CC BY
51
Таблица 2
Результаты статистической обработки данных (при р=0,95) измерений показателей КРС группы студентов до экзамена (1), после экзамена (2) и в спокойном состоянии (3)
SIM PAR SSS SPO2 VLF LF HF
1 4,4+1,36 12,16+2,2 92,3+3,86 97,4+0,7 3071+894,96 3692,6+1945,6 2072+1603,5
2 4,1+0,95 11,95+1,9 91,3+3,47 97,26+0,4 2349+754,57 4113,5+1278,2 1112,3+390,7
3 3,8+1,4 12,75+2,0 83,37+5,3 97,8+0,45 3917,9+1751,6 3541+890,69 1282,6+456,1
Здесь: SIM - показатель активности симпатической ВНС, PAR - показатель активности парасимпатической ВНС, SSS - частота сердечных сокращений, X2 - показатель активности парасимпатической ВНС, X3 - частота сердечных сокращений, SPO2- уровень насыщаемости кислородом; VLF - спектральная мощность очень низких частот (до 0,04 Гц), LF- спектральная мощность низких частот ( 0,04-0,15 Гц), HF- спектральная мощность высоких частот
(0,15-0,4 Гц)
Различия между показателями КРС до экзамена, после и в спокойном состоянии незначительно различаются, значимые отличия наблюдается только в частоте сердечных сокращений, которая в спокойном состоянии значительно меньше (табл. 2). Поэтому разработанная нами программа позволяет увидеть эту разницу в динамике поведения показателей КРС при наличии стресса, более существенно в количественном отношении сравнительно с традиционными стохастическими методами обработки эмпирических данных. Такой хаотический подход открывает определенные перспективы при оценке воздействия экофакторов среды на организм в условиях Севера РФ.
Литература
1. Агаджанян Н.А. и др. Физиологияи человека.- М.: Медицинская книга; Н. Новгород: Изд-во НГМА, 2001.- 526 с.
2. Еськов В.М.и др. Синергетика в клинической кибернетике.- Ч. III.- Самара: Офорт, 2006.- 233 с.
УДК 504 + 536.42
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИНЦИПОВ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИССИПАТИВНЫХ МОДЕЛЕЙ ТРАНСПОРТНЫХ ПРОЦЕССОВ В БИОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
И. Е. АГУРЕЕВ, Е. Е. АТЛАС*
Введение. Согласно представлениям, принятым в биофизике [15], процессы, происходящие в биологических системах, нелинейны. Нелинейность в данном случае следует понимать как взаимодействие элементов системы, влияющее на ее целостное поведение. При моделировании системы следствием фактической нелинейности является нелинейность математической модели. Имеется большое число таких моделей, например, система фер-мент-субстратной реакции Михаэлиса - Ментена, модели биохимической регуляции белкового синтеза, разработанная Д. С. Чернавским, внутриклеточных колебаний кальция, трансмембранного переноса ионов и многие другие [14]. Обычная практика построения таких моделей приводит к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, которые автономны и диссипативны [9]. В общем случае возникают уравнения реакционнодиффузионного типа, являющиеся предметом исследований в синергетике (теории самоорганизации) [7].
Самоорганизующимися называются такие процессы, в которых существенно уменьшается количество переменных, описывающих поведение системы. Самоорганизация связана с возникновением упорядоченных структур и происходит в открытых системах. Любая биосистема является открытой, и в ней огромную роль играет транспорт - перенос энергии и веществ. Построение математической модели - довольно сложной распределенной в пространстве системы (системы с бесконечным числом степеней свободы) в виде обыкновенных дифференциальных уравнений - само по себе уже представляет упрощение, связанное с резким уменьшением числа степеней свободы. В случае удачного описания такая редукция способна отражать явления самоорганизации [18, 19]. Математические методы все более активно используются в медико-биологических исследованиях [6, 8, 15, 17, 19]. Теоретической основой для такого продвижения является системный анализ. Учитывая уникальную сложность биофизических систем, специалисты целенаправленно использу-
ют такие системные методы, как корреляционный и факторный анализ, вейвлет-преобразования, теория устойчивости, бифуркаций и катастроф и др. Это обусловлено стохастичностью, многофакторностью решаемых проблем и сложной взаимозависимостью переменных. Аппарат синергетики [7, 9-11, 18, 19], как части общего системного анализа (по выражению Г. Хакена), накопил значительный объем методов, упрощающих исследование нелинейных систем.
