1-го и/-го слоев.
Алгоритм вычислений иллюстрируется блок-схемой на рис. 5. В качестве входных данных алгоритм получает описание каждого из слоев случайно-неоднородной среды и параметры для определения случайных границ. На первом этапе вычислений осуществляется инициализация параметров среды. Для каждого слоя формируется случайная граница и выполняется ее сглаживание при необходимости.
Второй этап вычислений заключается в разбиении среды на отдельные равные части. Время выполнения вычислений значений в каждой точке среды и требуемая память имеют квадратичную зависимость от размера обрабатываемой области, что ограничивает допустимые размеры области расчета.
параметры среды
"М
V
Инициализация параметров среды
С
Инициализация слоя ^^—
______ _ _
Генерация
Скользящее усреднение
Н-
границы слоя
V
[0
—сн
Сглаживание границ слоев |
" ри а, Ь, с, ^'д:- ■::
коэффициент воздействия соответствующих "соседей" в каждой тсмке среды
V
Разбиение среды на части
V
[0...Х][0...У]
ч
Расчет значений пространственного распределения коэффициента отражения
' Формирование системы уравнений I
---г*
с учетом влияния соседних ячеек
С
I
Решение системы уравнений методом Гаусса
)
Обьединение результатов
С
с
у
Нормализация результатов расчета
V
3 3
Преобразование результатов в ч/б изображение
3
V ®
Рис. 5. Блок-схема представления многослойной случайно-неоднородной среды
со случайными границами
Третий этап вычислений состоит в формировании системы уравнений с учетом влияния соседних ячеек с весовыми коэффициентами а, Ъ, с, й и ее решении методом Гаусса. Этот этап выполняется отдельно для всех частей среды, и затем результаты вычислений объединяются в форме матрицы.
Завершающие шаги алгоритма состоят в нормализации полученных результатов и преобразовании в черно-белое изображение. Нормализация проводится для удобства преобразования полученных значений в полутоновый диапазон.
На рис. 6 представлены примеры многослойных сред со слабо выраженными границами между слоями, полученные с помощью описанного выше алгоритма вычислений.
Представленная на рис. 6, а, среда состоит из двух слоев, параметр а для верхнего слоя равен 0,13, а для нижнего 0,08. Среда, изображенная на рис. 6, б, состоит из трех слоев, для которых параметр а равен 0,85; 0,9; 0,95 для верхнего, среднего и нижнего слоев соответственно.
а б
Рис. 6. Смоделированные В-сканы для двухслойной (а) и трехслойной (б) случайно-неоднородных сред со слабо выраженными случайными границами между слоями (размер 300*150 пикселей)
При описании сложных многослойных сред требуется задавать в общем случае четыре «переключаемых» параметра для каждого слоя и для каждой границы слоев. Число параметров снижается при описании преимущественно однородных сред.
Заключение
Разработанный подход к определению микроструктуры биотканей на основе математического аппарата стохастических разностных уравнений обладает высокой гибкостью в зависимости от выбора параметров модели, что позволяет адекватно представить случайно-неоднородные среды с различной микроструктурой. Предложенный метод позволяет определять случайно-неоднородную среду ограниченным числом параметров для описания слоев и их границ. Приведены примеры описания однослойных и многослойных случайно-неоднородных сред со случайными границами, иллюстрирующие адекватность предложенного представления реальным средам.
Разработанный подход обеспечивает возможность создания тестовых моделей (виртуальных неоднородных сред) для верификации алгоритмов обработки информации в оптической когерентной томографии.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.
Литература
1. Гуров И.П. Оптическая когерентная томография: принципы проблемы и перспективы // Проблемы когерентной и нелинейной оптики / Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. - С. 6-30.
2. Alarousu E., Gurov I., Kalinina N., Karpets A., Margariants N., Myllyla R., Prykari T., Vorobeva E. Full-field high-resolving optical coherence tomography system for evaluating paper materials // Advanced Laser Technologies 2007 // Proc. SPIE. - 2007. - V. 7022. - P. 7022-12.
3. Gurov I., Karpets A., Margariants N., Vorobeva E. Full-field high-speed optical coherence tomography system for evaluating multilayer and random tissues // O3A: Optics for Arts, Architecture, and Archaeology Proc. SPIE. - 2007. - V. 6618. - P. 6618-07.
4. Скипетров С.Е. Диффузионно-волновая спектроскопия в средах с пространственно неоднородной динамикой рассеивателей: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.04.21. - М., 1998. - 153 c.
5. Воробьева Е.А., Гуров И.П. Модели распространения и рассеяния оптического излучения в случайно-неоднородных средах // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Сборник научных статей / Под ред. И.П. Гурова, С.А. Козлова. - СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2006. - С. 82-98.
6. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 8. Квантовая механика - I // М.: Мир, 1966. - 267 с.
7. Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. - М.: Мир, 1968. - 382 с.
8. Path integrals and their applications in quantum, statistical, and solid state physics / Eds. G.J. Papadopoulos, J.T. Devreese. - NY: Plenum press, 1978. - 515 p.
9. Maret G., Wolf P.E. Multiple light scattering from disordered media. The effect of brownian motion of scat-terers // Z. Phys. B. - 1987. - V. 65. - № 4. - P. 409-413.
10. Wu X-L., Pine D.J., Chaikin P.M., Huang J.S., Weitz D.A. Diffusing-wave spectroscopy in a shear flow // J. Opt. Soc. Am. B. - 1990. - V. 7. - № 1. - P. 15-20.
11. Ярославский И.В., Тучин В.В. Распространение света в многослойных рассеивающих средах. Моделирование методом Монте-Карло // Оптика и спектроскопия. - 1992. - Т. 72. - № 4. - С. 934-939.
12. Feng S., Zeng F. Monte Carlo simulations of photon migration path distributions in multiple scattering media // Proc. SPIE. - 1991. - V. 1888. - P. 78-89.
13. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. - М.: Мир, 1972. - 385 с.
14. Воробьева Е.А., Киракозов А.Х. Идентификация стохастических моделей случайно-неоднородных сред в оптической когерентной томографии // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Сборник научных статей / Под ред. И.П. Гурова, С. А. Козлова. - СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2008. - С. 120-129.
15. Ван-Камепен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. - М.: Высшая школа, 1990. - 376 с.
16. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. - М.: Мир, 1991. - 240 с.
17. Руководство по оптической когерентной томографии / Под ред. Н.Д. Гладковой, Н.М. Шаховой и А.М. Сергеева. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 296 с.
18. Уманец А.В. Анализ видов тестовых образцов материалов в оптической когерентной томографии // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Сборник научных статей / Под ред. И.П. Гурова, С. А. Козлова. - СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2008. - С. 130-136.
19. Ахманов С. А., Дьяков Ю.А., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. - М.: Наука, 1981. - 640 с.
Воробьева Елена Александровна Гуров Игорь Петрович
Киракозов Александр Христофорович
ООО «Моторола-Мобилити», инженер-программист,
Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, [email protected] ООО «Яндекс», руководитель группы, [email protected]
