CC BY
73
2
ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА
УДК 535.8, 57.087, 681.787
АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ КОГЕРЕНТНОЙ
ТОМОГРАФИИ И.П. Гуров, А.Х. Киракозов
Выполнен сравнительный анализ двух методов восстановления томографических изображений в спектральной оптической когерентной томографии: стандартного метода, основанного на обратном преобразовании Фурье, и метода логарифмического преобразования. Показаны преимущества метода логарифмического преобразования, заключающиеся в получении изображений более высокого качества за счет устранения искажений, вносимых сопутствующими неинформативными составляющими интерферометрических сигналов в спектральной оптической когерентной томографии. Ключевые слова: оптическая когерентная томография, метод логарифмического преобразования.
Введение
Исследования внутренней микроструктуры различных объектов неразрушающими методами имеют важное значение для биомедицины и материаловедения. В последние годы получили активное развитие методы оптической когерентной томографии (ОКТ) [1, 2], обеспечивающие наиболее высокое разрешение (в настоящее время - до долей микрометра) при восстановлении томографических изображений, которые представляют трехмерную внутреннюю микроструктуру неоднородных сред на глубине проникновения оптического излучения со значительным диффузным рассеянием.
Основной частью систем ОКТ является двухлучевой интерферометр с освещением от источника излучения с широким спектром. Расстояние до внутреннего слоя исследуемого объекта определяется оптической разностью хода между предметной и опорной волнами в интерферометре. Как известно, в оптическом интерферометре регистрируется суммарная интенсивность предметной и опорной волн, поэтому информация об исследуемом объекте, заключенная в амплитуде и фазе отраженной предметной волны, доступна в «закодированном» виде в поле интерференции, и для извлечения полезной информации требуется обработка интерферометрических данных.
Существуют два основных вида методов ОКТ, определяемых особенностями получения и обработки данных: во временной области и в спектральной области. При реализации методов ОКТ во временной области сканирование объекта по глубине осуществляется при помощи управляемого механического перемещения опорного отражателя и регистрации значений огибающей интерферометрического сигнала при условии нулевой разности хода в интерферометре, характеризующих степень отражения излучения по глубине исследуемой среды. В ОКТ в спектральной области нет необходимости в перемещении опорного отражателя, поскольку требуемые данные регистрируются и извлекаются вычислительными методами одновременно для всех слоев среды, что является существенным преимуществом для повышения быстродействия систем ОКТ.
В последующих разделах работы рассмотрены особенности методов формирования и обработки данных в ОКТ в спектральной области (спектральной ОКТ), которые обеспечивают восстановление томографических изображений внутренней микроструктуры многослойных и случайно-неоднородных сред.
Метод обратного преобразования Фурье
В спектральной интерферометрии регистрируют интерферометрические сигналы, пропорциональ-
ные значениям интенсивности [3]
I (к) = О(к)
, ехр(-у' 2кг) +1 а( г) ехр{-у 2к[г + п( г) г ] }&
(1)
где О (к) - спектр источника излучения; аК - амплитуда опорной волны; ' = >/-1; к = 2п / X - волновое число, определяемое длиной волны X; 2г - оптическая длина пути опорной волны; а(г) - амплитуда предметной волны, отраженной на глубине г в исследуемом образце в диапазоне глубин Ь; п(г) - изменение показателя преломления по глубине среды. Полезная информация содержится в значениях а(г), характеризующих степень отражения предметной волны по глубине исследуемой среды, которые необходимо определить в результате обработки полученных значений I (к). В результате нормировки выражения (1) относительно спектра источника излучения и в предположении отсутствия дисперсии в среде (т.е. п( г) = 1) интерферометрический сигнал в спектральной ОКТ определяется в области волновых чисел формулой
2
АНАЛИЗ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ...
S (k) =
1 + J a( z) exp(- jkz)dz
(2)
Стандартный метод вычисления искомой амплитуды предметной волны a(z) состоит в применении обратного преобразования Фурье к значениям S (k). Обозначим через A(k) интеграл под модулем в выражении (2). В результате разложения A(k) на вещественную и мнимую части, A(k) = х + jy, получим
S(k) =|1 + A(k) |2 =|1 + х + jy |2 = 1 + 2х + х2 + у2 =
= 1 + (х2 + у2) + (х + jy) + (х - jy) = 1+1 A(k) |2 + A(k) + A* (k), где A*(k) - комплексно сопряженная величина. Применив обратное преобразование Фурье к выражению (3), получим
s(z) = S(z) + raa(z) +a(z) + a(-z), (4)
где 5(z) - дельта-функция; a(z) - искомая функция распределения коэффициента отражения по глубине; a(-z) - ее зеркальное (мнимое) отображение; raa (z) - автокорреляционная функция распределения коэффициента отражения по глубине среды. Из (4) видно, что применение метода преобразования Фурье к данным вида (2) требует рассмотрения трех сопутствующих компонентов в сигнале s( z), помимо искомой функции a(z).
