Задача Коши для гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений третьего порядка с некратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 109

MSC 35L30

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С НЕКРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Ю.О. Яковлева

Самарский государственный технический университет, ул. Молодогвардейская, 244, Самара, 443100, Россия, e-mail: [email protected]

Аннотация. Для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками рассмотрена задача Коши. Получено решение, являющееся аналогом формулы Даламбера. Исследуется задача Коши для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками. Решение указанной задачи построено в явном виде.

Ключевые слова: гиперболическое дифференциальное уравнение третьего порядка, некратные характеристики, задача Коши, формула Даламбера, система гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида.

Введение. Краевые задачи для гиперболических уравнений и систем гиперболических уравнений третьего порядка с некратными характеристиками в некоторых случаях удается решить без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара).

Н.И. Мусхелишвили в своей монографии [1] отметил, что общие решения, если их возможно найти, при целесообразном использовании оказываются часто чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. Таким образом, если известно общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, то очень часто возможно получить решение поставленных краевых задач.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши в вещественном пространстве для линейной системы гиперболических уравнений с аналитическими коэффициентами была впервые доказана в 1901 г. Хольмгреном [2]. Для линейной системы с произвольно гладкими, но неаналитическими коэффициентами и для системы гиперболических уравнений высшего порядка теорема существования и единственности решения задачи Коши была доказана Петровским И.Г. [3]. В настоящей статье приведено решение задачи Коши для гиперболического уравнения и системы гиперболических уравнений третьего порядка в явном виде и представлено в виде аналога формулы Даламбера, как это было сделано для волнового уравнения на плоскости.

1. Предварительные сведения. Известно [4], что для гиперболического уравнения второго порядка

a0uxx + aiuxy + a2uyy — 0 , (1)

где a0, ai, a2 — 0 — некоторые действительные постоянные, с характеристиками у — \\Х, у — А2х при А1 + А2 — ai/a0, А1А2 — a2/a0 решением задачи Коши, состоящей из

110 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

уравнения (1) и условий

u (х, у) |y=o = а(х) ,

ди

дп

y=o

в(х),

где п : х = 0 - нормаль к прямой l, является функция:

u(x,y)

Л?

^ - А?

ао 1

а(х - у/Лi) +

x-y/Ai ,

И / mdt) “

I ot(x - y/X2) + °2

o

x-y/A

ао 2

а0Л2

в (t)dt^.

Пусть

F(x, у, Afc) = a(x - y/Xk) +

аоЛк

Тогда формула (3) представима в виде

x-y/Afc

J в (t)dt,

o

к =1, 2.

2 Л2

и(х, у) = 02 _fcA2F0n У’ Afc) •

к= 1 “о fc

(2)

(3)

(4)

Полученную формулу (4) называют формулой Даламбера для уравнения второго порядка общего вида [4].

2. Задача Коши для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Рассмотрим гиперболическое дифференциальное уравнение третьего порядка в частных производных общего вида

a0uxxx + aiuxxy + a2uxyy + a3uyyy 0

(5)

где a0, ai, a2, a3 = 0 - некоторые действительные постоянные. Уравнение

—a0A3 № oyA^ — й2А № йз = 0 , А = —-—

dx

(6)

является характеристическим для уравнения (5), а его интегралы - характеристиками.

Пусть характеристическое уравнение (6) имеет три различных корня Л1; Л2, Л3 £ Е, Ai, А2, Аз ф 0, тогда Ai + А2 + Аз = —, AiA2A3 = —. Семейства линий

аа

У — Л1х + С1, у — Л2х + С2, У — Л3х + С3

являются характеристиками уравнения (5).

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 111

Как известно [5,6], общее решение уравнение (5) из класса трижды непрерывно дифференцируемых функций C3(R2) представляется в виде суммы

u(x, y) = f (у - \\х + Cl) + g(y - Х2Х + C2) + h(y - X3X + C3).

Без ограничений общности можно считать, что общее решение уравнения (5) имеет вид:

u(x У) = f (У - Л1х) + g(y - Л2х) + h(y - Лзх) . (7)

Задача Коши. Найти решение u (х, y) уравнения (5) в плоскости, удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии l : y = 0:

U (х, y) |y=o = a(x), x e R,

x e R, (8)

x e R,

где n : x = 0 - нормаль к прямой l.

