CC BY
96. Рахматулин Х.А., Саатов Я. У, Филиппов И.Г., Артыков Г. У. Волны в двухкомпонентных средах. Ташкент: ФАН, 1974.
7. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1, 2. М.: Наука, 1987.
8. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.
9. Нигматулин Р.И. Механика сплошной среды. Кинематика. Динамика. Термодинамика. Статистическая динамика. М.: ГЭОТАР-Медиа, 2014.
10. Городецкая Н.С. Волны в пористо-упругих насыщенных жидкостью средах // Акустичний bíchhk. 2007. 10, № 2. 43-63.
Поступила в редакцию 27.0Í.2016
УДК 57.087.3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ШУМОВ СИСТЕМ ВИДЕОРЕГИСТРАЦИИ ДВИЖЕНИЯ
Т.Ю. Боков1, А. Г. Якушев2
Рассмотрены причины возникновения шумов в записях трех систем видеорегистрации движения Qualisys Oqus, Vicon Bonita и ARTTRACK2. Условно выделены статическая и кинематическая составляющие шума, предложены способы идентификации их параметров путем сравнения с модельными движениями. Оценка трех систем свидетельствует об удовлетворительном качестве регистрации движения со скоростью до 6 м/с и с ударным взаимодействием с внешней средой. Полученные образцы шумов используются для сравнения систем.
Ключевые слова: движение руки, видеорегистрация движения, шум.
The subject of this paper is to determine the reasons for resulting noises in output records of three video tracking systems — Qualisys Oqus, Vicon Bonita, and ARTTRACK2. Noise static and kinematic components are conventionally distinguished and their parameters are proposed to identify by comparison with model movements. Evaluation of these three systems leads to the conclusion on their satisfactory quality in the registration of tracking movements with velocity up to 6 m/s and with impact interactions with a surrounding medium. The obtained noise samples are also used to compare these video tracking systems.
Key words: arm movement, movement video tracking, noise.
Введение. При изучении движений человека с помощью систем видеорегистрации преимущественно регистрируются сравнительно медленные движения с характерными скоростями порядка 1 м/с. В качестве примеров можно привести указательное движение пальцем [1], попадание ручным манипулятором в заданную цель [2], движения человека в неинерциальной среде [3]. Движения с большими скоростями и с ударными взаимодействиями тел рассматриваются гораздо реже, и, как правило, в таких случаях помимо систем видеорегистрации привлекаются другие измерительные устройства: акселерометры, датчики угловой скорости, тензодатчики и т.д. Так, в работе [4], в которой изучалась техника выполнения бадминтонистом удара "смэш", использовались микроэлектромеханические инерциальные датчики.
Следует, однако, упомянуть, что существуют области, где уже нашли широкое применение видеозаписи скачкообразных точностных движений, например записи нистагма глаз человека [5].
Между тем при довольно простом движении — ударе молотком — скорость кисти руки может достигать величин порядка 20 м/с, а при забивании гвоздя средних размеров составляет к моменту удара около 5-7 м/с.
1 Боков Тимур Юрьевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: stevie-lpoolQyandex.ru.
2 Якушев Андрей Германович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: moidsQyandex.ru.
В настоящей работе рассматриваются три системы видеорегистрации движения: первая система состоит из четырех камер Qualisvs Oqus 1 и персонального компьютера с программным обеспечением Qualisvs Track Manager 2.2 фирмы "Qualisvs", Швеция;
вторая — из девятнадцати камер Vicon Bonita и персонального компьютера с программным обеспечением Vicon Nexus 1.6 фирмы "Vicon", Великобритания;
третья — из восьми камер ARTTRACK2 и персонального компьютера с программным обеспечением DTrack2 2.8 фирмы "Advanced Realtime Tracking Gmb", Германия.
