CC BY
62
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXV 1994 № 3-4
УДК 532.525.2.011.6
ХЕМОСОРБЦИЯ ОКИСЛОВ АЗОТА КАПЛЯМИ ВОДЫ
В СПУТНОЙ СТРУЕ
А. В. Кашеваров, А. Л. Стасенко
На основе простой модели физико-химических процессов в осесимметричной спутной струе проведены аналитические и численные оценки гетерогенной конденсации, роста капель воды и возможности хемосорбции ими окислов азота, вредных для озонного слоя Земли.
В настоящее время во всех странах с развитой авиационной промышленностью большое внимание уделяется проблеме возможного воздействия перспективной стратосферной авиации на озонный слой Земли [1]. В качестве необходимого этапа решения этой глобальной экологической проблемы выступает подробное исследование пространственно-временной эволюции отдельной спутной струи [1 — 5]. Для этого уже созданы программы численного исследования физико-химических процессов в спутных струях с учетом десятков и сотен газофазных реакций и возбуждения внутренних степеней свободы молекул [1, 2, 6, 7]. Экспериментально выяснено, что скорости гетерогенных химических процессов в присутствии мелкодисперсных частиц много больше, чем скорости реакций в газовой фазе; однако количественные данные об этих процессах еще немногочисленны.
В решении этой проблемы весьма привлекательна идея отыскания таких веществ и процессов в самой струе, которые могли бы уменьшить роль вредных выбросов, из которых приоритет отдается окислам азота. В настоящей работе рассмотрена возможность уменьшения их концентрации за счет поглощения каплями воды, образующимися на гетерогенных центрах конденсации. Для выяснения роли исследуемых процессов примем максимально простую модель струи и конденсации, основанную на следующих предположениях:
1. Числа Прандтля, Льюиса и Шмидта одинаковы и равны единице.
2. Конденсация паров воды начинается на гетерогенных центрах (например, частицах сажи) термодинамически равновесно, после про-
хождения поверхности росы г3 (х), где парциальное давление пара сравнивается с давлением насыщения при локальной температуре.
3. Капли остаются жидкими метастабильными, несмотря на сильное переохлаждение воды. Это предположение оправдано теми фактами, что, например, облачные капли в течение многих часов или даже суток не кристаллизуются, будучи переохлажденными до -40° С; в опытах с камерой Вильсона образуются жидкие капельки, хотя конечная температура в камере оказывается ниже тройной точки [8].
4. Изменение размера капель описывается интерполяционной формулой, асимптотически переходящей в формулу Герца—Кнудсена в свободномолекулярном пределе и в формулу Максвелла — в континуальном.
5. Коагуляция-образовавшихся капель происходит согласно уравнению Смолуховского при средней относительной скорости порядка скорости турбулентных пульсаций в слое смешения и заданной вероятности их слияния.
6. Струя является смесью водяного пара, окислов азота и пассивного несущего газа с фиксированными термодинамическими параметрами, к которому отнесены все остальные компоненты. Как показали предыдущие исследования [4, 5], скорость хемосорбции моноокиси азота существенно меньше, чем двуокиси; кроме того, моноокись дополнительно генерируется внутри капли при образовании в ней азотной кислоты, что в итоге приводит к почти неизменному ее количеству. Таким образом, будет рассмотрена только убыль КГ02 за счет хемосорбции. (Учет газофазных реакций может быть проведен в дальнейшем на базе уже развитых программ численного исследования, например, [6, 7].)
В этих предположениях модель механики струи с конденсацией пара и хемосорбцией окисла азота каплями воды записывается в виде следующей системы уравнений:
(
дв 11а
г дВ
ИтР« —ТУ СЛ|/
дх Ке0 у Зу Здесь функция тока введена соотношениями
+ — Е. (1)
р и
г г
—- = -ри—, —11 = ри—
дх \|I дг ц>
(и, V — осевая и радиальная компоненты скорости);
(2)
В = \и,Н^,^;сЛЛ;с^^Ы,
[ Р Р Р Р ]
I
2 (эе - 1)М^
и2 Т
Н = — + ------ ^ 2 — полная энтальпия, р = пт — плотность капель,
п — концентрация капель, т- о3 — масса отдельной шаровой капли радиуса а, р0 — плотность пара. Источниковые слагаемые имеют вид (соответствующий компоненту В).
