Идентификация динамических параметров болидов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика

УДК 523.682

ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ БОЛИДОВ

М. И. Грицевич

1. Введение. В монографии [1] рассмотрена задача о прямолинейном торможении болида в верхних слоях атмосферы Земли. Сконструирована динамическая система третьего порядка, фазовыми переменными которой являются масса болида m(t), его высота над поверхностью планеты h(t) и скорость V(t). Показано, что при определенных предположениях эта система имеет первый интеграл:

у = 1п2а + /3-1пА, А = Ei(/5) -Ei(f3v2), Ei(x) =

ez dz

(1)

В это выражение кроме безразмерных переменных у = Н/Но и V = У/Уе (Уе — скорость тела при входе в атмосферу, Но — высота однородной атмосферы) входят два параметра: а — баллистический коэффициент, пропорциональный коэффициенту сопротивления; в — параметр, характеризующий интенсивность уноса массы, пропорциональный отношению доли кинетической энергии единицы массы тела, поступающей к телу в виде тепла, к эффективной энтальпии испарения.

С одной стороны, выражение (1) представляет собой дифференциальное уравнение, так как V ~ —.

(И

С другой стороны, (1) — проекция фазовой траектории на плоскость (у^), которую можно использовать для определения параметров а и в. Графики функций (1) при фиксированных значениях параметров а и в приведены на рис. 1, а. Как видно, они образуют некоторую сетку.

2. Экспериментальные данные. С целью сбора информации о характере движения метеорных тел в атмосфере организовывается работа болидных сетей. Качественные снимки наиболее ярких метеоров обрабатываются, и информация об их спуске в атмосфере подается в виде таблиц, содержащих детальные динамические и фотометрические данные наблюдений. Такие таблицы для болидов Канадской сети приведены в работе [2], Прерийной сети США — в работах [3, 4]. В частности, там содержатся значения высоты Н и скорости полета У (г = 1,...,и) в отдельных точках, где У1 — начальная скорость.

3. Алгоритм нахождения основных параметров. Задача о приближении наблюдаемого движения болида сводится к поиску значений баллистического коэффициента а и параметра уноса массы в, при которых зависимость (1) высоты от скорости наилучшим образом аппроксимирует данные наблюдений. Решение ищется методом наименьших квадратов.

Параметры а и в характеризуют торможение и абляцию метеорного тела в атмосфере. Поэтому при подборе этих параметров основной акцент следует делать на наилучшую аппроксимацию именно того

Рис. 1. Зависимость (1) безразмерной высоты от скорости болида: сплошная линия — а = 20, в = 20; пунктир — а = 10, в = 4; штрихпунктир — а = 10, в = 6 (а). Графики функций в-у(у) при тех же значениях параметров (б)

x

z

участка траектории, где торможение и абляция достаточно четко выражены. Иными словами, особую ценность представляют наблюдения на заключительном этапе, предшествующем полному погасанию болида. Универсальным алгоритмом решения такой задачи является применение взвешенного метода наименьших квадратов, позволяющего регулировать вклад тех или иных данных в результат. С другой стороны, расстановка весов вручную затруднила бы исследование, сделала бы его недостаточно объективным. Заметим, что по мере спуска метеорного тела в атмосфере сначала более интенсивно изменяется высота, а потом более резко падает скорость, поэтому к корректному результату удается прийти, переходя от рассмотрения координаты у к е-у. На рис. 1, б приведены графики зависимости величин е-у от V, где, согласно (1),

Ае'13 2 а '

А = Е1(/3)-Е\if3v2), Е1(ж) =

(2)

Обычно при построении метода наименьших квадратов используется мера, связанная с расстояниями от точек наблюдений до рассматриваемой кривой. Здесь в качестве разумного критерия близости примем сумму квадратов разностей между значениями е-у, вычисленными из наблюдений и рассчитанными по уравнению (2).

Таким образом, представляя (1) в виде 2а ехр(—у) — Дехр(—в) = 0, можно получить оценки для а и в, основываясь на минимизации выражения

^4(а,в) = Е№(уг, Vi, а, в))'

(3)

г=1

где Гг(уг,Уг,а,/3) = 2аехр(-уг) - Д^ехр(-/3), А» = Е\{(3) - Щ(3уг2).

Поскольку параметр уноса массы — положительное действительное число, далее используется представление интегральной экспоненты в виде ряда

Е1(х) = с + 1п х + У]

х

п=1

П ■ П!

, п 1

где с = Ит ( > -— 1ш

4=1

0,5772 — постоянная Эйлера.