В настоящей работе приводятся автономные диссипативные модели транспорта веществ через биологические мембраны, существование которого было доказано в опытах Усинга [5]. Указаны и иные области возможного использования моделей транспортных процессов, например, в биомеханике кровообращения.
Цель работы - построение нелинейных динамических моделей ряда транспортных процессов в биофизических системах и использование результатов нелинейной динамики при их исследовании. Рассмотрим систему уравнений, описывающую транспортный процесс в открытой системе ОС (рис.1). Присвоим условно этому процессу тип I (в работе [3] рассматривается иная модель транспортного процесса, который отнесем к типу II).
Рис.1. Схема транспортного процесса типа I
Данная модель представлена в виде системы уравнений
Гх = а\х - х) + ку - тг \2 - г)-Ъ(у - у) - г)
1 У = С[Х - У)+ 1х + т\г - ](х - х)г; (1)
[г = ех - /у+g.
Переменные имеют следующий смысл: х - концентрация агента-переносчика (АП-1), доставляющего вещество (ВВ) в открытую систему; у - концентрация агента-переносчика (АП-2), отводящего ВВ из открытой системы; г - концентрация ВВ в системе. Параметры в уравнениях (1) обозначают: Х - общее количество АП-1, участвующего в доставке ВВ; У - общее количество АП-2, участвующего в отведении ВВ; 2 - предельная (или наиболее вероятная) емкость системы относительно ВВ; g -интенсивность восполнения ВВ другими видами транспорта (например, диффузией). Поясним вывод представленных уравнений. Согласно термодинамике сплошных сред для открытой системы [16]. в ОС необходимо соблюдение условий баланса материальных переменных х, у, г. При отсутствии любых взаимных превращений величин х, у, г друг в друга балансовые уравнения запишем в виде:
х = 2<-2х-; у = 2у!-2у- ; & = 2г+-2г].
величина
Тульскийгосударственный университет
В соответствие с уравнениями (1)
2 х+ = а](х - х)+ ку\2 - г) равна скорости поступления АП-1 в ОС.
Очевидно, что чем больше разность X - х (определяет разность концентраций), тем больше и скорость поступления х. Величина ку описывает наличие связи между АП-1 и АП-2: при увеличении концентрации у в ОС растет поступление х. Данное слагаемое по смыслу играет роль некоего регулятора, поддерживающего запас г. Заметим, что величина 2 х.+ пропорциональна разности
1
чем больше эта разность, характеризующая потребность системы в ВВ, тем интенсивнее приток х, доставляющего г.
Величина 2х~ = \атг + Ъ(у - у)Х - г) учитывает, соответст-
]
венно, скорость выхода АП-1 из ОС. Слагаемое атг описывает уменьшение подачи АП-1 в ОС с ростом г (тем самым устанавли-
вается отрицательная обратная связь). Слагаемое Ь( - 7) показывает, что чем меньше количество АП-2 в ОС, тем скорее АП-1 покидает ОС (уменьшение «сопротивления» системы при «разгрузке»). Возможны и иные способы объяснения смысла перечисленных слагаемых, равно как и добавление новых членов с целью уточнения причинно-следственных связей в системе. Аналогичным образом построено и второе уравнение (1). Смысл правой части третьего уравнения очевиден. Заметим, что описанный обобщенный транспортный процесс может использоваться и в других системах, например, в автотранспортных [2-4].
