CC BY
47
Л Л Андреев, Ю. О. Яковлева. Характеристическая задача для одного уравнения
МАТЕМАТИКА
УДК 517.929.7
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
А. А. Андреев, Ю. О. Яковлева
Самарский государственный технический университет E-mail: [email protected]
В работе исследуется корректная, по Адамару, постановка характеристической задачи для одного гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками.
Ключевые слова: гиперболическое дифференциальное уравнение третьего порядка, некратные характеристики, характеристическая задача, корректность по Адамару.
The Characteristic Problem for one Hyperbolic Differentional Equation of the Third Order with Nonmultiple Characteristics
A. A. Andreev, J. O. Yakovleva
In the paper we consider the well-posed characteristics problem for the one hyperbolic differentional equation of the third order with the nonmultiple characteristics.
Key words: hyperbolic differentional equation of the third order, nonmultiple characteristics, characteristic problem, Hadamard's well-posedness.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Известно [1], что классическая задача Гурса для уравнения гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными с граничными условиями на двух характеристиках из различных семейств всегда является корректной по Адамару.
Исследованию начально-краевых задач для гиперболических уравнений и систем с двумя независимыми переменными порядка выше второго в случае кратных характеристик посвящены работы многих авторов. Например, в монографии А. В. Бицадзе [2] приведена характеристическая задача для систем второго порядка с кратными характеристиками. В статье С. С. Харибегашвили [3] рассмотрена характеристическая задача для вырождающихся гиперболических систем второго порядка. М. Х. Шхануковым [4] исследованы локальные и нелокальные краевые задачи для гиперболического уравнения третьего порядка. В статье А. П. Солдатова, М. Х. Шха-нукова [5] приведены краевые задачи с общим нелокальным условием для псевдопараболического уравнения высокого порядка. В [6] В. И. Жегаловым, Е. А. Уткиной также изучена характеристическая задача для одного псевдопараболического уравнения третьего порядка. О. М. Джохадзе [7] рассмотрена общая характеристическая задача типа Гурса для гиперболического уравнения третьего порядка с кратными характеристиками, а также сформулирована и исследована общая трехмерная характеристическая задача Гурса для линейных гиперболических уравнений третьего порядка с доминиро-ванными младшими членами [8]. О. С. Зикировым [9] исследована
© Андреев А. А, Яковлева Ю. 0, 2013
3
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2
характеристическая задача Гурса для линейного гиперболического уравнения третьего порядка в прямоугольной области.
Характеристические задачи для систем и уравнений гиперболического типа в частных производных с некратными характеристиками изучены явно недостаточно. В монографии [2] приводятся примеры, показывающие, что для системы второго порядка с некратными характеристиками задача Гурса является некорректной по Адамару [10].
Целью нашей статьи является исследование корректности, по Адамару, характеристических задач для гиперболического уравнения от двух независимых переменных третьего порядка с некратными характеристиками.
В плоскости независимых переменных x, y рассмотрим строго гиперболическое уравнение третьего порядка:
uxxy uxyy 0. (1)
Лемма. Общее решение уравнения (1) из класса трижды непрерывно дифференцируемых функций C3(R) представляется в виде суммы
u(x, y) = f (x - Ci)+ g(y - C2) + h(x + y - C3) (2)
любых трех функций f,g и h из класса C3 (R) от аргументов x — Ci, y — C2, x + y — C3 соответственно, где Ci, C2, C3 — произвольные константы из R.
Доказательство. Как известно, семейство линий p(x, y) = const является характеристиками уравнения (1), если функция р удовлетворяет дифференциальному уравнению:
д3 р д3р
= 0. (3)
дх2ду дхду2 Уравнение (3) равносильно дифференциальному уравнению:
(¿у)2 (х + (у((х)2 = 0. Его решениями являются семейства линий, определяемые формулами
х = С1, у = С2, х + у = Сз. Уравнение (1) допускает следующую факторизацию:
дду (<х>у)) = 0>
где у(х, у) = их — иу.
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка их — иу = Г (х) + О (у) имеет вид
ху ф,.у)=,г(х+у)+! г т+1 о(3)
0 0
Таким образом, получаем общее решение и(х,у) в виде (2). Лемма доказана.
