Характеристики оценок параметров зашумленного гармонического процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАДИОФИЗИКА

УДК 519.2

П.Н. Звягин

ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ЗАШУМЛЕННОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Для анализа данных, которые носят колебательный характер, часто применяются методы регрессионного анализа. При определенных условиях, располагая сведениями о дисперсии оценок параметров регрессионной модели, оказывается возможным оценить дисперсию шума, присутствующего в данных. В настоящей статье выводятся формулы, определяющие зависимость такого рода.

Постановка задачи

Пусть имеются n наблюдений xt, t = 1, 2, ..., n, стационарного (по крайней мере, в широком смысле), центрированного случайного процесса X (t) с дискретным временем. Выдвинем предположение, что основу этого процесса составляет гармоническая компонента с единственной частотой ю, к которой добавлен шум :

xt = A cos (rat) + B sin (rat) + ^t = XX (t ) + £t, (1)

где XX(t) — детерминированный процесс.

Пусть шум определяют попарно независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием

= M =... = M^n = 0 (2)

и одинаковой дисперсией, которую обозначим D %:

D= D^2 =... = D^n = D% . (3)

Если известны n наблюдений xt, t = 1, 2, ..., n, процесса X(t) и частота ю, то неизвестным амплитудным параметрам A и B можно дать

оценки A и B по методу наименьших квадратов (МНК).

Утверждение 1. Дисперсии МНК-оценок A и B процесса (1) при условиях (2), (3) линейно зависят от DE,.

Доказательство. Для отыскания оценок A и B по методу наименьших квадратов составим и минимизируем целевую функцию:

n2 E ( A,B ) = Х( A cos (rat) + B sin (rat)-xt) (4)

t=1

и решим систему уравнений, линейных относительно A и B:

^ = 0; SA

— = 0. dB

Отсюда имеем:

n

Ak1 + Bk = b1 cos (rat); t=1

<

n

Ak + Bk2 = b2 sin (rat). t=i

(5)

Здесь числовые коэффициенты k1, k , k2, b1, b2 получаются следующим образом:

k1 cos2 (rat) , k = ^ cos (rat) sin (rat) ,

t=1

t=1

k2 = X sin2 (rat);

(6)

t=1

b =E XX (t) cos (rat) , b2 =X XX (t) sin (rat) . (7) t=1 t=1

4

Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки 4' 2012

Пусть Y1, Y2 — следующие случайные величины:

Y cos (oí); Y2 = sin (oí). (8)

t=i t=i

В силу равенств (2) MY1 = 0 и MY2 = 0 . Вследствие независимости , t = 1, 2, ..., n и равенств (3), имеем:

DY1 = D ¿ cos2 (ot ) = k1D

t=i n

DY2 = D ^ sin2 (ot ) = k2D .

t=i

(9)

Решая систему (5), получим:

B =

f b2k1 - b1k л

2

V k1k2 - k J

+ Y

-n

k

2 k1k2 - k2 1 k1k2 - k2

(10)

Обозначим B = Тогда

^ b2k1 - b^k ^ 2

k1k2 - k

A = ÍL _ B A -

k1 k1 k1

Y k1 V k1k2 - k

(11)

-Yr

2

1k2 - k У

kk - k

Обозначим также A = —-B-k

Тогда

A = At + л

k1 k1

-Y,

1 k1k2 - k2 2 k1k2 - k2

(12)

Поскольку при фиксир ованных ю и t = 1, 2, ..., n A = const, ВВ = const, то

mA = At, mB = в, dA = 0, dB = 0.

Из выражений (12) и (10) получаем:

DA =

(k1k2 - k2 )

2 DY1 +

DY2 =

22 k1k2 + k k2

(13)

72 DY2

[kk2 - k2) (k,k2 - k2)

D £

DB =

(kxk2 - k2)

2 DY1 +

Dy = k1k 2 + k1k2

Л DY2

(k,k2 - k2 ) (k,k2 - k2 )

D

При фиксированных ю и t = 1, 2, ..., и коэффициенты ^ , k , ^ есть константы. Обозначим

kik2 + k

2

а = k2 k1k2

-; Р = k1

k1k2 + k

2

(*1*2 - k2) (k1k2 - k2)

. (14)

Тогда = a^E, , ^^ = , где a = const, P = const при фиксированных n и ю, что и требовалось доказать.

Практическая проверка

На рисунке представлена кривая, соединяющая точки с координатами (a, n) и (Р, n), вычисленные по формулам (14).

Статистический эксперимент на компьютере, включающий моделирование процесса (1) с использованием псевдослучайных независимых величин t)t, подчиняющихся условиям (2) и (3), подтвердил справедливость формул (13). При этом использовалось нормальное и равномерное распределение величин .