Результаты исследований. Анализ модели (1) выполняется при допущении, что все параметры и коэффициенты положительны (некоторые в частных случаях принимаются равными нулю) и не зависят от времени. Исследование систем уравнений начинаем с определения точек стационарных состояний, их типа и устойчивости. Модель (1) в общем случае имеет три особые точки, координаты которых определяются формулами:
= оТ - ЬГ + 8(ак + Ь)//; 7 = ( + 8) * = 0, (2)
а - в(ак + Ь//
= _еТ-Ж +((-//; 7. = ( + 8//; г. = 2, (3)
Л + с[ - е//
. (т - ^/Х- Ч ат /+ п(х + кя!//т - ЛХ/с;
X [в// -1/+ п(1- ке// - Ьв/а//т - Л]с ’
7* = (* + я//; г* = —[(х-Хз*/+([ + Ь/а/з -ЬТ/а\ (4)
т
В частном случае, при т=п=0, в системе могут быть две особые точки. Тип и устойчивость точек определяется характеристическим уравнением для линеаризованной в окрестности этих точек системы. Система (1) диссипативна при условии:
(х, 7, г /< 0 ,
которое выполняется, если г < а.2 /(а - с), если а > с , и г > а2 /(а - с), если а < с . Следовательно, система не является всюду диссипативной в фазовом пространстве, подобно известной модели Ресслера [9]. Несмотря на это, наличие диссипатив-ности даже в части фазового пространства говорит о возможности существования в нем аттракторов, в том числе и хаотических. Уравнения (1) исследовались численно методом Рунге - Кутта с переменным шагом и точностью 1-10-6.
Рассмотрим некоторые результаты исследований. В табл. 1 приведены коэффициенты модели транспортного процесса, которые соответствуют графикам на рис.2. При этом в модели реализуется каскад бифуркаций удвоения периода, приводящий к хаосу (хаотический, или странный, аттрактор является одним из понятий, широко применяемых в нелинейной динамике и синергетике). В качестве бифуркационного принят параметр п. Сценарий перехода к хаосу полностью соответствует каскадам бифуркаций Фейгенбаума и теореме Шарковского, согласно которой наличие цикла периода 3 (рис.2, г) свидетельствует о том, что в системе есть циклы любого периода, а также режим детерминированного хаоса. Данный тип поведения может наблюдаться и в моделях транспортных процессов в биофизических системах.
а б
в г
Рис.2. Каскад бифуркаций удвоения периода в модели (1), приводящий к хаосу и циклу периода 3: а - п=7,0; б - 6,5; в - 6,0; г - 5,957
Согласно современным концепциям [9], последовательность бифуркаций в автономных диссипативных системах не заканчивается циклом периода 3, а продолжается, образуя так называемый гомоклинический каскад, который в свою очередь может вести к более сложным видам бифуркаций, законченной теории которых в данный момент времени не существует. Инте-
ресующихся этими вопросами отсылаем к фундаментальной монографии Н. А. Магницкого и С. В. Сидорова [9].
Среди особенностей модели (1) следует отметить значительную размерность параметрического пространства: количество параметров равно 14. Другой особенностью является то, что вычисление нулей правой части (1) не приводит к решению уравнений высоких степеней (4-й, 3-й или даже 2-й). В результате координаты особых точек не связаны между собой какой-либо нелинейной зависимостью. Как следует из уравнений (2) - (4), это дает возможность фиксировать положение одной особой точки и плавно изменять положение двух других, выбирая значения параметров определенным образом. Отмеченные особенности позволяют предположить, что в исследуемой модели транспортного процесса может наблюдаться значительное разнообразие аттракторов и соответствующих им паттернов поведения. Расчеты подтверждают данное предположение. В настоящей работе мы не в состоянии указать полное множество этих паттернов, отметим лишь, что в настоящее время установлено не менее 20 различных типов аттракторов, часть из которых отличается по своей структуре от известных аттракторов Лоренца, Ресслера или Чуа. Большинство из аттракторов составляют две большие группы, обладающих определенным видом симметрии. Приведем лишь некоторые примеры, имеющие отношение к существу рассматриваемых в данной работе вопросов.
