CC BY
55
— пропускную способность сети Г: Я = (0.722,0.920,0.581,0.616), Л = 2.839. Стационарные вероятности Р(П) и Р(Р) равны соответственно 0,894 и 0,106.
Для сети массового обслуживания с числом систем обслуживания I = 4, числом требований в сети N=6, вектором ц = (1.2,1.25,1.0,1.1) и маршрутной матрицей (3), но имеющей абсолютно надежные системы обслуживания, характеристики принимают значения
Я = (0.842,0.895,0.537, 0.752), Л = 3.026.
Из сравнения полученных результатов видно, что в сети обслуживания с ненадежными СМО наблюдается перераспределение потоков в системах обслуживания. Пропускная способность этой сети обслуживания меньше, чем в сети обслуживания с надежными СМО.
Рассмотренный класс сетей массового обслуживания с переменным числом систем обслуживания может быть использован в качестве моделей дискретных стохастических систем с сетевой структурой и ненадежными элементами (гибких производственных систем, сетей передачи данных, информационно-вычислительных сетей и т. п.).
Библиографический список
1. Economides А.А., Silvester J.A. Optimal routing in a network with unreliable links // IEEE INFOCOM'88. 1988. Aug. P. 288-297.
2. Chao X. A queueing network model with catastrophes and product form solution // Oper. Res. Let. 1995. V. 18. P. 75-79.
3. Chakka R„ Mitrani I. Approximate solutions for open networks with breakdowns and repairs // Stochastic
УДК 519.21
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБРАЗЫ КОНЕЧНЫХ
ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ АВТОМАТОВ
В.А. Твердохлебов
Саратовский государственный университет, кафедра теоретических основ информатики и информационных технологий E-mail: [email protected]
В данной работе вводится новая геометрическая модель автомата и изложены методы анализа, синтеза, распознавания с использованием этой модели.
Networks — Theory and applications / Eds F.P. Kelli, S. Zachary, I. Ziedins. Oxford, 1996. Chapt. 16. P. 267-280.
4. Vinod В., Altiok T. Approximating unreliable queueing networks under the assumption of exponentiality // J. Oper. Res. Soc. 1986. V. 37, N 3. P. 309-316.
5. Митрофанов Ю.И. Основы теории сетей массового обслуживания. Саратов, 1993.
V.A. Tverdokhlebov
In this work a new way of defining finite state machines (FSM) is being suggested. The discrete word geometry is built for that purpose, in which machine image is expressed as a set of lines. The methods of synthesis and analysis of geometrical images of FSMs and their features are researched. The new way of defining the FSMs allows analyzing the machine's behavior, excluding the exhausting recursive procedure of defining the initial fragments of machine functioning.
Разработка фрагмента теории геометрических образов автоматов является, по мнению автора статьи, необходимой для развития теории автоматов по крайней мере, при решении задач и проблем, связанных с анализом, синтезом и распознаванием конкретных форм поведения автоматов и законов функционирования автоматов. Такая «встреча» теории автоматов с геометрией согласуется с ролью и значением геометрии даже в специальных справочных изданиях, в которых обобщены и приведены наиболее общие представления о геометрии. Отмечается, что «взаимопроникновение геометрии и других областей математики столь тесно, что часто
границы оказываются условными» [1]. Здесь же указано важнейшее свойство геометрии, характеризующее такое влияние геометрии на теорию чисел, которое полностью относится и к теории автоматов: «некоторые предложения, почти очевидные при рассмотрении фигур в п-мерном пространстве, имеют глубокие следствия в теории чисел» [1]. Ещё одна из причин разработки геометрического подхода к теории автоматов отражена в замечании: «Общая роль геометрии в математике состоит также в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов» [1].
В классе динамических систем содержится подкласс конечных детерминированных систем в форме конечных детерминированных автоматов. Модель такого автомата была предложена в 1943 г. американскими учеными Мак-Каллоком и Питсом [2]. Эта модель была исторически включена в область приложений, содержащую объекты малой размерности. Модель сформировалась на явном указании всех элементов множеств состояний, входных и выходных сигналов. В связи с этим были разработаны способы задания модели: табличный, матричный, диаграммный.
Расширение области приложений и развитие теории автоматов привели к разделению конструктивного использования автоматных моделей и методического использования результатов теории автоматов. Конструктивное применение автоматных моделей ограничивалось или приложением к объектам малых размеров множеств сигналов и состояний, или к решению только некоторых конкретных вопросов. Например, структурная теория автоматов позволяет описывать структуры достаточно больших объектов, но представляет рекурсивно их функционирование.