Здесь сопс! - конденсация, соад - коагуляция. Нули соответствуют закону сохранения импульса, энтальпии струи и массы конденсирующегося компонента (в виде пара и капель). Далее, объемная скорость производства конденсата равна
[р] = л471а р [а]соп<1 = рпа*(с0 - см)р
а2
ак(с„) 52)0(а + /)
/ = 25^, р = 4 па2пага, 5 = ^
\со) иаа
(4)
Здесь учтена интерполяционная формула роста капли при произвольных числах Кнудсена Кп = //2а, асимптотически переходящая при Кп »1 в выражение для свободномолекулярного режима (ак — коэффициент конденсации), а при Кп «1 — для континуального (2)„ — коэффициент диффузии пара, отнесенный к его значению на срезе
сопла DVa), (сц) = Ш !иа ~ безразмерная средняя тепловая
скорость молекул пара.
Объемная скорость убыли капель за счет коагуляции описывается уравнением типа Смолуховского:
[4оа8=-|и2«Ч>/2т1Р, (5)
где Ут — средняя скорость турбулентных пульсаций, Т| — коэффициент коагуляции капель при соприкосновении.
Объемная скорость убыли двуокиси азота в результате хемособрции водой описывается моделью работы [3]:
Ха
[Рмо21 = -паУс2 -^2К4(Т)ЕЩОа (Т)(К<?)2 (6)
са иа
2993
где ^К4(Т) = —-------8,2317 (Т — в градусах Кельвина), К4 =
= Ля2о4/^о2 » МПа"1 — константа равновесия химической реакции для четно-валентного азота, 2Ы02 =К204; Нм2о4 (Т) — мольная плотность потока сорбируемого газа в расчете на единицу его давления.
Эти величины заимствованы из экспериментальных исследований
производства азотной кислоты [3, 9].
Эта система уравнений обезразмерена следующим образом: все линейные размеры отнесены к радиусу сопла га, скорости — к скорости
на срезе сопла иа, температуры — к Та, энтальпия — к и2, массовые
плотности — к ра, концентрация капель — к па, радиус капель — к
Выписанная модельная система уравнений газотермодинамики струи с учетом конденсации пара, коагуляции капель и хемосорбции окислов азота, разумеется, сложнее, чем в случае «чистого» газа; тем более важны ее аналитические решения, которые удается получить в дополнительных предположениях.
А. Пусть струя строго цилиндрична, ее скорость и температура постоянны (Л = га, и = ив, Т = Та), коагуляция отсутствует (Утг\ = 0). Тогда концентрация частиц па постоянна и равна концентрации ядер, массовая плотность пара
Интегрируя уравнение для радиуса капель (4), получаем следующую неявную зависимость радиуса капли от времени t = х/иа , пригодную при любых числах Кнудсена:
наибольший размер капель, достигаемый при полной конденсации избытка пара (когда da/dt = 0).
Б. Пусть частицы обладают хаотическим движением со средней скоростью VT и ее произведение на вероятность коагуляции постоянно, Ктт| = const. В этом случае удается найти конечные формулы только для случая свободномолекулярного режима конденсации. Система уравнений для радиуса капли, их концентрации и плотности пара имеет вид
i(i + <;-0. + *,3)]n 6
где а = а/ат, постоянные X = — = 2Кпот, £
конечная объемная доля конденсата; ат
т
Исключив время, эти уравнения можно свести к одному,
описывающему связь радиуса и концентрации капель:
л „з
da
dh
-—а = -йв<£(а + 1W п п
(9)
Его решение:
а) л
а3п
з *
= 1-
а =
)
2V2Ktti
(ат определено выше).
В. Оценим возможное уменьшение концентрации окислов азота за счет хемосорбции. Можно показать, что при реальных значениях газодинамических параметров и концентрациях компонентов в самолетных струях характерное время роста капель существенно меньше, чем время сорбирования ими окислов азота. Поэтому в дальнейшем при оценке количества сорбированных окислов примем, что капли уже достигли наибольшего размера и остаются постоянными.
