Heuristicki algoritam za projektovanje ruta vozila u transportnom sistemu „Nazovi vožnju“ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

HEURISTICKIALGORITAM ZA PROJEKTOVANJE RUTA VOZILA U TRANSPORTNOM SISTEMU „NAZOVI VOŽNJU“

UDC: 519.857 : 656.022.1/.5

Rezime:

Transportni sistem „Nazovi vožnju“ (Dial-a-Ride) oblikjeprevoza u kojemprevozilac poseduje vozni park i realizuje prevoz na relacijama i u vreme kako to zahtevaju korisnici. Osnovniproblem organizatorapevoza je definisanje ruta i reda vožnje saobracajnih sredsta-va, tako da se realizuje skup zahteva za prevoz. U radu je opisan heuristicki algoritam za projektovanje ruta i redova vožnje saobracajnih sredstava za staticki slucaj transportnog si-stema „Nazovi vožnju“. Razvijeni heuristicki algoritam ima mogucnostprimene u konkret-nim uslovima.

Kljucne reci: heuristicki algoritam, projektovanje ruta vozila, dinamicko programiranje.

Dr Gordana Radivojevic,

dipl. inž.

Institut „Mihajlo Pupin“, Beograd

HEURISTIC ALGORITHM FOR STATIC DIAL-A-RIDE PROBLEM

Summary:

Dial-a-Ride system is a way of transport in which a transporter owns a fleet and realizes transport when and where customers ask for it. Different versions of this type of transportation are present in every day practice. The main problem here is route design and scheduling to realize the set of transport requests. In this paper it is described a heuristic algorithm for route design and scheduling for the static Dial-a-Ride problem. The developed algorithm can be applied in real situations.

Key words: heuristic algorithm, vehicle route design, dynamic programming.

Uvod

Razlicite varijante ovog transport-nog sistema „Nazovi vožnju“ (Dial-a-Ri-de) postoje u svakodnevnoj praksi: prevoz starih i bolesnih lica, prevoz u obla-stima sa malom gustinom naseljenosti, gde ne postoji javni gradski prevoz, razli-citi oblici prevoza u gradskim komunal-nim službama, prevoz zaposlenih u veli-kim poslovnim sistemima, i dr. Pri reša-vanju problema projektovanja ruta i redova vožnje mogu se definisati staticki i dinamickii slucaj. Staticki slucaj podra-zumeva da su skup zahteva za prevozom

i podaci o saobracajnim sredstvima una-pred poznati. Tada se rute red vožnje projektuju za neki buduci period sa po-znatim parametrima transportnog proce-sa. Dinamicki slucaj podrazumeva reša-vanje problema projektovanja ruta i reda vožnje saobracajnih sredstava u realnom vremenu.

Postupak projektovanja ruta i reda vožnje predstavlja kombinatorni zadatak, jer iz skupa razlicitih kombinacija opslu-ge zahteva treba izabrati onu kombinaci-ju koja u najvecoj meri odgovara posta-vljenim ciljevima [6, 5]. Prevozilac naj-cešce želi da svojim prevoznim kapacite-

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

465

tima realizuje što veci broj zahteva, od-nosno, da ostvari što veci prihod. Projek-tovanje ruta i reda vožnje saobracajnih sredstava podrazumeva rasporedivanje skupa zahteva za prevoz na skup raspolo-živih vozila iz voznog parka, i definisa-nje tacnih vremenskih momenata pocetka i završetka svakog zahteva.

