CC BY
19
Сеисов Ю.Б., Гелдиев Н.А.
Физико-математический институт АН Туркменистана
ХАРАКТЕРИСТИКА ВЫРОЖДЕННОГО РЕЖИМА В ЛИНЕЙНОМ
ПРОГРАММИРОВАНИИ
Аннотация
Разработан конструктивной метод нахождения возможных вариаций в задачах линейного программирования при вырожденных режимах, то есть когда классический симплекс метод не работает.
§ 1. Нормировка
Задача линейного программирования (ЛП) в каноническом форме записывается в
виде:
max { L (X) : АХ = b, Х 0},
где А - матрица (m х n) с элементами Ij
L (X ) = (СХ), С = (с, с,...,с)
X - вектор с неотрицательными компонентами .
Пусть k - количество нулей вектора b. Не умаляя общности рассматриваемой проблемы, положим, что первые k координат вектора b равны нулю, а оставшиеся m-k координаты строго положительны. Вопрос о наличии возможных направлений в точке Х0 , при движении вдоль которых линейная форма L(X) получит положительное приращение , сводится к выяснению существования решения производной задачи :
0 + a0,m+1 m+1 + . . . + а0nn 0 ,
1 + а1rm+1 m+1 + . . . + а1т 0 >
................................ (1)
k + ak,m+1 m+1 + . . . + akn n 0 j
0 > 0,
i > 0, i =, (2) i > 0, i = .
Пусть
- евклидова норма (длина) вектора .
Положим
Тогда система (1)-( 2) запишется в виде и будет иметь место равенство
(3)
Замечая, что система (3) отличается от системы (1)-(2) только наличием индекса (*), будем в дальнейшем считать, что производная задача задается системой (1)-(2) и выполнены условия нормировки, то есть
Обозначим через е0, е1, ...,ек - единичные орты в пространстве Ё1*1, тогда систему (1) можно записать в виде
§ 2. Характеристика вырожденного режима
Обозначим через 8 сферу единичного радиуса в пространстве Й‘+1. Концы орт е, , и векторов Л-ь расположены на сфере 8. Выпуклая оболочка этих векторов будет представлять вписанный в 8 многогранник М с вершинами в точках ег, (г=0,к) и Ли (г=т+1,п). Известно, что всякая точка выпуклого ограниченного многогранника в Rn представляется в виде линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами а! не более, чем (п+1) вершин этого многогранника, причем
В нашем случае производная задача (1-2) сводится к выяснению вопроса: Является ли центр О сферы 8 элементом многогранника М? Утвердительный ответ на этот вопрос означает, что имеет место представление (4) с неотрицательными коэффициентами . Если при этом , то найденная вариация обеспечивает положительное приращение критерию качества .
Оказывается, что основной характеристикой вырожденного режима является величина
В зависимости от нее будем различать три случая:
1). 5 0; 2). -1 S < 0; 3). S < -- 1.
Лемма 1. Если S 0, то возможные вариации, обеспечивающие положительное
приращение Д L, отсутствуют.
Доказательство. С учетом обозначений
4 = -- ао.,, 7 =
перепишем условие леммы в другом виде
—Д7 +а.ц + ... +а7 > о, ; =
то есть выполнены условия оптимальности [1] вырожденного режима с
И 0= 1 ,
Лемма доказана.
Следствие. При выполнении условия
5 = т п (--Д}- + , .; =) (6)
/-план исходной задачи оптимален.
Лемма 2. Если существует Аj удовлетворяющий условиям:
= у ' < - 1, а; < 0, 7 =, ао; < 0,
то возможные вариации имеются.
Доказательство. Покажем, что центр 0 сферы 8 содержится в выпуклой оболочке векторов и Л;. Так как
Л; = г; е, II Л II = I
то
г ; ег Л] = 0-
Поделив обе части этого равенства на (- 1), имеем
г вг +& Л; = 0. ( 7 )
Согласно условиям леммы
Но = ао, /^ - 1) >0,
Нг = а, Щ - 1) > 0, , (8 )
н = - 1 щ -1) > о,
при этом
г + Ъ = (г, -1)/( -1) = 1.
Мы, таким образом, показали, что начало координат 0 пространства принадлежит выпуклой оболочке векторов и Aj, а это значит, что 0 М, где М выпуклая оболочка векторов ,Ат+1,..., Ап.
Сравнив векторное равенство (7) с уравнениями (1), замечаем, что
0 ^Но > 0,
г = t Нг > 0, 1= (9)
, = t Н > 0,
являются возможными вариациями при любом t > 0. Величины ъ задаются формулами (8). Как отмечено выше, неравенство обеспечивает положительное приращение критерию
качества .Лемма доказана.
Итак, при появлении вырожденного режима величина S , задаваемая формулой (5), в случае 1 указывает на завершение решения исходной задачи ЛП, в случае 3 - на наличие возможности дальнейшего поиска оптимального плана классическим симплекс-методом. Проблемной остается случай 2.
