CC BY
29
Серия «Математика»
Том 2 (2009), №1, С. 304-307
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 518.977
Численное решение задачи
оптимального управления динамикой популяции на основе вариационного принципа максимума *
А. В. Букина
Иркутский государственный университет
Аннотация. Приводится алгоритм численного решения задачи оптимального управления интегро-дифференциальной моделью динамики популяции. Он основан на ранее полученном необходимом условия оптимальности в форме вариационного принципа максимума.
Ключевые слова: оптимальное управление интегро-дифференциальной системой, модель динамики популяции, вариационный принцип максимума.
Рассмотрим одну из версий интегро-дифференциальной модели динамики популяции, распределенной по адаптивным характеристикам [1]. В ней изменение численности особей х = х(в,Ь) зависит от коэффициента рождаемости г, от конкуренции за ресурсы среды обитания С (в,£) между особями с признаками в и £, от емкости среды К (в) и от внешнего воздействия и = и (в, Ь) € и = [0,1] (относительной скорости, например, вылова):
в € 5 = (во,в1), Ь € Т = (£о,^ 1). Будем искать кусочно-непрерывное управляющее воздействие и, доставляющее максимум функционалу
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 08-01-98007-р сибирь_а.
(1)
S
TS
Решение интегро-дифференциальной системы (1) существует и единственно [2]. Сформулируем для исследуемой задачи необходимое условие оптимальности в форме вариационного принципа максимума [2]. Поскольку управление не входит в интегральное уравнение для фазового состояния у, данный принцип будет состоять только из одного семейства обыкновенных задач оптимального управления с параметром ( € 5. Пусть (и*;х*,у*) - оптимальный процесс, (•0*,$*) - соответствующее ему решение сопряженной задачи
0*(в,Ь) = —Я*, 0(в,^) = 0, в(в,Ь) = Ну, (2)
где Н = Н(0, в, х, у, и, в, Ь) - функция Понтрягина вида
Н = 0(/(у, в) — и) + А(в, в) + их,
/(у, в) и А(в, в) - обозначения для г(1 — у/К(в)) и / в(£,Ь)С(£, в)^£
соответственно. Тогда управление и^* = и* (С, Ь), Ь € Т для каждого £ € 5 является решением задачи
(3)
т
хс = хс(Ь) (/(у*, () — ис(Ь)), хс(0) = х0((), и(Ь) € и.
Приведем схему нахождения управления ик+1 = ик+1(в,Ь), улучшающего допустимое управление ик = ик(в,Ь), на основе данного условия. Пусть хк, ук, 0к, вк - решения фазовой и сопряженной задач (1), (2), соответствующие управлению ик. Для каждого £ € Б найдем вспомогательное управление и^к как решение задачи (3) при у* = ук, в* = 9к. Это можно сделать аналитически, извлекая информацию о структуре решения из анализа соответствующих функции Понтрягина, фазовой и сопряженной задач. Очевидно, управление и^к(Ь) должно удовлетворять необходимому условию
ЯСк(0Ск, хСк ,иСк, Ь) > ЯСк(0Ск, хСк, и, Ь) Уи € и, нС = (0е(Ь)(/(y, С) — иС(Ь)) + А(в С) + иС(Ь))хС(Ь) г0С = —0С(Ь)(/(y, С) — иС(Ь)) — А(в С) — иС(Ь) 0(Ь1) = 0
В силу того что х^(Ь) > 0, управление, максимизирующее функцию Я ^к , определяется знаком функции переключения 1 — 0^к (Ь) и задается правилом
[0, 0Ск(Ь) > 1,
иСк (Ь) = <1, 0^к (Ь) < 1,
1[0,1], 0Ск (Ь) = 1.
