Характеристики излучения антенн с теплозащитой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.12

Л. Кордеро

Санкт-Петербургский государственный университет

аэрокосмического приборостроения

| Характеристики излучения антенн с теплозащитой

Обоснована необходимость разработки математических моделей бортовых антенн с теплозащитой с учетом воздействия аэродинамического нагрева. Для разработки указанных моделей использован метод интегральных преобразований. Получены соотношения для поля излучения с учетом электрических параметров материала теплозащиты и его толщины, позволяющие учесть влияние температурных изменений этих параметров на характеристики излучения бортовой антенны в различные моменты времени на траектории спуска летательного аппарата.

Бортовые антенны, теплозащита, характеристики излучения, метод интегральных преобразований

Бортовые антенны возвращаемых космических аппаратов (КА) для защиты излучателя от высокотемпературного аэродинамического нагрева, возникающего на траектории спуска, используют радиопрозрачную нагревостойкую теплозащиту. В условиях аэродинамического нагрева неизбежно изменяются электрические параметры теплозащиты, что, в свою очередь, приводит к изменению характеристик излучения бортовой антенны. Данные изменения могут быть столь велики, что бортовая аппаратура, использующая бортовые антенны, существенно теряет эффективность функционирования. Поэтому весьма важной и актуальной становится задача разработки математических моделей бортовых антенн с учетом воздействия аэродинамического нагрева.

Электродинамическая задача разработки математических моделей в общем виде формулируется следующим образом (рисунок). Имеется излучающий раскрыв антенны а, расположенный на бесконечном экране 3, перед которым находится диэлектрический слой теплозащиты 1 толщиной ё с комплексной абсолютной диэлектрической проницаемостью 8а (х, у, 2, г). За слоем теплозащиты находится свободное пространство 2. Бесконечный экран соответствует металлическому корпусу КА.

В работах [1]-[3] диаграмма излучения находится по методике [4] как произведение диаграммы в свободном пространстве на коэффициент передачи плоской волны для плоского слоя теплозащиты с учетом угла прихода и плоскости поляризации волны.

Пусть электрические параметры теплозащиты мало зависят от времени, т. е. рассматриваются медленно протекающие процессы нагрева теплозащиты. Подобный подход использовался, например в [5], [6]. Для разработки математических моделей используем метод интегральных преобразований. Задачу сформулируем как граничную по отношению к касательному электрическому полю в рас-крыве, что удобно из-за простого вида граничных условий при г = 0.

78

© Кордеро Л., 2011

Магнитная составляющая электромагнитного поля при г > 0 должна удовлетворять волновому уравнению

а2 Ну! дх2 + д2 Ну! ду2 + д2 Ну! дг 2 + к 2гНу = 0, (1)

. }еь 0 < г < й\

где к - волновое число; 8 - ь > ^ - относительная диэлектрическая проницаемость.

Используем концепцию углового спектра плоских волн. Для этого применим преобразование Фурье по координатам х, у к уравнению (1). В результате получим

д 2П у/ дг2 + (к2 г- к2х - к2) П у = 0, (2)

где hy = Ц Hy (x, y, 0) e jkxX+kyy)ldxdy - прямое преобразование Фурье Hy; kx, ky - про-

-да

екции волнового вектора на оси x и y соответственно.

Рассмотрим колебания типа Hmn в круглом волноводе. Решение уравнения (2), удовлетворяющее условиям излучения (при z ^ да), для области 1, занимаемой диэлектрической пластиной (0 < z < d), имеет вид йЦ = De jkziz + Le^4z, а для области 2 за пластиной (z > d): h{2) = Me~jkzz, где kz k2s- k2 - k2y; kz k2 - k2 - k2.

Рассуждая аналогичным образом относительно касательной магнитной составляющей поля Hx, получим следующие уравнения для спектральной составляющей hx :

й(0 = Ae~jkziz + Bejkziz; h(2) = Ce-jkzz.

На основании уравнений Максвелла получим выражения для спектральных составляющих электрического поля:

=-^/(<080*1)] (Dej z - Lejkziz ); (3)

¿2) = -\_kzj( шво )] (Me-jkzz ); (4)

=[kz^(ffl808i)](Ae-kzi1 - Bejkzi1); (5)

= \kzj ( ШВ0 ) ] ( Ce-jkzz ). (6)

Неизвестные функции A, B, C, D, L, M определяются из граничных условий при z = 0 и z = d.

