Характеристический определитель в задаче синтеза оптимального управления транспортировкой нефти и газа по длинным трубопроводам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 152, кн. 1

Физико-математические пауки

2010

УДК 512.643.2

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ В ЗАДАЧЕ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТИРОВКОЙ НЕФТИ И ГАЗА ПО ДЛИННЫМ ТРУБОПРОВОДАМ

A.A. Балоев, П.А. Лазарева

Аннотация

Рассматривается характеристический определитель, возникающий в задаче синтеза оптимального управления транспортировкой нефти и газа по длинным трубопроводам. Раскрытие данного определителя традиционными приемами при учете в разложении решения трех топов и более представляет собой весьма трудную задачу, однако в настоящей работе характеристический определитель раскрыт в общем виде для любого числа топов и получено выражение, содержащее только четные степени переменной.

Ключевые слова: транспортировка нефти и газа, характеристический определитель. оптимальное управление.

Введение

Современная технология транспорта нефти и нефтепродуктов по схеме «из насоса в насос» превращает магистральный трубопровод в единую динамическую систему, требующую согласованной работы всех насосных станций, вследствие чего существенно возросли требования к надежности систем регулирования. Важное значение приобретает проблема управления нефтепроводами при неустановившихся процессах. Такие процессы в магистральном трубопроводе, вызванные изменениями гидравлического режима перекачки (остановка или пуск насосных агрегатов. изменение давления (расхода), отключение или подключение попутного сброса или подкачки и т. п.). сопровождаются распространением от источника возмущения волн повышенного и пониженного давления по всей трубопроводной системе.

Исследованию неустановившихся процессов в трубопроводах посвящено множество работ (см.. например. [1. 2]). Однако вопросы оптимального управления транспортировкой нефтепродуктов по магистральным трубопроводам остаются недостаточно разработанными [1]. В [3] рассматривается задача управления состоянием газопровода путем изменения давления в начале газопровода при неполном измерении по времени величины расхода потребителя. В [4] решается задача синтеза граничного управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам в следующей формулировке: найти такое зависящее от фазовых координат ф\(х,£), ф2 (х, управление и(¿), чтобы система

dt дх2

с граничными условиями

¿l(*,í)lx=0 = U (t), ^l(x,í)lx=l = P*(t) (1)

из начального ненулевого состояния

^i(x,í)|t=0 = фю(х), Ф2 (x,t)|t=0 = Ф20 (x) перешла в состояние

^1(x,t)|í=TO = ^2(x,t)|í=TO = 0 при минимальном значении функционала

i

/ (ci^2(x,t)+ C2^2(x,í)) dx + C3U2(t)

J = U 0

dt, (2)

где Ф1 (ж, ¿) - отклонение давления от установившегося значения, Па; и(£) - управляющее воздействие, Па; р*(£) - наперед заданная функция времени, Па; с - скорость звука в среде, м/с; а - коэффициент гидравлических потерь; I - длина трубопровода, м; с^ - весовые коэффициенты.

Для сведения граничных условий (1) к однородным вводится новая функция </>1 такая, что

— ж ж_I

= Фг{х,±) + -р* - —¡—и-

Для решения данной задачи используется вариационный корневой подход с применением универсальной формы записи [5]. В [4] получены необходимые условия экстремума функционала (2):

д2Ф1 2д24>1 0 дфх ж.. ж. ж -I •• ж -I ■

= - тр* - 2аТр* + —и + 2а—и> (3)

d2A2 2 d2A2 dA2 2 d2<^1 дф ~

-¿¿г =+ + - -аг - -

x x x_l x_l

- 2aco-p* - cijP* + ?a,C2——U + ci~—U, (4)

c3 dx

с граничными условиями

ф1 (0, t) = ф (l, t) = 0, A2 (0, t) = A2 (l, t) = 0.

Здесь A1, A2 - вспомогательные функции Лагранжа.

Уравнения (3), (4) решаются методом Галеркнна, решения ищутся в виде

ф1(М)= f (x)h(t), A2(x,t)= f (x)q(t), (5)

где /(ж) = [/i(ж),..., /п(ж)] вектор-строка базисных функций, /¿(ж) = sin (^у*) <

i = 1, 2,. ,.,n; h(t) = [h1 (t),..., h„(t)]T, q(t) = [q1 (t),..., q„(t)]T - подлежащие определению векторы; n - количество топов, удерживаемых в разложениях (5).