В работах [3-22] предложен и по ряду основных положений разработан геометрический подход к представлению законов функционирования конечных дискретных динамических систем. В качестве базовой математической модели рассмотрен конечный детерминированный автомат типа Мили А = (S, X, Y, 5, А,), где S, X и Y — конечные непустые множества состояний, входных и входных сигналов, а 8 и Л — отображения вида £:SxX—>ShA:SxX-»Y, являющиеся совместно с уравнениями s(t + 1) = ¿>(s(t), x(t)) и y(t) = Л (s(t), x(t)) законами функционирования автомата А.
Геометрическое представление законов функционирования автомата разработано в связи с тем, что задание функций ЗиЛ таблицами, матрицами, каноническими уравнениями, диаграммами Мура и т.п. [23-26], имеет рекурсивный характер и явно определяет только начальные этапы функционирования. В диаграммах Мура поведение автомата представлено явно и в целом, но не систематизировано и не базируется на развитом математическом аппарате.
Геометрический образ ys, где s е S, инициального автомата (A, s) представляется заданным явно и полностью на всём множестве последовательностей входных сигналов X*. Целью геометрического подхода является исключение рекурсии в построении форм поведения автомата и переориентация методов решения задач распознавания, анализа и синтеза автоматов, управления автоматами на явное полное представление законов функционирования автоматов геометрическими фигурами. В указанных работах построены дискретные словарные геометрии Г0 и Гь у которых пространства образованы упорядочением соответственно множеств точек X* х Y* и X* х Y. Линейный порядок, определяющий расположение элементов множеств X* и У*на осях систем координат, позволяет определять номера элементов р е X* и q е Y*. Это означает, что геометриям Г0 и Г] сопоставляются геометрии Г3 и Г4 соответственно с множествами точек NxNhN х {1, 2,..., к}, то есть геометрии с целочисленными (положительными) координатами точек. Аналитический и вычислительный аппараты классической геометрии оказываются применимыми к анализу и синтезу геометрических образов автоматов.
К основным результатам, изложенным в работах [3-21], относятся следующие:
1. Правила построения геометрических образов автоматов в геометриях Г0 и Г].
2.-Критерии, выделяющие из множества ломаных линий в геометриях Г0 и Г] те, которые являются геометрическими образами инициальных автоматов.
3. Формулы, определяющие по слову р е X* (слову q е Y*) его номер на оси системы координат.
4. Выявленное свойство: для любого s е S геометрический образ ys инициального автомата (A, s) построен из начальных частей длины т, где т = |Х|, геометрических образов ys< инициальных автоматов (A, s'), s' е S.
5. Формулы, определяющие номера первых координат точек, образующих геометрический образ yd для d = ¿> (s, р) по известному слову р € X*.
6. Разработка рекуррентного задания геометрического образа инициального автомата, представленного последовательностью точек образа.
7. Выявленное свойство: для геометрического образа инициального автомата рекуррентная форма определяется графом с конечным числом компонентов связности, в каждом компоненте точно один цикл или петля, вершины циклов могут быть корнями деревьев.
8. Показано, что идея Р. Арбиба [27-29] о дискретном аналоге непрерывности (^-непрерывность) может быть расширена до внесения в дискретное пространство структурированных подпространств, каждое из которых характеризует:
- функционирование автомата;
- постановку задачи;
- ограничение по ресурсам, наличию свойств фазовых траекторий и т.д.;
- свойства искомых фазовых траекторий.
В данной работе содержатся результаты дальнейших исследований по теме, показано более точное строение геометрических образов автоматов и изложен формальный аппарат для анализа: первое и второе базовые разбиения осей координат, последовательность z¡, i = 1,2, ..., разбиений и их свойства. Основным результатом является выделение класса автоматов, у которых геометрический образ оказывается периодическим, и исследование некоторых свойств связи длины периода с числом т, где т = |Х|.
Геометрический образ ys инициального конечного детерминированного автомата (A, s),
А = (S, X, Y, 5, Л), понимается как множество точек ws, где ws = U {(p,A(s,p))} и A(s,p) —
реХ'
последняя буква слова A(s,p), упорядоченное в геометрии Г] по порядкам щ и щ. Порядок со\ определяется исходным на множестве X и двумя следующими правилами:
1. Если |р,| < |р2|, то (рь р2) s щ.
2. Пусть |р,| < |р2| и р, * р2. Если существуют такие qb х, х', q2, q3, что р, = q,xqb р2 = q,x'q3 и(х, х') е ¿у,,то(рьр2) е a)¡.
1. Дискретные словарные геометрии и геометрические образы автоматов
На рис. 1 показан геометрический образ автомата в геометрии Г0 и в геометрии Гь на оси ординат которой расположены элементы множества Y.