Составляющие шума. Одна из задач, возникающих при обработке видеозаписей, полученных с помощью системы видеорегистрации движения, — это задача удаления шума из записи. Перед удалением необходимо идентифицировать шум — определить причины его возникновения и найти статистические характеристики. Причины появления шума разнообразны, например дискретность матрицы видеокамеры и как следствие погрешность определения положения центра маркера и ошибка алгоритма обработки измерений системы. Оценим погрешность, связанную с дискретностью матрицы. Рассматриваемые в настоящей работе системы [6-8] определяют координаты центра изображения световозвращающего маркера как координаты центра прямоугольника, описанного около светового пятна на матрице, образующегося из-за лучей, отраженных маркером. Контуры светового пятна определяются степенью освещенности пикселей, а она зависит от падающего светового потока. При движении маркера или изменении освещения этот поток меняется, изменяется и конфигурация светового пятна на матрице. Следовательно, смещение центра этого пятна вследствие движения можно оценить расстоянием, соответствующим размеру одного пикселя.
Параметры систем видеорегистрации и модельных движений
№ п/п Параметр Система
Qualisys Oqus | Vicon Bonita | ARTTRACK2
Физические параметры
1 Количество камер 4 19 8
2 Частота съемки, Гц 500 120 80
3 At, мс 2 8,33 12,5
4 Разрешение матрицы 640 x 480 1024 x 768 800 x 600
5 Am, мм 3,75 2,73 3,28
Статистические параметры статического шума (500,8 мм / 750,8 мм)
6 ß, мм -0,35 / 0,76 0,02 / 0,05 0,04 / 0,08
7 <7, мм 0,11 / 0,03 0,03 / 1,6 • 0,09 / 3,8 •
8 max «etat , мм 0,64 / 0,87 0,08 / 0,09 0,44 / 0,33
Вычисленные значения параметров измеренной траектории
9 Ah, м 1,96 • 10~b 3,41 • 10~4 1,36 • 10~á
10 tit, с 0,062 0,053 0,058
11 Cv, кг/с 5,11 • 10~b 5,06 • 10~b 5,08 • 10~b
12 Cv2, кг/м 2,07 • 10~4 2,06 • 10~4 2,06 • 10~4
13 д, м/с2 9,8152302 9,8152303 9,8152303
14 Ti, с 0,0618 0,0532 0,0578
15 Т2, с 0,60791 0,60811 0,60805
16 к 0,454 0,457 0,452
17 Amin, мм2 141,66 13,91 3,25
18 Ami„/(N2 - 1), мм" 0,25 0,10 0,05
19 Ьуд, м 2,83 • 10~4 2,11 • 10~4 2,42 • 10~4
20 Туд, с 0,60790 0,60809 0,60804
Относительные отклонения фактических значений параметров от номинальных, %
21 <5-ио 1,6 0,6 1,0
22 ¿v20 1,5 1,0 1,0
23 5Т1 0,32 0,38 0,30
24 5Т2 0,04 0,01 0,02
Статистические параметры кинематического шума
25 ß, мм 0,08 0,05 0,09
26 а, мм 0,45 0,27 0,19
27 max |riki„|, мм 1,58 0,53 0,43
Если разрешение камеры составляет М х N пикселей, а расстояние от точки, соответствующей одному углу кадра, до точки, соответствующей противоположному углу, измеряется в плоскости
иола помещения, в котором расположена система, и составляет з метров, то одному пикселю соответствует расстояние
Численные значения Ат для трех систем указаны в таблице.
Шум системы можно условно разделить на две составляющие — кинематическую, появляющуюся при движении маркеров, и статическую при неподвижных маркерах.
Модельное движение. При определении статического шума в качестве модели используется измерение фиксированного расстояния между неподвижными маркерами, расположенными на калибровочном устройстве.
В качестве модельного движения при измерении кинематического шума выберем падение стального шарика на стальную плиту и его последующий отскок, вплоть до второго удара о плиту. Пренебрегая сопротивлением воздуха и пользуясь законом сохранения энергии, оценим скорость шарика перед ударом о плиту величиной У\Т:
Здесь начальная высота h\ = 1,81 м, а до = 9,81523 ^ — ускорение свободного падения на широте Москвы [9]. Полученная величина скорости соответствует скоростям изучаемых движений руки.