В работе [13] приведены сведения, касающиеся динамики нейронов в малых нервных системах - центральных генераторах ритма (ЦГ). Такие генераторы состоят из пяти-шести или нескольких десятков нервных клеток, взаимодействующих между собой через синапсы. ЦГ вырабатывают ритмические воздействия, передающиеся на мотонейроны, которые управляют мышцами и реализуют движение с определенным ритмическим рисунком. В этой же работе приведены фазовые портреты странного аттрактора в модели нейрона, а также реконструированный аттрактор живого нейрона. При этом сама математическая модель нейрона не приводится. Отметим, что в нашей модели (1), если параметры выбрать по табл.2, обнаруживается весьма похожий динамический режим, которому можно поставить в соответствие паттерн поведения системы. Понятие паттерна, как типичного образца динамического поведения все чаще используется в синергетике и нелинейной динамике (см., например,[19]). На рис.3 показаны соответствующие зависимости. Кстати, аналогичные режимы наблюдаются и в других нейронных системах [1].
а б
в
Рис.3. Пример транспортного процесса - динамика модельного нейрона: а - проекция фазового портрета в плоскости (х-у); б - фазовый портрет в трех координатах; в - временная зависимость переменной г
В монографии [11] приведены результаты реконструкции динамической системы по электрокардиограмме человека (ЭКГ). Задачей исследователей являлось моделирование такой динамической системы, решением которой являлся бы периодический сигнал, с большой степенью точности воспроизводящий один период ЭКГ. На рис.4, а, б приведены графики реконструированной системы. В качестве переменных авторами использовались: Х3 - электрический потенциал ЭКГ и х2 - переменная, связанная с хз зависимостью & = х3. Рассматриваемая нами модель (1) при некоторых наборах параметров реализует сходные динамические режимы. В табл.3 приведены соответствующие значения коэффициентов, а на рис.4, в, г - результаты расчета. Видно, что в модели реализуется режим пульсаций, связанный с наличием всплесков (участок быстрых изменений переменных) и отрезков
медленного течения процесса. Такая неоднородность характерна для многих медицинских и биофизических систем.
На рис. 4, в можно заметить, что временная зависимость не отражает наличие зубца Т в реальной ЭКГ человека, но весьма удовлетворительно моделирует последовательность и форму зубцов Р, Q, Я и 8. Учитывая, что зубцу Т соответствует процесс быстрой реполяризации желудочков, связанной транспортом катионов калия из мышечных клеток, а зубцу Я - процесс деполяризации и транспорт катионов натрия внутрь клеток, то для более адекватного описания транспортного процесса необходимо было бы ввести еще одну переменную, поскольку в исходной модели (1) описывается транспорт только одного вещества.
L-и А > А—л
Рис. 4. Моделирование ЭКГ человека: а - временная зависимость переменной Х3 [11]; б - проекция аттрактора реконструированной 3-мерной математической модели [11]; в - временная зависимость для переменной Х3 в модели (1); г - аттрактор модели (1) в трехмерном пространстве
Обсуждая полученные результаты, отметим, что в найденном режиме (см. рис.4, в, г), несмотря на имеющиеся недостатки моделирования ЭКГ, налицо качественное совпадение, и модель (1), при условии ее специальной модификации, могла бы использоваться как инструмент для исследования кардиологических проблем. Еще одним достоинством модели является то, что все ее три фазовые координаты имеют четкий физический смысл, в отличие от реконструируемой модели работы [11], где две первые координаты связаны с содержательной третьей зависимостями, обусловленными не физическим смыслом переменных, а методом реконструкции, т.е. носят искусственный характер.
Параметры модели (1) для рис.2
Таблица 1
a b c d e f g
5 3 4 8 2 1 3
к l m n X Y Z
0,1 0,4 5 7 8 4 1
Таблица 2
Параметры модели (1) для рис.3
a b c d e f g
0,2 2,5 0,3 50 0,5 21 100
к l m n X Y Z
0,5 1 0,5 1 50 50 100
Таблица 3
Параметры модели (1) для рис.4
a b c d e f g
3,1 4,1 0,1 0,6 1 0,1 4
к l m n X Y Z
5 4 1 0,1 2 0,5 1,5
Выводы. Рассмотренные в работе вопросы позволяют утверждать, что задача исследования динамических моделей транспорта в медицинских и биофизических системах является актуальной. Это исследование может быть продолжено в направлении классификации реальных процессов транспорта (в том числе и активного) веществ через клеточные мембраны или, например, транспорта крови в сосудах, артериях, предсердиях и желудочках сердца и в других системах организма. Подобная классификация позволила бы определить общие свойства систем с точки зрения структуры транспортного процесса и поставить в соответствие
тот или иной его тип. Наличие качественной математической модели, обладающей свойством отражать главные нелинейные характеристики изучаемого объекта, позволяет подходить к решению целого ряда задач: диагностика и идентификация паттернов поведения системы; оценка устойчивости паттерна и степени влияния на нее управляющих параметров; установление связи между патологиями и паттернами поведения; управление хаосом и стабилизация хаотического поведения в медикобиологических системах - там, где наличие хаоса связывается с нарушением нормальной регулярной работы системы и т.д.