п „ дЯ4 (а, ¡3)

Параметр а, соответствующий нулю частной производной ---, определяется следующим вы-

ражением:

Теперь

да

е-*3-" Д

а

г=1

ак

в к

Д. = -21 ч«, + Е/н(1-«.2')

2

г=1

,-2Уг

к=1

к-к!

= 2 £ Рг{уг, уг, а, /3) (Дг - (АУр) ехр(—/3) = 0

г=1

что после подстановки (4) приводит к необходимому условию экстремума в следующем виде:

(4)

! (в) = Е

г=1

п п \

ДгЕ ехр(—2уг) — Дг еМ—уг)) ехр(—уг)) (Дг — (Дг)в)

г=1

г=1

(5)

X

е-у =

г

Решение (5) найдено численно методом Ньютона. В качестве начального приближения во принято значение в, вычисленное методом Qз(а, в) [5].

Численный результат практически не меняется при включении в метод Q4 начальных точек траектории с близкими к единице значениями Vi; эти точки вносят близкие к нулю слагаемые в саму сумму (3)

и как следствие — в соотношение (5). Это обстоятельство дополнительно свидетельствует о целесообразности замены величины у на е-у, позволяющей включать в (3) весь имеющийся наблюдательный базис (Уг,Щ), не отбрасывая заранее точки с малыми торможением и абляцией.

Несложно получить достаточное условие локального минимума функции Q4 в виде

п п

((ДОв - Л,)2 + (Д - 2а ехр(в - уг))) ((Дг)в - 2(Дг)в + Д >

г=1 г=1

п ч 2

£ехр(-уг)(Дг - (Дг)вП •

г=1 '

4. Результаты расчетов. Описанная процедура идентификации динамических параметров болидов применена к реальным данным [2-4]. Вычисления также проведены для болида Бенешов, зарегистрированного Европейской сетью, поскольку для этого болида имеются достаточно подробные наблюдения (46 точек). Полученный результат частично приведен в табл. 1-3. В первых трех столбцах представлены сведения об идентификации, количестве точек наблюдения и о начальной скорости болидов соответственно. В последней колонке вычислены значения коэффициента абляции а = 2в/У2 (указаны значения 102 а).

Примеры аппроксимации наблюдений с использованием найденных значений а, в показаны на рис. 2. Из аналитической записи уравнения (1) хорошо видно, что форма траектории полностью определяется параметром уноса массы. Значение баллистического коэффициента показывает лишь, насколько "поднята" кривая над осью абсцисс. Поэтому при построении графиков выбрано несколько принципиально различных случаев в зависимости от величины параметра в.

Таблица 1

Значения параметров а, в, а для болидов Канадской сети

№ болида п Уе, км/с РШ <7, С2/КМ2

18 12 18,5 24,13 1,475 0,862

169 10 22,9 50,52 1,575 0,601

189 23 14,5 34,47 0,757 0,720

195 12 25,2 35,22 1,486 0,468

204 13 13,0 10,13 3,620 4,284

205 8 19,7 36,84 0,716 0,369

219 9 18,4 12,51 2,060 1,217

223 13 27,1 18,33 1,809 0,493

276 10 23,5 18,15 1,237 0,448

285 9 14,5 7,56 1,977 1,881

288 12 12,4 9,05 1,215 1,580

307 13 21,0 12,08 1,760 0,798

331 И 13,3 37,94 0,598 0,676

364 10 11,3 20,34 0,567 0,888

498 17 13,7 104,72 0,000 0,000

544 16 14,4 30,86 0,000 0,000

567 20 23,4 101,02 1,560 0,570

580 13 14,2 51,57 0,000 0,000

672 И 13,7 22,79 1,243 1,325

683 9 17,6 37,46 1,340 0,865

687 13 16,7 42,83 0,534 0,383

840 8 23,6 22,35 1,766 0,634

872 12 14,8 12,34 0,631 0,576

888 9 25,5 31,85 1,171 0,360

897 9 25,1 40,48 0,000 0,000

925 16 26,4 42,87 1,503 0,431

Таблица 2

Значения параметров а, в, а для болидов Прерийной сети (США)