Выбранный шарик диаметром d = 0,03 м и массой m = 0,111 кг выполнен из стали марки "стЗ". Чтобы обеспечить правильную работу видеосистемы, шарик оклеивается световозвращающей пленкой ЗМ 610 Series. Для крепления нити по одному из меридианов шарика выпиливается желоб, в который укладывается нить, а поверх нее наклеивается пленка. Чтобы слой пленки не влиял на удар о стальную плиту, небольшой участок поверхности шарика вблизи его нижнего полюса не оклеивается.
Шарик подвешивают на высоте h\ на нити, которую после включения видеозаписи пережигают. Записанное движение можно разделить на три этапа:
1) от начала падения до первого удара шарика о плиту,
2) от удара до момента последующего максимального подъема шарика,
3) от момента максимального подъема до второго удара.
После пережигания нити за время между съемкой двух последовательных кадров (обозначим его At) шарик пролетает расстояние, не превосходящее величину
Значения ДЛ приведены в таблице. Расстояние ДЛ для всех трех систем существенно меньше величины погрешности Ат, что не позволяет непосредственно по записи определить момент начала падения. В качестве характерного момента времени выберем момент, когда шарик впервые удалится от начального положения на расстояние 5Ат. Введем постоянную времени т\, равную промежутку времени, прошедшего от фактического начала падения шарика до указанного момента. Ее можно оценить величиной
Численные значения и т\т для трех систем приведены в таблице. Схожим образом оценим время падения шарика Тпад до первого удара:
Введенные обозначения представлены на рис. 1.
Номинальная траектория. Номинальная траектория падения шарика определяется как решение дифференциального уравнения
Ат л/М2 + N2'
V\T = \/2goh\ & 5,96 м/с.
mh = —тдо + Fc(h)
(1)
где Рс сила сопротивления воздуха. Начальные условия для уравнения (1) на трех этапах движения имеют вид
/г(0) = hi, h(0)=vi] h(T2) = h2, Цт2) = v2; Л(тз) = /г3, /г(т3) = v3,
(2)
где т2 момент окончания удара шарика о пластину, тз и /?з момент и высота максимального подъема шарика после удара соответственно, v2 скорость отскока шарика, а Vi = i's = h2 = 0. Так как удар не является абсолютно упругим, будем считать, что v2 = kvi, где к коэффициент восстановления при ударе. Табличное значение к для стальных объектов равно к0 = 0,56 [10].
Для силы сопротивления воздуха выбирается квадратичная модель [11]
Fc = —C\,oh — sign (h)Cv20h2,
Рис. 1. Схема модельного эксперимента
где Сг,о и Сг,2о постоянные параметры, зависящие от формы тела. Для шара номинальные значения Сг,о и Сг,20 вычисляются согласно закону Стокса:
1
С\,0 = Ъщй = 5,03 • Ю-6 кг/с.
где С-х = 0,47 постоянный параметр для шара [11], в = 7,07 • Ю-4 сечения, п = 1,78 • Ю-5 тгт и рс = 1,225
' ' * М-С ' с ' М13
нормальных условиях соответственно. Уравнение (1) переписывается в виде
•• = _ _ См ^ _ {Ь)Сг,2р т т
CV20 = ^ CxPcS = 2,04 • 10"4 кг/м,
м площадь его поперечного динамическая вязкость и плотность воздуха при
(3)
Рассмотрим уравнение (3) отдельно на трех этапах движения, указанных выше. Сделав в (3) замену v = h, получим
Cv0 sign (г>)С„20 2 ,лл
V = -до--V--v. (4)
m m
Решим уравнение (4) методом разделения переменных [12] для первого и третьих) этапов (на которых sign (h) = — 1). Будем иметь
V
Cv о
К
К
V 2т
2Сг,20 2Сг,20
Интегрируя полученное для v выражение но времени, находим
m , , / К оп—1 + " Т<— Inch —,
2 С„2П С„2П \2т
inch (;§(* + <*)>
(5)
(6)
Здесь и далее используется обозначение К = \/С%0 + 4Сг,20'тдо■
Введем обозначения для констант: С и и С-м это значения С1 и С2 на г-м этане движения. Значения С1 и С2 на нервом и третьем этане движения определяются исходя из условий (2) и соотношения (6):
т К + Cv0
Си = —Tj Н--m-——,
К К - Cv0
C2i = —hi — п Ti +
2С,
vJ0
m ln ch ln К + Cvо \
Cv2Q V2 К — CVQ /
В формуле (6) присутствует малый параметр Сг,20 в знаменателях первого и третьих) слагаемых, из-за чего возможен рост решения при уменьшении значения этого параметра. Такой рост противоречит непрерывности зависимости решения уравнения (4) от параметров Cv20 и Cvо, поскольку при стремлении коэффициентов силы сопротивления к нулю решение уравнения (4) должно стремиться к решению уравнения без учета силы сопротивления воздуха. Проверим факт этого стремления на первом этапе. Для этого построим 5 различных решений уравнения (4), каждый раз уменьшая значение Cv2 на порядок начиная с теоретического на первом шаге. Графики функций Sr разностей решения уравнения с учетом сопротивления воздуха и без него показаны на рис. 2, а, б соответственно. Для удобства на рис. 2, б представлены графики начиная со второго шага в более крупном масштабе, чем на рис. 2, а. Из приведенных графиков видно стремление к нулю рассматриваемой разности.