Ограничения на нехарактеристическую линию уравнения третьего порядка такие же, как и для уравнения второго порядка. Эта линия не может дважды пересекать любую характеристику из любого другого семейства [4,7].

Определяя функции f, g, h таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (8):

f (-Л1х) + д(-Л2х) + Л,(-Лзх) = а(х),

f'(-Л1х) + д'(-Л2х) + h/(-Лзx) = в(х),

f"(-Л1х) + д"(-Л2х) + h"(-Лзх) = 7(х) ,

получим

Л2f//(—Л1х) + Л2д//(—Л2х) + Л3Л/'(-Л3х) = а''(х),

-Л^-Л^) - Л2д"(-Л2х) - Л3^'(-Л3х) = в'(х), (9)

f'(—Л1х) + д''(-Л2х) + h''(-Л3х) = 7(х).

Из (9) следует, что

f''(-Л1х) = [(Л1 - Л2) (Л1 - Л3^ (а''(х) + (Л2 + Л3)в'(х) + Л2Л37(х)) ,

д''(-Л2х) = - [(Л1 - Л2)(Л2 - Л3)] 1 (а''(х) + (Л1 + Л3)в'(х) + Л1Л37(х)), (10)

h''(-Л3х) = [(Л1 - Л3) (Л2 - Л3^ (а''(х) + (Л1 + Л2)в'(х) + Л1Л27(х)) .

ди

dn

d2u

y=o

dn2

y=o

в(х)

Y(x),

112 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ЕгЯ Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

После интегрирования равенств (10) получим:

f(y ~ Aix) = /(0) - Ai/'(0) |ж - yy^j +

А?

(Al — А2)(А1 — Аэ)

А?

(^а (^х - yy^j - а(0) - а'(0) ^ж - +

Л1

(д: _ л2)(л1 - Л3) \ + ^ J — (Аа + Аз)/5(0) ^ +

1

Л1

(А.-Л>)(Л1-А»)ЛаА* / 7W (* -k-t] *

0

9(У ~ A2^) = д(0) - Л2у'(0) ^ж - yy^j -(Л, - Л2)(Л2 -75 (“ (* - Й - “(0) - “,(0) (х - й)

А2

Л2

(д: _ Л2)(2л2 - Л3) y(Al + Аз) J “ (Ai + Аз)/3(0) (^ж - уу ) ]-

А22

Л2

Ai Аз / 7Й ( ж - —у — t) dt

(А1 — А2) (А2 — А3)

h(y - л3ж) = h(0) - \3ti(0) [ ж - уу ) -

А23

(А1 — А3) (А2 — А3)

а(0) + «'(0) ^ж - yy^j -а(^х- ^-у^ +

Л3

(д: _ Лз)(/\2 - Аз) [(Al + ^2) J ~ (Al + А2)/^(0) _ ~уУ ) ) +

+

А23

Л3

(А1 — А3) (А2 — А3)

1

А1А2 / l{t) ( Ж - уу -t) dt.

(11)

Подставляя в (7) найденные значения функций f, g, h (11), после некоторых преобразований, получим:

А31

а? - т - до+s

У_^ ^ а\ - А1 а0 А? ао

Л1

и(х,у) = -з----2 "L aR ( а(х - у-) + ^ /'^и / P(t)dt) +

У

У

У

У

У

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 113

л2

Л2

Л2 - А2(^ - А2) + ^ V Л2 а0

а(х — -У-) + —------/ j3{t)dt\ +

Л2

Л2

аз

А2 - А|(^ - А2) + ^ \ а0А2

«0

тСО ( ^ - уУ ~ t ) dt ) +

Л3

А1-АКг-А3) + г (“<’ - Ь + J тМ 1 +

Л3

лз

аз

Л3 - Лз(^7 - Аз) + ^ V а0А3

тСО ( ^ - ysv ~ 1 ) dt

(12)

Пусть

х л х л

F(x, у, Л) = а(х -j) + ai а^а° J P(t)dt+'^x J 7(*)

0 0

тогда формула (12) представима в виде

u(x,y) = Y1

Л1

А| - ХТ± ~h) + a±

F (х}у,Ли)

(13)

У

+

У

У

+

У

Полученная формула (13) аналогична формуле (4). Ее мы будем называть аналогом формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка.