Первое слагаемое в (4) легко устраняется, поскольку дельта-функция 5(z) имеет ненулевое значение только при z = 0, поэтому следует использовать значения s(z) при z > 0. При правильной настройке томографа, когда начало оси координат соответствует значению z = 0 на границе (поверхности) образца, слагаемые a(z) и a(-z) можно разделить так, что a(z) относится к положительной области оси координат (внутри образца), а a(-z) - к отрицательной области. Таким образом, следует использовать только полезные значения на положительной полуоси при z > 0, тем самым устранив неинформативные значения a(-z) на отрицательной полуоси. Однако оставшееся автокорреляционное слагаемое, raa (z), в (4) может вносить существенные искажения в получаемое томографическое изображение.
Метод логарифмического преобразования
В работе [4] рассматривается новый метод обработки данных в спектральной ОКТ, который учитывает тот факт, что амплитуда предметной волны, отраженной от объекта, обычно намного меньше, чем амплитуда опорной волны. В спектральной области с учетом выражения (2) это соответствует условию | A(k) |<< 1, Vk . При этом, взяв логарифм от обеих частей в выражении (2), получим
log(S(k)) = log(1 + A(k)) + log(1 + A* (k)) = A(k) + O(A2 (k)) + A*(k) + O(A*2 (k)), (5)
где O(-) обозначает малую величину. Вследствие того, что область определения функции a(z) находится на положительной полуоси координаты z, величины A(k) и A" (k) для n = 2 в правой части выражения (5) обладают каузальной инверсией, соответствующей известному принципу причинности. Симметричным образом, A*(k) и A*" (k) обладают антикаузальной инверсией. Это означает, что метод логарифмического преобразования позволяет разделить сигнал на каузальную и антикаузальную части и выделить полезную каузальную часть. Таким образом, чтобы найти величину log(1 + A(k)) в (5), необходимо вначале применить к левой части этого выражения обратное преобразование Фурье и, как рассмотрено выше, обнулить часть, относящуюся к отрицательной области оси координат (z < 0), и затем выполнить прямое преобразование Фурье. После операции потенцирования, вычитания единицы и повторного обратного преобразования Фурье получаем искомую функцию a( z) без сопутствующих ложных составляющих в (4).
Метод логарифмического преобразования в форме вычислительного псевдокода представлен ниже. Алгоритм принимает на вход значения сигнала S(k) и обеспечивает восстановление функции a(z) методом логарифмического преобразования.
Алгоритм. Восстановление томограмм методом логарифмического преобразования.
Дано: Массив значений интенсивности S.
1: for z = 0..length(S)-1
2: logSz <- log(Sz)
3: invLogS <- IFFT(logS)
4: for z = length(S)/2..length(S)-1
5: invLogSz <- 0
2
6: logA <- FFT(invLogS) 7: for z = 0..length(logA)-1 8: Az <- exp(logAz)-1 9: r <- IFFT(A) 10: return Re(r)
В строках 1-3 вычисляется логарифм от значений сигнала S, после чего применяется обратное преобразование Фурье. Согласно (5), это позволяет разделить сигнал на две независимые части. В строках 4-5 часть, принадлежащая отрицательной области оси координат, отбрасывается. Для получения величины log(1 + A(k)) применяется прямое преобразование Фурье (строка 6). Далее, чтобы восстановить исходный сигнал, необходимо провести комплексное потенцирование (строки 7-8) и еще раз применить обратное преобразование Фурье (строка 9). В строке 10 получаем действительную часть сигнала, соответствующую искомой функции a(z).
Сравнение методов обработки данных в спектральной ОКТ
Для демонстрации преимуществ метода логарифмического преобразования вначале был использован модельный сигнал, определяемый выражениями
a( z) = e [3 cos( z / 7) + cos( z /9)], z = 0,...,511;
a(z) = 0, z = 512,...,1023, (6)
где e - коэффициент масштабирования, позволяющий изменять величину сигнала. Отметим, что сигнал (6) каузален, т.е. соответствует принципу причинности, поскольку его значения в области отрицательных значений независимой переменной z (соответствующей значениям части дискретной последовательности z = 512,...,1023 ) равны нулю.
На рис. 1 приведены зависимости среднего квадратического отклонения (СКО) восстановленных значений сигнала от модельных как функции от коэффициента масштабирования e. Значения СКО выражены в единицах 8-битного представления данных (256 уровней). Из графиков видно, что влияние автокорреляционного слагаемого raa (z) в (4) приводит к квадратичному возрастанию СКО стандартного метода обратного преобразования Фурье при увеличении параметра e, тогда как СКО метода логарифмического преобразования возрастает линейно.
