Об использовании спектров графов автоматов в задаче определения функции выходов по вероятностям биграмм в выходной последовательности Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕКТРОВ ГРАФОВ АВТОМАТОВ В ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ВЫХОДОВ ПО ВЕРОЯТНОСТЯМ БИГРАММ В ВЫХОДНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

С.Ю. МЕЛЬНИКОВ. Стэл - Компьютерные Системы, канд. физ.-мат. наук

Пусть A - конечный автономный вероятностный автомат Мура [1], A = (S', Y = {0,1}, H, f), где S = {sp s2, ..., sn} - множество состояний, H- дваждыстохастическая квадратная порядка n матрица. Будем предполагать, что начальное распределение на множестве состояний является равномерным. Автомат A из состояния s переходит в состояние s с вероятностью H(s, s ). Функция выходов f определена на множестве состояний S и принимает значения из множества вероятностных мер на алфавите Y. Обычно эта функция задается матрицей размера | S |х| Y |, (s, у), элемент которой равен вероятности появления на выходе символа у, если автомат перешел в состояние s. В силу стохастичности этой матрицы в нашем случае Y = {0, 1} функция f: S ^ [0, 1] задается вектором-строкой f = (f(s1),fs2), ..., fsn)), 0 < As) < 1. При этом автомат выдает на выходе символ 1 с вероятностью f(s), символ 0 с вероятностью 1 - As).

В ряде работ, связанных с распознаванием автоматов и анализом генераторов случайных чисел, изучается задача восстановления неизвестных параметров автомата по значениям (или их статистическим оценкам) вероятностей определенных событий в выходной последовательности [2, 3]. В работе рассматривается частный случай такой постановки. Матрица H предполагается заданной, а функция выхода f - неизвестной и подлежащей определению по вероятностным свойствам выходной последовательности.

В качестве известных вероятностных свойств выходной последовательностиу1^,j=0,1, ... будем предполагать заданными значения вероятностей P(I) биграмм 1. = {у() = 1, yi]+t) = 1}, t = 1,2, ..., m. Очевидно, в рассматриваемом случае эти значения не зависят от ).

Представление вероятности биграммы It в виде квадратичной формы

Утверждение 1

Справедливы соотношения

P (It ) = - fHtfT = — f (Ht +(h

n 2n V v

t = 1,2, .. . (1)

Доказательство

По формуле полной вероятности

P (I )= P ({j =1. У) + = l})=! P (s,s )f (s) f (s).

(s’s)

где P(s, s ) - вероятность того, что s является )-м, а s - (j + ,)-м членами в последовательности состояний автомата. Вероятности переходов за t шагов определяются матрицей Ht. Поскольку начальное вероятностное распределение на множестве состояний автомата равномерное, то в силу предположения о дваждыстохастичности матрицы H имеем

P (I ) =11H (s, s')f (s ) f (s) =

n (s,s)

= - fHtfT = — f (Ht +(H n 2n

Утверждение 2

Пусть матрица H является симметрической и все ее собственные числа различны. Тогда системы уравнений относительно вектора неизвестных f вида

{(It) =1 fHtfT , t = 1,2,...m (2)

n

при m = n, n + 1, n + 2, ... эквивалентны между собой. При m > n количество решений системы (2) не превосходит 2n.

Доказательство

Пусть {А, А ..., An} - множество всех собственных чисел матрицы H. Пусть L - ортогональная порядка n матрица такая, что

LHLT = D = Diag{\, Ау ..., An}.