Непосредственной подстановкой можно проверить, что формула (13) удовлетворяет уравнению (5) и начально-краевым условиям (8).

3. Задача Коши для системы гиперболических уравнений третьего порядка общего вида. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка общего вида с двумя независимыми переменными x,y £ R на плоскости, не содержащую производные порядка меньше третьего

A*UXXX + B*UXXy + C *UXyy + D*Uyyy = 0, (14)

где U(x,y) = (u1(x,y),u2(x,y)) - искомая двухмерная вектор-функция и A*, B*, C*, D* — постоянные квадратные матрицы второго порядка.

114 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

Полагая, что D* — невырожденная матрица, то система (14) редуцируется к следующему виду:

AUxxX + BUxxy + CUxyy + Uyyy 0. (15)

Пусть матрицы A, B, C попарно коммутирующие [8,9], тогда, без ограничений общности, они имеют следующий вид:

A

C

(

\

cii

а11 а12 а21 a22

a12

B

/<* + 6.,^^^) b12\

V Й12 /

, a21

012----

a12

b22

C21

C21 C11 — C21

&12 \ a21

a11 — a22

a21 / )

, aij, bij, Cij E R, aij, bij, Cij = 0 , i, j 1, 2 .

Пусть теперь a1, a2, b1, b2, c1, c2 — различные собственные значения матриц A, B, C, соответственно. Тогда

h = b22 + — (а* - a22), a12

A = Сц 4 (a,i — ац).

a21

Матрицы преобразования

где

T

-1

T

b1b12

' *2 '

01

(l2lb2bi2

V 1 ai242 2 /

a120102

(a21b1b2b22 - а!2ад*1*2

7 0-2lb2bl2 ai2^2

t2 -t2

b1b12

\

\ ~(l /

det T =0 , t1,t2 = 0, t1, t2 E R ,

— ( b22 4------(ai — a22) ) 622 — d,B

a12

b22 4-----(a2 — a22) ) ( b22 4-----(an — a22)

a12 a12

— dB

dB = b\2 + b12 b22

a11 - a22

2 a21 -6i2—, a12

0

2

a12

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 115

одновременно приводят матрицы A, B, C к диагональной форме

T-1AT = Ла , T-1BT = ЛВ , T-1CT = ЛС .

ЛА

а1 0

0 а2

ЛВ

b1 0 0 b2

Лс

c1 0

0 С2

Поскольку матрицы A, B, C коммутирующие, то тоже можно сказать и о матрицах Ла, Лв , Лс , полученных преобразованием подобия [10].

Задача Коши. Найти решение задачи Коши U (x, у) £ C3(R х R) системы уравнений (15), удовлетворяющее условиям на нехарактеристической линии l : у = 0:

(l1,U (x, 0)) = a1(x), (l2, U (x, 0)) =) a2(x),

(/bf)(x.°)) = e 1(x) ('2'Щ(;Г'0)) = e 2(x), (16)

‘"dn* (X-0}) = Y1(x), (h, drf (x.O) ) = Y2(x)

где n : x = 0 — нормаль к прямой l, аг(х), @г(у), уг(х) £ C3(R), i = 1, 2; (a,b) -скалярное произведение;

l1

a21b2b1281

a128182

(a21b1b2b22 - a^S^)^ ’ (a21b1b2b22 - a^S^)^) ’

a128182

a12b1b1282

(a21 b1b2b212 - a12b1b2)t^ (a21b1b2b2l2 - a^S^)^

l

2

В системе (15) сделаем замену U = TV и подействуем на нее T 1 слева. Следовательно, система (15) эквивалентна следующей:

ЛлУххх + ЛВ Vxxy + ЛС Vxyy + Vy

'VVV

0.