Problemi projektovanj a ruta i reda vožnje mogu se rešavati primenom opti-mizacionih tehnika ili heuristic kih algori-tama. Optimizacione tehnike, koje se naj cešce koriste, jesu dinamicko programi-ranje i metoda grananja i ogranicavanja. Primena optimizacionih metoda omogu-cava dobijanje najboljeg rešenja, sa aspekta definisanih kriterijuma. U praksi je primena optimizacionih metoda ogra-nicena dimenzijama problema koji se re-šava. Sa njihovim porastom (broja cvoro-va transportne mreže i broja zahteva za prevoz), znatno se povecava vreme rada racunara, pa primena ovih metoda nije uvek moguca. Zato se veliki broj problema u oblasti projektovanj a ruta i redova vožnje rešava primenom razlicitih heuristic kih algoritama [4, 3]. Heuristic ki al-goritmi mogu se primeniti za rešavanje problema velikih dimenzija i veoma brzo se izvršavaju. Dobijena rešenja nisu opti-malna, ali su veoma bliska optimalnim. U praksi ne postoji pravilo o primeni ovih metoda. Primena heuristic kih algoritama ili optimizacionih metoda zavisi od konkretnog problema koji se rešava.

Cilj ovoga rada je rešavanje problema projektovanja ruta i redova vožnje za staticki slucaj sistema Dial-a-Ride. U ra-du je prikazan heuristicki algoritam za projektovanje ruta i reda vožnje, koji se u jednom koraku zasniva na primeni meto-de dinamickog programiranja.

Opis problema

Transportni sistem „Nazovi vožnju“ (Dial-a-ride) je oblik prevoza u kome prevozilac poseduje vozni park, kojim obavlja prevoz putnika na odredenom podrucju - transportnoj mreži. Prevoz se realizuje na relacijama i u vreme kako to zahtevaju putnici. Osnovni cilj prevozio-ca je opsluživanje skupa zahteva za pre-vozom u odredenom periodu. Projektovanje ruta i redova vožnje podrazumeva rasporedivanje vozila iz voznog parka na skup zahteva za prevozom.

Razlicite varijante transportnog sistema „Nazovi vožnju“ moguce je klasi-fikovati prema osnovnim karakteristika-ma transportnog sistema [1]: broj vozila u voznom parku, kapacitet vozila, struk-tura voznog parka, broj depoa na transportnoj mreži, vremenske karakteristike zahteva za prevoz, kriterijumi projektovanja ruta, ogranicenja u sistemu, static-ka i dinamicka varijanta problema i dr. Nacin rešavanja problema projektovanja ruta i reda vožnje zavisi od navedenih karakteristika sistema.

U ovom radu posmatra se staticki slucaj transportnog sistema „Nazovi vo-žnju“. Prevozilac - organizator prevoza svojim voznim parkom obavlja prevoz na teritoriji grada. Zahtevi za prevoz evi-dentiraju se telefonom u dispecerskom centru prevozioca, a prikupljaju se dan ranije. Na kraju radnog dana projektuju se rute i red vožnje vozila za sle deci dan. Pri tome se uzimaju u obzir svi evidenti-rani zahtevi za prevoz i sva raspoloživa vozila iz voznog parka.

Zahtevi za prevoz realizuju se na odre-denoj transportnoj mreži. Transportna mre-ža je gradsko podrucje, koje se sastoji od

466

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

skupa cvorova - gradskih raskrsnica, i sku-pa ulica, koje povezuju te cvorove. Osnov-ne karakteristike transportne mreže su:

M - broj cvorova na mreži,

Xp, Yp - koordinate cvora p na mreži, Dpq - rastojanje izmedu cvorova p i q, TTpq - vreme putovanja izmedu cvorova p i q.

Prevozilac poseduje homogen vozni park, koji se sastoji od N vozila. Kapaci-tet vozila je je dan putnik. Na transportnoj mreži postoji jedan depo, lociran u cvoru D. Dozvoljeno radno vreme vozila je R i projektovane rute vozila moraju zadovo-ljavati ogranicenje radnog vremena. Vo-zila su na pocetku radnog dana u depou, odatle odlaze na realizaciju svojih ruta, a na kraju rada ponovo se vracaju u depo. Jedno vozilo u toku dana realizuje više zahteva za prevoz, iz depoa odlazi do mesta pocetka prvog zahteva, opslužuje ga na zadatoj relaciji, zatim odlazi do mesta pocetka sle deceg zahteva, opslužu-je ga, itd. Posle opsluge poslednjeg zahteva na svojoj ruti vozilo se vraca u depo.