§3. Нахождение возможных вариаций
Пусть а0н > 0. Осуществим элементарное преобразование [1] системы (1), записав ее в новом базисе, образованном из базиса во,еи. . .е заменой е0 на ец . Если у вектора АН координата а0н = 0, а ащ > 0, то следует V- тое уравнение системы (1) переместить на первое место.
00 0 + 0,т+1 т+1 + . . . +н + * * '+0пп 0 ,
V 0 0 + V + у,т+1 т+1 + • • • + 0 + • • .+упп 0 •
^ 0 + k + • • • + ^т+1т+1 + • • • + 0 + • • ^+Ы п О,
0 0 — 1/ а0^ ,
0] — ав//а0Ц , / — т+1, (10)
і 0 “ аі ^ / а0^ , і 1,.к>,
і / аі / аі ^ а0 / / а0^ , і •
В ( к+1)- мерном евклидовом пространстве Я1ІС+1 с ортонормированным базисом вц ,ві,^ • •,Єк образуют ортонормированный базис. Уравнение гиперплоскости П0#, проходящая через концы этих векторов запишется в виде
ц + 1 + 2+ ■■■ + k 1 — 0 • (11)
При сделанном выше элементарном преобразовании вектор АА переходит в вц, а вектор в0 # (00 ,10 ,■■■, k0 ) является образом во
и располагается в полупространстве , определяемом неравенством
Н + 1 + 2+ ■■■+ к 1 > 0 . (12)
Действительно, воспользовавшись формулами (10) имеем
1/ а0н - а1н / а0н ----- акн / а0н - 1 ( 1- ан )/ а0н - 1
= (1- Sн + а0н )/ а0н - 1= (1- Sн )/ а0н > 0.
Элементарное преобразование, использованное выше, определяет некоторое отображение А, А*. Произведем нормировку векторов Аи рассмотрим отображение
А, А-/|| А* || . (13)
Обозначим через S (А) сумму координат вектора А Rlk+1 . Координаты вектора во # удовлетворяют неравенству (12), то есть
0 0 +10 +••• + к 0 > 1.
Следовательно, для единичного вектора во / | во# || Rlk+1 .
S (во# / I во# || ) =
= 0 0 / I во# 11+10/|| во# || +...+ к 0/|| во# || > 1/|| во# ||> 0 . (14)
Подведем итоги . В результате элементарного преобразования с последующей нормализацией при выполнении условий теоремы 1 при V = 0 осуществляется следующий переход :
А Н вН ,
в0 во# / | во# ||,
а вектора вг ( г =) остаются неизменными. Нам удалось построить в пространстве R1k+1 такую гиперповерхность
S = Н + 1+ 2 + ■ ■■ + к = 0 , (15)
что образы точек АН, во,в1,. . *,ek оказались в положительном полупространстве
S = Н + 1+ 2 + ■■■ + к > 0 , в то время , как Sц < 0, а концы векторов в1,. . *,ek располагаются в полупространстве S > 0 ( Рис. 1) .
Рис.1.Элементарное преобразование с нормализацией В дальнейшем анализируем ситуацию в пространстве R1к+1.
1. Если S# 0, то возможные вариации, обеспечивающие положительное
приращение , отсутствуют (лемма 1).
2. Если существует Ац, удовлетворяющий условиям:
S# < - 1, аоц > 0,
а¥ < 0, i = ,
то находятся возможные вариации , позволяющие придать положительное приращение линейной форме L(X).
3. Наконец, если не выполняется условие 1 или условие 2, то проблемная ситуация сохраняется. Необходимо повторить операции, описанные в п. 3, - это будет второй шаг к нахождению возможных вариаций, если они существуют .
В заключении отметим, если для ввода в базис выбирать вектор Ац, доставляющий минимум
S = mi n ( S j = , j =), то и число шагов, необходимых для выяснения проблемной ситуации сокращается до минимума. Это утверждение следует из следующей теоремы.
Теорема 1. Если :
1) - вектор, удовлетворяет условию аоц > 0,--1 S < 0,
2) -- 1 S < 0,
3) вектор Aj расположен в положительном полупространстве П0x+, то есть
0 a0j +aj - 1 > 0, (16)
где
W0 =( 1- ац)/a0,и, aj = а1}- +... +ak j = Sj - a0j,
то образ Aj # вектора Aj располагается в полупространстве (15).
Доказательство. Перепишем неравенство (16)
a0j ( 1-Sx + a0x )/ а0и + Sj - а0 j -1
= aj (1S)/ а0и + Sj -1 > 0. (17)
С использованием формул (12) и (17) имеем
0j + 1 j + 2 j + + k j 1 a0j / a0x + Sj - a0j (Sx - a0 x ) a0j / a0x - 1
= (1 - Sx ) a0j / a0x + Sj -1 = (1 - Sx ) a j + (Sj -1) a0A > 0.