Осуществляя в (2) замену f = VnuL, получаем заведомо совместную систему уравнений относительно и.

l

P (I,) = uDtuT =^Ад2, t = 1,2, ...m . (3)

i=1

Система (3) линейна относительно переменных w. = и2

l l

P (11 ) = ЕАХ-, t = 1,2,...m . (4)

i=1

Определитель подсистемы из первых n уравнений есть определитель Вандермонда и в силу условия А. Ф Aj отличен от нуля. Поэтому эта подсистема имеет единственное решение

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

153

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

(Wj(0), w2(0), ..., wn(0)). Уравнения системы (4), соответствующие номерам t > n, являются следствием первых n уравнений. Поэтому все такие системы при m = n, n + 1, n + 2, ... эквивалентны между собой. Возвращаясь к переменным и. по правилу

и(0) = ±Jw(0) ,

заключаем, что система (3), а вместе с ней и исходная, имеет не более 2n решений.

Спектры неориентированных степеней графов де Брейна и ранги квадратичных форм, соответствующих регистрам сдвига со случайным входом

Случай, когда матрица переходов автомата не является симметрической, представляется значительно более сложным. Не все матрицы Ht + (Ht)T, t = 1,2, ... могут оказаться одновременно диагонализуемыми [7], и описывающие вероятности биграмм квадратичные формы могут не приводиться одновременно к сумме квадратов.

Под спектром и характеристическим многочленом графа (псевдографа) мы понимаем соответствующие характеристики его матрицы смежности.

В определенной степени сложность квадратичного уравнения (1) характеризуется рангом квадратичной формы, т.е. минимальным количеством переменных квадратичной формы, которое может быть получено при всевозможных невырожденных линейных преобразованиях вектора неизвестных. Ниже мы вычислим спектры t-х неориентированных степеней двоичного графа де Брейна и получим выражения для рангов квадратичных форм, соответствующих биграммам It для двоичного регистра сдвига с накопителем размера n и случайным равновероятным входом и тремя вариантами законов движения информации по накопителю. Ранг квадратичной формы, описывающей вероятность биграммы It, можно трактовать как число ненулевых элементов в спектре графа, являющегося t-й неориентированной степенью графа переходов исходного автомата. Метод, примененный для вычисления спектров t-х неориентированных степеней графа де Брейна, является развитием подхода [4] и использует преобразование унитарного подобия матрицы смежности графа. Для случая t = 1 спектр неориентированного графа де Брейна получен в [5] и [4].

Пусть Vn - пространство n - мерных q-ич-ных векторов, q = 2,3, ..., n = 1,2, ... Графом Gn де Брейна степени n называется ориентированный

граф с множеством вершин Vn, содержащий дугу, выходящую из вершины (а а2, ..., an) и заходящую в вершину (Р Р2, ..., Pn) в том и только в том случае, когда (а1, а2, ..., аД = (Р1, Р2, ..., Pn-1). Пусть G '- орграф, полученный из Gn изменением направления всех дуг на противоположное. Граф де Брейна обычно интерпретируется как граф переходов q-ичного сдвигового регистра с накопителем размера n при сдвиге заполнения на одну ячейку. Псевдограф (содержащий петли и кратные ребра) G = G u G' называется неориентированным графом де Брейна.

Пусть GJ - t-я степень графа де Брейна, т.е. граф переходов сдвигового регистра с накопителем размера n при сдвиге заполнения на t ячеек. Псевдограф G() = (Gn )t u (G^) будем называть t-й неориентированной степенью графа G При t = 1, очевидно, G(t) = Gn, при t > n граф G() является полным, с кратностью каждого ребра 2qt-1.

Введем следующие квадратные размера qn матрицы, столбцы и строки которых занумерованы векторами а и р из Vn в лексикографическом порядке (операции сложения и умножения производятся над полем комплексных чисел)

f1, если а2аз ап =Pifi2 Pn-1 , ар ар I Овпротивномслучае

Б(‘) = B‘ + (B ‘)T,

1,если а, = Р =

= < = 0 и a2aз...an =P1P2...Pn-1,,

0 впротивномслучае

B = (b в), b

n \ ар _/? а

C =(c Д

n \ ар /’

ар

C(t) = C ‘ + (C У, К = (к и), к в = 8<а, Р>,

n n х n' ^ n v ар7’ ар ’

где 8 = e2ni/q - примитивный корень q-й степени из единицы,

<а, Р> = Е аА,

.=1

К* - сопряженная к Кп матрица.

