CC BY
38
УДК 519.713.1; 519.713.4
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА АВТОМАТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ, РЕКУРРЕНТНОЕ И 2-РЕКУРРЕНТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
В. А. Твердохлебов
Твердохлебов Владимир Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры дискретной математики и информационных технологий, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского; главный научный сотрудник, Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов, [email protected]
Для автоматных отображений изложены метод построения геометрических образов, метод оценки сложности автоматных отображений по их геометрическим образам, метод Z-рекуррентного определения последовательностей. Изложен метод оценки сложности любых конечных последовательностей по числовым показателям рекуррентных и Z-рекуррентных определений последовательности. Числовые показатели рекуррентных и Z-рекуррентных определений последовательностей систематизированы в спектр рекуррентных определений, имеющий 5 уровней числовых показателей. В спектр входят варианты показателей от порядка рекуррентной формы до числовых характеристик различных видов рекуррентных определений последовательностей.
Ключевые слова: автоматные отображения, геометрический образ, рекуррентное определение последовательностей, Z-рекуррентное определение последовательностей, последовательность, оценка сложности последовательности.
DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-2-232-241
ВВЕДЕНИЕ
Автоматное отображение относится к классу функций, областями определения и значений которых являются последовательности элементов из конечных множеств. Разработаны различные формы представления автоматных отображений: дискретными детерминированными автоматами с конечными или счетно-бесконечными множествами состояний, конструкциями языка регулярных выражений, структурно-функциональными схемами композиции автоматов и др. В статье продолжается исследование геометрической формы автоматных отображений и использование геометрических образов автоматных отображений в задачах контроля и диагностирования систем, которые представлены в работах [1-20].
Автоматное отображение это бинарное отношение вида р : X * х У *, где X * и У * — множества конечных последовательностей элементов конечных множеств X и У, удовлетворяющее условиям:
1) бинарное отношение р является отображением;
2) для любой последовательности р е Рг1р выполняется равенство |р| = |р(р)|, то есть прообраз и образ по отображению р имеют одинаковую длину;
3) для любой последовательности р е Рг1р любой ее префикс р' принадлежит области определения отображения р, т.е. р' е Рг1 р;
4) если р е Рг1р, то для любого префикса р' последовательности р выполняется равенство |р'1 = |р(р')|-
Автоматные отображения обладают важными для практики и теории свойствами.
1. В классе всех автоматных отображений содержится собственный подкласс отображений, реализуемых конечными детерминированными автоматами, которые используются как математические модели для дискретных технических, биологических, информационных и других систем.
2. Преобразования, определяемые машинами Тьюринга, представимы в форме автоматных отображений. На основании гипотезы о связи машин Тьюринга с алгоритмами это означает, что любой алгоритм может быть представлен как автоматное отображение, реализуемое дискретным детерминированным автоматом со счетно-бесконечным множеством состояний.
3. Любому автоматному отображению вида ^ : X * ^ У * соответствует дискретный детерминированный автомат вида А = (5, X, У, 6, А, з0), где 5 — множество состояний автомата, X и У — конечные множества входных и выходных сигналов, з0 £ 5, 6 : 5 х X ^ 5 и А : 5 х X ^ У — функции переходов и выходов, в котором входные и выходные последовательности сигналов связаны уравнениями динамики:
Для случая конечного множества состояний автомата разработаны различные классы автоматов: автоматы типов Мили и Мура, автоматы без выходов, автономные автоматы и другие. При счетно бесконечном множестве состояний 5 к автомату A может быть преобразована машина Тьюринга. Машина Тьюринга может быть представлена как дискретный детерминированный автомат со счетно бесконечным множеством состояний. Дискретные автоматные отображения не принадлежат к числовым структурам и для них не используются мощные математические идеализации актуальной бесконечности, непрерывности, бесконечно малых величин, предельного перехода, суммирования бесконечных рядов, абстрактных пространств и т. п.
Использование непрерывной числовой математики в постановках и решениях задач теории автоматов основывается на связи дискретных символьных структур (автоматных отображений) с числовыми структурами. Основу для разработки таких связей составляют взаимно однозначные отображения множеств дискретных объектов в множества числовых структур (множества чисел, точек, интервалов) и интерпретация точек геометрических кривых линий как моделей связи прообразов и образов автоматных отображений.
В статье рассматривается представление автоматных отображений для дискретных детерминированных автоматов с конечным или счетно-бесконечным множеством состояний геометрическими образами в форме точек на аналитически заданных кривых. Для этого определяются линейные порядки на множествах входных и выходных последовательностей, приводятся формулы для вычисления номеров входных последовательностей, показывается, что порядок расположения на осях системы координат номеров входных и выходных последовательностей может быть произвольным с сохранением отношения неравенства между геометрическими образами автоматных отображений. Приводится метод построения дискретного автомата по выбранным ориентации геометрической кривой и точкам, выбранным на ней для представления автоматного отображения. Изложен метод построения автомата по геометрическому образу, основывающийся на покрытии геометрической кривой сеткой с заданными размерами клеток сетки. Кроме того, приведены геометрические формы для классификации наборов траекторий изменения состояний автомата и классификации частей наборов таких траекторий.