С учетом (5) система уравнений (3). (4) в матричной форме примет вид:

Z = AZ + B(t), (6)

где 4п-мерный вектор Z, (4n х 4п)-мерная матрица A и 4п-мерный вектор B таковы, что

Z

'h 0n,n En 0n,n 0n,n

X , A = a 2 ai a4 аз

q 0n,n 0n,n 0n,n En

Y . b4 -b3 b2 b1

, B(t)

0n

а>ьР*ф(Ъ) - a6p*\(t)

0n

bhP*x(t)

Здесь En - единичная матрица размерности (n х n), 0n,n - нулевая матрица размерности (n х n), 0n — n-мерный нулевой вектор,

v _ dh _ dq

Р*ф(t) = p*(t) + 2ap*(t), p*x(t) = 2ac2p*(t) + cip*(t),

ai = 2a {ricohfo - En), a2 = -r2/0 + /2/о diag (rir2c2r + rici) ,

i i. n

2

a3 = 2a (rjnc2 - 2?ч) /2/o, a4 = >4/2/0diag (r2r + ricin) , 05 = -ii,

j=l,n 7r

o6 = —rihfoh, b 1 = -ab b2 = -»'2-fo - ricihfo, b3 = 2ac2En n

2

64 = -diag (ci + r2c2r) , 65 = -il-¿=— t

Причем /о = diag (i2) - матрица (n x n), n-мерные векторы

i=1,n

/1 =

1

-1 2

( —1)n

1

1 2

-мерная вектор-строка f0 = [l 2 ... n]

2c2

Г1 = -7, i'2 =

C3I

cV /2 '

Характеристический многочлен системы (6) имеет вид: |A - AE4n| =

-AEn En 0n,n 0n,n

a2 ai — AEn a4 a3

0n,n 0n,n —AEn En

b4 — Ьз b2 b1 — AE

0.

(7)

(8)

Раскрытие данного определителя порядка (4п х 4п) традиционными приемами представляет собой весьма трудоемкую задачу. Так, например, при учете в разложении решения трех тонов он приобретает двенадцатый порядок. Однако в данной работе определитель (8) раскрывается в общем виде для любого числа топов п.

n

n

1. Раскрытие определителя

Для раскрытия определителя блочной матрицы (8) воспользуемся формулой Фробениуса [6. с. 59]:

|A _ AE4„| = Д =

_AE„

Я2

а1 — AEn

0n,n 0n,n 64 —63

_AE„ 62

-AEn

Я2

61 _ AEn

E„ a1 — AEn

-1

0n,n 0n,n 04 03

0.

Рассмотрим первый определитель правой части в (9):

_AEn En

02 01 — AEn

|_AEn

[01 _ AEn] _ 02[_AEn] Er

01A _ A2En + 02

= (_1)nAn

A

= (_i)n|Q|, (10)

где

Q = _а2еп + а1А + а2.

Далее найдем обратную матрицу в (9) (см. [6]):

1 г ■diag(A-1) 0п,п

0П,П AQ 1

-AEn En 02 01 — AEn

En _ Q-1a2 _AQ-1 02/A En

- (E, - <3_1a2) ^ Q-1 Q-1a2 AQ-

(H)

Теперь подставим (10) и (11) в (9):

Д = (_i)n|Q|

—AEn En 62 61 _ AEn

Q-102

1

A

[0n. n 0n.n

64 —63 x

Q -1 0n.n 0n.n

AQ -1 04 03

(_1)n|Q|x

—AEn En

62 _ (64 _ 63A)Q-1a4 61 _ AEn _ (64 _ 63A)Q-103

= |Q| I61A + 62 _ A2En _ (64 _ 63A)Q-1 (03A + 04)! =0. (12)

Исследуем определитель | Q |, где

Q = —A2 En + 01A + 02 =

= -A2En + 2a (fícobfo ~ E>) A - r2Io + /2/0 diag (rir2c2r + rici) ,

i=1,n

то есть

Q = I2 /0 diag (A) + diag (á¿).