Утверждение 3

Справедливы матричные равенства KB = qC К,

—к B ) к * = с(t)

n+t n n n

q

(5)

Доказательство

Второе равенство следует из первого в силу унитарности матрицы

1 К.

Для доказательства первого равенства выпишем (а , Р)-й элемент матрицы К B

154

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Is'"1 »„_1*|('

yeVn Y,eV

■О, ),<y],p],...,pn-1 )) _

qS((-at’"’an ).<P,,..Pn-,»,если а1 _ 0в противномслучае

С другой стороны, рассмотрим (а, Р)-й элемент матрицы CK, который равен

I с s<T,р) .

ay

yeVn

Если а, ^ 0, то с = 0. Если же а, = 0, то ненулевые слагаемые в сумме соответствуют тем Y е Vn, для которых у1 = а2, ..., yn-1 = ап, уп = 0. Следовательно, при а1 = 0 рассматриваемый элемент равен £^(а2, ..., (в1, ..., Рп-1)) = ^((а2, ..., аn), Ф1, ..., Рп-1)) что и

нужно было показать.

Матрицы Вп и В^ являются матрицами смежности графов Gn и соответствен-

но. Граф на множестве вершин Vn с матрицей смежности СД обозначим Г{‘). Нетрудно видеть, что вершины (а1, ..., аД и (Р1, ..., Pn) соединены в нем ребром тогда и только тогда, когда (а1, ..., an) = (0', р1, ..., PJ либо (а1, ..., аД = = (Р1, ..., вп_, 00, где 0Y здесь и далее обозначает t-мерный нулевой вектор.

Компонентами связности графа ГД являются изолированная нулевая вершина с петлей в ней и простые цепи на k вершинах, 1 < k < n. Для подсчета числа простых цепей на k вершинах в каждой такой цепи выделим старшую (в лексикографическом порядке) вершину. Пусть [х]- целая часть числа х.

Утверждение 4

Следующие условия необходимы и достаточны для того, чтобы вершина (а ..., аД являлась старшей в простой цепи на k вершинах в графе Гn°

1. Если 1 < k <

n

t

-1

(а!,а2,...,а{)ф 0'

<

(аn-kt+1 , an-kt +2 ,..., аn-(k-1)t (аn-(k-1)t+1 , an-<k-1)t +2 ,..., а

)* 0t

)_ 0t<k-1)

2. Если k

n

t

, n = kt + r, 0 < r < t

<а1,а2,...,а1 )ф 0t

4 <ar+1, аr+2 ,..., ar+t )* 0t

(а а а ) _ 0n <r+t)

Lv*'r+t + 1>U'r+t +2’"-’ w/ U

3. Если k _

+1, n = kt + r, 1 < r < t

|<а1,а2,...,аг)ф 0r

1(аr+Р ar+2 , ..., аn )_ 0n-r

Других простых цепей в графе ГД) нет.

Утверждение 5

Пусть n = kt + r, 0 < r < t. Компонентами связности графа ГД"1 являются изолированная нулевая вершина с петлей в ней и Lk простых цепей на k вершинах, где

(q‘ -1)2 qn"t(k+1),при 1 < k < l

Lk _< q+r -2qr + 1,при k = i (6)

qr -1,при k = l + 1

4.

Утверждение 6

Пусть n = kt + r, 0 < r < t. Характеристический многочлен графа G(nf> имеет вид

г-о)

(А)_ q^(А,- 2qt )П

(

А

где

1

Uk (х)_^=

2q )

sin ((k + 1)arccos х )

- многочлен Чебышева второго рода, коэффициенты Lk определяются соотношениями (6).