Проведя аналогичные расчеты для второго этана движения (sign (/г) = 1), получим
v =
Сур
2 а
к
2о
2 а
2о
Рис. 2. Зависимость функции Sr от времени: кривая 1 Cv2 = 2,04 • 1(Г4 кг/м, 2 2,04 х Ю-5 кг/м, 3 2,04-Ю-6 кг/м, 4 2,04-10~7 кг/м
Интегрируя, будем иметь h = Jg9-t + C2 + ^- Inch
2С,
dj0
а
dj0
-£(t + C0), (9,
где
r _ _ _ m К + Cvp - 2Cv20V2 12 ~ T2 К П К — Cvq + 2Cv20V2 '
m ln ch / _ 1 ln К + C\,0 - 2Cv2QV2 C„2n V 2 К — Cv 0 + 2Cv20v2
yv20 Ог,20
Значения 73 и /?з определяются из соотношения (9) и условий (2):
(10)
m (К + Cvо - 2Cv20v2){K - Cv0) Т3 ~ Т2 К П (К - Cv0 + 2Cv2Qv2){K + С,о):
hi = /?• (73) =
Сур
2 С,
2о
ш 1 и f 1 1 К +Cv0 \ Тз + с2 + JT— Inch - - In ——— .
bv20 V 2 Л — CyQ /
Фактическая траектория и кинематический шум. Траекторию, записанную в файл видеосистемой, назовем измеренной. Измеренная траектория может не удовлетворять уравнению (1) прежде всего из-за наличия кинематического шума. Рассмотрим восстановленную по видеозаписи траекторию, которая удовлетворяет соотношениям (5) (10), но у которой соответствующие значения параметров Сг!, Сг,2 и д отличаются от номинальных. Эту траекторию и значения параметров назовем фактическими. Фактические значения параметров Сг!, Сг,2, д, т\, т2 и к подберем так, чтобы минимизировать значение невязки А между измеренной и фактической траекториями, определяемой формулой
2 Иг-ГЩ _ 2
А = Е Е (Ш3)-Щ3,тг,Су,Сг,2,д,к)^ , (11)
г=1 j=Ni-1+к{
где tj моменты съемки кадров, Щ = 0, Л^ количество отсчетов на ?'-м этане, кг и т% количество отсчетов, исключенных из рассмотрения в начале и конце г-го этана. Отсчеты в начале и конце этапов исключаются, так как моменты начала и конца удара не известны точно. Длительность удара Твд можно оценить, считая, что скорость распространения упругих волн в стали равна скорости звука в стали г>:ш = 5130 м/с [13]:
т
J- уд —
V3B
2 • 0,03 5130
1,17 • 10~5 с.
Значение длительности Туд много меньше времени между съемкой двух последовательных кадров, поэтому при вычислениях из начала и конца каждого этапа можно отбрасывать лишь по одному отсчету, т.е. кг = т% = 1. На рис. 1 для удобства введены две оси времени: верхняя (t) в секундах, нижняя (п) в отсчетах.