При этом нам понадобятся оценки для характерного радиуса спутной струи. Можно показать, что для двух моделей турбулентной кинематической вязкости Прандтля
Vt = Wa\ua - «со| = const, v? = SvhR"Mx) - «оо|
(10)
(ит(х) — значение скорости на оси струи) характерный радиус описывается выражениями соответственно [5, 2]:
\1/3
R' =
4х
Re,
00 У
_l_fl2xx)
"VJlReJ
(11)
Распределения параметров в струе (в том числе концентраций пассивных компонентов) описываются универсальной зависимостью:
е(х,г) =
и — и„
Я-Яоо
На-Ню
с)~с}* cja ~ cj оо
-exp
Г2
(12)
Будем считать изменение концентрации двуокиси азота малой поправкой к основному значению, с = (с^ « с^). Тогда, пренебре-
гая малыми более высокого порядка, из (1) и (6) получаем уравнение для с источниковыми слагаемыми, зависящими только от . Инте1рируя это уравнение по пространству, получаем следующую оценку уменьшения двуокиси азота за счет хемосорбции (при р~р„, Т ~Т00, и~и„, а = const):
00 00
Т~ Г c^\x,r)2nrdr - &2KA{Tm) SN2o4 (Г„) х
са ' «oo-A*N02
dx
[(х)
(13)
Последний интеграл для двух указанных выше моделей ут равен
ви
I
еіх
К\х)
____00
16х.
ДЛЯ V'т,
Д/3
для
(13")
Численные оценки и дальнейшие расчеты проведем для того же, что и в [3, 5], базового набора параметров, характерного для перспективных СПС:
га = 1 м, и„= 500 м/с, иа = 103 м/с, Т„ = 216,7 К, Та = 3Гте,
Роо -.0,1 кг/м , ра — Роо/3» Ид — 10
,13
1
(14)
кроме ТОГО, ДЛЯ оценок примем X = Квоо = 10» о* = 1 мкм (а = 1), Чо2/ха~510~4’ А(^) = 0,37Па-1,Ек2о4(7’со) = 2 10-5 моль/м2.сПа.
Для этих входных данных (и, например, для у£) получим I -2%.
Эти оценки и более ранние расчеты [4] показали, что из-за быстрого «разбавления» струи спутным воздухом достигаемое значение концентрации азотной кислоты мг в каплях много меньше ее равновесного значения м/е, поэтому нет необходимости вводить в (6)
множитель, зависящий от ш и зануляющий скорость хемосорбции при м> -* \)е, как это было сделано в [5].
Ниже приведены результаты численного решения системы уравнений (1).
Для турбулентной вязкости использована формула [10]:
у" = 0,014мдДг*є:
Дг
(15)
где ет =
“т
«в -«оо
= е(х,0), см. (12); г* = г0)5.
Для полностью развитого автомодельного профиля скорости на основном участке струи А г* = г*, а на начальном участке Дг* представляет собой ширину СЛОЯ смешения, определяемого так: А Г* = |г0)2 - Го,81 (го,2 равно значению г в той точке, где и = «о>2 = + °>2(ит - и„); г0>5
и го,8 определяются аналогично).
Как легко видеть, при к = 1 и А г* = г* (основной участок струи) формула (15) переходит в у*, а при к = 0 дает постоянное значение
вязкости V' (10). В более общем случае к = 0,5-0,3 ОТд , где
V1 + Щ
та = «„/Ид — параметр спутности.
Из цепочки равенств, связанных с именем Прандтля и аналогией с элементарной кинетической теорией
ди
дг
,2 |«0,8 ~ »0,2|
— *т * ~гт*т>
ДГ
можно получить следующее выражение для средней скорости турбулентных пульсаций, совместимое с принимаемой моделью ух = V®:
( * \У2
УТ = к®
Т X
V?
Т* и0,2 - «0,8 » Дг #
V у
(16)
Численное решение задачи проводилось последовательно в три этапа. На первом этапе рассчитывались Поля скоростей и температуры в струе, причем ввиду малого содержания паров воды влиянием конденсации на распределение температуры пренебрегалось. Это позволило без особых изменений воспользоваться для расчета методом [6], который более подробно изложен в [11].
Расностная аппроксимация уравнений проводилась с помощью разностной схемы [6] на равномерной сетке с одинаковыми шагами по х и V)/, равными 0,1, причем параметр аппроксимации 5=0,5.
В начальном сечении на срезе сопла все параметры, кроме цт = цта, заданы. Коэффициент вязкости цт в начальном сечении во всех расчетных точках, кроме точки, совпадающей с границей сопла, равен нулю. При задании цт в точке, совпадающей с границей сопла, имеется некоторый произвол. Коэффициент цт в этой точке определялся по формуле (15), в которой «ширина слоя смешения» Дг* задавалась исходя из шага сетки в радиальном направлении Дг* = 0,1.