Одними из основных результатов (изложенных в статье) являются: метод оценки сложности последовательностей на основе рекуррентного из ^-рекуррентного определения последовательностей; метод оценки сложности геометрических кривых по выбранным на них последовательностям точек и на числовых показателях рекуррентных определений последовательностей таких точек. Метод определения структуры причинно-следственных связей событий, в котором используются рекуррентное из Z-рекуррентное определения последовательностей. Методы применимы для оценки сложности автоматных отображений и последовательностей операторов в схемах Янова для алгоритмов.
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ОБРАЗ АВТОМАТНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Любое автоматное отображение ^ вида ^ : X * ^ У * может быть определено на основе функционирования инициального дискретного детерминированного автомата А = (5, X, У, 6, А, з0) с конечным или счетно бесконечным множеством состояний S:
Задание автоматного отображения ^ формулой (1) требует определения функций 6 и А переходов и выходов автомата, что существенно ограничивает эффективность исследования автоматных отображений как функций. Следующая теорема вводит независимые от 6 и А средства задания автоматных отображений.
+ 1) = 6(в(£), ж(£)), у(£) = А(в(£), ж(£)),
где I £ N +.
(1)
р&Рт 1 <р
Теорема 1. Пусть X и У — конечные непустые множества и ф — отображение вида
ф : X* - У, (2)
в котором для любого р е Рг1 ф любой префикс последовательности p принадлежит множеству Рг1 ф, где Рг1ф — область определения отображения ф.
Бинарное отношение р с X* хУ*, для которого Рг1 р = Рг1ф и для любой последовательности р е Рг1 р, где р = х^х^... х^ и п е N+, выполняются условие |р(р)| = 1 и равенство
р = ф(хг1 )ф(хг1 Х^2 ) . . .ф(хпХ^2 . . .Хг„ ), (3)
является автоматным отображением.
Доказательство. Условие 1 в определении автоматного отображения, выполняется для бинарного отношения р на основании равенства |р(р)| = 1 для любой последовательности р е Рг1р. Формула (3) по построению определяет для каждой пары (р, р(р)) е р равенство |р| = |р(р)|, т. е. выполнение условия 2. Свойство 3 автоматного отображения выполняется для бинарного отношения р на основании предположения о множестве Рг1 ф и также предполагаемого равенства Рг1р = Рг1 ф. По построению правой части равенства (3) и возможности рассматривать это равенство для любого (непустого) префикса последовательности получаем, что бинарное отношение р удовлетворяет условию 4 автоматного отображения. □
Несмотря на простоту теоремы 1, она имеет принципиально важное значение.
Во-первых, на основании теоремы 1 любое автоматное отображение р вида р : X* — У*, в котором посимвольная связь прообраза и образа определяется при соблюдении условий автоматности 1-4 заменяется отображением вида (2) с расшифровкой вида (3). Существенным является то, что на отображение (2) наложено только одно условие: Рг1 ф с каждой принадлежащей Рг1 ф последовательностью в нее включаются все префиксы последовательности. Фактически, любое отображение вида (2), дополненное формулой (3), представляет автоматное отображение.
Во-вторых, представление отображения (2) в геометрической форме будет содержать размещение множеств X* на оси абсцисс (в неограниченном или в конечном отрезке оси) и размещение множества У на некотором конечном отрезке оси ординат. Это удобно для визуального представления геометрического образа.
Задача удобного и эффективного размещения множества последовательностей X* и множества У существенно сокращается, если учитывать ориентацию геометрических образов на решение конкретной задачи — распознавание автоматов в конечном семействе автоматов средствами экспериментов. В качестве экспериментов в дальнейшем будет рассматриваться простой безусловный эксперимент распознавания автомата в заданном конечном семействе автоматов при условии, что автоматы определены геометрическими образами. В этом случае принципиальная возможность распознавания автоматов, когда автоматные отображения вида (2) уже преобразованы в числовые структуры, не зависит от способов взаимно однозначного размещения элементов множеств X* и У на осях прямоугольной декартовой системы координат. Этот факт представим следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть X и У — конечные непустые множества, а = — семейство отоб-
ражений, где фi : и — У, и с X*, для любых г, е I Рг1ф^ = Pr1фj = и и для каждого р е и все префиксы p принадлежат множеству и. Тогда для любых взаимно однозначных отображений «в» Нх : X* -— N + и Ну : У -— {¿ъ г2,..., г у|}, где г1 < г2 < ... < ¿|у| имеет место
фi = фj - 3 р е и : Ну^(р)) = Ну^(р)). (4)
Доказательство. Утверждение теоремы 2 следует из того, что при выполнении неравенства фi = Фj для некоторого р е и имеет место (р, фi(р)) = (р, фj(р)). Последнее неравенство возможно только тогда, когда при взаимно однозначном отображении Ну выполняется неравенство Ну ^ (р)) = Ну (ф, (р)). □
В результате проведенных исследований удалось найти такой линейный порядок на множестве X*, при котором достаточно просто решаются следующие задачи: задача определения номера г(р) для р е и и задача определения для рассматриваемого р е и номера г(р) по линейному порядку. Определим такой линейный порядок, обозначив и при следующих правилах.