Pod zahtevom za prevoz podrazu-meva se prevoz jednog putnika na odre-denoj relaciji i u odredeno vreme. Kori-snik prijavljuje prevoziocu zahtev za prevoz (i) i njegove osnovne karakteristike: i+ - cvor pocetka opsluge zahteva (i), i- - cvor završetka opsluge zahteva (i), DPTi - vreme pocetka opsluge zah-teva (i).

Zahtev za prevoz opisan je željenim vremenom pocetka opsluge. Vreme DPTi predstavlja vremenski momenat kada mora poceti prevoz putnika na željenoj relaciji. Na osnovu najkraceg vremena putovanja na mreži, za svaki zahtev (i) izracu-nava se vreme trajanja opsluge DTTi, tj. vreme direktnog putovanja na relaciji od

i+ do 1. Vremenski moment završetka opsluge je DDTi, a odreduje se kao:

DDTi = DPTi + DTTi (1)

Vremenski momenti pocetka i zavr-šetka svakog zahteva ne mogu se menjati u odnosu na zadate vrednosti. Postupak pro-jektovanja ruta i reda vožnje treba da obez-bedi raspodelu skupa zahteva na skup ras-položivih vozila i za svako vozilo definisa-nje redosleda opsluge dodeljenih zahteva.

U ovom radu odredeni su kriteriju-mi projektovanja ruta i reda vožnje [10]: vreme trajanja praznih vožnji, vreme ce-kanja vozila na pocetak realizacije sle deceg zahteva na ruti.

Pod praznom vožnjom podrazumeva se vreme potrebno da vozilo dode od mesta završetka prethodnog zahteva do mesta pocetka sledeceg zahteva na ruti. Sta-janje - cekanje vozila je period kada vozilo stoji u mestu pocetka zahteva, cekajuci momenat pocetka njegove realizacije.

Povezivanjem zahteva (i) i (j) u rutu jednog vozila ostvaruju se uštede u ukup-nom predenom putu i u predenom putu bez putnika (prazne vožnje). Da bi se zahtevi mogli realizovati istim vozilom potrebno je da bude ispunjen uslov:

DPTj > DDTi + TTi-j+ (2)

gde je TTi-j+ vreme putovanja od završet-ka zahteva (i) do pocetka zahteva (j). Zahtevi (i) i (j) mogu se spojiti u jednu rutu ako je vremenski moguce da vozilo posle realizacije zahteva (i) dode od cvora i- do cvora j+ pre zadatog vremena pocetka realizacije zahteva (j) - DPTj. Spajanjem zahteva u jednu rutu ostvaruju se uštede u predenom putu, jer se vozilo ne vraca u depo posle realizacije svakog zahteva.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

467

Kada se istim vozilom realizuje više zahteva korisnika za prevozom, dolazi do praznih vožnji i stajanja - cekanja vozila na pocetak realizacije sle deceg zahteva na ruti. Na slici 1 prikazani su prazna vožnja i stajanje vozila izmedu zahteva (i) i (j).

Funkcija cilja pri projektovanju ruta i reda vožnje vozila je ukupno vreme tra-janja praznih vožnji i stajanja vozila. Pre-ma slici 1, vreme trajanja prazne vožnje (Pij) pri realizaciji zahteva (i) i (j) je:

Pij = ТТГЈ+ (3)

a vreme stajanja Sj je:

Sij = DPTj - DDTi - TTi-j+ (4)

Ukupno vreme trajanja prazne vo-žnje i stajanja vozila pri realizaciji zahteva (i) i (j) je:

Pij + Sy = DPTj - DDTi (5)

U ovom radu se, pri projektovanju ruta i reda vožnje, teži minimiziranju ukupnog vremena trajanja praznih vožnji i stajanja vozila, a funkcija cilja je:

F = £ Z(DPTj - DDT)

i=i j=i

^ j (6)

DPT > DDTi + TTj

Heuristicki algoritam

Algoritam za rešavanje problema projektovanja ruta zasniva se na primeni optimizacione metode dinamickog pro-gramiranja. Algoritam se sastoji od sle-decih koraka [10]:

- korak 1: priprema podataka iz skupa ulaznih velicina,

- korak 2: primena dinamickog pro-gramiranja i generisanje skupa ruta,

468

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

- korak 3: analiza karakteristika do-bijenih ruta vozila.