Построенные модели обобщенных транспортных процессов и их первоначальный анализ показывает, что: различные хаотические режимы в медико-биологических системах могут означать присутствие детерминированного хаоса и, соответственно, требовать доказательства его наличия; существующие в организмах живой природы паттерны поведения, на самом деле, есть ни что иное, как отражение нелинейных связей, имеющихся между подсистемами и элементами организма (функциональных систем, органов, клеток и т.д.) как системы; эти нелинейные связи, заложенные в структуру математических уравнений, объективно проявляются в решениях этих уравнений, демонстрируя свойства организма как сложной математической системы; имеется целый ряд задач, требующих дальнейшего анализа, например идентификация динамической системы, определение коэффициентов в уравнениях (1) и диапазона их изменения для реальных систем.
Литература
1. He, Jufang. // The J. of Neuroscience.- 2003.- №10.-P.8281-8290.
2. Агуреев И. Е. Нелинейные динамические модели поршневых двигателей внутреннего сгорания: Синергетический подход к построению и анализу.- Тула: ТулГУ, 2001.- 224 с.
3. Агуреев И. Е. // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 9.- Тула: ТулГУ, 2005.- С. 3-13.
4. Агуреев И. Е. // Изв. ТулГУ. Сер. «Автомобильный транспорт». Вып. 10.- Тула: ТулГУ, 2006.- С. 3-11.
5. Антонов В. Ф. // Соросовский образовательный ж.-1997.- № 6.- С.14-20.
6. Атлас Е. Е. Системные проявления минимальной мозговой дисфункции и управляющие возможности восстановительной медицины.- Тула: ТулГУ, 2005.- 196 с.
7. Климонтович Ю. Л. Введение в физику открытых систем.- М.: Янус-К, 2002.- 284 с.
8. Котов Ю. Б. Новые математические подходы к задачам медицинской диагностики.- М.: Едиториал УРСС, 2004.- 328 с.
9. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики.- М.: Едиториал УРСС, 2004.- 320 с.
10. Малинецкий Г. Г. и др. Нелинейная динамика: Подходы, результаты, надежды.- М.: Едиториал УРСС, 2006.- 280 с.
11. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах / В. С. Анищенко и др.- М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.- 544 с.
12. Николс Дж. Г. и др. От нейрона к мозгу.- М.: Едиториал УРСС, 2003.- 672 с.
13. Рабинович М. И. // Соросовский образовательный ж.-1995.- № 1.- С.44-49.
14. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в биофизике и экологии.- М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований,
2003.- 184 с.
15. Рубин А.Б. Биофизика.- В 2-х тт.- М.: Изд-во МГУ,
2004.
16. Седов Л. И. Механика сплошной среды. В 2-х т.- СПб.: Лань, 2004.
17. Синергетика и интегративная медицина: Теория и практика восстановительной медицины.- Т. V): Монография / А. А. Хадарцев и др../ Под ред. А. А. Хадарцева, В.М. Еськова - Тула: ИНФРА - М., 2006.- 264 с.
18. Хакен Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах.- М.: Мир, 1985.423 с.
19. Хакен Г. Принципы работы головного мозга: Синергетический подход к активности мозга, поведению и когнитивной деятельности.- М.: ПЕР СЭ, 2001.- 351 с.
б
а
20
25
30
г