г=1 ,n г=1 ,n

x

где

вг = 2ariC2A + Г1Г2С2«2 + rici, оц = - (А2 + 2aA + ^¿2) . Обозначим

Co = 2aric2, В = ri (r2C2«2 + ci) , Aj = r2«2, a = A2 + 2aA + Aj.

Тогда

вг = CoA + Bj, CKj = -aj. Определитель |Q| согласно (13) примет вид:

|<3| = \hPi + «1 B22/32 + a2 ... Ion/Зп + an |,

где n-мерный столбец

= [О ... 0 6ц 0 ... 0]Т, ¿=1,2,..., п.

Так как столбцы определителя |Q| представлены в виде суммы двух слагаемых, то можем представить его в виде суммы определителей. Среди полученных слагаемых равны нулю те, у которых имеется более одного столбца, содержащего ^2гвг • Это обусловлено тем, что при вынесении общих множителей столбцов ¿вг в данных определителях обнаруживаются два и более одинаковых столбца I2. Таким образом, путем вышеприведенных преобразований получаем:

|<3| = \hfii + «1 h^/h + a2 ... /2?г/Зп + ап \ =

= 1 • l/3ia2 .. . a„ + -2/32aia3 • • • a„ + . .. Н--nj3nai . .. a„_i + ai . .. a„

2n

= ei«2 ... + в2сцскз ... + ... + впа .. . an-i + ai . .. а„ Введем обозначения:

n n n

Л = (-1)^ aj, Лг = (-1)n-in aj, Лу = (-1)n-2 П .

(14)

j=i

j=i

j=®

fc=i k=i,j

Тогда

|Q| = ^ вгЛг + Л.

(15)

¿=i

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы Q, не стоящих на главной диагонали (г = ]). Заметим, что в алгебраическом дополнении Д^ в ¿-м столбце отсутствует слагаемое а. Поэтому при преобразовании определителя к сумме определителей все слагаемые, содержащие к = ¿, будут равны нулю. Та-

ким образом, приходим к виду

0 0

Дг,

"i . . I2i /огвг 0

0. . I2(i-i) ЛгА 0

0. . I2(i+i) /0гвг аг+i

0. . I2j /огвг 0

0. . I2(j+i) ЛгА 0

0 0 0 0

00

0 "j+i

(16)

В определителе (16) остался один столбец, содержащий 12/0гвг, остальные элементы диагональные, за исключением области, образуемой строками под номерами (г + 1) и ] и столбцами г и (] — 1), где элемен ты ак находятся над главной диагональю. Раскладывая определитель (16) по элементам столбцов от 1 до (г — 1) и от (] + 1) до п-го, получаем

12(г+1) ЛгА СЦ+1 0

л ~ 12(г+2) /огвг 0 СЦ+2

12з /огвг 0 0 Далее продолжим разложение по элементам ]-к строки:

аг+1 0. . 0

Ац = (-1)г+3а.1 . .. аг_1ац+1 .. . ап12ц/огвг 0 аг+2 . . 0

0 0. . аз_1

Ввиду того, что элементы ак находятся над главной диагональю, сумма их индексов всегда нечетная, поэтому получаем

Ац = (-1)г+3&1 ... 0.1-10.3+1 ... ап12ц/огвг(- 1)аг+1( — 1)&г+2 ... (-1)сц_1 =

= {_1у+1+и- а,л = (-1)2!-1- П (-1КА = --А.Л.

к=1 к=г,3

к=1 к=г,3

то есть

Ац = --/3;Л.у, г ^ ], г, у = 1,2,..., п.

В случае, когда г = j, но аналогии с (14) получим, что

п

А33 =53 вгЛгз + Л3, j = 1, 2,..., п.

г= 1 г=3

В таком случае обратная матрица

'811 812 . . . 81 п

821 822 . . . 82п

8п1 8п2 . . . 8пп

где 8ц = Азг.