Правило 1. На множестве X = {х1?х2, } определяется линейный порядок х ч х2 ч
ч ... ч х^. Линейный порядок ч распространяется на множество X* по правилам 2 и 3.
Правило 2. Для любых р,р' £ X* |р| < |р'| — р ч р' и пустая последовательность е ч р.
Правило 3. Для любых р,р' £ X*, для которых р = р', их отношение по линейному порядку повторяет отношение их наименьших неравных префиксов.
Как отмечалось, введенный линейный порядок обладает свойствами, представленными теоремами 2 и 3.
Теорема 3. Пусть на множестве X*, где X = {х1 ,х2, ...,х&}, правилами 1-3 определен линейный порядок ч, тогда для любой последовательности х£1 х£2 ... х£п, где п £ N + и п ^ 2, номер г(х£1 х£2 ... х£п) по линейному порядку ч определяется формулой
п —1
г(хп хг2 ...хг„) = ^ к7 + г(хп - 1) х кп—1 + г(г^ (хг2 )гъ (х^)... г*, (хг„)), (5)
5 = 1
где г(х) — число х в десятичной системе счисления, а г^ (х) — число х в к-ичной системе счисления, соответствующее номеру элемента по линейному порядку ч.
Доказательство. Число г(х£1 х£2 ... х£п) рассмотрим как сумму трех слагаемых. Первое слагаемое определяет число последовательностей размерностей от 1 до п — 1. Последовательность х£1х£2 ... х входит в множество последовательностей длины п, для которых х£1 является префиксом. Каждое множество последовательностей длины п с фиксированным префиксом содержит кп—1 последовательностей. Число таких множеств, предшествующих множеству последовательностей с префиксом х£1, равно г(х£1 — 1). Это определяет вхождение в сумму второго слагаемого. Для определения третьего слагаемого воспользуемся следующими свойством представления чисел в разных системах счисления. На основании того, что X = {х1 ,х2,..., }, элементы множества X в соответствии с линейным порядком ч могут быть перенумерованы так, что их номера соответствуют цифрам Личной системы счисления. Тогда число г^ (х£2 )г& (х£з) . ..г& (х£п) будет номером по порядку ч, представленным в к-ичной системе счисления, во множестве всех последовательностей длины п с префиксом х£1. Включение числа г(г^(х£2)г&(х£з)... (х£п)) в правую часть равенства (5) завершает определение номера
Г (х£ 1 х£2 . . . х£п ) . ^
Формула (5), указанная в теореме 3, позволяет определять номер любой последовательности в линейно упорядоченном множестве (X*, ч). В силу единственности представления числа г(х£1 х£2 ... х£п) правой формулой в равенстве 5 на основании теоремы 3 по любому целому положительному числу, рассматриваемому как номер последовательности, однозначно определяется сама последовательность.
Для построения геометрического образа автоматного отображения разработаны все требующиеся структуры: специальная форма автоматного отображения, содержащая отображение ^ : X* — У, и использование отображения ^ на основании формулы (5); линейный порядок ч, позволяющий эффективно вычислять связь последовательности с ее номером по линейному порядку ч и обратную связь номера с последовательностью; взаимно однозначные отображения «в» Нх : X* — N + и Ну : У -— {¿1, г2,..., ¿|У|} для размещения элементов множеств X* и У на осях прямоугольной декартовой системы координат. Эти средства позволяют представлять автоматные отображения точками в прямоугольной декартовой системе координат.
Выбор взаимно однозначных отображений Нх и Ну не ограничен и, следовательно, предоставляет возможности для выбора любого расположения точек геометрического образа на аналитически заданных геометрических кривых линиях.
2. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ АВТОМАТНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Пусть Ш С X* и Н(Ш) — множество всех последовательностей, являющихся элементами множества Ш или префиксами последовательностей из Ш. Любое отображение д вида д : Н(Ш) — У с использованием формулы 3 определяет автоматное отображение вида : X* — У*. Геометрический образ автоматного отображения однозначно определяется тройкой (д, Нх, Ну), где Нх : X* — Я и Ну : У —— {1, 2,..., |У |} — взаимно однозначные отображения «в». Введенному линейному порядку ч на множестве X* соответствует взаимно однозначное отображение Нх вида Нх : X* —^ N + , что позволяет представлять Нх суперпозицией Нх и взаимно однозначного отображения Н вида Н : N + —— Я.
