Характеристика неподвижных точек линейных автоматов над конечным кольцом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2008

Прикладная теория автоматов

№ 1(1)

УДК 518.6+681.3

ХАРАКТЕРИСТИКА НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧЕК ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТОВ НАД КОНЕЧНЫМ КОЛЬЦОМ

В.В. Скобелев

Институт прикладной математики и механики НАН Украины, г. Донецк E-mail: vv_skobelev@iamm.ac.donetsk.ua

Исследуется структура множества неподвижных точек словарной функции, реализуемой инициальными линейными автоматами Мили и Мура над кольцом lpi. Охарактеризованы входные символы, являющиеся неподвижными точками для текущего состояния исследуемых автоматов.

Ключевые слова: поточные шифры, линейные автоматы, конечные кольца, неподвижные точки.

Нетривиальным обобщением линейных автоматов над конечным полем [1] являются линейные автоматы над кольцом Zp = (Zp, ® ,°) (p - простое число, a ® b = a+b (modpk ) и a ° b = ab (modpk) ). Сложность исследования таких автоматов обусловлена тем, что при переходе от поля к кольцу осуществляется переход от линейного пространства к модулю линейных форм [2]. В [3, 4] исследован ряд характеристик таких моделей с позиции теории автоматов и теории систем, а в [5] - применение этих моделей в качестве поточных шифров, при условии, что они являются БПИ-автоматами [6]. С этой позиции актуальным является исследование неподвижных точек словарных функций [7, 8], реализуемых инициальными линейными автоматами над кольцом Z/. Действительно, неподвижной точкой словарной функции f : X + ^ X + называется любая такая последовательность ueX +, что истинно равенство f (u)= и. Поэтому именно неподвижная точка представляет собой «открытый текст», который не изменяется в процессе шифрования. Исследование структуры множества неподвижных точек линейных автоматов над кольцом Zp и является основной целью настоящей работы.

Структура работы следующая: в п. 1 введены основные понятия; в п. 2 охарактеризовано множество неподвижных точек словарной функции, реализуемой инициальными линейными автоматами Мили и Мура над кольцом Z/; в п. 3 охарактеризованы входные символы, являющиеся неподвижными точками для текущего состояния исследуемых автоматов. Заключение содержит ряд выводов.

Объектом исследования являются линейные автоматы Мили и Мура над кольцом Zp соответственно

где п - фиксированное число; А, В, С, Б - (п х п)-матрицы над кольцом Zpь, а qt, х,, у, е Ъ”к - вектор-

столбцы, соответствующие соответственно состоянию автомата, входному символу и выходному символу в момент г. Обозначим через А\ и А2 множества всех автоматов соответственно Мх и М2. При фиксации на-

Обозначим через (М, q0) (М е Ах и А2 , q0 е X”к) множество всех неподвижных точек словарной

1. Основные понятия

(1)

и

(2)

чального состояния q0 е Znk автомата Me A\ и A2 получим инициальный автомат (M, q0).

Для любого инициального автомата (M, q0) истинно равенство

t=0

При этом если t1 Ф t2, то

Sfd+1) (M , qo) n S^d+1) (M , qo) =0-Поэтому для исследования структуры множества SfXd (M, q0) (Me Ai u A2 , q0 e Z^) достаточно охарактеризовать общий элемент последовательности (M , q0) (teZ+).

Отметим, что из включения Sf+2) (M, q0) с Sf^ (M , q0) -Znt (teZ+) вытекает

Утверждение 1. Для любого автомата Me A1 u A2 при любом начальном состоянии q0 e Z^k, если существует такое значение t0eZ+ , что Sfd+1) (M, q0) = 0, то SjX^ (M , q0) = 0 для всех t > t0.

Из утверждения 1 и равенства (3), в свою очередь, вытекает

Утверждение 2. Множество Sfxd (M, q0) (Me A1 u A2 , q0 e Zp) - конечное тогда и только тогда, когда существует такое значение t0eZ+, что S(Xd+1) (M, q0) =0.

2. Характеристика множества Sfxd (M , q0) (Me A1 и A2 , q0 e TTk)

Выразим _yt+1 (teN) из систем (1) и (2) через начальное состояние q0 e Znk автомата Me A1 u A2 и элементы входной последовательности x1 ... xt+1 e (Znk )t+1. Получим

t-i

y+1 = C ° (A‘° q0 0 ( 0 At-j ° B ° Xj) 0 B ° x ) 0 D ° xí+i (teN), (4)

j=i

если M e Ai и

t-i

yt+i = C ° (At+1 ° q0 0 ( 0 At-j ° B ° Xj+i ) 0 B ° xM ) (teN), (5)

j=0

если Me A2

Из (1), (2), (4) и (5) вытекает

Теорема. Для любого автомата Me A1 u A2 при любом начальном состоянии q0 e Znk для всех t e Z+ множество (M, q0) состоит из всех таких слов x1 ... xt+1 e (Znk )t+1, что:

