ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 378

К.А. Куимова, Е.И. Куимова, С.Н. Ячинова ИДЕНТИФИКАЦИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В данной статье рассматривается применение дифференциальных уравнений высших порядков при моделировании технологических процессов на примере исследования прочности лакокрасочных покрытий на пористой цементной подложке.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения высших порядков, идентификация, моделирование.

Практика показывает, что многие студенты не осознают практическую значимость изучения математики для будущей профессиональной деятельности. Они рассматривают ее как часть учебной нагрузки, которую необходимо выполнить, или как предмет, предназначенный для общего развития. Такое восприятие математики связано не только с отсутствием мотиваци-онного компонента обучения, но и с недостаточным количеством профессионально ориентированных задач, которые можно рассматривать на любом этапе изучения темы.

Так при изучении курса дифференциальных уравнений студентам старших курсов, магистрантам, обучающимся по направлению «Строительство» необходимо разъяснять не столько методы решения дифференциальных уравнений, сколько их применение при моделировании технологических процессов и обработки результатов экспериментов.

На простых примерах можно показать процедуру идентификации кинетических процессов формирования основных физико-механических характеристик строительных материалов. Известно, что обобщенная динамическая модель кинетических процессов является решением задачи Коши:

у" + аху' + а0у = 0; у(0) = Уо; у'(о) = у0,

где у0, у" определяются видом исследуемого кинетического процесса.

Рассмотрим результаты исследования прочности лакокрасочных покрытий на пористой цементной подложке.

Как показывает опыт, нельзя утверждать, что на разных этапах активной стадии накопления повреждений интенсивность изменения свойств покрытия одинакова, на графиках может наблюдаться несколько точек перегиба. В зависимости от вида покрытия и некоторых других причин первая половина активной стадии (средняя доля всей долговечности покрытия) характеризуется особенно резким увеличением всех негативных параметров, в дальнейшем процессы протекают более плавно. Предложим описать кинетику разрушения покрытий дифференциальными уравнениями порядка выше второго. Это означает, что при анализе процесса необходимо учитывать не только скорость изменения контролируемого параметра, но и как минимум ускорение. Рассматриваем в качестве модели процесса разрушения функцию

Г (') = С е"1' + С е"2' + С е"3',

являющуюся решением дифференциального уравнения третьего порядка.

Коэффициенты " ,«2 ,«3 характеризуют скорость изменения контролируемого параметра на разных этапах старения покрытия.

© К.А. Куимова, Е.И. Куимова, С.Н. Ячинова, 2014.

ISSN 2223-4047

Вестник магистратуры. 2014. №3(30). Том I

Анализируя эмпирические кривые по кинетике накопления повреждений, можно принять, что ах << а2 (для площади поверхности покрытия характерно даже ах < 0), а2> а3.

В качестве примера рассмотрим изменение площади поверхности поливинилацетатце-ментного покрытия в процессе увлажнения.

160 140 120 100 80 60 40 20 0

200

400

600

800

1000

1200

Рис. 1. Изменение площади поверхности ПВАЦ покрытия в процессе старения

Из экспериментальных данных следует: >"(0) = 100, у(750) = 80, у(1200) = 140, У (750) = 0.

Для идентификации параметров модели решаем систему уравнений

C + С2 + С = 100

C е

ai + сге

+ съе

= 80

C е120ах1 + С2е120(0Хг + С3е120йхз = 140

Г< 1

alLl е

а, 150а , 150a

1 + а С2е 2 + аъ Се

=0

Из первых трех уравнений получим

100е750а2 +120(аз - 100е75Саз +120<а2 - 80е120<аз + 140е750аз + 80е120<а2 - 140е750а:

С1 =

15Са, +1200а2 150а, +1200а, . 15Са, +1200а^ , 15Са,+120Са, 15Cа,+120(аl

— е — е 3 + е + е 1 2 — е 2 1

е

С =

80е12°а — 140е75°аз — 100е750а1+1200аз + 100е75°аз +1200а1 + 140е750а1 — 80е120Cal

,150а, +1200а,

„150а, +1200а2

150а1 +1200а3

150а3 +120Ca1

150а +1200а2

е—^------3 — е—3------2 — е—1------3 + е 3 1 + е—1------2 — е

140е750а2 + 8Cе120<al + 1CCе750al+1200a2 — 100е75а2+120<al — 140е750а — 8Cе120<a2

750а2 +1200а1

с =

3 ^50а1+1200аз

_„750аз+1200а^ _ 150а1+1200а^ 150аз +1200а1 150а1+1200а2 _ 150а2 +1200а1

—е —е + е +е —е

Определим с и а3 по экспериментальной характеристике ДО (рис. 1). Так как ах <<с2 , то составляющая Сопределяет процесс до конца инкубационного периода, т.е. при 0 < ? < 750. Значение а3 можно определить по концу экспериментально полученного процесса

до.

А именно,

Y (0 + Т) = Ае

- Л0а1(°+Т)

при t < 150,

Y(t + Т) = Веа (t+Т), при t >> 150,

0

ах =

«3 =

ln(Y (T)/ Y (0))

T '

ln(Y (t + T)/ Y (t))

T

В данном случае, ах = —0,0003, а3 = 0,0012.

Из четвертого уравнения системы (2) получим неявное выражение для а2

- 0,0002Q + а2 C е750"2 + 0,003С3 = 0.

Приближенное решение этого уравнения даст а2 = 0,006 .

В результате решение исходного дифференциального уравнения представится в виде Y(t) = 103,212е-°,00Ю + 0,061е0'006 - 3,178е0'0012.

Из изложенного выше вытекает следующий алгоритм идентификации кинетических процессов данного вида:

1) По начальным изменениям инкубационного периода определяется " , по концу эмпирической кривой - "3;

2) Константы С1, С2, С3 представляются как функции от а2 ;

3) По характерной точке эмпирической кривой строится уравнение (3), находится приближенное значение константы "2;

4) Наконец, определяется

Y(t) = Cе"1 + C2е"2 + Cе"3.

Предложенный алгоритм может быть использован при решении других задач строительного материаловедения с возможностью описания рассматриваемых процессов как решений дифференциальных уравнений третьего порядка.

Библиографический список

1. Гарькина И.А., Данилов А.М., Соколова Ю.А. Системный анализ, теории идентификации и управления в строительном материаловедении. М. Издательство «Палеотип», 2008. 240 с.

2. Логанина В.И., Данилов А.М., Куимова Е.И. Применение наследственной теории старения к прогнозированию стойкости строительных материалов. Пенза, ПГУАС, 2003. 78 с.

КУИМОВА Елена Ивановна - кандидат технических наук, доцент, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства.

КУИМОВА Ксения Андреевна - студент, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства.

ЯЧИНОВА Светлана Николаевна - кандидат педагогических наук, доцент, Пензенский государственный университет архитектуры и строительства.