Определение 1. Пусть А = (S, X, Y, 5, Л) — конечный детерминированный автомат и s е S. Ломаной линией, определяющей в геометрии Г0 внешнее поведение инициального автомата (A, s) будем
называть граф G = (W, U), где множество вершин графа W = [J |(р, A(s,p))j, а множество U ребер
реХ'
графа состоит из ребер, соединяющих вершины с первыми компонентами, непосредственно соседними по порядку со\. Для так определенных ломаных линий будем использовать обозначение ys.
а б
Рис. 1. Геометрические образы автомата: а - в дискретной словарной геометрии Г0;
б - в геометрии Г,
2. Критерий для выделения геометрических образов в классе ломаных линий
Законы функционирования конечных детерминированных автоматов, представленные геометрическими образами, выделяют во множестве ломаных линий подмножество линий.
Определение 2. Ломаная линия у геометрии Г0 называется регулярной, если существуют такие КД-автоматы А = (Б, X, У, 5, Л) и в е Б, что у = у5.
Определение 3. Ломаную линию геометрии Г0 будем называть функциональной, если определяющий ее граф является цепью.
Определение 4. Ломаная линия у геометрии Г0 называется диагональной, если для каждой точки (р, <}) е {у} выполняется равенство |р| =
Определение 5. Для любых слов р е X* и ч е У* введем обозначение
К(р,ч)={р}-Хх{д}-У.
Множества точек К(р, ц) будем называть базовой клеткой (или просто клеткой) геометрии Г0.
Определение 6. Ломаная линия у геометрии Г0 называется связной, если для любой её точки (р, я), где р е X* и я е У*, и для любого хеХ существует у е У, такой, что точка (рх, ях) является точкой линии у.
Определение 7. Пусть у5 — геометрический образ инициального конечного детерминированного автомата (А, в). Введём обозначение: для любого реХ* у5(р) — часть линии у5, определённая на множестве точек {рхь рх2, ..., рхш,} оси абсцисс.
Теорема 1. Для того чтобы ломаная линия у геометрии Г0 была регулярной, необходимо, чтобы
1) граф, определяющий ломаную у, был цепью,
2) для любого слова р е X* существовало слово ц е У*, где |р| = при котором {у(р)}с{К(р,Ч)}.
Теорема 2. Ломаная линия у геометрии Г0 является регулярной тогда и только тогда, когда она функциональная, диагональная и связная.
Принципиально важным оказалось, что критерий регулярности ломаной линии в геометрии Г! выражается через простое условие: ломаная линия у геометрии Г! является регулярной тогда и только тогда, когда для каждого р е X* линия ^определена и определена однозначно.
3. Структура геометрических образов
Геометрический образ у5 инициального конечного детерминированного автомата (А, э) определяет функционирование автомата А для состояния .8 (э, р), где р е X*. Следовательно, если р е X*, то геометрический образ уй для <1 = ¿> (8, р) может быть извлечён из линии у$.
Теорема 3. Для каждой регулярной ломаной линии у геометрии Г0 и для каждого слова р е X* ломаная линия у (р) конгруэнтна некоторой ломаной линии вида у' (£•), где у' {е) — начальный отрезок геометрического образа для некоторого в е 8.
4. Числовые представления геометрических образов автоматов
Порядки расположения входных и выходных слов на осях словарных геометрий позволяют слова взаимно однозначно заменить числами на основании следующей теоремы.
Теорема 4. Пусть р е X* и р = х,2,..., х1([, где к е Тогда номер г (р) слова р по порядку СО] определяется равенством
r(p) = £r(x.)-\X\J-,-l.
i=1
k-1
Доказательство. Словор имеет длину к, и ему по порядку (щ предшествует а = ^|Х| ;слов
7=1
меньшей длины. Для того чтобы определить число слов, предшествующих по порядку щ в блоке слов длины к слову р, разобьем множество предшествующих слов на блоки:
• • • ■ ■ • Х1к- ■■ Х12Х1
Х1кХ\ ■■■х\ Х1кХ'к-1 • • • Х\ • • • Х'к-" Х'2Х'1 ■и-'
В каждому'-м блоке — (r(x. ) -1) • \Х\ слов. Следовательно, в блоке длины к слову р пред-
к . j шествует b = ^(r(xi слов.
7=1
к
■и-1
Получаем: г(р) = а + Ь = ^г(х( ) -1.
Теорема позволяет для любых входного слова р е X* и выходного слова q е Y* вычислить их номера г\(р) и r2(q) в соответствии с порядками сохк щ расположения множеств X* и Y* на осях системы координат. Если на оси ординат расположены только элементы множества Y по порядку щ, то выходное слово q = yj уу-2 ... y¡k имеет номер
'"з (я) = 03 O,, )> h (yj2 Уh ))•
(Если выходное слово q определено состоянием s и входным словом р = х ... xt¡, то уh =X(s,x¡), yh = A(<5(s,x, ),х,2), ..., yJt -h{8(s,xÁ...xi ,),х4) для автоматов типа Мили и у. = ц{8(5,х.)), yh = h(ó(s,X х.)),..., yjt = ц(8(s, pj) для автоматов типа Мура.)