8
Рис. 1. Значения СКО восстановленных сигналов: ♦ - метод преобразования Фурье; ■ - метод логарифмического преобразования
а б в
Рис. 2. Исходная томограмма свиной кожи (а), томограмма, восстановленная методом обратного преобразования Фурье (б) и томограмма, восстановленная методом логарифмического преобразования (в). Формат изображений 334x256 пикселей
Метод логарифмического преобразования был исследован также применительно к двумерным сигналам в ОКТ. В качестве тестового образца была взята томограмма свиной кожи [5] (рис. 2, а).
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ С ЦИФРОВОЙ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ
Для каждого столбца данных в томограмме в соответствии с формулой (2) вычисляли значения сигнала спектральной интерференции S(k). После этого независимо для каждого столбца восстанавливали функцию a( z ) методом обратного преобразования Фурье и методом логарифмического преобразования. На рис. 2 иллюстрируются полученные результаты. Из рисунков видно, что использование метода обратного преобразования Фурье приводит к значительным искажениям восстановленного изображения. Метод логарифмического преобразования позволяет устранить влияние ложных составляющих в (4) и восстановить исходную томограмму с существенно более высоким качеством. Отличия в яркости изображений (рис. 2, а, в) обусловлены нелинейностью логарифмического преобразования и не снижают информативности томограмм.
Заключение
В работе проведен сравнительный анализ двух методов восстановления томографических изображений в спектральной ОКТ: стандартного метода, основанного на обратном преобразовании Фурье, и метода логарифмического преобразования. Приведенные результаты демонстрируют, что при больших значениях исходного сигнала автокорреляционные артефакты, присутствующие в стандартном методе, ведут к существенным искажениям восстановленного изображения, тогда как метод логарифмического преобразования позволяет устранить искажения и повысить качество восстановленных томограмм в спектральной ОКТ. Следует отметить, что повышение качества изображений достигается за счет более высокой вычислительной сложности алгоритма обработки интерферометрических данных, поскольку в методе логарифмического преобразования используются три операции преобразования Фурье. Повышение вычислительной мощности современных компьютерных систем позволяет преодолеть указанный недостаток и обеспечивает возможность использования метода логарифмического преобразования в практических разработках систем спектральной ОКТ.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации.
Литература
1. Гуров И.П. Оптическая когерентная томография: принципы, проблемы и перспективы II Проблемы когерентной и нелинейной оптики I Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. - С. б-З0.
2. Tomlins P.H., Wang R.K. Theory, developments and applications of optical coherence tomography II J. Phys. D: Appl. Phys. - 2005. - V. З8. - P. 2519-25З5.
3. Häusler G., Lindner M.V. «Coherence radar» and «Spectral radar» - new tools for dermatogical diagnostics II J. Biomed. Opt. - 1998. - V. З. - P. 21-З1.
4. Sekhar S.C., Leitgeb R.A., Bachmann A.H., Unser M. Logarithmic transformation technique for exact signal recovery in frequency-domain optical-coherence tomography II Proc. SPIE. - 2007. - V. бб27. - P. бб2714-1.
5. Boer J., Srinivas S., Malekafzali A., Chen Z., Nelson J. Imaging thermally damaged tissue by polarization sensitive optical coherence tomography II Optics Express. - 1998. - V. З. - № б. - P. 212-218.
Гуров Игорь Петрович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой, gurov@mail.ifmo.ru Киракозов Александр Христофорович - Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет
информационных технологий, механики и оптики, аспирант, kirakozov@rain.ifmo.ru
УДК 535.417 + 681.787
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ С ЦИФРОВОЙ ФУРЬЕ-ГОЛОГРАММЫ В УСЛОВИЯХ ПРЕВЫШЕНИЯ ЧАСТОТЫ НАЙКВИСТА К. А. Гребенюк, А. А. Гребенюк, В.П. Рябухо
Проведено экспериментальное исследование особенностей регистрации цифровых безлинзовых внеосевых Фурье-голограмм в условиях превышения несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста. Показано, что превышение несущей частотой голограммной структуры частоты Найквиста ведет не к исчезновению изображения, а к постепенному уменьшению его интенсивности, что свидетельствует о снижении дифракционной эффективности голограммы. Ключевые слова: цифровая голография, Фурье-голограмма, голограммная структура, пространственный спектр, частота Найквиста.
Введение
Цифровые оптические методы, основанные на принципе внеосевой голографии, находят широкое применение при анализе динамических фазовых объектов, в первую очередь, объектов медико-биологических исследований in vivo [1-5]. Одно из основных ограничений этих методов связано с отно-