Korak 1: priprema podataka iz skupa ulaznih velicina

Ulazne velicine obuhvataju podatke

0 transportnoj mreži, podatke o voznom parku i podatke o zahtevima za prevoz. Pre primene postupka projektovanja ruta

1 reda vožnje neophodno je ažurirati podatke o svim raspoloživim vozilima i o skupu evidentiranih zahteva za prevo-zom.

Korak 2: prime na dinamickog pro-gramiranja i generisanje skupa ruta

Ruta vozila se projektuje radi primene dinamickog programiranja. Pri do-deljivanju zahteva vozilu vodi se racuna o uslovima spajanja dva zahteva u jednu rutu i o ogranicenju radnog vremena vozila. Od skupa od Z evidentiranih zahteva za prevoz formira se mreža za prime-nu dinamickog programiranja. Primer ovako definisane mreže prikazan je na slici 2.

Osnovne karakteristike mreže za primenu dinamickog programiranja su:

- cvorovi mreže su zahtevi za prevoz, koje treba obaviti;

- cvorovi na mreži grupisani su u etape, gde svaka etapa predstavlja redni broj zahteva na ruti jednog vozila;

- mreža se sastoji od (Z + 1) etape, gde je Z broj evidentiranih zahteva za prevoz;

- u nultoj etapi nalazi se cvor D, ko-ji predstavlja depo voznog parka, od ko-jeg se polazi u postupku projektovanja ruta;

- u prvoj i svakoj sle decoj etapi na-laze se svi cvorovi - zahtevi za prevoz.

Grane na mreži povezuju cvorove u dve susedne etape. Izmedu bilo koja dva cvora (i) i (j), koji pripadaju susednim etapama (z-1) i (z) i zadovoljavaju uslov i * к uvek postoji grana koja ih spaja. Na mreži mogu postojati „prave grane “ i „veštacke grane“. „Prava grana“ spaja cvor (i) u etapi (z-1) i cvor (j) u etapi (z), ako je moguce istim vozilom realizovati zahtev (i), pa zahtev (j), tj. ako je ispu-njen uslov:

DPTj > DDTi + TTi-j+ (7)

Dužina „prave grane“ jednaka je zbiru vremena trajanja prazne vožnje izmedu zahteva (i) i (j), vremena stajanja vozila do pocetka zahteva (j) i vremena trajanja realizacije zahteva (j). Dužina „prave grane“ je Rij i odreduje se kao:

Rij = DPTj - DDTi + DTTj (8)

Ako zahtevi (i) i (j) ne zadovoljavaju uslov (7), tj. ako se zahtev (j) ne može realizovati istim vozilom posle zahteva (i), tada izmedu cvora (i) u etapi (z-1) i cvora (j) u etapi (z) postoji „veštacka grana“. Postojanje „veštacke grane“ izmedu cvorova (i) i (j), znaci da je (i) poslednji zahtev na ruti jednog vozila, a da se za realizaciju zahteva (j) uvodi novo vozilo iz depoa. Dužina „veštacke grane“ predstavlja zbir vre-mena trajanja vožnje od depoa do me-sta pocetka zahteva (j) i vremena trajanja realizacije zahteva (j). Dužina „veš-tacke grane“ izmedu cvorova (i) i (j) je Rij i izracunava se kao:

Rij = Q + TTdj+ + DTTj (9)

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

469

Konstanta Q ima veoma veliku vrednost (1,000.000) i oznacava angažo-vanje novog vozila iz depoa. Kada u po-slednjoj etapi projektovanja ruta na mreži dinamickog programiranja dobije vrednost funkcije cilja, tada cifra na poziciji miliona oznacava broj vozila neophodnih

za realizaciju svih zahteva. Grane koje spajaju cvor D u nultoj etapi i sve cvoro-ve u prvoj etapi su „veštacke grane“, jer se u prvom koraku za svaki zahtev anga-žuje vozilo iz depoa. Na svakoj sledecoj etapi definisanje grana izmedu bilo koja dva cvora radi se prema uslovu (7).