Теорема 5. Пусть р е X* и х е X— точки на оси (X*, &>,) геометрии Г0. Тогда разность r¡(px) - r¡(p) определяется по формуле
гх (рх) - г, (р) = (\Х\-1)^ (р) + г, (х).
Проверка эквивалентности состояний автомата, минимизация автоматов, распознавание
автоматов средствами эксперимента и другие задачи решаются на основе анализа инициальных автоматов. Возможности инициального автомата и всех инициальных автоматов, выделяемых достижимыми состояниями, представлены в геометрических образах. В геометрическом образе ys инициального автомата (А = (S, X, У, 8, Л), s е S) геометрический образ инициального автомата (A, s'), s' = d(s, р), р е X*, может быть выделен указанием отрезков на оси абсцисс, на которых определен геометрический образ ys>. В связи с этим введем понятие дерева функционирования инициального автомата и построим правила вычисления отрезков на оси абсцисс.
Определение 8. Деревом Df функционирования инициального детерминированного автомата типа Мура (А = (S, X, У, 5.\ Л), s0 е S) будем называть граф с размеченными вершинами и
дугами G? = (X , р с X хХ ), у которого:
- из каждой вершины р е X* исходит точно т = \Х\ дуг (р,рх), где х еХ, взаимно однозначно помеченных элементами множества X;
- каждая вершинар е X* имеет метку (S(s0,p),p(8(s0,p)))-
Теорема 6. Пусть ySQ — геометрический образ в геометрии Г, некоторого инициального конечного детерминированного автомата (A, s0) с множеством входных сигналов Хр е X* (р ф е) и s — преемник состояния s0 по входному слову р.
Тогда образ ys инициального автомата (A, s) образован точками, первые координаты которых имеют номера г, определяемые неравенством
X \Х\ + г, (р) • ДО" < г < X \Х\ + (Г, (р) +1) • -1, где и е ЛГ.
7=0 j=0
Доказательство. Для доказательства сопоставим инициальному автомату (А, л'0) дерево функционирования Df, в котором расположим геометрический образ ySQ, совмещая элементы множества X в соответствии с порядком о\ с вершинами дерева (см. определение 6). Выберем в дереве Df поддерево D? с корнем, номер которого определяется как номер словар, где s = d(s0,p). Дерево Df
и любое его поддерево Df (a — состояние, достижимое из л'0) совместимы по вершинам, если полагать, что пути, исходящие из a, являются продолжениями путей, исходящих из s0.
Дерево Df и любое его поддерево DAa на каждом уровне к, к > 1, имеют точно \Х\к вершин. Это позволяет:
- определить для каждого уровня к дерева Df номер т] + т2 + ... + ткл + 1 левой крайней вершины и номер тх + т2 + ... + тк правой крайней вершины (т =
- по номеру г\(р) корня поддерева Df определить для любого уровня и поддерева Df номера (Ци левой крайней вершины поддерева на ¿>м уровне и номер о>1и правой крайней вершины.
Таким образом, имеем
(оь> = Uu_t + Uv +1, co2v = cohj + m" +1, где Uu_} — число вершин дерева D.4 на уровнях с 1-го по
(к+ и- 1)-й, Uи — число вершин (к + и)-го уровня дерева Df, предшествующих вершине гу(р). Получаем
t+u-l
Uv_, = ^т\ии=г,{р)-и^-1.
Суммирование дает неравенство, указанное в теореме. Структура, показывающая взаиморасположение точек образа автомата с учетом порядка элементов множества X*, представлена на рис. 2.
---------------о
1 т1
т1 +1 I т2 +т{ т2+т1+1 I т3+т2+т1
I _А_
тк~1 +тк~2 + ...+т1 + 1 I 03 \ тк +тк~х +...+т1
' ------------к
тк+тк~1+...+т1 +1 /Шц 1 ^сог, \ тк+1 +тк+... + т1
со22
IС031 I I 0332
Рис. 2. Совмещение поддеревьев, определяющих функционирование инициальных автоматов
Пусть у3 — геометрический образ в геометрии Г^ Каждому отрезку оси абсцисс соответствует часть (отрезок) геометрического образа уу Введем два варианта разбиений оси абсцисс на такие отрезки, которые выделяют части у8, характерные для поведения автомата.
Определение 8. Пусть элементы множества X *, где \Х\ - т, расположены на оси абсцисс системы координат геометрии Г] в соответствии с порядком щ.
1. Разбиение оси абсцисс на отрезки, определяемые множествами точек Х\Х2,..., X7,... , будем называть первым базовым разбиением и обозначать т/](Х *).