В методе построения инициального дискретного детерминированного автомата A = (S, X, Y, Л, s0) с конечным или счетно-бесконечным множеством состояний S основными этапами являются:
• выбор аналитически заданной геометрической кривой линии y = f (x) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат;
• выбор направления обхода рассматриваемой геометрической кривой линии;
• выбор точек на кривой;
• выбор конечной последовательности полуинтервалов ДУ1, ДУ2,..., ДУг, покрывающих некоторый полуинтервал Ду на оси ординат.
Пусть аналитически заданная на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат геометрическая кривая y = f (x) рассматривается на интервале (а, ß) оси абсцисс и
a = max f(x), b = min f(x).
На оси абсцисс выбираем полуинтервал [a,b) с разбиением на полуинтервалы [a, ci), [ci,c2), [c1-l5b), обозначая их ДУ1, Ду2, ДУ1. Геометрический образ определяется для начального фрагмента автоматного отображения, содержащего выбранное множество из k первых пар автоматного отображения. Для этого в соответствии с линейным порядком выбирается множество U последовательностей от первой до k-й U = {рьр2, • • • ,pk}• Область определения отображения hx ограничивается до множества U и для представления элементов множества U на оси абсцисс используются точки hx(p1), hx(p2), •••, hx(pk)• Для заданной кривой y = f(x) определяются последовательность точек f(hx(p1)), f(hx(p2)), •••, f(hx(pk))• Последовательность точек (hx(pi),f(hx(pi))), (hx(p2),f(hx(p2))), •••, (hx(pk),f(hx(pfc))) является геометрическим образом для k первых пар автоматного отображения • Для того чтобы последовательность (hx(pi),f(hx(pi))), (hx(P2),f(hx(p2))), •••, (hx(Pk),f(hx(pk))) рассматривать как часть геометрического образа автоматного отображения, каждой паре (p^, f (hx(p^))), 1 ^ i ^ k, геометрического образа с числовыми координатами сопоставляется пара (p^, yj), где f(hx(p^)) ^ДУз. автоматного отображения^ Таким образом, начальный фрагмент геометрического образа автоматного отображения построен Для построения геометрического образа полного автоматного отображения требуется определить задание взаимно однозначного отображения «в» на области определения рассматриваемой геометрической кривой линии y = f (x)
3. РЕКУРРЕНТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЕЧНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
При построении, анализе свойств и распознавании последовательностей существенным является рассмотрение взаиморасположения элементов^ Для решения задачи определения свойств последовательностей, базирующихся на анализе взаиморасположения элементов, разработаны два метода: метод получения числовых показателей для вариантов рекуррентных определений последовательностей и метод Z-рекуррентного определения показателей последовательностей на основе использования бинарного отношения^
Спектр числовых показателей рекуррентного определения последовательностей. Метод получения числовых показателей для вариантов рекуррентных определений последовательностей включает построение пяти уровней О0, Oi, О2, О3, О4 числовых показателей, в которых числовые показатели следующего уровня Oi+i углубляют характеристику взаиморасположения элементов в последовательности по отношению к предшествующему уровню О•
Для последовательности £ = (u(1), u(2),..., u(t),...) элементов из конечного множества U используется рекуррентная форма F(u(t — m), u(t — m + 1),..., u(t — 1)) = u(t)
Определение последовательности рекуррентной формой F (или последовательности рекуррентных форм) реализуется на основе совмещения переменных рекуррентной формы с элементами последовательности £ по правилу: для любого t, t > m (или t принадлежит рассматриваемому интервалу целых положительных чисел)
F(u(t — m), u(t — m + 1),..., u(t — 1)) = u(t). (6)
Рекуррентная форма (6) для случая, когда элементы последовательности £ представлены с использованием индексов элементов, принимает вид
F(zt + i, zt+2, . . . , zt+m) = zt+m+i .
По предположению независимые и зависимые переменные рекуррентных форм определены на конечном множестве и, т.е. рекуррентной форме Р соответствует конечное отображение вида р : ит — и. Это позволяет эффективно задавать рекуррентные формы, конечные семейства рекуррентных форм и правила их применения при определении последовательностей.
Спектр 0(£) для последовательности £ имеет 5 уровней: 0(£) = (00(£), 01 (£)), 02(£)), 03(£)), 04(£))). В спектре числовыми значениями представлены порядки рекуррентных форм, длины отрезков последовательности, определяемые отдельными рекуррентными формами и количества смен рекуррентных форм.
По определению О0(£) = т0(£), где т0(£) — наименьший порядок рекуррентной формы, определяющей всю последовательность £. На уровне 01 (£) спектра 0(£)) расположено т0 чисел (т0 £ N+), определяющих для порядков от 1 до т0 размеры наибольших начальных отрезков последовательности £, определяемых используемой рекуррентной формой.