470

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

Na ovako definisanoj mreži potreb-no je pronaci puteve najmanje ukupne dužine, koji prolaze kroz sve cvorove mreže. Relacije dinamickog programira-nja su:

F0(0) = 0 (10)

Fz(j) = min|Fz-1(i) + Rij}z = 1,2,...,Z (11)

Dopustive grane (i,j)

gde je: z - etapa,

j - cvor u (z)-oj etapi, i - cvor u (z- 1)-oj etapi,

Fz(j) - dužina najkraceg puta do cvora (j) u (z)-oj etapi,

Fz-1(i) - dužina najkraceg puta do cvora

(i) , u (z-1) -oj etapi,

Rij - dužina grane izmedu cvora (i) u (z-1)-oj etapi i cvora (j) u (z)-toj etapi

Relacije dinamickog programiranja omogucavaju odredivanje najkraceg puta od pocetnog cvora do nekog cvora u (z)-toj etapi. Pronadeni najkraci put do cvora

(j) u (z)-toj etapi može da sadrži prave grane i veštacke grane. Postojanje veš-tacke grane na najkracem putu ukazuje na angažovanje novog vozila kojim se realizuje zahtev. Pri ukljucivanju cvora (j) u najkraci put potrebno je proveriti ogranicenja u pogledu dozvoljenog rad-nog vremena vozila R. Ako ova ogranicenja nisu zadovoljena, umesto „prave grane“ uvodi se „veštacka grana“ do cvora (j), tj. novo vozilo iz depoa za realiza-ciju zahteva (j). Pri ukljucivanju cvora (j) u najkraci put potrebno je proveriti da li je on u nekoj prethodnoj etapi bio uklju-cen. Nijedan cvor se ne može dva puta ukljuciti u najkraci put. Vrednost funkci-je cilja Fz(j) predstavlja ukupno vreme

trajanja realizacije svih zahteva, zakljuc-no sa zahtevom (j) na (z)-toj etapi. Postu-pak dinamickog programiranja se završa-va kada su svi cvorovi ukljuceni u najkraci put.

Kao izlazni rezultat dinamickog programiranja dobija se jedna velika ruta za koju je vrednost definisane funkcije cilja minimalna. Na slici 3 prikazan je je-dan primer rešenja dobijenog primenom izloženog postupka projektovanja ruta vozila. Dobijeno rešenje predstavlja skup ruta, kojima se realizuje skup od 10 evi-dentiranih zahteva za prevoz.

Korak 3: analiza karakteristika do-bijenih ruta vozila

Primenom dinamic kog programiranja dobija se rešenje - jedna velika ruta, koja predstavlja skup pojedinacnih ruta vozila. Na mestima postojanja „veštackih grana“ velika ruta se deli na deonice. Jedna deonica predstavlja rutu jednog vozila sa skupom dodeljenih zahteva, koje to vozilo realizuje. Rešenje obuhvata skup ruta vozila kojima se realizuju svi evidentirani zahtevi. U ovom koraku predvideno je da dispecer proveri projektovane rute svih vozila i na osnovu svog znanja, iskustva i intuicije unese eventualne korekcije. Ko-rekcije dispecera mogu biti promene ter-mina nekih zahteva za prevoz, koje u znatnoj meri mogu da poboljšaju kvalitet dobijenih rešenja. Posle ovih korekcija ide se ponovo na korak 1 algoritma. Postupak korekcija i projektovanja ruta može da se izraduje iz više iteracija. Na kraju se dobija konacan skup ruta i red vožnje vozila za sve evidentirane zahteve za prevoz. Za rute vozila definisani su razliciti pokazate-lji, koji omogucavaju kompletnu analizu rada voznog parka.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