2. Разбиение оси абсцисс на отрезки длины т будем называть вторым базовым разбиением и обозначать г/2(Х *).
Разбиения т]х{Х*) и т]2(Х*) выделяют на оси абсцисс части, позволяющие определять такие последовательности отрезков, которые представляют геометрические образы состояний, достижимых из состояния
Лемма 1. Пусть у5 — геометрический образ инициального конечного детерминированного автомата (А, 5), где А = (5, X, У, 8, Л), 5 е 5 и (Л7) = т.
Для любого р е X * отрезок \рхъ рх2, ..., рхт] во втором базовом разбиении г/2(Х *) оси абсцисс выделяет в геометрическом образе ух часть
[{рх^ирх2,\),...,{рхтХ)1
определяющую равенства
Ц8(з,р),х1) = Уу<, Л{8(з,р\х2) = УУг, ..., Щ^,р),хт) = ¥^, то есть определяет функцию Л на множестве {<3(5, р)\ х X.
Утверждение леммы 1 очевидно следует из интерпретации геометрического образа у5. На основании леммы 1 получаем, что разбиению г]2(Х *) соответствуют последовательность состояний
и последовательность таких частей ys
(3)
каждая из которых определяет равенства вида (1) для состояния, ассоциированного с этой частью.
Принципиальные сложности возникают при определении по геометрическому образу ys функции переходов ó автомата А. Для бесконечной последовательности состояний (2) из геометрического образа ys выделяют бесконечную последовательность заданий функции А для состояний автомата. Если автомат конечный, то на множестве состояний, представленных в последовательности (2), имеется конечное число классов эквивалентности состояний. Возникают задача определения классов эквивалентных состояний и задача определения переходов состояний из одного класса в другой.
Задача определения по геометрическому образу ys перехода из состояния ó(s, р) под действием входного сигнала х, решается следующими действиями:
1) на оси абсцисс выделяется отрезок a = [pxix],px¡x2pxixm];
2) полагается 8(8(s,p),xi)-8(s,px¡).
Полученное равенство не отвечает на вопрос, между какими классами эквивалентных состояний устанавливает связь входной сигнал x¡.
Задача определения по геометрическому образу ys классов эквивалентных состояний требует формулировок предположений, условий и ограничений.
Геометрический образ ys уже систематизирован первым базовым разбиением rj\(Jf) оси абсцисс и связью отрезков разбиения с частями ys. Для каждого достижимого из 5 состояния u = ó(s, р), где р е X *, геометрический образ уи инициального автомата (А, м) должен иметь аналогичное распределение частей на оси абсцисс. В геометрический образ уи входят части геометрического образа ys, связанные с последовательностью множеств точек {p}-Xl,{p}-X2,...,{p}-XJ,... оси абсцисс. В отличие от ys, указанные части не непосредственно следуют друг за другом, а разделены увеличивающимися промежутками на оси абсцисс.
Теорема 7. Пусть слова р, р] е X* находятся на оси абсцисс в отношении непосредственного следования р < р[ по порядку щ. Тогда для любого j, j- 1, 2, 3, ..., первый элемент множества {р1} ■ X' непосредственно следует за последним элементом множества {р} • ХК
Доказательство. Перечислим варианты отношений между непосредственно соседними по порядку щ словами р,р1 е Х'(р * р1):
S(s,x2), S(s,x}),..., 8(s,xJ, Sis,^), ..., S(s,p),...
(2)
\P\-\P I» PHP1 l+i,
(4)
(5)
(6)
P = Xkm&Pl=X]
(7)
Для каждого конкретного случая непосредственного следования словарх за словом р отношение р< р1 совмещается с одним из следующих наборов: {(4), (6)},. {(5), (7)}.
Рассмотрим вариант условий (4) и (6). Последний элемент где = х. х1 ...х1 х(., множества р ■X7 будет непосредственно предшествовать первому элементу множества рх так как элемент £2 имеет вид с,г = р1х(. Непосредственное следование ¿;2 за по порядку сох объясняется правилом порядка для слов равной длины: следование одного слова за другим словом определяется следованием их первых слева различных префиксов одинаковой длины. Структура слова показывает, что отношения слов ^ и £2 будут определяться отношением их префиксов ркрх.
Вариант совмещения условия (5) с отношением р -< р1 возможен только при условии (7): р = хкт и рх = х*+1. Последний элемент множества {p}■XJ имеет вид = хк*', а первый элемент ¿;2 множества {р]} ■ Х-' определяется равенством = х\Ш]+]. Между словами д, и по порядку щ других слов нет. Слово меньшей длины ^ предшествует слову большей длины £2. Следовательно, ^непосредственно следует за
Первое базовое разбиение щ(X") оси абсцисс определяет отрезки оси, для которых номера первых и номера последних точек определяются построением порядка щ. Связи отрезков и номеров первых и последних точек отрезков, представленных в таблице, сформулированы в виде теоремы 8.