а) если Me A1, то (x1 , . , xt+1) - множество решений системы уравнений

' (10 D) о x = C o q0,

i-i . . (6)

(10 D) o xM = C o (A‘ o q0 0 (0 A‘-J o B o x.) 0 B o x.) (i = 1, ..., t),

б) если Me A2, то (x1 , . , xt+1) - множество решений системы уравнений

(10 C о B) о x1 = C o A o q0,

i-i . . (7)

(10 C o B) o xi+1 = C o A o (A‘ o q0 0 0 A‘-J o B o x. 0 B o x.) (i = 1,..., t).

I .=i 7

Отметим, что каждое уравнение систем (6) и (7) имеет вид

A ° x = b. (8)

Известно (см., напр., [9]), что для уравнения (8) возможна одна из следующих трех ситуаций:

1) уравнение (8) не имеет решений;

2) уравнение (8) имеет единственное решение;

3) число решений уравнения (8) равноpr, где r e {1, ..., kn}.

Именно эти утверждения и характеризуют число решений систем уравнений (6) и (7).

Рассмотрим ряд следствий из теоремы.

Следствие 1. Для любого автомата Me A1, если матрица 10D - обратимая, то при любом начальном состоянии q0 e Znk множество Sfxd (M, q0) - бесконечное, причем множество Sf+P (M, q0) - одноэлементное

для каждого t e Z+ и имеет вид Sfd^ (M , q0) = {x1 ... xt+1}, где

' X! = (I © О)-1 о с о Ч0 ,

< г-1 .

хг+1 = (I © О)-1 о с о (А о q0 0 (0 А- - о В о X.) 0 В о X) (г = 1, г).

Следствие 2. Для любого автомата Ме А2, если матрица 10 С ° В - обратимая, то при любом начальном состоянии q0 е Ъпрк множество Б^ (М, ^о) - бесконечное, причем множество (М , ^0) - одноэлемент-

ное для каждого г е 7+ и имеет вид Б(М , ^0) = {х! , ... , х,+1}, где ' X = (I © С о В)-1 о с о А о ,

< г-1

х.+1 = (I © с о В)-1 о с о А о (Аг о q0 0 0 Аг-7' о В о *. 0 В о *.) (г = 1, ..., г).

Из 1-го уравнения систем (6) и (7) вытекает, что для любого автомата Ме А1 и А2 при любом начальном состоянии ^0 е Znk существует следующий локальный критерий проверки пустоты множества Бы (М , ^0).

Следствие 3. Для любого автомата Ме А1 и А2 множество Б/Ха (М, ^0) - непустое для таких и только таких состояний #0 е Znk, для которых имеет решения уравнение

(10 Б) ° х = С ° ^0 (х е Znpk), (9)

если Ме Аь и уравнение

(10 С ° В) ° х = С ° А ° ^0 (х е Znpk), (10)

если М е А2 .

Если ^0 = 0, то и (9) и (10) имеют решение х1 = 0. Отсюда вытекает Следствие 4. Для любого автомата Ме А1 и А2

Бы (М, 0) * 0.

3. Характеристика множества £(М , #) (Ме Ах и А2, ^ е )

Особенность следствия 3 состоит в том, что оно представляет собой «локальный критерий», т.е. характеристику структуры всего множества Б/Ха (М, ^0), являющегося подмножеством свободной полугруппы (Zпк)+, в терминах образующего элемента х е И1^ полугруппы, выраженных через структуру множества

(М, и). Отсюда вытекает целесообразность исследования структуры множества Б^ (М,^) для МеА1иА2 при любом текущем состоянии q е Ъпрк. Рассмотрим некоторые такие характеристики.

Из следствия 3 вытекает

Следствие 5. Для любого автомата Ме А1 и А2 проверка пустоты множества Б/Ха (М, q) при любом те-

гп ~

к сводится к проверке пустоты множества решений уравнения

(10 Б) ° х = С ° q (х е Znpk), (11)

если М е А1, и уравнения

(10 С ° В) ° х = С ° А ° q (х е Znpk), (12)

если М е А2 .

Из равенств (11) и (12) вытекает

Следствие 6. Для любого автомата Ме А1 и А2 и для любых состояний q', q"е Znk, если х'е (М, q')

и х'''е (М, в"), то х' 0х'''е (М, ^ 0 ^').

Множество Бы (М, 0) (Ме А1 и А2) следующим образом характеризует множество Б^ (М, q) для любо-

гп

Рк.

