Идентификация модели видообразования методами теории оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977

Идентификация модели видообразования методами теории оптимального управления

Анна В.Букина*

Иркутский государственный университет, ул. Карла Маркса 1, Иркутск, 664003,

Россия

Получена 10.02.2008, окончательный вариант 15.05.2008, принята к печати 10.06.2008 Идентифицируется модель симпатрического видообразования с помощью теории оптимального управления. Для соответствующей интегро-дифференциальной задачи оптимального управления выводится необходимое условие оптимальности в форме линеаризованного принципа максимума. На основе последнего конкретизируется градиентный метод решения задачи управления моделью видообразования.

Ключевые слова: управляемая интегро-дифференциальная система, необходимые условия оптимальности, модель видообразования, метод условного градиента.

Введение

Одна из версий модели симпатрического видообразования построена на основе методов адаптивной динамики [1], [2]. Данное видообразование является процессом морфологической и последующей генетической изоляции субпопуляций при имеющемся перемешивании особей в однородной среде. Причиной такой дифференциации однородной группы является конкуренция за ресурсы среды обитания, при этом возможность потребления конкретной фракции ресурса определяется совокупными характеристиками организма (фенотипом). Конкуренция в итоге приводит к диверсификации организмов по различным ресурсным (экологическим) нишам. Проблема изучения симпатрического видообразования с помощью методов математического моделирования заключается в следующих двух аспектах: 1) осуществление настройки математической модели в соответствии с имеющейся реальной информацией; 2) управление полученной моделью. И в том, и в другом случае содержательная постановка задачи может интерпретироваться в виде соответствующей задачи оптимального управления системой интегро-дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи

В упомянутой версии модели каждая особь характеризуется численным показателем (фенотипом) s, определяющим используемый ресурс, как, к примеру, размер тела или размер клюва определяет спектр доступной пищи. Динамика роста популяции описывается уравнением

xt(s,t) = rx(s,t)(l - Ksy/ C

S

* e-mail: annabukina@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

которое в своей основе имеет логистическое уравнение. Здесь х(в,г) — число особей популяции с фенотипом в в момент времени г. Предполагается, что особи рождаются с постоянной интенсивностью г и умирают с интенсивностью, определяемой конкуренцией и емкостью среды.

к (•) = ^-(-^ )

— емкость среды (распределение ресурсов), где К — общее количество ресурсов, в — наиболее распространенный ресурс,

C "•« = "К-)

— функция конкуренции между фенотипами s и e — количество ресурсов, потребляемое одной особью. Предполагается, что начальное распределение численности особей популяции известно и определено условием x(s,t0) = x0(s).

Идентификация модели состоит в определении параметров распределения ресурсов и интенсивности конкуренции а = (а к ,ас), при которых в фиксированный момент времени ti численность особей максимально близка к заданному распределению x(s), описывающему видообразование. Поставленная задача может интерпретироваться как задача оптимального управления интегро-дифференциальной динамической системой, в которой одна группа компонент решения подчинена системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Вторая группа компонент искомого решения связана с первой интегралами по части области определения независимых переменных. Такие системы используются в динамических моделях, в которых на процесс влияет общее состояние объекта по дополнительному признаку в каждый момент времени.

Опишем формальную постановку задачи оптимального управления. Требуется минимизировать функционал

J(u) = J <f(x(s,t1),s)ds + jj Ф(х, y, u, s, t)dsdt ^ min, (1)

s n

определенный на решениях интегро-дифференциальной системы вида

xt = f (x,y,u, s,t),

y(s, t) = J g(x(Z,t),u(Z,t),s,Z,t)d£,

S

c начальным условием

(2)

х(в, г0) = х (в) (3)

при допустимых управлениях и = и(в,г) из множества

V = {и е ^о(и): и(в,г) е и}. (4)

Здесь (в,г) е п = 5 х Т = (в0,в1) х (г0,г1), х(в,г) е Еп, у(в,г) е Ет, и с Ег.

На параметры задачи (1)-(4) наложим следующие ограничения: функции р = р(х,в), Ф = Ф(х,у,и, в,г), вектор-функции / = /(х,у,и, в,г), д = д(х,и, в,£,г) непрерывны по совокупности своих аргументов и имеют непрерывные производные по переменным х и у, х0(в)-измеримая существенно ограниченная в 5 вектор-функция. Также будем считать, что вектор-функции / и д удовлетворяют условию Липшица по переменным х, у и х в областях Яп х Ят и Нп соответственно.

2. Необходимые условия оптимальности

Система уравнений (2) представима в интегральной форме. Действуя классическим методом последовательных приближений, например, по схеме работы [3], для нее можно доказать существование и единственность решения в пространстве ЬТО(П), а также получить оценки скорости роста решений:

||ж(М)||< мГ Ух0 (в)|| + I (у/(0,0, и, в, т )|| + I ||д(0,«,в,£,т

Ьо Б

г

+ 1 [||х0(*' )|| +1 (||/(0, 0, и, в', т )|| + ^ ||д(0,и,в',£,т )|К)йт

Б г0 б

¿в'

||у(в,^)| < му (|д(0,и, + (5)

Б

где константа М > 0 не зависит от входных данных ж0, д и / задачи (1)-(4).