Без ограничений общности можно считать, что общее решение уравнения (1) имеет вид
и(х,у) = / (х)+ 9(у) + Кх + у). (4)
Рассмотрим пример, иллюстрирующий некорректность классической постановки задачи Гурса на плоскости, независимых переменных х, у для уравнений гиперболического типа третьего порядка. Пример. Однородное уравнение (1), удовлетворяющее однородным условиям на характеристиках
и(х, 0)=0, х е К, и(0,у)=0, у е К, и(х, —х) = 0, х е К, (5)
имеет нетривиальное решение:
и(х, у) = Н(х + у) — Н(х) — Н(у), И,(0) = 0, (6)
где Н(1) е С3(К) — любая нечетная функция.
Таким образом, нетривиальное решение (6) уравнения (1) удовлетворяет однородным граничным условиям (5) на трех характеристиках из различных семейств. В приведенной постановке характеристическая задача является некорректной по Адамару.
А А Андреев, Ю. О. Яковлева. Характеристическая задача для одного уравнения
2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НА ПЛОСКОСТИ
Возникает вопрос: какая характеристическая задача будет являться корректной? Для уравнения (1) рассмотрим общую характеристическую задачу
Пусть х е /С, где 1С имеет центральную симметрию, т. е. для любого х е 1С 2с — х е /С, тогда для любой функции /(х) справедливо
н = / (х) — /(2с — х), /ч = / (х) + /(2с — х), / (х) = /н + /ч. (7)
При с = 0 будем обозначать /н, /ч соответственно.
Задача 01. Найти решение и (х, у) е С3 (К х К) уравнения (1), удовлетворяющее условиям
и(х, 0) = а(х), х е К, и(0, у) = в (у), у е К, и(х, —х) = 7(х), х е К, (8)
где а(х),в(у),7(х) е С3(К).
Теорема 1. Если 7н = ан — @н, где ан, вн, 7н — нечетные части функций а(х), в(х), 7(х) соответственно, то задача корректна по Адамару.
Определим функции /, д и к таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (8), учитывая при этом условия согласования /(0) + д(0) = а(0) — к(0), получим:
/(х) = а(х) — к(х) — д(0), х е К,
д(у) = в (у) — к(у) — / (о), у е К, (9)
к(х) + к(—х) = а(х) + в(—х) — 7(х) — а(0) + 2к(0), х е К.
Тогда
к(—х) + к(х) = а(—х) + в(х) — 7(—х) — а(0) + 2к(0), х е К. (10)
Из (9) и (10) следует
7н = ан — вн, (11)
к(х) = 1 [ач(х) + вч(х) — 7ч(х) — а(0) + 2к(0)] . (12)
Подставляя (9), (11) и (12) в (4), получим:
и(х, у) = а(х) + в (у) — 1 а(0) + 1 [ач(х + у) — ач (х) — ач(у)] +
+2 [вч(х + у) — вч(х) — вч(у)] — 1 [7ч(х + у) — 7ч(х) — 7ч(у)]. (13)
Формула (13) есть искомая функция, записанная в явном виде и являющаяся решением характеристической задачи С1.
3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА В ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
Рассмотрим общую характеристическую задачу С2 для уравнения (1) в области, ограниченной характеристиками.
Задача 02. Найти решение и (х, у) е С3 (К х К) уравнения (1), удовлетворяющее условиям и(х, 0) = а(х), 0 < х < 1, и(0, у) = в(у), 0 < у < 1, и(х, 1 — х) = 7(х), 0 < х < 1, где а(х),в(у),7(х) е С3(К).
1 11 111
Теорема 2. Если ^н = ан — вн, где ан, вн, 7/н — нечетные части функций а(х), в(х), 7(х),
то задача С2 корректна по Адамару.
Аналогично задаче получим:
1 1 Г 1 1 1
и(х у) = а(х) + в(у) — ^а(0) + 2 [ач(х + у) — ач(х) — ач (у^ +
1 Г 1 1 1 1 1 Г 1 1 1 1
+2 [вч (х + у) — вч (х) — вч (у)] — 1 [7ч (х + у) — 7ч (х) — 7ч (у)] . (14)
Математика 5
(Щ^^рёЬ Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2013. Т. 13. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1, ч. 2
Формула (14) есть искомая функция, записанная в явном виде и являющаяся решением характеристической задачи С2.