«Ширина слоя смешения» Дг* оставалась таковой до тех пор, пока Дг*, определенная по (15), на каком-то шаге не превышала этой величины. Расчеты были проведены также, когда в начальном сечении Дг* = 0,05. Оказалось, что некоторый произвол в задании цта сказывается лишь на малых расстояниях от среза сопла, а затем распределения искомых функций, определенные для этих двух случаев задания |д.тв, практически совпадают.
На втором этапе рассматривалась конденсация паров воды в струе. При проведении расчетов удобно в уравнении для с в источниковом члене заменить с0 на с^-с, где — суммарная концентрация паров воды и конденсированной фазы (2). В отсутствие коаіуляцИи все параметры на &-м слое (по х), кроме с и связанного с ней размера капель а, оказываются известными, так как параметры с2 и п/р можно рассчитывать независимо от того, имеет ли место конденсация или нет.
Распределения и п/р на каждом слое описываются в отсутствие коагуляции тем же профилем, что скорость и энтальпия.
При численном расчете источниковый член записывался в виде 5[с]*_1 + (1 - я)[с]*:. Параметр 5, необходимый для обеспечения устойчивости, был также равен 5 = 0,5. Уравнение для с принималось во внимание, когда в отсутствии капель (а = 0) в точке на предыдущем слое, в соответствующей расчетной точке на последующем слое оказывалось > см. Решение разностного уравнения для с
проводилось по методу простой итерации. В качестве начального приближения для а при указанном выше условии выбирался достаточно малый размер а5 = 10-3 мкм при характерном значении д, = 0,44 мкм. В последующих расчетных сечениях в качестве начального приближения использовались значения а на предыдущем сечении. Итерации продолжались до тех пор, пока минимальная разность значений а в двух последовательных итерациях по модулю не превышала Да = 10-4.
После образования капли в некоторой расчетной точке рассмотрение уравнения для с продолжалось до полного испарения капли. Считалось, что произошло испарение, если оказывалось, что в некоторой точке с <0. Тогда в этой точке принималось с =0, и уравнение для с исключалось из рассмотрения в этой точке.
При наличии коагуляции после определения концентрации с и размера капель а, как описано выше, рассчитывалось п/р. Источниковый член (5) в уравнении для п/р аппроксимировался так же, как
для с. Определив п/р, можно получить размер капель а =
поправкой на коагуляцию. Затем размер капель без коагуляции сравнивался с размером, полученным с учетом коагуляции. Бели максимальная из всех расчетных точек разность этих двух значений была больше, чем Ю-4, опять проводился расчет размера капель без коагуляции, но уже с новыми значениями п/р и т. д. Процесс продолжался,
пока не выполнялось указанное выше условие.
На третьем, заключительном этапе проводился расчет хемосорбции. Предыдущие расчеты [5] показали, что поглощение N0* весьма мало, и в нулевом приближении распределение с концентрации Ж)2 описывается универсальным профилем — таким же, как для и, Ни п/р в отсутствии коагуляции. Тем самым источниковый член для с на каждом расчетном слое известен, и поглощение (-Дс) можно рассчитать, используя метод скалярной прогонки. В целом этот численный алгоритм аналогичен описанной выше аналитической оценке (пункт В), разумеется, теперь при переменных значениях радиуса и числовой плотности капель.
На рис. 1 приведены результаты расчета поверхности росы г5(х), на которой достигается условие насыщения пара в зависимости от влажности атмосферы С0<я = риоо/р05 (7^), коэффициента коагуляции г\ и
принимаемой модели турбулентной кинематической вязкости ут. Указанная маркировка кривых одинакова в дальнейшем для всех рисунков.
5 -
то
■0\ г\=0
1500
2000 X
Рис. 1. Меридиональные сечения поверхностей росы и полного испарения капель в зависимости от влажности атмосферы и вероятности коагуляции
Видно прежде всего, что в случае сухой атмосферы =0) условие насыщения достигается не только на поверхности г^, где
струя уже достаточно охладилась, а концентрация водяного пара еще значительна, но и на поверхности, лежащей ниже по течению, где температура уже почти постоянна, а концентрация пара струи сильно падает за счет «разбавления» воздухом спутного потока. Таким образом, в случае = 0 область пересыщенного пара о1раничена
поверхностями /"Р и г^2\ и внутри этой области пар может конденсироваться спонтанно (при достижении достаточного пересыщения) или гетерогенно (без пересыщения, на заранее внесенных частицах). Напомним, что в настоящей работе рассмотрен только второй случай.