Рассмотрим произведение, которое будет использовано далее:

8ц /2/0

j_1 2£ 813j_1

з=1 з=1

п!2 8цj 1

3=1

£ 8пцj 1 2£ 8пцj 1 ... п £ 8пцj

ц=1 ц=1 ц=1

-1

(17)

Элемент матрицы преобразуем следующим образом:

¿-1

¿-1

= Х-' л - + 7й- + Е = Х-' Т',;Л ; +

3=1 3=1 ¿=¿+1 3=1

/ и \ п

1 I ^ „ . . \ ^ .-13 ~ . 1

¿-1

\3=1,3=г / 3=г+1 3=1

Тогда имеем:

п Е в3 л

Г Л1 2Л1 ... пЛГ

^¿312/о = 2 ^ Л2 п ... -Ао 2 ^

1 —л„ п 2 —л„ п ... Ли

3=г+1

/ I. п

Определитель (12) с учетом (7). (17) и (18) запишется в виде:

Д =

7^7 + /2/о + (На£ ( <5,

Iе» I г=1,п

(18)

(19)

где

5 = ^ (в¿Л¿) 12 =

¡31Л1 \[ЗоАо ... —/ЗпАп

2 п

I) = /о(Пае (В0А + А) = [ ДзА + А 2 (АА + А) ... гг (АА + А) ],

/ 1. п

/о = /о (СоА + Ао), 5г = —а¿, а = А2 - 2аА + A¿, Ао = Г1С1,

А = 2а (Г1ПС2 — 2), Вг = Г2%2 + Г1С1П, % = 1, 2,..., п. Введем обозначения:

Л = (—1)пП а, л г = (—1)п-1П а, л ¿3 = (—1)п-2]

«к,

3=1

3=1

3=г

к=1 k=¿,3

Л = ЛЛ, Лг = ЛгЛг, ^ = Лгз Лгз.

Запишем определитель (19) в виде

п п пи

Д = Д1г + Д2г + X) Дзгз + 1^1Л,

¿=13=1

3=г

где

(20)

]Гдн = М]Г

¿=1

¿=1

¿1 ••• £-1 ¡о!5'-0'' -¿+1 ••• -г-

^АвД ¿, (21)

¿=1

3

¿=1.п

п п п

]ГД24 = МЕ|^ ••• ^/к ¿+1 ••• 1„| = -|^1(СоА + АО)^Л4,

г=1 г=1 г=1

(22)

ЕЕАзгз = мЕЕ

г=1 3=1 г=1 3=1

3=г 3=г

1

••• 101'

-1 • • • тттт6'-0* • • • Ыч ■ ■ ■ й.г,

п-1 п

= (Оо\ + Ао) Е Е (°г - )(вга3 - 3а*)&3. (23) г=1 3=г+1

Здесь

¿=[0 ... 0 0 ... О ]Т, I): I) Л ■ /Л.

С учетом (21)—(23) можно переписать (20) в виде:

пп

А = Е Я гвгЛ г - М (СоЛ + Ао) Е Л г +

1

п-1 п

+ (СоЛ + Ао) Е Е (°г - )(вга3 - 3«¿)Лщ + ^Л. (24)

г=1 3=г+1

В (24) согласно (15) имеем:

пп

1^Е Лг = Е вгЛ^ Л3 3 (25)

г= 1 г= 1 3 = 1 3= 1

МЛ = Е вгЛгЛ + Л. (26)

г= 1

Далее для (25) имеем:

пп

Е вгЛ^ Л3 = вЛ^ Л3 + в2Л2Е Л3 + ... + впЛпЕ Л3 = г=1 3=1 3=1 3=1 3=1

= в1 (Л1 + «2^1^ 12 + ... + апЛ1Л 1п) + в2 (а1а2Л21 + Л2 + ... + «п<Л2Л2п) +

+ ... + вп (а.1ЛпЛп1 + а2ЛпЛп2 + ... + Лп) =

п п_1 п п г_1

Е вгЛг + Е &3 «гЛ3 + Е а3 ЛгЛ3 . (27)

г= 1 г= 1 3=г+1 г= 2 3= 1

Преобразуем последнее слагаемое в (27). Обозначим а = г - 1:

п г_1 п— 1 а

^в^^З а3г3 = 53 @а+1^2 0-3Ла+1Ла+1,3 .