Уровень 02(£)) содержит т0 чисел, показывающих, сколько раз для рассматриваемого порядка рекуррентных форм потребовалось заменять рекуррентные формы при определении последовательности £. На уровне 03(£)) каждое число смен рекуррентных форм, показанное на уровне 02(£)), заменено последовательностью чисел, представляющих длины отрезков, определяемых отдельными рекуррентными формами.
По построению спектр динамических показателей определения последовательности состоит из числовых значений:
• наименьшего порядка т0(£) рекуррентной формы, определяющей всю последовательность £;
• набор наименьших длин ¿1(£),^2(£),,..., ¿т°(£) префиксов последовательности £, задаваемых рекуррентными формами соответственно порядков 1, 2,..., т0;
• набор чисел г1 (£),г2 (£),..., гт° (£) смен рекуррентных форм порядков 1, 2, ...,т0, задающих всю последовательность;
• набор наборов длин
¿1 (£),4 (£),... ,^1(0+1(£М2(£М2 (£),... ,¿22 (0+1 (£).. (£) = 1£ I (7)
отрезков последовательности £ , где ¿т(£) — длина ]-го отрезка в определении рекуррентной формой порядка т последовательности £.
Используя введенные обозначения, определим спектр параметров, характеризующих последовательность, как следующую структуру:
• П0(£) = (т0 (£));
• «1(£) = (й(£),й(£),...^в(£));
• 02(£) = (г1 (£ ),г2 (£),..., га (£));
• Пз(£) = (^ (£), ^3 (£),..., ^з (£)), где а = т0 (£) и 03(£) =_ (¿1(£), ^ (£),..., 7 (£)) (п — номер последнего отрезка в определении последовательности £ как последовательности отрезков, определяемых отдельными рекуррентными формами порядка ]);
• 04(£) = В(03(£)), где В — оператор замены в 03(£) величин длин отрезков весами использованных рекуррентных форм для определения отрезков.
Четвёртый уровень 04(£) спектра 0(£) к характеристике последовательности £ по количеству изменений правил, определяющих взаиморасположение элементов в последовательности, и величинам областей действия правил, представленной на уровнях 01 (£)-03(£), добавляет оценки сложности правил и величины области использования правил. В достаточно общем случае можно вводить веса правил (рекуррентных форм) и веса реализации правил, используемых при определении отрезка. Например, для каждого шага применения рекуррентной формы Р(^0,^0, ) = , т.е. для
набора (¿0,^2) задается вес В(^0, , ) в числовой форме, и сумма весов всех шагов
применения рекуррентной формы для последовательности полагается весом последовательности.
Первые четыре уровня 00(£), 01(£), 02(£) и 03(£) спектра 0(£) характеризуют алгоритмические свойства определения последовательности £ и её строение.
Пример 1 (числовые показатели определены А. С. Епифановым). Пусть £п(п) и £п(е) — последовательности длины п цифр, представляющие начальные отрезки определения иррациональных чисел п и е. Для величины п = 1000000 выполняется отношение 00(£п(п)) ^ 00(£п(е)).
Пример 2 (числовые показатели определены А. С. Епифановым). Пусть £п(л/2) и £п(1п2) — последовательности длины п цифр, представляющие начальные отрезки определения иррациональных чисел ^2 и 1п 2. Для п е {50, 1000, 5000, 50000, 150000, 200000, 250000, 300000, 350000, 400000, 450000, 500000, 550000, 850000, 900000} выполняется равенство Оо(£„(л/2)) = Оо(£„(1п2)).
Это означает, что функциональная зависимость элемента (цифры) от предшествующих элементов в начальных отрезках длины п последовательностей, определяющих числа \[2 и 1п2, представлена одним и тем же количеством предшествующих элементов.
4. ^-РЕКУРРЕНТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Рассмотренные в п. 3 рекуррентные определения последовательностей и представление определений числовыми показателями на уровнях О0, О, ..., О4 позволяют дать тонкие характеристики формальных взаимозависимостей между знаками в последовательностях. Содержательная (и формальная) интерпретация зависимостей построена в форме функциональной зависимости. Для использования рекуррентных определений последовательностей в приложениях введем варианты новых Z-рекуррентных определений последовательностей. Для этого в «шаблон» функциональной зависимости элементов последовательности будем использовать не в форме
, • • •,
а в виде следующего бинарного отношения:
(8)
, • • • , ^г^ ) ^ <
' 7'
(г2 г2
К7 '•••'< )•
'4*2 ^ '72 )'
(9)
Форма Z-рекуррентного определения последовательности реализуется применением любой пары последовательностей из следующего набора пар:
((^1 ' ^2 ' • • • ' )' (г71 ' 7 ' • • • ' 72 ))'
((^1 ' ^2 ' • • • ' ^ )' (г71 ' ' • • • ' ))'
((^1 ' ^2 ' • • • ' ^ )' (г71 ' ' • • • ' 72 )) •
Z-рекуррентное определение последовательностей предоставляет более мощные характеристики взаиморасположения элементов в последовательности, чем рекуррентное определение последовательностей. Такие числовые характеристики позволяют использовать их при решении ряда вопросов: определение сложности взаиморасположения элементов в последовательности, распознавание на основе сравнения по сложности последовательностей выходных сигналов, построение классификации последовательностей по показателям сложности и др. Будем предполагать, что для формулы ^-рекуррентного определения последовательностей выполняются следующее отношение: 1 ^ ¿1 < ¿2 < • • • < , 1 ^ ¿1 < ¿2 < • • • < ^2 , к1 < , 1 < &2 и {¿1, ¿2' • • • ' 4^1 } П {¿1'Л2, • • •Л } = 0-Будем полагать, что Z-рекуррентное определение последовательности с заданным бинарным отношением р^ е Ш^ х Швыполняется для последовательности £ = (а1 ,а2, • • • ,ас), если для любых Ь от 0 до С - ^2 имеет место ((а^ ,«^¿2, • • • ,а<+гк1), (а*+л ,«^+72, • • • )) е р^.