Следствие 7. Для любого автомата Ме А1 и А2 при каждом текущем состоянии q е Znk для любого входного символа х' е Б^ (М , q) истинно равенство

(М , ^ = { х' Ф х' ' | х' ' е Б% (М, 0)}. (13)

Из следствия 7 вытекает, что для любого автомата М е А1 и А2 в явном виде достаточно построить только множество 5^ (М, 0). Для любого текущего состояния q е множество 5^ (М, q) всегда может

быть вычислено в соответствии с равенством (13).

Рассмотрим теперь автомат М е А1 и А2 специального вида.

Из (11) и (12) вытекает

Следствие 8. Пусть матрицы, определяющие автомат Ме А1 и А2, выбраны так, что:

а) Б = I, если Ме А1;

б) С ° В = I, если Ме А2 .

Тогда

Б% (М, ^ = Znk

для любого такого текущего состояния q е , что имеет решение уравнение

С ° q = 0 ,

если М е А1, и уравнение

С ° А ° q = 0 ,

если М е А2.

Пусть матрицы, определяющие автомат М е А1 и А2 , выбраны так, что:

а) 10Б = а ° С, если Ме А1;

б) 10 С ° В = а ° С ° А, если Ме А2 ,

а - фиксированный элемент кольца 1 к. Тогда уравнения (11) и (12) принимают соответственно вид

С ° (а ° х) = С ° q (х е Znpk) (14)

и С ° А (а ° х) = С ° А ° q (х е Znk). (15)

Из (14) (15) вытекает

Следствие 9. Пусть существует такой элемент а кольца 1 к, что для автомата Ме А1 и А2 имеет место равенство 10Б = а ° С, если Ме А1, и равенство 10 С ° В = а ° С ° А, если Ме А2. Тогда

5« (М , ^ * 0

для любого такого текущего состояния q е , для которого имеет решение уравнение

а ° х = q (х е Znk). (16)

Заключение

В работе исследована структура множества Б/Ха (М, q0) неподвижных точек словарной функции, реализуемой инициальными линейными автоматами (М, q0) Мили и Мура над кольцом 2р*. Установлен критерий, когда множество Б'/м (М, q0) - непустое, а также найдены условия, при которых Б^ (М, q0) - бесконечное множество. Охарактеризованы входные символы, являющиеся неподвижными точками для текущего состояния исследуемых автоматов. Показано, что в явном виде достаточно хранить только множество входных символов, являющихся неподвижными точками для состояния q = 0 исследуемого автомата, а множество входных символов, являющихся неподвижными точками для любого текущего состояния q, достаточно легко может быть вычислено по этому множеству. Таким образом, в процессе подачи на исследуемый автомат входного слова х1 ... х,+1 е (2''^ ),+1 (ге7+) определение тех элементов выходного слова у ... у+1 е (Znk ),+1,

которые совпадают с соответствующими входными символами, может быть сведено к локальным действиям. Действительно, если qе - текущее состояние qе автомата М, хе - текущий входной сим-

вол, то проверка равенства входного символа х соответствующему выходному символу сводится к проверке равенства (11) для автомата Мили и равенства (12) для автомата Мура.

Полученные в работе результаты имеют следующее естественное обобщение. Зафиксируем обратимый элемент у є Znk кольца Z/. Назовем у-неподвижной точкой словарной функции /Mq): (Zp)+ ^ (Z^)+

любое такое входное слово x ... xt+1 є (Z^ )t+1 (teZ+), что

f( M ,q0 )( xi . X+i ) = (Y ° xi) . (Y ° xt+i).

Если под множеством Sßd (M, q) понимать множество всех у-неподвижных точек словарной функции/(M q0),

то все полученные в работе результаты остаются истинными, если матрицу I заменить матрицей у ° I.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука, 1974. 288 с.

2. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979. 624 с.

3. Скобелев В.В. Анализ линейных автоматов над кольцом Zp // Труды института прикладной математики и механики НАН Украины. 2007. Т. 14. С. 162 - 173.

4. Скобелев В.В. Задача идентификации линейных автоматов над кольцом Zp // Труды VII Междунар. конф. «Идентификация систем и задачи управления (SICPRO’08)» (Москва, 28 - 31 января 2008 г.). М.: ИПУ РАН, 2008. С. 1154 -1185.

5. Скобелев В.В. Шифры на основе линейных БПИ-автоматов над кольцом Zp // Вестник ТГУ. Приложение. 2007. № 23. С.118 - 122.

6. Курмит А.А. Автоматы без потери информации конечного порядка. Рига: Зинатне, 1972. 266 с.

7. Кудрявцев В.Б. и др. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука, 1985. 320 с.

8. Трахтенброт Б.А., Барздинь Я.М. Конечные автоматы (поведение и синтез). М.: Наука, 1970. 400 с.

9. Скобелев В.В. Об обратимых матрицах над кольцом Zp // Труды института прикладной математики и механики НАН Украины. 2006. Вып. 13. С. 185 - 192.