Теорема доказана. Эта теорема имеет достаточно общий характер и применима , если в вектор Лр имеет хотя бы один положительный элемент avx . Для этого достаточно переместить v-ое уравнение системы (1) на первое место и условие 1 теоремы будут выполнены.
Рассмотрим пример Beale [2]:
Max (10x1 - 57x2 - 9x3 - 24x4),
0,5 x1 - 5,5 x2 - 2,5 x3 + 9 x4 + x5 = 0, (18)
0,5 x1 - 1,5 x2 - 0,5 x3 + x4 + x6 = 0,
x1 + x7 = 1,
Xi > 0, i = .
Составим производную задачу
Базис А1 А2 АЗ А4 АО А5 А6
0 -10 57 9 24 1 0 0
5 0,5 -5,5 -2,5 9 0 1 0
6 0,5 -1,5 -0,5 1 0 0 1
Ш 1 10,025 57,2364 9,3541 25,5515
Произведем операцию нормировки
Базис А1 А2 АЗ А4 АО А5 А6
0 -0,99751 0,995036 0,96214 0,935617 1 0 0
5 С, 049375 -0,09601 -0,26726 0,350357 0 1 0
6 0,049375 -0,02619 -0,05345 0,033934 0 0 1
S -0,8-9776 0,372333 0,641427 1,325458
Выяснилось, что наименьшее S имеет столбец Аь Так как в этом столбце два равных положительных элементов, то выбираем первый из них. После элементарного преобразования имеем
Базис А1 А2 АЗ А4 АО А5 А6
0 0 -0,92521 -4,33308 7,952748 1 20 0
А1 1 -1,92504 -5,35857 7,034652 0 20,04994 0
6 0 0,069327 0,213309 -0,31137 0 -1 1
|8 2 1 2,137 6,9261 10,6221 1 23,3372 1
||*|| ИИ II 1C,025 122,421 64,7373 272,473 1 23,3372 1
Первый шаг завершен . Вновь осуществляем нормировку :
Базис А1 А2 АЗ А4 АО А5 А6
0 0 -0,43295 -0,63283 0,748696 1 0,705785 0
А1 1 -0,90082 -0,77367 0,662263 0 0,707547 0
6 0 0,032676 0,030В7 -0,02936 0 -0,03529 1
S -1,3011 -1,37564 1,331593 1,373042
Min S достигается на А3 , у которого единственный положительный компонент расположен на третьей строке. После элементарного преобразования имеем
Базис А1 А2 АЗ А4 АО А5 А6
0 0 0,236399 0 С, 146303 1 -0,01754 20,5
А1 1 -0,03139 0 -0,07353 0 -0,17689 25,06242
АЗ 0 1,058497 1 -0,95111 0 -1,14316 32,39406
Min S достигается на А5 , при этом все его компоненты отрицательны. Следовательно,
Х0# = 0,01764 Н,
х1 * = 0,17689 н, х2# = х4#= х6*= 0,
хз# = 1,14316 н, х5# = 1,00000 н,
является решением дважды преобразованной производной задачи при любом н — 0. Решением производной задачи является :
xG = xc' / AG | lX AG | 2 = G,G1764 Ц,
x1 = xi # / A_t 1X A1 2 = G,G1764 Ц,
x3 = x3# / A3 lX A3 2 = G,G1764 Ц,
xj = xs' / lAj IAs l2 =G,G3529 p
x2 = x4 = x6 = G.
Для выполнения последнего равенства системы ( 18)
X1 + x7 = 1
и условия Х7 г G необходимо
0,01764 p < 1,
Следовательно,
max ц = 56,689з и выписывается решение исходной задачи :
xc = xi = Xз = 1, x2 = x4 = x6 = G, xs = 2,
Max (1Gx1 - 57x2 - 9x3 - 24x4) = xc = 1.
Нам потребовалось сделать два шага для решения производной задачи. Применяя правило Бленда [З] задача Beale решается за семь шагов [4].
Литература
1. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г., Линейное программирование (теория, методы и приложения), М.,Наука,1969.
2. Beale, E. M. L. (1955), ‘Cycling in the dual simplex algorithm’, Naval Research Logistics Quarterly 2, 269-275.
3. Bland, R. G. (1977), ‘New finite pivoting rules for the simplex method’, Mathematics of Operations Research 2, 103-107.
4.Ferris, M.C., Mangasarian, O.L.,Wrigt S.J.(2007), ‘Linear Programming with MATLAB’,
MPS - SIAM Series on Optimization, 67-69.
Ю.Б.СЕИСОВ, Х.А.ГЕЛДИЕВ Характеристика вырожденного режима в линейном программировании
Разработан конструктивной метод нахождения возможных вариаций в задачах линейного программирования при вырожденных режимах, то есть когда классический симплекс метод не работает.