5. Z-РЕКУРРЕНТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИЧИННО-СЛЕДСТВЕННЫХ СВЯЗЕЙ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СОБЫТИЙ
Употребляемыми схемами для представления причинно-следственных связей являются следующие схемы: <причина> ^ <следствие> и <группа причины: активная причина и причина-условие> ^ ^ <группа следствие: следствие 1 и следствие 2 (транслируемое условие)>. Если элементы последовательности £ = (и(1), и(2), • • •, и(Ь), • • •) интерпретировать как события, находящиеся в причинно-следственной зависимости, то уточнение структуры причинно следственных зависимостей можно
—>
определить на основе рекуррентного определения и Z-рекуррентного определения последовательности £. Форма (6) рекуррентного определения выражает функциональную зависимость с причинно-следственной интерпретацией событий от некоторых непосредственно предшествующих по времени или линейному порядку событий. Z-рекуррентное определение последовательностей является более мощным средством и имеет форму покрытия последовательности с преобразованием промежуточной формы последовательностей. Элемент Z-рекуррентно определяется в последовательности £ как элемент единого набора, соответствующего заданному бинарному отношению вида
(¿£+¿1, ¿£+¿2 , . . . , ), , ¿1+72 , . . . , ).
Покрытие последовательности £ при ^-рекуррентном определении последовательностей производится слева направо от начала последовательности £. ^-рекуррентная форма определяет последовательность £, если вся последовательность £ допускает покрытие наборами вида
71, ¿£+72,..., 7к2).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основными результатами статьи являются: метод оценки сложности последовательностей на основе рекуррентного и Z-рекуррентного определений последовательностей; метод оценки сложности геометрических кривых по выбранным на них последовательностям точек с использованием числовых показателей рекуррентных определений последовательностей таких точек; метод построения геометрических образов автоматного отображения и оценка его сложности по рекуррентному определению геометрического образа; новое Z-рекуррентное определение последовательности. Разработан метод определения структуры причинно-следственных связей событий, в котором используются рекуррентное и Z-рекуррентное определения последовательностей. Методы применимы для оценки сложности автоматных отображений, произвольных последовательностей, процессов событий.
Библиографический список
1. Твердохлебов В. А. Геометрические образы законов функционирования автоматов. Саратов : Научная книга, 2008. 183 с.
2. Твердохлебов В. А. Геометрические образы конечных детерминированных автоматов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 5, вып. 1. С. 141-153.
3. Твердохлебов В. А. Геометрические модели и методы в техническом диагностировании // Информационно-управляющие системы на ж.-д. транспорте. 1996. № 3/4. С. 58.
4. Твердохлебов В. А. Распознавание автоматов на основе геометрической интерпретации // Проблемы теоретической кибернетики : тез. докл. XI Междунар. конф. М. : Изд-во РГГУ, 1996. С. 8593.
5. Твердохлебов В. А. Дискретные словарные геометрии для анализа и синтеза математических автоматов // Докл. Акад. воен. наук. Сер. Аналитическая механика. Аналитическая теория автоматического управления. 1999. № 1. С. 100-112.
6. Tverdokhlebov V. A. The general features of geometrical images of finite state machines // Proc. East-West Design & Test Workshop (EWDTW'04). Kharkov : National University of Radioelectronics, 2004. P. 243-246.
7. Твердохлебов В. А. Дискретные системы и геометрические образы их функционирования // Автоматизация проектирования дискретных систем : материалы Пятой междунар. конф. Минск : Объ-
единен. ин-т проблем информатики НАН Беларуси, 2004. Т. 1. С. 217-226.
8. Твердохлебов В. А. Рекуррентность геометрических образов // Iнформацiйно-керуючi системи на залiзничному транспорта 2004. № 4/5 (48/49). С. 88-90.
9. Твердохлебов В. А. Конечные автоматы и анализ их геометрических образов // Проблемы теоретической кибернетики : тез. докл. XIV Междунар. конф., посвящ. 80-летию со дня рожд. С. В. Яблонского. М. : Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 2005. С. 153.