Решение системы уравнений (3)-(6) с учетом названных граничных условий осуществлялось в программе Maple 13*. В результате получены следующие определения указанных функций:

A = (Aikz1 )-1 \y0 ae0Sie2jkzid [(-k2ykZi k2 - k2xkZyk} + kZy k^k2 ) e-kzd +

+kyk1 kz ki kz

2 jkz1d

' www.maplesoft.com

(7)

В =

(Д^ )-1 \у0 Ш808! [(к^ кЦ + к1^ к2 - кчк^к2 ) е-^1 - к1к2к2 -

-кУк2к14 -ку;к2к14);

с = (^) 14 у0 Ю80к12 (к2 + к2 + к1 + к2 + к2 + к1

2) -

(8) (9)

где

А} = (-к^к^к2 -кхтк^к!

! к12 + ^ к12к1)е ^ - (кУ2к21 к2 - кХк2Х к12 )е"

.2 е](2к21 -к2)1

+

+к21 к12к2е] (2кг1 кг)ё + (к^ к2 - к2к21 к2) е2кг11 + кук2к2 - к2к4 + к^Д.

(10)

Я = (А2^ )-1 Ш8081е2^

2,4 2к 1

$х0 (к2к14е-'^ - к2кгк12 - к2кгк12 + к2к4 - к2к2 к12 -

2 2 2

-к1^ 2 + к2 к^тк 2 | е

2 к2к2\еУ(к21 -к2У

(к2к2/

+ (к2к кг + ку.к кг Iе ] 2 А У 21 2

к2к2к12 - кУк2к\ ) е2^ ё - к21 к2к\е ^ + 2кХк2х к2к\

-кгк^е2](кк21-КУ -2](к21 -к2

+

+ (кУк^ к2к1 - кЧ^ к2к1) е

- к2 ) 1

21 "2Г +$у0 (кхкук21 к2к2 -кхкук2хкД)

+

21 к2 )ё

+

+ $х0 (кук21 к2к1 кхкук21 к2к1 + к21 к2к1 )е

+ (к 2 к „к1 к^ + к 2 к 7 к к 2 к к + к кл к к^к л .к^ к ^кл I е ^ ^ ; х 2 1 21 х 2 у 21 21 1 х у 21 2 1

(11)

\-1

к ^^ - к 2к ^к} - к },к 1к} + к 1к} - к2 к 1к} -

Ь = ^ Г' Ц е ■ ~к*к;к1- кук2к^ к2к1- .х.2.1

-к2к2 к,2 + к2к2 к,2 + к2 к,2к2 - к2к2 к,2 + к2 к,2к2 - к2 к,4к2)е](2к21-к2 -

21 21 21 21 21 21

к2 к4к2 + 2к2к2 к2 + ку;к221 к!2 - к2к21к2к2) е]к211 +

+ (кх к2 к1 + кхкук21к2 к1 + кхк21 к2к\ + кук21 к1 к2 кхкук21к2к1 ) 1 ^ ;

М = (А 2к21 )-180ше]к211 к х0

(^к^ - кх2к12к2 + к1

4к2е^^^к211 +

+ к4к2 - k2k^уk2 + к^к^к2 + к^хк^ ) е] 21 2 ^ + (kуkуk2 + кУк12к2 +

+ к^к. + к12к12к. - к12к12к. - к4к. - к2к12к. - )е^"21" - (КК кЛ2 +

22

22

22

1Л 2 +лул 1 «- 2 ЛуЛ 1Л 2 Л1Л 2 Л хЛ 1Л 2

12

2 ]к21 1

2

+кхк21 кук12 )е](к21 к2 ^^ - (к21 кук2 + кхк21 к12 + к2к21 k.11 - к21 к12к2 ) е

х'^21^ у' 2к ^ е]к21

к2к2к12 + к^к2 - к2к2кУ + к2к2к2 )е](к21 к2)1 к2к2к12 + к21к2к2 - к2к2кУ + к2к2к2 )е](к21 -к2)1

— г

у0

у0

к к у к +

21

к к у к +

21

+кхк21 кук1 ) е ' 21 + (кхк21 кук кхк21 кук1 кхк21 кук + кхк21 кук1

(12)

"к^к— к к ) е ] 2 х 21 у

где

■К -kjJkzid + Ke-Jkzd + Ke22(kz-kzi)d'

A. =

k kЛ,k ^ k

y z1 У zi

-к^к2 + к^к2к2 )е'^1 - (кгук2к2 - к2кгк!2 + к\к2 ) е кг1У +

+ (к2укгк\ - кгк1 + к1кгк\ ) е2кг11 + к1кгк\ - кгк\. (14)

В выражениях (7)-(9) и (11)-(13)

а/ 2 а/ 2

4х0 = 1 1 Ех (X, у', 0)е"-[кхх'+куу')1х'1у'; (15)

-а/ 2-а) 2 а/ 2 а) 2

4у0 = 1 1 Еу (У, у', 0)е"А.кхх'+куу')1х'1у', (16)

-а/ 2 -а/ 2

где Ех и Еу - касательные составляющие электрического поля в раскрыве волновода;

х', у' - координаты, отсчитываемые в раскрыве излучающего волновода.