471

Numeric ki primeri

Prema opisanom heuristickom algo-ritmu razvijen je softverski paket, koji omogucava njegovo testiranje u konkret-nim uslovima rada [10]. Transportna mreža je definisana na slucajan nacin i sastoji se od 13 cvorova. Maksimalno ra-stojanje na mreži iznosi 16,7 km. Vozni park prevozioca je homogen i sastoji se od 20 vozila. Dozvoljeno radno vreme

vozila je 8 casova, a prosecna brzina vozila na mreži 40 km/h. Testiranje je ura-deno za razlicite skupove zahteva za pre-voz: 80, 100 i 120 zahteva u toku dana.

U tabeli 1 prikazan je skup dobije-nih ruta vozila za 80 zahteva za prevoz. U tabeli je za svako angažovano vozilo dat skup zahteva, koje vozilo realizuje u toku dana. Ovde su prikazane rute dobi-jene jednim prolaskom kroz algoritam, bez dodatnih korekcija dispecera.

472

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

Tabela 1

Projektovane rute vozila

Vozilo Zahtevi za prevoz

1 16 1 7 2 3 25 3 4 35 3 6 3 8 3 9 4 2 43 4 5 4 7 5 0 5 1 57

2 3 6 8 9 12 13 15 18 24 27 33 37

3 2 1 4 7 11 10 14 22 28 30

4 20 26 40 44 49 52 58 63 66

5 41 46 54 55 62 70 76 77

6 48 56 59 67 74 78

7 53 60 61 68 71 79

8 65 69 72 80

9 5 19 29

10 31 64 73

11 21

12 75

13 32

Na osnovu projektovanih ruta dobi-jaju se pokazatelji rada voznog parka, prikazani u tabeli 2.

- u razlicitim primerima (80, 100 i 120 zahteva) predeni put sa putnicima je 50% do 51%, a predeni put bez put-nika 49% do 50% ukupnog predenog puta;

- ucešce predenog puta bez putnika je veliko, jer se svi zahtevi za prevoz rea-lizuju na direktnim relacijama od izvora do cilja kretanja (kapacitet vozila je je-dan putnik);

- vreme rada vozila obuhvata: vre-me vožnji sa putnicima (26% do 32%), vreme vožnji bez putnika (24% do 26 %) i vreme cekanja vozila (42% do 50%);

Tabela 2

Pokazatelji rada voznog parka

Vozilo Broj zahteva Ukupan put (km) „Pun put“ (%) „Prazan put“ (%) Ukupno vreme (min) „Pune vožnje“ (%) „Prazne vožnje“ (%) Vreme cekanja (%)

1 16 207.74 55 45 472.47 36 29 35

2 12 211.08 47 53 488.48 30 34 36

3 10 122.77 64 36 437.93 26 15 59

4 9 150.59 56 44 487.84 25 20 55

5 8 179.74 50 50 388.24 34 34 32

6 6 97.76 63 37 251.92 36 21 43

7 6 100.83 48 52 256.23 28 30 42

8 4 74.73 48 52 208.74 25 27 48

9 3 67.34 50 50 357.18 14 14 72

10 3 59.62 51 49 488.75 9 8 83

11 1 24.00 33 67 36.00 34 66 0

12 1 14.00 50 50 21.00 50 50 0

13 1 27.54 33 67 41.30 33 67 0

Analiza dobijenih pokazatelja za prime re sa 80, 100 i 120 zahteva za prevoz ukazuje na sle dece [10]:

- primenom razvijenog heuristickog algoritma dobija se skup ruta vozila, koji obezbeduje realizaciju svih evidentiranih zahteva za prevoz;

- dobijene rute vozila su najbolje sa aspekta definisane funkcije cilja: minimi-zacija trajanja praznih vožnji i cekanja vozila, uz poštovanje svih prisutnih ogra-nicenja;

- zahtevi za prevoz realizuju se u momentima koje zadaju korisnici, tako da ne postoji kašnjenje zahteva vec ceka-nje vozila na pocetak realizacije zahteva. Cekanje je zastupljeno u svim primerima sa ucešcem od 42% do 50%.