Так как измеренная траектория выходные данные системы, а фактическая траектория решение уравнения движения, примем кинематический шум п^¡п равным разности измеренной и фактической высот шарика:
Пкт(и) = h(tj) - h(tj,Ti, С\„ Cv2, д, к).
Вычисление параметров движения. Задача сводится к поиску значений параметров фактической траектории, минимизирующих невязку (11). Поиск производится в области Do С R6:
Do = [0,98С„о; 1,02СгЮ] х [0,98С„2О; 1,02С„2О] х [0,98д0-1,02д0] х [0; Пт] х [0,98Т11ад; 1,02Т11ад] х [0,7fc; 1,3*;].
Область поиска разбивается по каждому измерению на интервалы с длинами: A0CV = 0,002С„о, А0Сг,20 =0,002Сг,2О, А0д =0,002до, Доп =0,05тЬп А0т2 =0,002Т11ад, А0к =0,03fc.
На полученной сетке ищется точка A\{CV\, Сг,21,д\, щ, к\), в которой значение А минимально. На следующем этапе шаг разбиения по каждому измерению уменьшается в 10 раз:
Д! = —
10
и поиск минимума невязки А проводится в области Di, в которую входят точки A(CV, Cv2 ,g,Ti,T2,k), удовлетворяющие покоординатному условию
\A-Ai\ ^ ЮАь
На каждом шах'е выполняется дополнительная проверка, находится ли найденная точка Аг строго внутри области Di или на ее границе. В случае, если Аг € dDi, шаг разбиения увеличивается в 2, 3, ... раза по сравнению с исходным значением на данном шаге и во столько же раз увеличиваются размеры области Di. Поиск точки Ai производится заново, пока Ai не окажется строго внутри Di.
Данный алгоритм реализован программно, дробление сетки выполнялось 8 раз. Полученные фактические значения параметров, относительные отклонения этих значений от номинальных и минимальное значение невязки Amjn указаны в таблице. Также в таблице приведены статисти чеекие характеристики кинематических шумов, а их записи на рис. 3.
Анализ кинематического шума. По
найденным значениям параметров, указанным в таблице, можно определить фактическую траекторию шарика на двух этапах. Выбрав две точки, соответствующие одинаковой высоте и отстоящие по времени одна от другой на Туд, определим измеренный момент начала туд удара и вычислим высоту /гуд центра шарика в момент удара. Полученные зна-
600 800 1000 t, мс
Рис. 3. Кинематический шум системы Qualisys üqus (кривая 1), системы Vicori Bonita (кривая 2), системы ARTTRACK2 (кривая 3)
чеиия ТуД и Л,уД приведены в таблице. Неравенство |Л,уд| <С Ат выполняется, следовательно, даже во время удара погрешности систем не превышают паспортных значений. Так как скорость шарика перед ударом о плиту соответствует скоростям рассматриваемого класса движений, то результаты позволяют говорить о том, что все три рассматриваемые в статье системы видеорегистрации подходят для регистрации движений со скоростями 5-7 м/с и ударным взаимодействием.
Относительные отклонения фактических коэффициентов силы сопротивления воздуха не превосходят 2%, т.е. фактические коэффициенты не выходят на границу или за пределы области поиска Do, заданной на первом шаге алгоритма, что дает возможность говорить о соответствии фактических значений коэффициентов номинальным. Фактическое значение д также отличается от номинального, но амплитуда изменения ускорения свободного падения д в течение суток составляет 2,4 • 10~6 [9], и для всех систем видеорегистрации разность фактических значений д и номинального до лежит в диапазоне суточных изменений.
Полученные статистические характеристики также можно использовать для сравнения систем видеорегистрации. Из данных, приведенных в таблице, следует, что фактические значения коэффициентов силы сопротивления воздуха менее всего отличаются от номинальных в случае системы Vicon Bonita. Также, согласно таблице, кинематический шум в записи системы Vicon Bonita в среднем меньше по величине, так как выборочное математическое ожидание кинематического шума для этой системы меньше, чем для двух других. Однако наименьшие среднеквадратичное отклонение кинематического шума и максимум модуля шума у системы ARTTRACK2.