Нетрудно убедиться, что и в задаче С1 и в задаче С2 выбор характеристики, на которой задается видоизмененное условие, несущественен.
Отметим, что применение функциональных уравнений (7) с инволютивным сдвигом было предметом рассмотрения А. П. Хромова [11] и А. А. Андреева [12].
Библиографический список
1. Курант Р. Уравнения с частными производными. М. : Мир, 1964. 831 с. [Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. Vol. II : Partial differential equations. New York; London : Interscience Publishers, 1962. 830 p.]
2. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. : Наука, 1981. 448 с. [Bitsadze A. V. Some classes of partial differentional equations. Moscow : Nauka, 1981. 448 p.]
3. Харибегашвили С. С. О разрешимости одной характеристической задачи для вырождающихся гиперболических систем второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 1. С. 154-162. [Kharibegashvili S. S. Solvability of a characteristic problem for second-order degenerate hyperbolic systems // Differ. Equ. 1989. Vol. 25, № 1. P. 123-131.]
4. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений //Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19, № 1. С. 145-152. [Soldatov A. P., Shkhanukov M. Kh. About some boundary value problems for third order equations // Differ. Equ. 1983. Vol. 19, № 1. P. 145-152.]
5. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского для псевдопараболических уравнений высокого порядка // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, № 3. С. 547552. [Soldatov A. P., Shkhanukov M. Kh. Boundary value problems with A. A. Samarski's general nonlocal condition for higher-order pseudoparabolic equations // Soviet Math. Dokl. 1988. Vol. 36, № 3. P. 507-511.]
6. Жегалов В. И., Уткина Е. А. Об одном псевдопараболическом уравнении третьего порядка // Изв. вузов. Математика. 1999. № 10 (449). С. 73-76. [Zhegalov V. I., Utkina E. A. Pseudoparabolic equation of the third order // Russian Math. (Izv. VUZ. Matematika). 1999. Vol. 43, № 10. P. 70-73.]
7. Джохадзе О. М. Влияние младших членов на корректность постановки характеристических задач для гиперболических уравнений третьего порядка // Мат. заметки. 2003. Т. 74, № 4. С. 517-528. [Dzhokhad-ze O. M. Influence of lower terms on the well-posedness
of characteristics problems for third-order hyperbolic equations // Math. Notes. 2003. Vol. 74, № 4. P. 491501.]
8. Джохадзе О. М. О трехмерной обобщенной задаче Гурса для уравнения третьего порядка и связанные с ней общие двумерные интегральные уравнения воль-терры первого рода // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, № 2. С. 385-394. [Dzhokhadze O. M. About the three-dimensional Goursat problem for third order differentional equations and related general-dimensional Volterra integral equations of the first kind // Differ. Equ. 2006. Vol. 42, № 2. P. 385-394.]
9. Зикиров О. С. Локальные и нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений третьего порядка // Современная математика и ее приложения. 2011. Т. 68. С. 101-120. [Zikirov O. S. Local and nonlocal boundary-value problems for third-order hyperbolic equations // J. Math. Sci. Vol. 175, № 1. P. 104-123.]
10. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М. : Физматлит, 1994. 544 с. [Adamar J. Problem Cauchy for linear hyperbolic partial differential equations. Moscow : Phismathlit, 1994. 544 p.]
11. Хромов А. П. Смешанная задача для дифференциального уравнения с инволюцией и потенциалом специального вида // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2010. Т. 10, вып. 4. С. 17-22. [Khromov A. P. The mixed problem for the differential equation with involution and potential of the special kind // Izv. Saratov. Univer. New Series. Ser. Mathematics. Mechanics. Informatics. 2010. Vol. 10, iss. 4. P. 17-22.]
12. Андреев А. А. О корректности краевых задач для некоторых уравнений в частных производных с карле-мановским сдвигом // Дифференциальные уравнения и их приложения : тр. 2-го Междунар. семинара. Самара : Изд-во Самар. ун-та, 1998. С. 5-18. [Andreev A. A. On the correctness of boundary value problems for some partial differential equations with a Carleman shift // Differential Equations and Their Applications : Proc. of the Second Intern. Seminar. Samara, 1998. P. 5-18.]