Использовав полученные выражения углового спектра плоских волн и применив обратное преобразование Фурье, с учетом (15) и (16) запишем:

а/ 2 а/ 2 . .

Ех^ 2) = | | ^ (х, у, г, х, у', 0)Ех (х', у ', 0)сЫ'ёу' +

- a / 2 - a¡ 2 a¡ 2 a¡2

+ í í F^1, 2) (x, У, z, x', y ', 0) Ey (x y', 0) dx'dy';

- a¡ 2 - a/ 2

a/ 2 a/ 2 . .

Ey1' 2)) = í í f'1, 2) (x, y, z, X, y ', 0) Ex (X, y', 0) dx'dy' +

- a / 2 - a¡ 2

^2 ^2 (1 2)

+ í í F1 ; (x, y, z, x, y ', 0) Ey (x ', y', 0) dx'dy'.

- a¡ 2 - a¡ 2

Функции Fx и Fy в этих выражениях определяются на основании уравнений (7)-(14). После ряда преобразований с учетом замены переменных kx = в cos a, ky = в sin а;

V2 о /2 2

k -р ; kz k si -p запишем:

( ) 1 2п

Fx¿) J J Me~Jkzz exp { - JP [(x - x) cos a + (y - y ) sin a]} pdpda; (17)

2 4^ -да 0

( ) 1 2п

Fxv = J J (D + L)e~Jkzz exp{ - JP [(x - x) cos a + (y - y ) sin a]} pd pda; (18)

4п —да 0

. ) 1 да 2п

= * J J (a + в) e~Jkzz exp { - JP [(x ' - x) cos a + (y ' - y) sin a ]} pd pd a; (19)

yi

4П -да 0

( i да 2п

F 2) = —2 J J Ce~jkzz exp {-jp[(x' - x) cos a + (y' - y) sin a]} pdpda. (20)

У2 4П -да 0

После интегрирования по a используем замену переменных X = x'-x, Y = y'-y и перейдем на плоскость комплексного угла т заменой в = k sin т.

Интегралы (17)-(20) в общем виде в соответствии с теоремой Коши представим следующим образом:

1

F =

4п2

(21)

J... de + U (С в) J ... de + U (С п) J ••• de

} 1в 1п _

где U (•) - единичная функция Хевисайда; С в, С п - величины, определяемые на основании анализа выражения перевального пути и координат точек ветвления (в) и полюсов (п).

Выражение перевального пути необходимо знать при приближенном определении первого интеграла (21) методом перевала (методом стационарной фазы).

Первый интеграл (21) в компактной форме можно представить в следующем виде: л/ 2-уда л/2-j1»

I = J у ( т ) exp [ jkL cos ( т±ф )] dт = J у ( т ) exp [ Lf ( т )] dт, (22)

-л/2 + уда -л/ 2+уда

где у (т) - предэкспонентные множители в (17) и (19); f (т) - аргументы экспоненты в

этих же формулах; d - z = L cos 9; p = L sin 9; p = \j(x' - x)2 + (y' - y)2.

Путь интегрирования интеграла (22) в комплексной плоскости в определенных пределах можно деформировать, не меняя при этом значение интеграла [7]. Если выбрать путь интегрирования так, чтобы выделить лишь некоторую короткую его часть, определяющую значение интеграла, подынтегральную функцию удастся заменить на более простую, достаточно точно совпадающую с ней на этом существенном участке пути интегрирования.

Выделим в f (т) вещественную и мнимую части: f(т) = f(т)+f(т). Путь интегрирования будет удовлетворять указанному требованию, если на нем функция f (т) имеет в некоторой точке максимум (точку перевала) и спадает возможно быстро при удалении от этой точки. Тогда в плоскости комплексного переменного f2 (т) = const - линия постоянной фазы.

Таким образом, точка перевала может быть найдена из уравнения

df/ дт = 0. (23)

Перевальный путь найдем из уравнения Im [ j cos (т±ф) = const].

После преобразований окончательно получим выражение перевального пути:

xRe ± ф = arccos (sch Tim). (24)

Здесь и далее индексы "Re" и "Im" обозначают действительную и мнимую части комплексных величин соответственно.

Метод перевала позволяет представить значение интеграла в виде ряда по обратным степеням большого параметра L. Ограничиваясь одним первым членом ряда, получим

I = exp [ Lf (то - 2/ f' (то)у ( то ), (25)

где то - точка перевала.