Так как 0^к(Ь1) = 0, то и^к(Ь) = 1 на интервале (т,£1), т - точка переключения: 0^к (т) = 1. Слева от т управление может быть особым или принимать одно из граничных значений. Если существует особый участок, на нем функция переключения должна быть равна нулю вместе со своей производной. Из сопряженной задачи для 0^к получаем /(ук, £) = —А(вк, £). Поэтому, если в точке т и на некотором интервале левее от нее выполняется данное тождество, то 0^к(Ь) равна единице на этом интервале. Управление на особом участке может быть любым. Если выбирать его из условия постоянства траектории, получим и^к(Ь) = /(ук, £). Левее особого участка или, если такого нет, левее точки т знак 1 — 0^к(Ь) и, соответственно, значение управления и^к(Ь) будут определяться знаком суммы /(ук, £) + А(вк, £). Проводя описанный анализ от Ь1 до 0, возможно определить поведение и^к(Ь) на всем интервале. Найдя и^к(Ь) для всех £ € 5, подсчитаем невязку ^к(С) и ее среднее значение ^к :
^к(С) = (иСк) — Jс(ик), ^ = / ^к(сК/(в1 — во).
Если ^к = 0, то управление ик удовлетворяет вариационному принципу максимума (3). Иначе (^к > 0) построим ик+1 на основе метода последовательных приближений. Введем множество 5^ С 5, шевб^ = в, в € (0,1). Положим
ик+1 (л Ь) = /и^к(Ь), С € Ь € Т,
\ик(С,Ь), С € 5 \ , Ь € Т.
Условия
вк : ^ J(икк), : / ^к(СК > в, N > 0, ст > 1
обеспечивают релаксационность и сходимость в смысле ^к ^ 0, к ^ то последовательности {ик}. Способы построения множества 5^, удовлетворяющего определяющему неравенству, можно найти в [3]. Описанный алгоритм был опробован с использованием следующих параметров модели:
Т = [0,10], 5 = [0.5,1.5], х0(в) = 1, г = 1,
100
(в — 1)21 1 Г (в — 0
К (в) =---------== ехр-------------^ , С (в,£) =-----------== ехр
0.5\/2Л ^ 2 * 0.52 ^ 0.5^2Л
2 1
2 0.52
Для сравнения были применены также двухпараметрический метод на основе сильной и слабой вариаций управления и метод условного градиента. Во всех трех случаях функционал сходится к одному значению (примерно 170), и полученные управления имеют сходную структуру: в
начале интервала они принимают значение 0, затем примерно 0,5 и на конечном отрезке 1, что, очевидно, можно интерпретировать как отказ от вылова в начальный период времени, чтобы позволить особям размножиться, затем поддержание его на некотором магистральном уровне и вылов всех особей на конечном этапе. При реализации методов экспериментально подбирались значения их параметров, обеспечивающие наибольшую скорость сходимости с критерием остановки - заданным значением вк близким к нулю. Самым эффективным оказался метод вариационного принципа максимума: 57 задач Коши, двухпараметрический метод - 65, метод условного градиента - 110.
Список литературы
1. Семовский С. В. Видообразование в одномерной популяции: адаптивная динамика и нейтральная эволюция / С. В. Семовский, Ю. С. Букин, Д. Ю. Щербаков // Исследовано в России. — 2002. (http://zhurnal.ape.relam.ru/articles/ 2002Zl25.pdf).
2. Терлецкий В. А. Вариационный принцип максимума в задаче оптимального управления интегро-дифференциальной системой / В. А. Терлецкий, А. В. Букина // Вестник Бурятского университета. Серия 13: Математика и информатика, 2008. — Вып. 9. — С. 52-55.
3. Васильев О. В. Методы оптимизации и их приложения. Ч.2. Оптимальное управление / О. В. Васильев, В. А. Срочко, В. А. Терлецкий. — Новосибирск: Наука, 1990. — 151 с.
A. V. Bukina
Numerical method for optimal control problem of a population dynamics model on the base of variational maximum principle
Abstract. Numerical solution for optimal control problem of an integro-differential population dynamics model is considered. It is based on necessary optimality condition in the form of variational maximum principle, that was deduced earlier.
Keywords: optimal control for integro-differential system; population dynamics model; variational maximum principle
Букина Анна Викторовна, инженер НИЧ, Иркутский государственный университет, 664000, Иркутск, ул. К. Маркса, 1,
Bukina Anna, Irkutsk State University, 1, K. Marks St., Irkutsk, 664003, ([email protected])