Рассмотрим два допустимых процесса (и, ж, у) и (и = и+Ди, X = ж+Дж, у = у+Ду). Действуя методом приращений, применяемым, например, в [4] для задач с дифференциальными фазовыми системами, получим следующую формулу приращения целевого функционала

Д J(и) = — JJ ДиН(-0, 0, ж, у, и, в, + п(и, и), (6)

п

где Н(—, 0, ж, у, и, в, г) — функция Понтрягина в следующей форме Н(—, 0, ж, у, и, в, г) =< — (в, £), /(ж, у, и, в, г) > + + У < 0(С,г),д(ж, и, С, в, г) > ¿С — Ф(ж, у, и, в, г),

Б

(—,0) — решения сопряженной системы

—г = — Нх(—,0,ж,у, и, в, г), (в, г) € П,

— (в,^1) = — ^Ж(ж(в,г1), в), в € (7)

0(в,г) = Ну(—,0,ж,у,и,в,г), (в,г) € п,

п(и, и) — остаток формулы приращения вида

П(й,и)=у о^нДжф,^)^ + Л (он (||Дж(М)||) + он (||Ду(М)||)+

Б П

+ < ДйНх, Дж(в,г) > + < ДЙНУ, Ду(в,г)

В случае, когда управление является функцией от переменных в и г, при его игольчатом варьировании, на основе оценок (5), формула (6) служит основой для необходимого условия оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина.

Пусть процесс (и*, ж*, у*) оптимален, (—*,0*) — соответствующее ему решение сопряженной задачи, тогда почти для всех (в, г) € П выполняется условие

Н(—*,0*,ж*,у*,и*,в,г) = тах Н(—*, 0*, ж*, у*, в, г).

у^и

Если функции ], д, Ф дифференцируемы по и, а множество и выпукло, на оптимальном процессе (и*,х*, у*) справедлив также линеаризованный (дифференциальный) принцип максимума:

< Ни(ф*,6*,х*,у*,и*, в, г), и*(в, г) >= тах < Ни(ф*, 6*,х*,у*,и*, в,г),ь) > .

Когда, как в рассматриваемой модели видообразования, все компоненты управления являются параметрами, рассмотрев формулу приращения целевого функционала (6) на классической вариации управления, с учетом оценок (5) получим линеаризованный принцип максимума в следующей форме:

<уу Ни(ф*,6*,х*,у*,и*,в,г)Св(Л,и* >= п

= тах < Ни(ф*,6*,х*,у*,и*, в,г)с1вс1г,и > . уеи .1.1

п

(8)

Линеаризованный принцип служит основой для построения градиентных методов численного поиска локальных решений, например, по схеме работы [4].

3. Метод условного градиента

Выпишем основные конструкции метода условного градиента применительно к прикладной задаче:

Г \2,

7П = /(х(в,г1) - З^в ^ тп

(х(

Б

хг(з,г)= тх(з,г)(1 - гщ /С(з,£)х(£,г)<%), х(в,го) = х0(в), (9)

а е и = [аК0,ак 1] х [ас0,ас 1]. Функция Понтрягина примет вид

Н(ф, 6, х, у, а, в, г) = ( а к У2Л (в - з)2 \ х [а(с,л (€ - в)2

Б

а сопряженная система (7) описывается соотношениями

аК\/2п (в - З)2 \ 1 Г (£ - в)

2

фг = -фг[1 - У-з— ехр—-2—--= 6(^,г)ехр--1— ,

К 2ак / ас у 2п .] 2ас

Б

ф(в,г1 ) = -2(х(в,гг) -х(в)), (10)

акл/2п (в - З)2

(в,г) = -фгх—к— ехР 2а2

к

Пусть задано начальное управление а0 = (аК,а°с) е и и на к-м шаге итерационно-

4 ,а%)

го процесса вычислено ак = (аК,а@). Из интегро-дифференциальных систем (9), (10) на

основании метода Эйлера с пересчетом ([5], c.165) построим соответствующие значения фазовых и сопряженных траекторий xk, yk, , 0k в узлах сетки. Определим вспомогательное

— k

управление ak как решение задачи

ak = argmax < J J H (^k,0k ,xk, yk, ak, s, t)dsdt, a >, a e U. n

Подсчитаем величину

W (ak) =< JJ H (^k ,0k ,xk,yk ,ak ,s,t)dsdt,ak - ak >> 0. n

Если W(ak) = 0, то управление ak удовлетворяет дифференциальному принципу максимума (2.4). В случае W(ak) > 0 зададим a-параметрическое семейство управлений ak(a) = ak + a(ak — ak), a e [0,1], положим ak+1 = ak(ak), где величина шага ak выбирается из условия убывания целевого функционала: J(ak+1) < J(ak).

Так как множество U компактно, а градиент функции H удовлетворяет условию Липшица, данный релаксационный метод сходится к множеству точек, удовлетворяющих условию (8) ([6, с. 294-296]).

Автор использовал поддержку гранта РФФИ №08-01-98007-р_сибирь_а.

Список литературы

[1] U.Dieckmann, M.Doebeli, On the origin of species by sympatric speciation, Nature, 1999, no. 400, 354-357.

[2] С.В.Семовский, Ю.С.Букин, Д.Ю. Щербаков, Видообразование в одномерной популяции: адаптивная динамика и нейтральная эволюция, Исследовано в России, 2002 [http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/125.pdf ].

[3] И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М., МГУ, 1984.

[4] О.В.Васильев, В.А.Срочко, В.А.Терлецкий, Методы оптимизации и их приложения, Ч.2, Оптимальное управление, Новосибирск, Наука, 1990.

[5] В.А.Срочко, Численные методы: курс лекций, Иркутск, ИрГУ, 2003.

[6] Ф.П.Васильев, Методы решения экстремальных задач, М., Наука, 1981.

Identification of a Speciation Model by Methods of Optimal Control Theory

Anna V.Bukina

The model of sympatric speciation is identified by means of optimal control theory. For the corresponding integro-differential optimal control problem a necessary optimality condition is deduced in the form of the linearised maximum principle. This condition allows concretizing gradient method of solution for control problem of speciation model.

Keywords: controlled integro-differential system, necessary optimality conditions, the model of speciation, gradient method of solution.