10. Твердохлебов В. А. Геометрические образы поведения дискретных детерминированных систем // Радюелектронш комп'ютерш сисеми. 2006. № 5(17). С. 161-165.
11. Твердохлебов В. А. Техническое диагностирование на основе геометрических структур законов функционирования // Радюелектронш i комп'ютерш системи. 2007. № 7. С. 158-167.
12. Твердохлебов В. А. Спектры для геометрических образов автоматов и их связь с последовательностями и фигурами // Дискретная математика и ее приложения : материалы IX Междунар. семинара. М., 2007. С. 409-412.
13. Твердохлебов В. А. Интерполяция геометрических образов автоматов в техническом диагностировании // Докл. Акад. воен. наук. 2007. № 1(25). С. 55-62.
14. Твердохлебов В. А. Геометрические образы законов функционирования автоматов и анализ
свойств автоматов // Дискретные модели в теории управляющих систем : тр. восьмой между-нар. конф. М. : Издат. отдел фак. ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. С. 301-305.
15. Tverdokhlebov V. A. Geometrical models of 18. automatons mappings and automatons // Вестн. Киев. нац. ун-та им. Т. Шевченко. Сер. физ.-матем. науки. 2011. Вып. 1. С. 202-207. 19.
16. Tverdokhlebov V. A. Geometrical approach to technical diagnosing of automatons // Proc. IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2011). Kharkov : National University of 20. Radioelectronics, 2011. P. 240-243.
17. Твердохлебов В. А. Геометрические модели и ме-
тоды распознавания автоматов // Интеллектуальные системы и компьютерные науки : материалы Х Междунар. конф. М. : Изд-во МГУ, 2011. С.168-171.
Твердохлебов В. А. Классификация геометрических образов автоматных отображений // Докл. Акад. воен. наук. 2012. № 5 (54). С. 97-105. Твердохлебов В. А. Основные теоремы для построения геометрических образов автоматных отображений // Радюелектронш 1 комп'ютерш си-стеми. 2013. № 5(64). С. 379-384. Твердохлебов В. А. Геометрические модели и методы распознавания автоматов // Интеллектуальные системы. 2013. Т. 17, вып. 1-4. С. 187-191.
The Geometric Form of Automaton Mappings, Recurrent and /-recurrent Definition of Sequences
V. A. Tverdokhlebov
Vladimir A. Tverdokhlebov, Saratov State University, 83, Astrakhanskayast., 410012, Saratov, Russia; Institute of Precision Mechanics and Control, Russian Academy of Sciences, 24, Rabochaya st., 410028, Saratov, Russia, [email protected]
For automaton mappings we present a method to construct geometric images, a method for complexity estimate by geometric forms, a method of Z-recurrent definition of sequences. A method for complexity estimate for finite sequences by recurrent and Z-recurrent numerical indicators is proposed. Numerical indicators of recurrent and Z-recurrent definitions of sequences are systematized into the spectrum of recurrent definitions with 5 levels of numerical indicators. The spectrum includes the order of a recurrent form, the numerical characteristics of various types of recurrent sequences, etc.
Keywords: automaton mappings, geometric images, recurrent sequence, Z-recurrent sequences, sequences, complexity estimate of a sequence.
References
1. Tverdokhlebov V. A. Geometricheskie obrazy za-konov funktsionirovaniia avtomatov [Geometric images of machines functioning laws]. Saratov, Nauchnaia kniga, 2008, 183 p. (in Russian).
2. Tverdokhlebov V. A. Geometricheskie obrazy konechnykh determinirovannykh avtomatov [The geometrical images of finite deterministic automata]. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2005, vol. 5, iss. 1, pp. 141-153. (in Russian).
3. Tverdokhlebov V. A. Geometricheskie modeli i metody v tekhnicheskom diagnostirovanii [Geometric patterns and techniques in technical diagnosis]. Informatsionno-upravliaiushchie sistemy na zh.-d. transporte, 1996, no. 3/4, pp. 58 (in Russian).
4. Tverdokhlebov V. A. Raspoznavanie avtomatov na osnove geometricheskoi interpretatsii [Recognition of machines based on the geometric interpretation.]. Problemy teoreticheskoi kibernetiki : tez. dokl. XI Mezhdunar. konf. [Problems of Theoretical Cybernetics : mes. rep. XI Intern. Conf.], Moscow, Izd-vo RGGU, 1996, pp. 85-93 (in Russian).
5. Tverdokhlebov V. A. Diskretnye slovarnye ge-ometrii dlia analiza i sinteza matematicheskikh av-
tomatov [Discrete geometry vocabulary for the analysis and synthesis of mathematical machines]. Dokl. Akad. voen. nauk. Ser. Analiticheskaia mekhanika. Analiticheskaia teoriia avtomatich-eskogo upravleniia [Dokl. Acad. Mil. Sciences. Ser. Analytical Mechanics. Analytical theory of automatic control], 1999, no. 1, pp. 100-112 (in Russian).