Доказательство

Как известно [6], характеристический многочлен графа простой цепи на k вершинах есть Ц,(А / 2). Поскольку характеристический многочлен графа равен произведению характеристических многочленов, его компонент связности, для характеристического многочлена хгм (А) графа Гn>> получаем

Хг,;>(А)_(А- 2)П[Uk (j

В силу (5) для характеристического многочлена Х-м (А) графа G(n‘) справедливо:

GGn

xG(t)(А) _ q,q г

Gn

— (t)

А

’v q‘.

Объединение двух последних соотношений доказывает утверждение.

Через kmodn будем обозначать наименьший неотрицательный вычет k по модулю n.

Следствие 1

Пусть n = lt + r, 0 < r < t. Спектр графа G^) состоит из числа 2q‘ (с кратностью 1) и чисел

n

L

2

х

n

n

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

155

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

2q cos| п— \,

где а и b - взаимно простые натуральные числа, 1 < а < b - 1, 2 < b < l + 2.

Пусть u = l(moab). Кратность Nb собствен-п — \ описывается соотноше-

I bУ

ного числа 2qt cos ниями

Nb =<

n r+tu

(- 0?

2 q - q

bt i

q -1

- + q +r - 2qr +1,

если u = b - 1,

n r+tu

/ t ,\2 q - q (q-1)

q -1

если u = b — 2,

- + q -1,

n r+tu

(- 0?

2 q - q

qbt -1

если u Ф b -1, b - 2.

V. 7

Доказательство

Воспользуемся тем, что множество корней многочлена Uk(x) есть

J

cos I п---,1 < J < k

k +1

Поскольку дробь а / b несократима, кратность N собственного числа

2q cos | п —

определяется только значением b. Величина Nb складывается из кратностей сомножителей Uk(x) в многочлене %_(t) (x) для тех k, при которых b

7 1 Gn

делит k + 1.

Имеем

^ l+2

n = i Lk=i v,.

b|(k+1) J=1

Доказательство завершается подстановкой результата утверждения 5 и применением формулы суммы геометрической прогрессии. Следствие 2

Пусть n = lt + r, 0 < r < t. Количество ненулевых элементов S( G(n‘)) в спектре графа G(n‘) равно

2 2

n , Г 1

q +~^~я -1

S (Gnt>) = i

q +1 q +1 при нечетном l,

2

2

-q

q +1 q +1

при четном l.

qr +1

Доказательство

Равенство

2qt cos I п —

l b

при 1 < а < b - 1 и условии взаимной простоты чисел а и b означает, что а = 1, b = 2. Отсюда следует, что S( Gn]) = qn - N2.

Следствие 3 [4]

Спектр графа Gn состоит из числа 2q (с кратностью 1) и чисел

2q cos | п —

где а и b взаимно просты, 1 < а < b - 1, 2 < b < n + 1 с кратностью M

n b-1

т a2 q - q ,

(q-0 b , + q-1,

Mb =i

qb -1

если n +1 кратно b,

n w—1

т a2 q - q ,

(q -и » . + q -1,

qb -1

если n +1 = mb + w, 0 < w < b. Найденный спектр графа G^ позволяет получить верхнюю границу для одной из важных структурных графовых констант - числа a(GJ) независимости (в другой терминологии - числа внутренней устойчивости) графа GK Это число определяется как максимальное количество несмежных вершин в графе. Следующее утверждение обобщает результат работы [4], полученный для случая t = 1.

Утверждение 7 Справедливо неравенство

a(G‘n )

cos

( Л п

n/+1 I/ t

1 + cos

( Лq

п

% +1 I/ t У

если t делит n

( Л

cos

п

n/ + 2

l _/1 J У

(

1 + cos

+ 2

У

если t не делит n Доказательство

Поскольку ориентация ребер гра-

фа не влияет на число независимости, имеем

n

q

п

156

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

a(GJ) = а( G(t)). Воспользуемся приведенной в [6] оценкой, справедливой для регулярного графа G степени r на N вершинах

X .

a(G) < - N---, (7)

r - X .

min

где Xmin - наименьший элемент спектра

графа G. Для графа G(2) имеем: N = qn, r = 2qt,

f X nn cos

X . = 2q <

min -l

n/ +1 V/1 у

если t делит n

f X

cos

nn

n/

VL/1 J

+ 2

у

если t не делит n

Подстановка этих значений в (7) завершает доказательство.