г=2 3=1 а=1 3=1

Изменим очередность суммирования:

п— 1 а п— 1 п— 1 п— 1 п— 1

Ева+1Е Ла+1Ла+1,3 = Е Ева+1"3Ла+1Ла+1,3 = Е Е вj+1aiaj+1Лj+1,i, а=1 3=1 3=1 а=3 г=1 3=г

то ость

п г_1 п_1 п_1 п_1 п

а3лгЛ3 = ^ в3+1Л3+1Л¿,3+1 = Е аг Е в3«3Л¿3. ^

г=2 3= 1 г=1 3=г г= 1 Д=г+1

Объединяя второе слагаемое в (27) и (28), получим:

п-1 п п г-1 п-1 п п-1 п

Е а3ЛгЛ¿3а3^¿3 = Е Е а3^¿3Е в3«3Л¿3 =

г= 1 3=г+1 г=2 3=1 г= 1 3=г+1 г= 1 3=г+1

п-1 п

= ^ ^ (вг«3 «г + агвв «3) Лг3,

г=1 3=г+1

поэтому

п п п п— 1 п

Е вгЛ^ Л3 = Е вгЛг + Е Е (вг"3«г + «гв3«3) Лгц. (29)

г=1 3=1 г=1 г=13=г+1

Далее в (25)

пп

Л£А г = оД г. (30)

г=1 г=1

Кроме того, в (26)

пп

ЕвгЛгЛ= вг«гЛ г. (31)

г= 1 г=1

Таким образом, из (24) с учетом (25). (26). (29) (31) находим, что

п I п п_1 п

А = Е Вгвгкг - (СоЛ + Ао) I ^ вгЛг ^ X! (вга3«г + агв3«3)Л3 -г=1 \ г=1 г=1ц=г+1

п \ п п— 1 п

агЛЛ - вг«гЛг + Л + (СоЛ + Ао) ^ ^ (Яг - Бц) (вг«з - в3аг) Лгц . г=1 / г=1 г=1 ц=г+1

Объединяя слагаемые, запишем, что

п

А = ^ (Б гвг - вгЛг - (СоЛ + Ао) (вг - аг)) Л г +

п-1п

(( П' - Яд ) (вгац - вц аг) - вгац «г - агвц «3) ЛгД

+ (СоЛ + Ао) Е Е ((Яг - Бц) (вгац - вц«г) - вг«з«г - агвц«ц) Лгц + Л. (32)

г=1 3=г+1

Введем обозначения:

Бгз = Б г - Бц,

Ог = (БоЛ + Бг - «г - СоЛ - Ао) вг + (СоЛ + Ао) «г = (Бгц - «г) вгац - (Бгц + «ад) вцаг.

Тогда для (32) имеем:

п п- 1 п

Д = Е ОД¿ + (СоА + Ао)Е ]Г БцЛ¿3 +Л. (33)

¿=1 ¿=1 ¿=¿+1

Заметим, что

Ад = Г2 (г2 — 32) = A¿ — Ад-,

поэтому

А3 — А = — А3; А3 + А3 =

Следовательно,

<§¿3 = (А3 — А2 + 2аА — А^ в¿аз — (А3 + А2 — 2аА + А3) в3 а¿ = = (—А2 + 2аА — А3) в¿а3 — (А2 — 2аА + А^ в3 а¿ =

= —«3в¿ад• — «¿в3а¿ = — («3в¿ + «¿в3),

где

а¿ = а¿а¿ = (А2 + 2аА + A¿) (А2 — 2аА + A¿) = (А2 + A¿)2 — 4а2А2. Рассмотрим в (33) выражение

п-1 п п-1 п п-1 п

Е Е <¿3 л ¿3 = —ЕЕ («¿в*+«3 а) л ¿3 = —Е Е (в3 л,-+в¿л¿), (34)

¿=1 3^+1 ¿=1 3^+1 ¿=1 ^¿+1

где

Л¿ = «3 л ¿3, л 3 = «¿л ¿3.

Далее преобразуем слагаемые в (34):

п- 1 п п п п п

Е Е в3 л3 = Е в3 л3 + Е в3 л3 +... Е в3 л3 + Е в3 л3 =

¿=1 3^+1 3=2 3=3 3=п-1 3=п

п

= вплп (п — 1) + вп-Дп-1 (п — 2) + ... + взл3 • 2 + в2л2 • 1 = Е (% — 1) в¿Л¿,

¿=2

п- 1 п

Е Е в¿Л¿ = в1л 1 (п — 1) + в2л2 (п — 2) + ... + вп-Дп-1 • 2 + вплп • 1 =

¿=1 3^+1

п-1

(п

1

= Е(п — %) в¿л ¿.