6. Tverdokhlebov V. A. The general features of geometrical images of finite state machines. Proc. East-West Design & Test Workshop (EWDTW'04), Kharkov, National University of Radioelectronics, 2004, pp. 243-246.
7. Tverdokhlebov V. A. Diskretnye sistemy i geometricheskie obrazy ikh funktsionirovaniia [Discrete systems and geometric images of their functioning]. Avtomatizatsiia proektirovaniia diskret-nykh sistem : materialy Piatoi mezhdunar. konf. [Computer-aided design of discrete systems : Proc. of the Fifth Intern. Conf.], Minsk, 2004, vol. 1, pp. 217-226 (in Russian).
8. Tverdokhlebov V. A. Rekurrentnost' geometrich-eskikh obrazov [The recurrent geometric images]. Informatsiino-keruiuchi cistemi na zaliznichnomu transporti, 2004, no. 4/5 (48/49), pp. 88-90 (in Russian).
9. Tverdokhlebov V. A. Konechnye avtomaty i anal-iz ikh geometricheskikh obrazov [Finite state machines and the analysis of their geometrical images]. Problemy teoreticheskoi kibernetiki : tez. dokl. XIV Mezhdunar. konf., posviashch. 80-letiiu so dnia rozhd, P. V. Yablonskogo [Problems of Theoretical Cybernetics : mes. rep. XIV Intern. conf., is dedicated 80th anniversary of birth. P. V. Yablonsky], Moscow, Moscow Univ. Press, 2005, pp. 153 (in Russian).
10. Tverdokhlebov V. A. Geometrical images of behaviour of the discrete determined systems. Radio-electronic and computer systems, 2006, no. 5(17), pp. 161-165 (in Russian).
11. Tverdokhlebov V. A. Technical diagnosing on the basis of geometrical structures of laws of functioning. Radioelectronic and computer systems, 2007, no. 7, pp. 158-167 (in Russian).
12. Tverdokhlebov V. A. Spektry dlia geometricheskikh obrazov avtomatov i ikh sviaz's posledova-tel'nostiami i figurami [Spectra for geometric images of machines and their connection with sequences and figures]. Diskretnaia matematika i ee prilozheniia : materialy IX Mezhdunar. seminara [Discrete mathematics and its applications : Materials IX Intern. workshop], Moscow, 2007, pp. 409-412 (in Russian).
13. Tverdokhlebov V. A. Interpoliatsiia geometricheskikh obrazov avtomatov v tekhnicheskom diag-nostirovanii [Interpolation geometric images in automatic technical diagnosis]. Dokl. Akad. voen. nauk [Dokl. Acad. Mil. Sciences], 2007, no. 1(25), pp. 55-62 (in Russian).
14. Tverdokhlebov V. A. Geometricheskie obrazy za-konov funktsionirovaniia avtomatov i analiz svoistv avtomatov [Geometric images of machines functioning of laws and analysis of the properties of
automata]. Diskretnye modeli v teorii upravli-aiushchikh sistem : tr. vos'moi mezhdunar. konf. [Discrete models in the theory of control systems : mp. Eighth Intern. Conf.], Moscow, Moscow Univ. Press; MAKS Press, 2009, pp. 301-305 (in Russian).
15. Tverdokhlebov V. A. Geometrical models of automatons mappings and automatons. Vestn. Kiev. nats. un-ta im. T. Shevchenko. Ser. fiz.-matem. nauki, 2011, iss. 1, pp. 202-207 (in Russian).
16. Tverdokhlebov V. A. Geometrical approach to technical diagnosing of automatons. Proc. IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'2011), Kharkov, National Univ. of Radioelectronics, 2011, pp. 240-243.
17. Tverdokhlebov V. A. Geometricheskie modeli i metody raspoznavaniia avtomatov [Geometric patterns and automatic recognition techniques]. In-tellektual'nye sistemy i komp'iuternye nauki: materialy Kh Mezhdunar. konf. [Intelligent Systems and Computer Science : Materials X Intern. Conf.], Moscow, Moscow Univ. Press, 2011, pp. 168-171 (in Russian).
18. Tverdokhlebov V. A. Klassifikatsiia geometrich-eskikh obrazov avtomatnykh otobrazhenii [Classification of geometric images automaton mappings]. Dokl. Akad. voen. nauk [Dokl. Acad. Mil. Sciences], 2012, no. 5 (54), pp. 97-105 (in Russian).
19. Tverdokhlebov V. A. Basic theorems for construction of geometric image of automatons mappi-ings. Radioelectronic and computer systems, 2013, no. 5(64), pp. 379-384 (in Russian).
20. Tverdokhlebov V. A. Geometrical models and methods of recognition of automata. Intelligent systems, 2013, vol. 17, iss. 1-4, pp. 187-191 (in Russian).