Таким образом, сравнивая статистические характеристики кинематического шума, можно заключить, что системы Vicon Bonita и ARTTRACK2 имеют преимущество перед системой Qualisvs Oqus. Если рассматривать вопрос выбора между Vicon Bonita и ARTTRACK2 для проведения эксперимента, то стоит учесть, что примерная длительность движения, которое предполагается регистрировать (замах и удар), составляет около 0,4-0,5 с. Исходя из значений частот видеорегистрации в записи Vicon Bonita за это характерное время сделано 48-60 отсчетов, тогда как в записи ARTTRACK2 — всего 24-30, что говорит в пользу системы Vicon. Также в дальнейших исследованиях одним из важных параметров может стать длительность замаха и удара, и большая частота регистрации движения позволит определить этот параметр с большей точностью.
Статический шум. Для определения статической компоненты шума используются конструкции, в которых расстояние между маркерами известно с высокой степенью точности. Примем статическую компоненту равной разности измеренного s(t) и номинального snom расстояний между неподвижными маркерами:
^stat (ti) = s(U) — snom,
где ti — момент измерения с номером г. В настоящей работе статический шум nstat определялся при помощи двух стандартных Т-образных калибровочных приспособлений. На концах верхних перекладин этих приспособлений закреплены световозвращающие маркеры, номинальное расстояние между которыми составляет 500,8 и 750,8 мм соответственно. Эти приспособления по очереди располагаются неподвижно на поверхности стола. Производится несколько записей продолжительностью по 10 с.
Записи статических шумов трех систем приведены на рис. 4, их статистические характеристики — выборочные среднее ¡л, среднеквадратичное отклонение а и максимум модуля max |nstat| — указаны в таблице. Статический шум nstat Для всех систем на порядок меньше ошибок Ат, связанных с дискретизацией матриц видеокамер систем. Такое низкое значение статического шума свидетельствует о высоком качестве работы алгоритма обработки изображения в программном обеспечении систем видеорегистрации.
Кроме того, статистические характеристики статического шума системы Vicon Bonita — максимум модуля, выборочные математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение — меньше, чем у двух других систем. Этот факт может объясняться большим по сравнению с другими системами количеством камер, а также отличиями в алгоритмах обработки изображения.
Выводы. Анализируя вычисленные характеристики шумов, можно заключить, что во время падения до первого удара, в момент удара и после отскока до второго удара ошибки регистрации положения центра маркера не превышают величины ошибок, связанных с дискретностью матриц камер систем видеорегистрации. Это свидетельствует о том, что все три рассмотренные в статье системы можно применять для регистрации быстрых движений с характерными скоростями порядка 5^7 м/с и с ударными взаимодействиями. При этом стоит отметить, что выборочное математическое ожидание, выборочное среднеквадратичное отклонение и максимумы модулей составляющих
I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_». I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_
01 23456789 t, с 01 23456789 t, с
Рис. 4. Статический шум системы Qualisys Oqus (а), системы Vicon Boriita (б), системы ARTTRACK2 (в):
«пот = 500,8 мм (слева). snom = 750,8 мм (справа)
шумов системы Vicon Bonita меньше, чем у двух других систем. Также у данной системы наименьшее относительное отклонение фактических параметров силы сопротивления воздуха от номинальных, что означает большую близость фактической траектории к номинальной, чем у Qualisys Oqus и ARTTRACK2. Все это говорит в пользу системы Vicon Bonita как более предпочтительной для регистрации рассматриваемох'о класса движений.
Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 14 50 00029.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Flash Т., Нодап N. The coordination of arm movements: an experimentally confirmed mathematical model // J. Nenrosri. 1985. 5, N 7. 1688 1703.
2. Lin C.J., Chen H.-J. Modeling movements of a long hand-held tool with effects of moments of inertia /'/' Human Movement Sci. 2014. N 34. 233 245.
3. DiZio P., Lackner J.R. Motor adaptation to Coriolis force perturbations of reaching movements: endpoint but not trajectory adaptation transfers to nonexposed arm // J. Nenrophysiol. 1995. 74. N 4. 1787 1792.