Тогда (34) примет вид:

п- 1 п п п- 1

Е Е <¿3л¿3 = — Е(% — 1)в¿л¿^Е(п—%)в¿л¿ =

¿=1 3^+1 V¿=2 ¿=1 )

= — Е (% — 1) в¿л ¿ + (п — 1) впл п + (п — 1) вд 1 + Е (п — %) в¿л ¿ =

¿=2 ¿=2

(п-1 \ п

Е (п — 1) в¿л ¿ + (п — 1) впл п + (п — 1) вД 1 = — (п — 1) Е в¿л ¿.

¿=2 ¿=1

Таким образом, для (33) имеем:

n n

Д = ЕGiÂi - (n - 1) (CcA + Ac)^Mi +Â =

¿=1 i=i

n

= Z) [(Di - "i - CcA - Ac) Pi + (CcA + Ac) ai - (n - 1) (CcA + Ac) A]Âi + Â =

¿=1

n

= Z KDi - "i - n (CcA + Ac)) pi + (CcA + Ac) Âi + Â. (35) i=i

Распишем следующее выражение в (35):

Di - "i - n (CcA + Ac) = (2arinc2 - 4a) A + r2i2 + ricin -

- A2 + 2aA - r2i2 - 2arinc2A - ricin = -A2 - 2aA. Тогда (35) преобразуется к виду:

Д = Z [(-A2 - 2aA) pi + (CcA + Ac) a^Âi + Â :

i=i

= £ [(СоА + (-А2 - 2аА) + (СоА + Ао) (А2 + 2аА + A¿)} А< + Л. (36) ¿=1

Раскроем в (36) выражение под знаком суммы:

(СоА + Б¿) (—А2 - 2аА) + (СоА + Ао) (А2 + 2аА + A¿) =

= (^ + Ао) А2 + (2а (Ао - B¿) + CоA¿) А + AоA¿ = = (-Г1Г2С2«2 - Г1С1 + Т1С1) А2 + (2а (Т1С1 - Т1Т2С2«2 - Т1С1) + 2ат1Т2С2«2) А +

+ С1Г1Г2«2 = -Г1Г2С2«2А2 + Г1Г2С1«2. (37)

С учетом (37). (36) примет вид:

п

Д = ^ Y¿А ¿ + А, (38)

¿=1

()

^ = Т1Т2'12 (С1 - С2А2) .

Таким образом, нами раскрыт характеристический определитель (8) системы (6) в общем виде, причем в полученном выражении присутствуют только четные А

Рассмотрим пример.

Пусть п = 3. В этом случае характеристический определитель имеет двенадцатый порядок:

|A - AEi2| =

— AE3 E3 O3, 3 O3,3

a2 ai — AE3 a4 a3

0з,з 0з,з -AE E3

b4 -b 3 b2 bi — AE3

Запишем выражения

«1 = А2 +2аА + г2, «2 = А2 + 2аА + 4г2, «3 = А2 + 2аА + 9г2

«1 = А2 — 2аА + г2, «2 = А2 — 2аА + 4г2, «2 = А2 — 2аА + 9г2

Тогда

3

Г3

л = ( —1)3П «3 = — (А2 + 2аА + г2) (А2 + 2аА + 4г2) (А2 + 2аА + 9г2)

3=1

л1 = (А2 + 2аА + 4г2) (А2 + 2аА + 9г2) , л2 = (А2 + 2аА + г2) (А2 + 2аА + 9г2) , л3 = (А2 + 2аА + Г2) (А2 + 2аА + 4Г2) ,

3

л = ( —1)3 П «3 = — (А2 — 2аА + г2) (А2 — 2аА + 4г2) (А2 — 2аА + 9г2) ,

3=1

л 1 = (А2 — 2аА + 4г2) (А2 — 2аА + 9г2) , л2 = (А2 — 2аА + г2) (А2 — 2аА + 9г2) , л3 = (А2 — 2аА + г2) (А2 — 2аА + 4г2) .