Рассмотрим q-ичный проходной регистр сдвига с накопителем размера n, n = 1,2, ... со случайным равновероятным входом и независимой от него случайной равновероятной двоичной последовательностью управления движением. Сдвиг регистра в зависимости от символа управляющей последовательности осуществляется на а или Ьтактов, a,b = 1,2, ... Данная схема описывается автономным вероятностным автоматом с матрицей

а f, \b X

1

H =-2

1

— B

n

V q

+

1

-B

n

Vq

где B n - матрица смежности графа де Брейна.

Неориентированный граф переходов такого автомата обозначим Hn(a, b).

Утверждение 8

Количество S^0^ ненулевых элементов спектра графа H (0, 1) выражается формулой

S (ол)=\

q +2 n , q-1 w 2 + +, q + 2 + +, q,

q + q +1 q + q +1 если n = w mod 3, w Ф 2,

2

q + 2

q

q2 -1

q + q +1 q + q +1

если n = 2 mod 3.

Доказательство

Обозначая Я® = Ht + (H)2, в рассматриваемом случае имеем

Я(1)=-

1 f 1 f X1 f у X

E + 1 в I + E + 1 в I

2 V2 V п q У 2 V п q у У

1 1 ~0)

= - E + — Bn . 2 2q

Следовательно, между множествами собственных чисел {X} матрицы Я(1) и собственных чисел {^} матрицы B® существует взаимнооднозначное соответствие, задаваемое формулой X = (1 / 2) + (1 / 2q)^. Это означает, что кратность собственного числа 0 матрицы Я(1) равна кратности собственного числа -q матрицы ВД) . В обозначениях Следствия 1 эта кратность равна N Поэтому SJ0’1 = qn - N3.

Пусть сначала n = 2mod3. Тогда

n2

Ч2 q - q

N3 =(q -1)

+q

S(0,1)= qn - N3 = qn

2 q — 1 + i n

- q +1 = q

q -1

f

1 -

+q-1, и

q -1 л

+

v q + q+1У 22 q + 2 q -1

q + q +1 q + q +1

q + q +1

Пусть теперь n = wmod3, w e {0, 1}. Тогда

n w

,2 q - q

N3 =(q -1) 3 .

q -1

и

S(<u) = qn - N3 =

n3

q

q2 + 2

, n

+q

q-1

q + q +1 q + q +1 Утверждение 9

Количество Sn(1,2) ненулевых элементов спектра графа Hn(1, 2) выражается формулой

2q +1 n q -1

S (1’2)=J

2 ,q +^—:q >

q + q +1 q + q +1 если n = (u + 1)mod 3, u = 1,2,

2q+1 n + q1 - q

q + q +1 q + q +1

если n = 1 mod 3.

Доказательство

Имеем

1 f1

2 V 2

я(1) = 111 (b + b2 )+1 (b + b2 )T

V « «/ л V " n /

f

1 в ?>+1 ву

2 V q q у

Тогда по утверждению 3

Г Я(1)Г * = (1/2)qn(C <1) + C (2)) и в силу симметричности матрицы в правой части последнего равенства получаем Sn(1, 2) = rank(Cn(1) + Cn(2)), Для подсчета последнего ранга через Jk обозначим жорданову клетку размера к, отвечающую собственному числу 0, J1 = 0. Нам потребуется следующий несложный вспомогательный результат

rankJ + JkT + J/ + (Jk2)2) =

[к -1, если к =1mod 3 I к,впротивномслучае

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

157