№ болида п Уе, км/с РШ <7, С2/КМ2

38 737* 10 16,9 14,03 3,513 2,460

38 768* 10 17,6 12,30 3,194 2,062

39113А 9 15,0 11,43 2,125 1,889

39138В 10 30,7 20,76 2,807 0,596

39 406А 10 17,1 14,42 2,448 1,674

39 434 10 14,5 17,43 1,440 1,370

39 470* 10 23,6 4,12 3,800 1,365

39 499 10 12,4 54,85 1,416 1,842

39 512* 9 21,1 17,60 0,885 0,398

39 681* 10 20,8 20,28 3,860 1,784

39 921С* 10 14,5 16,31 0,606 0,576

39 935 9 17,9 14,61 0,543 0,339

40151А 10 13,4 15,59 0,902 1,005

40161 10 17,0 27,57 2,459 1,702

40 405 9 14,8 26,40 2,399 2,190

40 503 10 20,6 7,44 1,142 0,538

40 590 10 14,2 11,34 1,129 1,120

40 617 8 13,3 25,80 0,957 1,082

41275* 10 13,1 7,97 1,625 1,894

Таблица 3

Значения параметров а, в, а для болида Бенешов

п Уе, км/с РШ <7, С2/КМ2

46 21,1 7,25 1,754 0,788

5. Примечание. Отметим, что при ограниченных значениях параметра уноса массы в < 2 для зависимости (1) существует приближенная формула [1, 6]

у = 1па - 1п(- 1пу) + 0,83в(1 - у). (6)

С целью упрощения расчетов аналитическое решение (1) ранее заменялось этим выражением. Графическое сопоставление функций (1) и (6), приведенное в работах [5, 7], показало, что представление решения в виде (6) возможно в достаточно узком диапазоне в. К последнему утверждению можно прийти также простым исследованием функции (6). Видно, что в точке у = е-1 функция (6) всегда имеет перегиб. Производная функции (6) в точке перегиба у'(е-1, в) = е — 0,83в. Таким образом, при любом в > е/0,83 = 3,275 функция (6) имеет на интервале 0 < у < 1 два локальных экстремума и корректно использовать ее в качестве приближения монотонной функции (1) возможно лишь на отрезке утщ < у < 1, где ут1П — точка локального минимума функции (6) (локальный максимум в данном случае всегда оказывается левее).

6. Выводы. Показано, что аналитическое решение уравнений метеорной физики достаточно хорошо описывает наблюдаемое движение болида. Аппроксимация реальных данных теоретическими зависимостями позволяет получить дополнительные оценки, не вытекающие непосредственно из наблюдений.

Заметим, что при обработке данных удалось обнаружить достаточно термостойкие болиды, параметр уноса массы которых практически равен нулю (табл. 1, № 498, 544, 580, 897). На основании этого можно сделать вывод, что преобладающий вклад в свечение таких метеоров дает не испарение материала тела, а излучение атмосферного газа в ударном слое около обтекаемого тела.

Помимо (1) решение системы уравнений метеорной физики работы [1] содержит зависимость безразмерной массы болида т(у) от скорости, которая при в > 0 дает возможность сопроводить построенные на

рис. 2 кривые вычислением конечной скорости болида, т.е. нахождением точки, в которой теоретическое значение массы тела равно нулю.

Рис. 2. Аппроксимация экспериментальных данных для некоторых болидов: сплошная линия — аналитическая зависимость (1); точки — данные наблюдений: а — № 498, 580 при в = 0; б — № 39 681*, 204, 39 470* при в > 3; в — № 567, 925 при в ~ 1,5; г — болид Бенешов, в = 1,754

Правильное математическое моделирование метеорных явлений в атмосфере необходимо для последующей оценки ключевых параметров: внеатмосферной массы, коэффициента абляции, эффективной энтальпии испарения вторгающихся тел. В свою очередь эти данные имеют значение для ряда приложений: исследования астероидно-кометной безопасности, разработки мер планетарной защиты, а также для выявления тел, способных достичь поверхности Земли.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Стулов В.П., Мирский В.Н., Вислый А.И. Аэродинамика болидов. М.: Наука. Физматлит, 1995.

2. Halliday I., Griffin A.A., Blackwell A.T. Detailed data for 259 fireballs from Canadian camera network and inferences concerning the influx of large meteoroids // Meteoritics and Planetary Science. 1996. 31. 185-217.

3. Мак-Кроски Р.Е., Шао Ц.И., Позен А. Болиды Прерийной сети. 2: Траектории и кривые блеска // Метеоритика. 1979. Вып. 38. 106-156.

4. Мак-Кроски Р.Е., Шао Ц.И., Позен А. Болиды Прерийной сети. 1: Общие сведения и орбиты // Метеоритика. 1978. Вып. 37. 44-59.

5. Грицевич М.И., Стулов В.П. Внеатмосферная масса болидов Канадской сети // Астрон. вестн. 2006. 40, № 6. 522-529.

6. Кулаков А.Л., Стулов В.П. Определение параметров метеорных тел по данным наблюдений // Астрон. вестн. 1992. 26, № 5. 67-75.

7. Грицевич М.И. Анализ траекторий болидов и условия образования кратеров // Тр. конференции-конкурса молодых ученых 12-17 октября 2005 г. М.: Изд-во МГУ, 2006. 158-165.

Поступила в редакцию 04.07.2006