На основании (25) получим из (23) и (24) соответственно

a 2 al2

4изл = i i f (x, y, z, x, y) 5x0 (x, y, 0) dx'dy'; (26)

- a/ 2 - a/ 2

. al2 a/2

% = i i f (x, y, z, x, y) $y0 (x, y, 0) dx'dy. (27)

■Утл У0

-aj 2-aj 2

Выражения (26) и (27) определяют компоненты вектора E - поля излучения во второй среде (свободном пространстве), т. е. диаграмму излучения круглого волновода, закрытого однородной теплозащитой, но без учета боковых, поверхностных и вытекающих волн, которые могут несколько изменить диаграмму направленности. Этот факт учитывается вторым и третьим интегралом (21).

Второй интеграл выражения (21) определяет боковую волну. Практика показывает, что возможный ее вклад в поле излучения не превышает единиц процентов, поэтому нахождение этого интеграла рассматривать не будем.

Условия существования поверхностных и вытекающих волн определяются из расположения полюсов подынтегральной функции (21) для третьего интеграла, причем полюсы соответствуют условиям A^ = 0 (см. (10)) и А 2 = 0 (см. (14)). Обозначим корни решений

этих уравнений ßi. Тогда в соответствии с теоремой Коши интеграл (21) по контуру /п

n

определится следующим образом: Jdß = £ Res(ß;-).

/п i=1

Для облегчения разделения особых точек на полюсы, отвечающие поверхностным и вытекающим волнам, необходимо проанализировать экспоненту выражения (22). Анализ показал, что поверхностная волна возникает при TRe = л/2; т1т > 0, а вытекающая волна

соответствует области комплексных углов 0 <TRe <п; TRe * п/2; т1т > 0.

При наличии потерь в диэлектрической теплозащите антенны k = kRe - y'kjm и анализ экспоненты (22) показывает, что полюсы, соответствующие соотношениям

TRe = arccos(-еtg8/shTIin); e--^ 1 -(etg5/shтм)2 chтм < 0 определяют поле поверхностной волны, а полюсы, определяющие поле вытекающей волны, удовлетворяют соотношению cos TRe sh Tim ф -s tg 8.

Полученные выражения характеризуют поле излучения бортовой антенны в виде круглого волновода с однородной теплозащитой.

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 4======================================

Рассмотренные математические модели определяют диаграмму излучения бортовой антенны. От них возможно перейти к выражениям, определяющим коэффициент полезного действия антенны и проводимость апертуры. Эти характеристики необходимы для оценки энергетики канала связи "борт космического аппарата-Земля". Важно подчеркнуть, что полученные модели позволяют учесть влияние аэродинамического нагрева на характеристики бортовой антенны. Это делается использованием при расчете конкретных значений относительной диэлектрической проницаемости материала теплозащиты, тангенса угла диэлектрических потерь и толщины, изменяющихся из-за воздействия аэродинамического нагрева на траектории спуска.

Список литературы

1. Бачинский М. Р., Гиббс В. В. Характеристики излучения антенны, расположенной в анизотропной плазме // Экспресс-информация. Радиотехника СВЧ и квантовая радиотехника. 1969. № 3. С. 3-14.

2. Brock B. C. Electromagnetic propagation through re-entry plasma. Sandia, USA: Sandia national laborato-ries.1981. 21 p.

3. Sena M. D. Loaded cavity-backed slot antennas for reentry vehicles. Sandia, USA: Sandia national laboratories, 1992. 37 p.

4. Richmond J. H. Antenna pattern distortion by dielectric sheats // Trans. JRE. 1956. Vol. AP-4. № 5. P. 134-142.

5. Croswell W. F. The input admittance of the rectangular cavity-backed slot antenna // IEEE trans. on antennas and propagation. 1976. Vol. AP-24. № 5. P. 288-294.

6. Михайлов В. Ф., Брагин И. В., Победоносцев К. А. Прогнозирование эксплуатационных характеристик антенн с теплозащитой СПб.: Судостроение, 1994. 300 с.

7. Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах М.: Изд-во АН СССР. 1957. 502 с.

L. Kordero

Saint-Petersburg state university of aerospace instrumentation

Radiation characteristics of antennas with thermal protection

Stresses the need to develop mathematical models of on-board antennas with thermal protection, taking into account the impact of aerodynamic heating. To develop these models, we used the method of integral transforms. Relations are obtained of the radiation field, taking into account the electrical parameters of the thermal protection material and its thickness. Using specific known values of these parameters, corresponding to a certain point in time on the descent trajectory of the aircraft. It is possible to take into account the effect of temperature changes in these parameters on the characteristics of the radiation-board antenna.

Onboard antennas, thermal-protection, radiation characteristics, the method of integral transforms

Статья поступила в редакцию 4 июля 2011 г.