На рис. 1 двойной штрихпунктирной кривой соответствует полное отсутствие конденсации (например, если коэффициент конденсации ак = 0 или па = 0, см. (4)). Этот случай служит в качестве опорного для сравнения с учитываемыми ниже процессами.
Так, если происходит гетерогенная конденсация пара (штрихпунк-тирная линия), вторая поверхность росы заметно приближается к соплу из-за уменьшения концентрации пара. При «включенной» коагуляции г<2> еще несколько смещается в сторону сопла (точечная кривая).
Поверхность же, на которой происходит полное испарение капель в сухой атмосфере, при этом, наоборот, смещается вниз по течению
(ср. штрихпунктирную и точечную кривые а -> 0), что объясняется ббльшими размерами капель а^2\ достигаемыми на поверхности вследствие коагуляции. В случае насыщенной атмосферы (CVa> = 1) поверхность rj2\ естественно, удаляется на бесконечность: капли не
испаряются, а могут лишь расти за счет коагуляции.
Любопытно отметить волнистый характер линии г*2) в области ее
наибольшего удаления от оси. Его можно объяснить тем, что вне линии /*(2) капли начинают испаряться, что увеличивает концентрацию
пара cv и прекращает испарение; продолжающееся (вниз по течению) охлаждение смеси вновь снимает пересыщение (кривая идет вниз), и этот процесс повторяется несколько раз. При этом важно, что вследствие диффузии капли уже оказались над восходящей частью линии г<2>. Подчеркнем, что полученные колебания внешней поверхности росы связаны именно с физическими процессами, а не с дискретизацией уравнений: они развиваются на расстоянии вдоль оси порядка 200 калибров, т. е. ~ 2 ■ 103 Ах.
На положение внутренней поверхности росы гр) влажность атмосферы и параметр коагуляции капель почти не влияют. Однако принимаемая модель кинематической турбулентной вязкости заметно влияет на эту поверхность, существенно зависящую от скорости охлаждения и «разбавления» струи с путным потоком. Так, на рис. 1 приведены также линии rf1*, полученные в [5], для двух других моделей турбулентности
Vj и V" (13' и 13"). Видно, что более реалистичная модель v® (15),
принятая в настоящих численных исследованиях, приводит к вытянутой вдоль оси поверхности /^(х). Расчеты показали, что на
больших расстояниях от сопла (x>j50) для рассмотренного базового набора параметров (14) зависимость вязкости от координаты хорошо аппроксимируется простой функцией v® ~ х1/4; при этом радиус струи
будет изменяться по закону -х5/8, т. е. расти быстрее, чем R' (11).
На рис. 2—4 приведены радиальные распределения размеров капель а, удельной числовой плотности частиц п/р и убыли двуокиси азота -Ас/с в нескольких сечениях струи х= const.
Из рис. 2 видно, например, что в сечении х= 300 капли существуют только в кольцевой области, внутренний радиус которой совпадает с радиусом первой поверхности росы rj1). В случае сухой
Рис. 2. Поперечные распределения размеров капель в двух сечениях струи
Рис. 3. Поперечные распределения плотности капель
-ас-т*
„---------------------------------1-------------;----------------1_____
О У 10 г
Рис. 4. Поперечные распределения дефицита плотности двуокиси азота из-за хемосорбции каплями воды
в случае насыщенной атмосферы (С^ = 1, сплошная и штриховая линии) размер капель указан вплоть до условной 1раницы струи г = год,
определенной выше.
Из рис. 3 видно, что коагуляция капель приводит с удалением от сопла ко все более заметному уменьшению числовой плотности частиц. В частности, сплошные кривые на рисунке, соответствующие отсутствию коагуляции, описывают не только удельную числовую плотность частиц (л/р/(я/р)д), но и любую физическую величину, не имеющую источника в уравнениях (1), т. е. и/иа, Н/На, С],... .
На рис. 4 видно, что вследствие диффузии убыль окисла азота из-за хемосорбции происходит не только там, где существуют капли, но и в соседних слоях (ср., например, кривые рис. 2 и 4 при х= 300).