Затем найдем

л = лл = А12 + (—12а2 + 28г2) А10 + (48а4 + 294г^ — 224а2г2) А8 + + (—64а6 + 448а4г2 — 1568а2г2 + 1444г3) А6 + (3409г4 + 1568а4г2 — 4624а2г3) А4 +

+ (—5572а2г4 + 3528^) А2 + 1296г6,

л 1 = л1л 1 = А8 + (—8а2 + 26г2) А6 + (16а4 + 241г^ — 104а2г2) А4 +

+ (—388а2г2 + 936г3) А2 + 1296г4,

л2 = л2л2 = А8 + (—8а2 + 20г2) А6 + (16а4 + 118г^ — 80а2г2) А4 +

+ (—328а2г2 + 180г3) А2 + 81г4,

л3 = л3л3 = А8 + (—8а2 + 10г2) А6 + (16а4 + 33г^ — 40а2г2) А4 +

+ (—68а2г2 + 40г3) А2 + 16г4.

II наконец найдем

71 = г1г2 (с1 — С2А2) , 72 = 4Г1Г2 (с1 — С2А2) , 73 = 9Г1Г2 (с1 — С2А2) .

Д

Д = 71л 1 + 72л 2 + 73 лл 3 + л = А12 + (28г2 — 12а2 — 14Г1Г2С2)А1° +

+ (294г2 + 112г1г2 С2а2 + 48а4 — 224а2г2 — 196г1г^С2 + 14г1г2С1)А8 + + (—112г1г2С1а2 — 1010г1г3с2 + 784г1г^С2а2 — 1568а2г^ + 448а4г2 + 1444г3 +

+ 196rir2ci - 224rir2c2a4 - 64a6)A6 + (-4624a2rf + 2312rirfc2a2 - 2016rir|c2 + + 1568a4r2 - 784rir2cia2 + 1010rir|ci + 224rir2cia4 + 3409r4)A4 + +(-2312rir|cia2+3528r5-1764rir5c2-5572a2r4+2016rir4ci)A2 + 1764rir5ci + 1296r6. Нами раскрыт характеристический определитель двенадцатого порядка.

Заключение

В работе раскрыт в общем виде характеристический определитель порядка 4n х 4n, возникающий в задаче синтеза оптимального управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам. Полученный результат позволяет учитывать любое число топов n в разложении решения задачи.

Summary

A.A. Baloev, P.A. Lazareva. Characteristic Determinant in the Problem of Optimal Control Synthesis for Oil and Gas Transport through Long Pipelines.

In this paper we consider the characteristic determinant which arises in the problem of optimal control synthesis for oil and gas transport through long pipelines. Expansion of the determinant with traditional methods accounting for three or more tones in expansion of the solution is a very difficult task, but in this paper characteristic determinant is expanded in general way for any number of tones, and we obtained an expression that contains only even powers of the variable.

Key words: oil and gas transport, characteristic determinant, optimal control.

Литература

1. Гусе.йнзаде. M.A., Юфии В.А. Неустановившееся движение нефти и газа в магистральных трубопроводах. М.: Недра, 1981. 232 с.

2. Чарный И,А, Неустановившееся движение реальной жидкости в трубах. М.: Л.: Гос. изд-во техп.-теор. лит., 1951. 223 с.

3. Ибрагимов С.И. Об оптимальном управлении процессами в газопроводах // Техп. кибернетика. 1985. 3. С. 201 204.

4. Балоео А.А., Мурга Л.О. Синтез управления транспортировкой углеводородного сырья по длинным трубопроводам // Вестп. КГТУ им. А.Н. Туполева. 2004.

1. С. 50 56.

5. Балоео А.А. Универсальная форма записи решения системы липейпых неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Изв. вузов. Матом. 1991. 11. С. 6 13.

6. Гаи'пшахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

Поступила в редакцию 07.12.09

Валоев Арнольд Андреевич доктор технических паук, профессор кафедры автоматики и управления Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева.

Лазарева Полина Александровна аспирант кафедры автоматики и управления Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева. E-mail: polina.lazaremail.ru