№ Отрезок разбиения лА*') Номер первой точки отрезка Номер последней точки отрезка
1 [х,,...,хт] 1 т
2 [х1х1,...,хтхт] т +1 т + т2
3 [х, X, X],..., хт хт хт ] т + т2 +1 т + т1 + т3
1 [х1 ,...,хт] т + т2 + ... + т]~1 +1 т + т1 +... + т]
Теорема 8. Пусть множество X* упорядочено на оси абсцисс в соответствии с порядком щ, на нем имеется первое базовое разбиение г/х{Х*) и отрезки разбиения занумерованы. Тогда отрезок с номером>2 имеет первую точку с номером т + т2 + ... + тм +1 и последнюю точку с номером т + т1 + ... + т' по порядку сох.
Для того чтобы в геометрическом образе у8 инициального конечного детерминированного автомата (А, я), где А = (5, X, У, 6, Л) и 5 е 5, выделить части, образующие геометрический образ ую где со= ¿(Х р) ир е X*, рассмотрим бесконечную последовательность Х\*Хг>->Хр-•• разбиений оси абсцисс и частей оси абсцисс на отрезки. Введём следующие обозначения: Х\ — разбиение оси абсцисс на отрезки длины т,
у2 — разбиение части оси абсцисс без первых т точек на отрезки длины т2, /з — разбиение части оси абсцисс без первых т + т2 точек на отрезки длины т3,
X] — разбиение части оси абсцисс без первых т + т2+ ... + т'х точек на отрезки длины т Л
Теорема 9. Пусть ys — геометрический образ инициального конечного детерминированного автомата (A, s), где А = (S, X, Y, S, Л), s е S.
Для любого слова р е X* (р ф е) геометрический образ ую где u = ó(s, р), инициального автомата (А, и) образован последовательностью частей геометрического образа ys:
Y„=Y"Yl-Yj-, (8)
где каждая j-я часть у" является частью ys , ассоциированной с отрезком оси абсцисс, первая точка которого имеет номер по порядку <щ
m + m2 + ...+(i-\)-mj +1; (9)
последняя точка которого имеет номер по порядку щ
m + m1 + ... + imj, (10)
где i — номер слова р по порядку сох на оси абсцисс.
Доказательство. Каждое входное слово р е X* однозначно определяет р — преемник состояния s: и = ó(s, р). Множество всех слов X* в алфавите X и множество отрезков второго базового разбиения г]2{Х*) взаимно однозначно соответствуют. Пусть слово р по порядку со\ имеет номер i. Покажем, что для каждого j,j > 1, у/ является частью ys, определенной на г'-м по порядку отрезке разбиения x¡- Это означает, что геометрический образ уи состоит из частей геометрического образа ys, определяемых г'-ми отрезками каждого из разбиений %i,Xi>—>Xj>~-На оси абсцисс такие отрезки имеют вид
[pxl,...,pxm],[pxlxl,...,pxmxm],...,[px(,...,pxJJ,....
Номера этих отрезков в соответствующих разбиениях j = 1, 2, ..., совпадают и равны номеру слова р по порядку о>\. Это следует из теоремы 7 (для р есть цепочка длины i слов от первого s до слова р) и теоремы 8, определяющей номера первого и последующего элементов первого отрезка в каждом разбиении x¡-
Рассмотрим проблему проверки эквивалентности состояний по геометрическому образу ys ДЛЯ ДОСТИЖИМЫХ ИЗ S СОСТОЯНИЙ Ó(s, Pi) = U И Ó(s, р2) = V, где Pi,P2 & X* ир} фр2. Состояния и и v имеют геометрические образы уи и yv, которые можно представить последовательностями частей образа ys:
Г,Г = Г;У2, (П)
уу. = уУ2,...,у%.... (12)
Из теоремы 9 следует, что для каждого j,j = 1,2, ..., у" и у\ являются отрезками одного и того же разбиения Xj и зависят от номеров слов рх и р2. Очевидно, что состояния и и v эквивалентны тогда и только тогда, когда у" = у' для всех значений j.
Проверка эквивалентностей состояний по геометрическому образу требует сравнения двух бесконечных последовательностей (11) и (12) бесконечного геометрического образа ys. В общем случае эффективная проверка невозможна. Только принятие дополнительных предположений, условий и ограничений позволяет выделять случаи эффективной проверки по геометрическому образу эквивалентности состояний. Одним из фундаментальных предположений о свойствах геометрических образов является предположение о том, что геометрический образ ys — это периодическая ломаная линия. Прежде чем рассмотрим периодические геометрические образы, сформируем метод проверки fc-эквивалентности состояний.