Величины коэффициентов а (1) и (3 (2) в зависимости от числа известных наблюдений п для ю = 0,07. Вычислены по формуле (14)

2

k

2

k

1

2

1

2

2

2

2

k

2

Можно сделать следующее замечание: по доказанному соотношению (13) видно, что коэффициенты а и Р дисперсии оценок А и В зависят только от длины п рассматриваемого фрагмента временного ряда и частоты ю.

Если все ^, I = 1, 2, ..., п, распределены нормально, то и случайные величины Y1 и Y2 (8) также распределены нормально. Если же распределение ^ отлично от нормального, то с ростом п распределения Y1 и Y2 приближаются к нормальному в силу центральной предельной теоремы.

Обратная зависимость

DA DB

D% =-=-

aß

(15)

может быть использована, если известна оценка дисперсии A (или B), но неизвестен параметр D^ случайной ошибки .

Значения следующих функций аргумента n

n

k (ra,n ) = ra^ sin (rat) cos (rat); t=1

k1 (ra,n ) = ra^ cos2 (rat);

t=1

k2 (ra, n ) = ra^ sin2 (rat)

(16)

t=1

при малых частотах ю приближенно равны значениям функций, соответственно:

* 1

ф(*) = J sin * cos xdx = — sin2 x;

0 2

* 11

Ф1 (x ) = J cos2 xdx =—x + —sin2x; (17)

0 24 x 11

Ф2 (x ) = J sin2 xdx =—x — sin2x, (18) 0 24

где x = ran .

Из соотношений (14) следует, что для справедливости равенства a = р достаточно выполнения равенства

k1 - k2 = 0,

т. е.

Xcos2 (ratsin2 (rat) = 0 . (19)

t=1 t=1

Если значение ю мало, a n — переменная величина, то уравнение (19) можно заменить уравнением

an an

J cos2 xdx - J sin2 xdx = 0 ,

т. e. sin (2ran) = 0 , откуда

(20)

гаи =—m , me N.

2

Отметим, что здесь m — натуральное число в силу неотрицательности величины юп.

В проведенных экспериментах по моделированию процесса (1), подчиняющегося условиям (2), (3), это свойство наблюдалось достаточно точно. В случае, представленном на рисунке, a = р при n « тст/0,14 , m е N , т. е. при n1 = 22 , и2 = 45 , n3 = 67, и3 = 90 и т. д.

При малых частотах ю рассмотрим знаменатель правой части в соотношениях (14). Значения кхк2 - к2 при различных значениях n можно приближенно считать равными значениям функции

F (ran) = Ф1 (ran)-ф2 (ran)-ф2 (ran) .

С учетом выражений (17), (18) получаем

F1 (x ) = 1 (x2 - sin2 x).

Значения Fl (x) близки к нулю при юи ^ 0. Таким образом, значения a и Р велики при малых значениях юи. Это согласуется с графиками a и Р в частном случае при ю = 0,07, представленными на рисунке.

Из выражений (17), (18) получим функции Fa (x), Fp (x), значения которых приближенно равны значениям коэффициентов a и Р (14) при x > 0 , x = ran :

2a-(x - 0,5sin2x)( x2 - sin2 x cos2x)

Fa (x) =—---^-L (21)

/ 2 • 2 \2 I x - sin x I

x + 0,5sin2x)(x2 - sin2 x cos2x)

Fp (x) = —Ь- ^ -1 (22)

/ 2 • 2 \2 I x - sin x I

Для функций (21), (22) справедливы соотношения:

lim Fa (x) = 0 , lim Fß (x) = 0 , (23)

0

и

+

Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки 4' 2012

что согласуется с графиком поведения параметров а и ß, построенным на основе формул (14) (см. рисунок).

Заметим, что функции Fa (x) и Fp (x) непрерывны при рассматриваемых на практике x = ип> 0 .

Соотношения (23) также означают, что с увеличением длины n рассматриваемого фрагмента ряда данных дисперсия оценок параметров A и B уменьшается, т. е. точность этих оценок повышается, а независимые возмущения E,t , t = 1, 2, ..., n, взаимно гасят друг друга в правых частях формул (8), что является следствием закона больших чисел.

Утверждение 2. Пусть E,t, t = 1, 2,..., n, — попарно независимые случайные величины с одинаковыми дисперсиями DE,. Тогда дисперсии МНК-оценок A и В неслучайных параметров A и В процесса

x (t ) = Af (t)+Bg (t ,

полученные на основе n наблюдений этого процесса, линейно зависят от DE,, если

/ \2

t f2 it )i g2 (t )-\i f (t) g (t)

t=1 t=1 v t=1

ф 0 . (24)

Доказательство. Пусть х7, t=1, 2, п, — вещественные наблюдения процесса X (7). Минимизируем целевую функцию относительно А и В:

п 2

Е(А,В) = Х(А^(7) + Bg(7)-Х7) .