(17)

a1VXxx + b1 VXxy + C1VXyy + vlvv = 0,

2

a2Vxxx

+ ^^Ly + C2v2xyy + v2yyy = 0

Пусть каждое характеристическое уравнение этой системы (17) имеют три различных корня Л1, Л2, А3 и у1, у2, у3, соответственно. Если

F(x, y,s) = a(^x--'Sj +

a1 - sa0 ao

/3(t)dt + [ y{t) (x — — — t] dt

aos s

У

У

o

116 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31

то решением системы (17) является

v\x,y) = ^

Al

2

V (X

k=l Afc “ Afc(77 ~Xk) + -3 3

yl

F (x,V,Ak),

(18)

(x, y) = Y ;/3_;/2 (b,k_n , , ±F(X> У’ ^

k=l Уk Ук\а2 Уk' ' «2

Решение задачи Коши ищем в виде решения матричного уравнения U = TV. Непосредственной подстановкой, что вектор-функция U(x,y) = (u1(x,y),u2(x,y)), где

и\х, у) = Y --------x2(blХк \ \ I 1 F(X’ У’ Afc) +

01 к= 1 Хк ~ “ Хк> + V

+ «2^

yl

3 2 / b2 \ I 1 F(X> У> Ук)}

k=i у1 - у1(£ ~ Ук) + ^

u2(x

Al

(ж, у) = il л Ч ■ 1 У> Л^) +

t=i Afc “ ФЛТГ “ А*7 + У

fc=l /vfcVai fc/ ' «1

a21b2b12 , V"^

+------—v2_^

yl

ai2^2 к^Ук~ Ук(ъ - Ук) + 77

1 F(x, y, yl) ,

удовлетворяет уравнению (15) и начально-краевым условиям (16), то есть она является решением задачи Коши (15), (16).

Заключение. Таким образом, нами получено решение, являющееся аналогом формулы Даламбера для гиперболического дифференциального уравнения третьего порядка с некратными характеристиками. Для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками в явном виде построено решение задачи Коши.

Литература

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / М.: Изд. АН СССР, 1954.

2. Holmgren E. Sur les systemes lineaires aux derivees partielles du premier order a charasteris-tiques reeldes et distinctes // Arkiv for Math., Astr. och Fysik. - 1909. - 6; №2. - С.1-10.

3. Петровский И.Г. Избранные труды. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия / М.: Наука, 1986. - 500 с.

4. Тихонов А.Н. Самарский А.А. Уравнения математической физики / М.: Наука, 1977. -735 с.

5. Корзюк В.И., Чеб Е.С., Ле Тхи Тху Решение смешанной задачи для биволнового уравнения методом характеристик // Национальная академия наук Беларуси. Труды Института математики. - 2010. - 18, №2. - С.36-54.

6. Яковлева Ю.О. Аналог формулы Даламбера для гиперболического уравнения третьего порядка с некратными характеристиками // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2012. - № 1(26). - С.247-250.

7. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики / М.: Наука, 1982. - 336 с.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ

Серия: Математика. Физика. 2013. №12(155). Вып. 31 117

8. Беллман Р. Введение в теорию матриц / М.: Наука, 1969. - 367 с.

9. Яковлева Ю.О. Характеристическая задача для системы гиперболических дифференциальных уравнений третьего порядка общего вида с некратными характеристиками // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2013. - №1(30). - С.99-106.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / М.: Наука, 1988. - 549 с.

THE CAUCHY PROBLEM

FOR THE HYPERBOLIC DIFFERENTIONAL EQUATION AND SYSTEM OF GENERAL HYPERBOLIC DIFFERENTIONAL EQUATIONS OF THIRD ORDER WITH NONMULTIPLE CHARACTERISTICS

J.O. Yakovleva Samara State Technical University,

Molodogvardeyskaya st., 244, Samara, 443100, Russia, e-mail: [email protected]

Abstract. The Cauchy problem for third order hyperbolic differentional equation with nonmultiple characteristics is studied. The analogue of D’Alembert’s formula is obtained. It is also investigated the Cauchy problem for system of general hyperbolic differentional equations of third order with the nonmultiple characteristics. Its solutions are constructed in the explicit form.

Key words: hyperbolic differentional equation of the third order, nonmultiple characteristics, Cauchy’s problem, D’Alembert’s formula, system of general hyperbolic differentional equation.