Определение 10. Пусть А = (S, X, Y, S, Л) —- конечный детерминированный автомат. Состояния 5 и s' называются ¿-эквивалентными (к > 1), если выполняется условие
(УреХ*){\р\<к^>Ц*,р) = Ц/,р)}.
Метод проверки по геометрическому образу ys ¿-эквивалентности состояний u = â(s, рх) и v = <5(5, р2) заключается в следующем.
1. Для слов р\ нр2 определяются номера по порядку <щ по формуле
v-l
= -1, « = 1,2, (13)
где Pl = х\х\ ...х[, р2 = х\х\ ...х\.
2. По формулам (9) и (10) вычисляются границы к отрезков, а по ним соответствующие последовательности частей геометрического образа ys: у" ,у2,—,у"к и у",у2,-~,уЦ.
3. Проверяется выполнимость набора равенств у" = yj, 1 < j < к.
Известно [25-26], что если для некоторого к классы ¿-эквивалентных состояний совпадают с классами (к + 1)-эквивалентных состояний, то эти классы являются классами эквивалентных состояний. Следует подчеркнуть, что это важнейшее утверждение не применимо без дополнительного (и очень тяжело проверяемого) ограничения в случае проверки эквивалентности по геометрическому образу. Дополнительное условие заключается в том, что уже все достижимые из s состояния автомата представлены при определении ¿-эквивалентности состояний. Новые состояния, не эквивалентные уже представленным в рассмотренном начальном отрезке геометрического образа, могут потребоваться для образования связей входных сигналов и выходных сигналов при увеличении начального отрезка геометрического образа.
Перейдем к исследованию периодических геометрических образов, так как для них свойство периодичности оказывается заменой условий и ограничений, дополнительно требующихся при анализе, синтезе, распознавании и управлении автоматами. Уточним понятие периодического геометрического образа, полагая, что оно соответствует по свойствам периодической ломаной линии в геометрии Г].
Периодом периодической ломаной линии будем называть наименьший по длине (числу точек) период. Одной из основных характеристик периодического геометрического образа будет отношение длины периода и числа m = \Х\.
Теорема 10. Пусть выполнены условия:
ys — периодический с периодом длины d,d> 1, геометрический образ инициального конечного детерминированного автомата (A, s), где А = (S, X, Y, 5, Л), s е S;
m = \X\(m> 2);
р\,р2 е X* и a, fi— номера соответственно слов р} ир2 по порядку а>\,
d< m и d не является кратным т.
Состояния <3(5, рх) и ô(s, р2) автомата А эквивалентны тогда и только тогда, когда выполняется условие:
(Зпе N)\a-p\-m = n d. (14)
Доказательство. Покажем необходимость. Пусть условие (14) не выполняется, т. е., для любого п е N\a -[3\-m ï п-d, a ï /3. Две части периодического геометрического образа, ассоциированные с отрезками а и b разбиения %х, конгруэнтны (могут быть совмещены параллельным движением вдоль оси абсцисс) тогда и только тогда, когда между первыми точками отрез-
ков а и Ь расположено я ■ с1 точек при некотором целом положительном п. Пусть с первой точкой отрезка а ассоциируется у-я точка периода, а с первой точкой отрезка Ъ ассоциируется 1-я точка периода и V Ф 1 . Тогда первая справа точка периода с наибольшим значением второй компоненты (по порядку аь на оси ординат) расположится в частях геометрического образа у5, ассоциированных с отрезками а и Ь, на различных расстояниях от начала отрезков. Это означает, что такие части геометрического образа определяют состояния д{з,рх) и р2), которые не являются 1-эквивалентными и, следовательно, не эквивалентны.
Пусть условие (14) выполняется для некоторого п0, т. е. |а0 - /?0| • т0 = п0 ■ с1а. Введем обозначения и = <^(5, р\) и V - р2). На основании теоремы 9 из частей геометрического образа у„ можно составить геометрические образы уи и ую где уи. = у"у2,...,/",... и уу. = со-
ответственно инициальных автоматов (А, и) и (А, у). Для каждого у, у > 1, части у" и у* ассоциируются с отрезками разбиения Первые точки таких отрезков имеют номера по порядку щ:
т + т2 +... + a■mj +] и т + т2 +... + /3-т] +1.
Между первыми точками отрезков имеется \а - р\ ■ т] точек. Условие (14) дает 1-эквивалентность состояний и и v. Умножая обе части равенства (14), получаем условие 2-эквивалентнос-ти состояний и и V : \а - (5\ ■ т2 =(п0 т) с1, где па'т — число периодов, укладывающихся между первыми точками отрезков разбиения %г. В общем случае умножение обеих частей равенства (14) на множитель т'~х дает условие у'-эквивалентности состояний и и V: |а -р\■ т' =(п0-т]~')-с1. Следовательно, состояния и = р\) и V = <5(5,р2) ^-эквивалентны для любого к = 1,2, .... Такие состояния являются эквивалентными.