Razvijeni heuristicki algoritam i softverski paket obezbeduju primenu u konkretnim uslovima. Dobijeni skup ruta je najbolji sa aspekta definisane funkcije cilja. Nedostatak razvijenog algoritma su ogranicene dimenzije problema koji se rešava (najviše 125 zahteva za prevoz).

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.

473

Zaklju cak

U radu je opisan heuristicki algori-tam za projektovanje ruta vozila u tran-sportnom sistemu „Nazovi vožnju“ (Dial-a-Ride), koji ima veliku primenu u praksi. U razvijenim zemljama Evrope i Amerike postoje prevoznici koji prevoze razlicite kategorije putnika po principima Dial-a-Ride. Prevoz robe i putnika u raz-licitim poslovnim sistemima pripada ovoj grupi prevoza.

Opisani heuristicki algoritam se, u jednom koraku, zasniva na metodi dina-micko programiranje, što, sa jedne stra-ne, doprinosi kvalitetu dobijenih rešenja. Realizovanja testiranja na velikom broju primera ukazuju na dobijanje kvalitetnih rešenja u konkretnoj primeni. Sa druge strane, osnovni nedostatak razvijenog al-goritma jesu ogranicene dimenzije pro-blema, koji se rešava, što je upravo po-sledica primene optimizacione metode. Ovako definisan heuristicki algoritam predstavlja dobru osnovu za razvoj siste-ma za podršku odlucivanju, jer dozvolja-va da dispeceri koriguju dobijena reše-nja, kao i za projektovanje ruta vozila

kroz više iteracija. Uz dodatne modifika-cije (kapacitet vozila >1, postojanje vre-menskih intervala, dodatna ogranicenja u sistemu, i dr.) predloženi algoritam se može primeniti i za rešavanje slicnih kla-sa ruting-problema.

Literatura:

[1] Bodin, L.; Golden, B.: Classifi cation in vehicle routing and scheduling, Networks, 11, 97-108 (1981).

[2] Desrosiers, J.; Dumas, Y.; Soumis, F.: A Dynamic Programming Solution of the Large-Scale Single-Vehicle Diala-ride Problem with Time Windows, The American Journal of Mathematical and Management Science, 6, 301-325 (1986).

[3] Laporte, G.; Louveaux, F.: Mercure, H., The Vehicle routing Problem with Stochastic Travel Times, Transportation

Science, 26, 161-170 (1992).

[4] Lenstra, J.; Rinnooy kan, A.: Complexity of vehicle routing and scheduling problems, Networks, 11, 221-227 (1981).

[5] Magnanti, T.: Combinatorial Optimization and Vehicle Fleet Planning: Perspectives and Prospects, Networks, 11, 179-214 (1981).

[6] Muller-Merbach, H.: Heuristic Procedures for solving Combinatorial Optimization Problems in Transportation, Transportation Research, 8, 377-378 (1976).

[7] Psaraftis, H.: A dynamic programming solution to the single vehicle many-to-many immediate request dial-a-ride problem, Transportation Science, 2, 130-154 (1980).

[8] Psaraftis, H.: Scheduling Large-Scale Advance-request Dial-a-ride Systems, American Journal of Mathematical and Management Science, 6, 327-367 (1986).

[9] Radivojevic, G.: Multidisciplinarni pristup optimizaciji upravljanja autobuskim voznim parkovima, Centar za mul-tidisciplinarne studije, Magistarski rad, Beograd (1992).

[10] Radivojevic, G.: Fazi sistemi za projektovanje ruta saobra-cajnih sredstava, Saobracajni fakultet, Doktorska disertaci-ja, Beograd (2002).

474

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4/2006.