7=1

Получим систему линейных уравнений, аналогичную (5):

A • ki + B • k = bi (t)

t=1

A • k + B. k2 = b2 + £ $tg (t)

(25)

t=1

где ^ , k , k2, Ь1, Ь2 — числовые коэффициенты, если только п и х( фиксированы.

Требование (24) обеспечивает неравенство

нулю определителя - k2) матрицы коэффициентов левой части системы (25).

Обозначим Y и Y2 следующие случайные величины:

Y =t Ы (t); Y2 =± u (t).

t=i t=i

Тогда дисперсии Yi и Y2 выражаются как

DYi = D&f2 (t) = kD ;

t=1

DY2 = DE^g2 (t) = k2D\ .

t=1

Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично доказательству утверждения 1. Таким образом, DA = aDЕ,, DB = pD^ , где а = const и Р = const при фиксированном п.

Утверждение 2 доказано.

Замечание. Если в условиях утверждения 2 ME,t ф 0 , t = 1, 2, ..., п, то МНК-оценки A и B параметров A и B в общем случае могут быть смещенными.

Следствие утверждения 2. При наложении на компоненты случайного процесса

X (t) = Afi (t) + A2 f2 (t) +... + Amfm (t) + Ъ

условий, аналогичных условиям данного утверждения, дисперсии МНК-оценок Ai, A2, ..., Am неслучайных параметров Ai, A2, ..., Ak линейно зависят от DЕ,, если только m конечно.

Таким образом, в статье исследована дисперсия оценок параметров зашумленного гармонического процесса с дискретным временем. Доказана линейная зависимость этой дисперсии от дисперсии шума в случае, если шум определяют попарно независимые случайные величины E,t с одинаковой дисперсией. Получены формулы (13) для этой зависимости. Для случая малых частот ю предложены функции (21), (22) аргумента x = an > 0 , значения которых дают приближенную оценку линейным коэффициентам (14).

Приведен частный случай зависимости коэффициентов (14) от п при малых ю, иллюстрирующий выведенные формулы (21), (22).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Справочник по прикладной статистике [Текст]: В 2 т. Т. 2. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана. — М.: Финансы и статистика, 1990. — 526 с.

2. Лоэв, М. Теория вероятностей [Текст] / М.

Лоэв. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962, — 719 с.

3. Звягин, П.Н. Прикладной анализ временных рядов [Текст]: Учеб. пос. / П.Н. Звягин. — СПб.: Изд-во Политехи. ун-та, 2008. — 100 с.

УДК 637.635

О.В. Фалалеев, Е.В. Морозов, Т.О. Чичикова, А.К. Москалев

ПРОБЛЕМА НЕОДНОЗНАЧНОСТИ ПРИ АНАЛИЗЕ РЕЛАКСАЦИОННЫХ ДАННЫХ ЯМР

Предлагаемое рассмотрение достаточно абстрактного, сугубо математического примера обусловлено, по крайней мере, двумя практически важными причинами, отражающими современный этап развития ЯМР- релаксоме-трии. Этот этап, в свою очередь, интенсивно стимулируется ЯМР- томографией [1], особенно в ее приложениях для медицинских [2] и нефтегазодобывающих [3] направлений.

Первая причина связана с внедрением в практику анализа релаксационных измерений преобразования Лапласа [4, 5], которое встречается с заметными трудностями. Здесь следует отметить, что, в отличие от преобразования Лапласа, преобразование Фурье в свое время исключительно быстро революционизировало метод ЯМР [6]. Второй, весьма конкретной причиной явилась многообещающая, на наш взгляд, работа американских авторов [7], в которой не только выдвинута оригинальная теория температурной зависимости времен ядерной магнитной релаксации, но и приведены детальные результаты прецизионных температурных измерений для воды, представляющейся исключительно привлекательным эталонным образцом.

Обсуждаемый пример не следует рассматривать как анализ экспериментальных результатов работы [7], не только интригующих своей новизной, но и требующих тщательной независимой проверки. Эта работа привлекла наше

внимание своей нацеленностью на общеметодологические вопросы ЯМР-релаксометрии.

Преобразование Лапласа в ЯМР-релаксометрии

Для простоты будем иметь в виду анализ скоростей спин-спиновой ЯМР-релаксации; тогда для идеально однородного образца с магнитно-эквивалентными резонирующими ядрами экспериментально регистрируемая релаксационная кривая ДО описывается экспонентой

= ^ехр(-^о 0 + Б, (1)

где — скорость релаксации > 0); t—время; А, В — аппаратурные параметры.

Однако идеально однородные образцы — большая редкость, и в реальности

= ^ А; ехр(-Я; 0, (2)

либо, в общем случае,

да

F ($) = \ f ^ )ехр(-Ю (3)

о

Сдвиг базовой линии — параметр В в формуле (2) и везде далее — положен для удобства равным нулю; А1 представляют собой весовые множители (£г А1 = 1), а/(Л) — функция распределения скоростей релаксации, нормированная на единицу.