Теорема 10 имеет два важнейших применения. Во-первых, она позволяет по величинам т и с/ определять число классов эквивалентных состояний для автоматов с периодическими геометрическими образами. Во-вторых, для автоматов с периодическими геометрическими образами отношение 1 -эквивалентности совпадает с отношением эквивалентности состояний.
Библиографический список
1. Математика/ Большой энциклопедический словарь. М„ 1999.
2. McCulloch W. S., Pitts W.H. A logical calculis of the ideas immanent in nervous activity // Bull. Math. Biophys. 1943. V. 5. P. 115-133.
3. Твердохлебов B.A. Техническое диагностирование в геометрической интерпретации задач, моделей и методов // Автоматизация проектирования дискретных систем: Материалы Междунар. конф. Минск, 1995. Т. 1. С. 97.
4. Твердохлебов В.А. Распознавание автоматов на основе геометрической интерпретации // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. XI Междунар. конф. М., 1996. С. 191.
5. Резчиков А.Ф., Твердохлебов В.А. Управление и диагностирование в сложных системах. Саратов, 1997.
6. Твердохлебов В.А. Техническое диагностирование в геометрической интерпретации // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы Междунар. конф. Саратов, 1997. С. 137-140.
7. Твердохлебов В.А. Дискретные словарные геометрии для анализа и синтеза математических автоматов // Вопросы преобразовательной техники, частотного электропривода и управления: Межвуз. науч. сб. Саратов, 1998. С. 71-79.
8. Твердохлебов В.А. Дискретные словарные геометрии для анализа и синтеза математических автоматов // Докл. Академии военных наук. Саратов, 1999. №1. С. 100-113.
9. Твердохлебов В.А. Синтез и анализ геометрических образов конечных автоматов // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. XII Междунар. конф. М., 1999. Ч. П. С. 225.
10. Твердохлебов В.А. Техническое диагностирование на основе распознавания свойств переходов и выходов автоматов // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. Харьков, 2000. №4. С. 45-47.
11. Смирнов А.К, Твердохлебов В.А. Управление жизненными циклами сложных систем. Саратов, 2000.
12. Твердохлебов В.А. Дискретное управление в толе-
рантных и импликативных пространствах II Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении: Материалы Междунар. конф. Саратов, 2002. С. 211-215.
13. Tverdokhlebov V.A. Discrete space for trajectories of diagnostic symptoms // Радиоэлектроника и информатика. Харьков, 2003. №3. С. 121.
14. Твердохлебов В.А. Дискретное пространство для образов поведения конечных автоматов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов, 2003. Вып. 5. С. 163-174.
15. Твердохлебов В.А. Дискретные пространства в задачах управления и диагностирования // Докл. АВН / Поволж. отд-ние. 2003. № 9. С. 102-108.
16.Твердохлебов В. А. Построение и анализ геометрических образов конечных автоматов // Проблемы точной механики и управления: Сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. С. 94-100.
17. Твердохлебов В. А. Рекуррентность геометрических образов // Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. 2004. Вып. 4—5. С. 88-90.
18. Tverdokhlebov V.A. The general features of geometrical images of finite state machines // Proc. of East-West Design & Test Workshop (EWDTW'2004), Alushta, 2004. P. 243-247.
19. Твердохлебов В. А. Основные свойства геометрических образов автоматов // Проблемы точной меха-
ники и управления: Сб. науч. тр. ИПТМУ РАН. Саратов, 2004. С. 187-192.
20. Твердохлебов В. А. , Еременко Р. Н., Путятин-ский С.Е. Анализ представления иррациональных последовательностей функциями А-значной логики // Там же. С. 170-175.
21. Твердохлебов В. А. Дискретные системы и геометрические образы их функционирования // Автоматизация проектирования дискретных систем: Материалы 5-й Междунар. конф. Минск, 2004. Т. 1. С. 217-226.
22. Твердохлебов В. А. Дискретные пространства в задачах управления и диагностирования // Там же. Т.2. С. 104-113.
2Ъ.Мур Э. Умозрительные эксперименты с последовательными машинами // Автоматы: Сб. ст. / Под ред. К. Шеннона, Д. Маккарти. М., 1956. С. 179-213.
24.Пит А. Введение в теорию конечных автоматов. М, 1966.
25. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. М., 1962.
26. Брауер В. Введение в теорию конечных автоматов. М., 1987.
ll.Arbib М. Autómata theory and control theor: a rapprochement//Automática. 1966. V. 3. P. 161-189. ll.Arbib M. Tolerance autómata // Kybernetic. 1967. V. 3. P. 223-233/
29. Каллман Р., Фалб 77., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М., 1971.