Из приведенного графического
полностью испаряются на линии а-* 0, лежащей вне г^2\ рис. 1;
3
ч
5
2
1
/
/
/
/
/
/
/
/
/
материала видно, что коагуляция может существенно влиять на размер капель: так, их радиус вырастает приблизительно вдвое, а масса — на порядок (сравните сплошную и штриховую кривые рис. 2 при х=900). При этом убыль окисла азота несколько уменьшается (рис. 4) из-за уменьшения суммарной поверхности капель, пропорциональной па2 [см. (6)]. Эти результаты свидетельствуют о целесообразности дальнейшего уточнения модели коагуляции, рассмотренной здесь лишь для двух предельных случаев (т] = 0 и 1).
Рис. 5. Продольное распределение интегрального по сечению дефицита двуокиси азота в зависимости от параметров влажности атмосферы, турбулентности слоя смешения и
В
500
х
Наконец, на рис. 5 приведено изменение с удалением от сопла интегрального поглощения потока двуокиси азота (при мольной доле
00
коагуляции капель
Здесь же для сравнения нанесены кривые, полученные в предыдущей работе [5], для двух других моделей турбулентной вязкости Vj и V" (10)
и при мольной доле NC>2 на срезе сопла 5 • 10-4.
Таким образом, численные оценки настоящего и предыдущего [5] исследований показывают, что для базового набора параметров (14), характерного для СПС, самопоглощение окислов азота каплями конденсата струи может изменяться в пределах 1—10% в зависимости от характера турбулентной вязкости, управляющей скоростью смещения со спутным потоком, и коагуляции капель.
Разумеется, необходимо уточнение дальнейшей судьбы этих капель. Если они испарятся, то возникшая в них азотная кислота, перейдя в газообразное состояние, может вступить в химические реакции и вновь превратиться в окислы азота. Но возможен и другой путь: отвердевание и выпадение капель в более плотные слои атмосферы, где дополнительный вклад окислов азота уже не опасен для озона атмосферы [1] (здесь уместно отметить, что образование тригидрата азотной кислоты уменьшает скорость испарения капель воды, а опускание вихревой пелены за самолетом способствует их транспортировке вниз). Однако эта дальнейшая эволюция капель относится уже, скорее, к физике атмосферы и должна быть предметом отдельного исследования.
ЛИТЕРАТУРА
1. Stolarski R. С., Wesoky Н. L. The atmospheric effects of stratospheric aircraft: a second program report //NASA Reference Publication 1293,
Code JIT, Washington DC 20546-0001—March 1993.
2. Miake-Lye R. C., Martinez-Sanchez М., Brown R. C.,
Kolb С. E. Plume and wake dynamics, mixing, and chemistry behind an HSCT aircraft // AIAA Paper.—1991, N 3158.
3. Стасенко А. Л. К теории хемосорбции окислов азота каплями воды в струе стратосферного самолета // Препринты ЦАГИ.—1991, № 51.
4. Гринац Э. С., Стасенко А. Л. Моделирование воздействия вихрей на струи самолета и хемосорбции окислов азота каплями воды // Препринты ЦАГИ,—1992, N9 68.
5. Гринац Э. С., Кашеваров А. 6., Стасенко А. Л. Взаимодействие вихрей и струй высотного самолета и хемосорбция окислов азота каплями воды // Препринта ЦАГИ.—1993, № 81.
6. Р у с к о л В. А., П и р у м о в У. Г. Изобарическая турбулентная реагирующая струя, истекающая в спугкый поток // ДАН СССР.—1977. Т. 236,
№ 2.
7. Егоров Б. В., Комаров В. Н., Маркачев Ю. Е. ГПВРД и проблемы экологии стратосферы // Препринты ЦАГИ.—1992, № 57.
8. В rat os М., Burnat М. Two-dimensional two-phase flow with phase transition in a de Laval nozzle //Aichivum Mechaniki Stosowanej.—1974. V. 2, N 6.
9. Шервуд Т., Пигфорд P., Уилки Ч. Массопередача.—М.: Химия, 1982.
10. Бондарев Е. Н., Лисичко И. Д. Распространение недорасши-ренной турбулентной струи в спутном сверхзвуковом потоке // Изв. АН СССР, МЖГ.-1974, № 4.
И. Авдуевский В. С., Ашратов Э. Л., Иванов А. В., Пиру-мов У. Г. Сверхзвуковые неизобарические струи газа,—М.: Машиностроение, 198S.
12. Okuyama К., Kousaka Y., Yoshida Т. Turbulent coagulation of aerosols in a pipe flow // Aerosol Science.—1978. V. 9, N 5.
Рукопись поступила 13/Х 1993