4. Jaitner Т., Gawin W. A mobile measure device for the analysis of highly dynamic movement techniques // Procedia Eng. 2010. N 2. 3005 3010.
5. Якушев А.Г., Доценко В.И., Кулакова Л.А., Морозова С.В., Лопатин А.С., Хон Е.М., Каспранская Г.Р., Сучалкина А.Ф., Штефанова О.Ю., Якушев А.А., Боков Т.Ю. Опыт применения коэффициента стабилизации взора при компьютерном анализе нистагма как объективного интегрального показателя оценки вестибулярной функции // Функц. диагностика. 2010. №-' 4. 41 51.
6. System user manual for ARTTRACK. TRACK I'AC К and DTrack. Weilheim. 2012.
7. User manual for Qualisys Track Manager 2.2. Gothenburg. 2009.
8. UserTs gnide for Vicon Nexns 1.6. Oxford. 2010.
9. Яворский Б.М, Детлаф А.А. Справочник по физике. M.: Наука. 1968.
10. Зисмаи Г.А., Тодес О.М. Курс общей физики. Т. 1: механика, молекулярная физика, колебания и волны. М.: Наука, 1974.
11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.
12. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000.
13. Голямина И.П. Ультразвук. М.: Советская энциклопедия, 1979.
Поступила в редакцию 21.03.2016
УДК 539.30, 519.6
О РАСПРОСТРАНЕНИИ ТЕПЛА В НЕОДНОРОДНОМ СТЕРЖНЕ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
В. И. Горбачёв1
С использование интегральной формулы проведено осреднение связанной задачи термоупругости для неоднородного стержня с переменным поперечным сечением. Найдены эффективные характеристики. Показано, что кроме ожидаемых эффективных констант появляются еще пять независимых констант, которые отражают влияние скорости изменения температуры на напряжения в стержне, продольный поток тепла и распределение энтропии по длине стержня. Особенностью новых констант является то, что они обращаются в нуль в случае однородного материала. Результаты осреднения уравнений термоупругости для неоднородного стержня позволили обоснованно построить новую теорию теплопроводности в стержне, которая отличается от классической тем, что в закон Дюгамеля-Неймана, закон теплопроводности Фурье и в выражение для энтропии добавлены члены, пропорциональные скорости изменения температуры во времени. Показано, что в новой теории теплопроводности скорость распространения гармонических тепловых возмущений зависит от частоты колебаний и имеет конечное значение при частоте, стремящейся к бесконечности.
Ключевые слова: композиционные материалы, теория неоднородной термоупругости, метод осреднения, интегральные формулы в термоупругости.
An integral formula is used to average a coupled problem of thermoelasticity for a nonuniform rod of variable cross section. Effective characteristics are found. It is shown that, in addition to the expected effective constants, there appear five independent constants characterizing the temperature rate change on the stresses in the rod, on the longitudinal heat flux, and on the entropy distribution along the length of the rod. A feature of these new constants is that they become equal to zero in the case of a homogeneous material. The homogenization of the thermoelasticity equations for nonuniform rods allows one to propose a new theory of thermal conductivity in rods. This new theory differs from the classical one by the fact that some new terms are added to the Duhamel-Neumann law, to the Fourier thermal conductivity law, and to the entropy expression. These new terms are proportional to the temperature rate change with time. It is also shown that, in the new theory of thermal conductivity, the propagation velocity of harmonic thermal perturbations is dependent on the oscillation frequency and is finite when the frequency tends to infinity.
Key words: composite materials, theory of nonuniform thermoelasticity, homogenization method, integral formulas in thermoelasticity.
1. Исходная и сопутствующая задачи. Рассмотрим неоднородный по длине упругий стержень с переменным поперечным сечением. Будем предполагать, что центры тяжести всех поперечных сечений расположены на прямой линии, которую примем за ось координат х. Предполагаем также, что все искомые величины равномерно распределены по сечению, зависят от координаты х, 0 ^ х ^ L, ш времени t ^ 0.
1 Горбачёв Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorbyQmail.ru.
