Характер изменения границы зоны пластичности и коэффициента Пуассона в зависимости от пластического разрыхления Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК539.74375

Характер изменения границы зоны пластичности и коэффициента Пуассона в зависимости от пластического разрыхления

М.Е. Кожевникова

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

На основе точного распределения напряжений и критерия пластичности Шлейхера предложено уточнение границы зоны пластичности для плоской деформации и плоского напряженного состояния с учетом процесса пластического разрыхления. Присутствие среднего нормального напряжения в критерии Шлейхера обеспечило всестороннее расширение пластической области. Исследована зависимость коэффициента Пуассона и коэффициента стеснения пластической деформации от пластического разрыхления материала. Принимая максимальные значения в вершине или в непосредственной близости концентратора напряжений, коэффициенты уменьшаются по мере удаления от него. В малой окрестности вершины трещины выявлена область, где коэффициент Пуассона не может быть определен исходя из критерия Шлейхера. Размер этой области отождествлен с размером области исчерпания пластичности.

Ключевые слова: критерий Шлейхера, пластическое разрыхление, зона пластичности, коэффициент Пуассона

Plastic zone boundary and Poisson's ratio depending on plastic loosening

M.E. Kozhevnikova

Lavrentiev Institute of Hydrodynamics SB RAS, Novosibirsk, 630090, Russia

A more accurate determination of the plastic zone boundary for plane strain and plane stress state is proposed. The plastic zone boundary is determined with regard to plastic loosening, given exact stress distribution and Schleicher yield criterion. The presence of mean normal stress in the Schleicher criterion ensures uniform expansion of the plastic zone. The dependence of Poisson's ratio and constraint ratio for plastic strain on plastic loosening of material is examined. These parameters peak at the tip or in the immediate vicinity of a stress concentrator and decrease with distance from it. In a small neighborhood of the crack tip, a region is found in which Poisson's ratio is impossible to determine from the Schleicher criterion. The size of this region is identified with the size of the region of exhausted plasticity.

Keywords: Schleicher criterion, plastic loosening, plastic zone, Poisson's ratio

1. Согласование подходов неравновесной термодинамики и механики разрушения и выявление общих механизмов пластической деформации

В последнее время много внимания уделяется рассмотрению общих механизмов пластической деформации и разрушению твердых тел на основе неравновесной термодинамики. Согласно термодинамическому подходу все типы деформационных дефектов зарождаются в локальных зонах гидростатического растяжения около концентраторов напряжений, где необходимо рассматривать зависимость локального неравновесного

термодинамического потенциала Гиббса F(v) от молярного объема V нагруженного материала [1]. Как правило, в пластичных металлах при их нагружении включается вся последовательность промежуточных минимумов потенциала Гиббса, представленная на рис. 1. Соответственно при растяжении металлических кристаллов выявляется вся последовательность деформационных дефектов: дислокации, мезо- и макрополосы локализованной деформации, фрагментация материала, возникновение микропор и развитие магистральной трещины в локальной зоне макроконцентратора напряжений [2, 3]. Детальное рассмотрение областей деформации и

© Кожевникова М.Е., 2012

разрушения твердого тела на графике зависимости термодинамического потенциала F(v) от молярного объема V позволяет прояснить области применимости основных принципов механики разрушения. На рис. 1 на графике зависимости термодинамического потенциала F(v) от молярного объема V представлены следующие области [1]:

- V < v-1 — область, соответствующая гидростатическому сжатию, характеризуемая несжимаемостью твердого тела;

- V-1 - v1 — область упругого сжатия-растяжения равновесного кристалла;

- v1 - v4 — область пластической деформации твердого тела без признаков деструкции дефектного материала и возможности полного его возврата в равновесное состояние, связанная с развитием мезо- и макрополос локализованной деформации. Эволюция формирования полосовых структур завершается фрагментацией материала. Между фрагментами кристаллического материала формируется «квазиаморфная фаза», которая испытывает гидродинамическое течение;

- v4 - v6 — область образования несплошностей разного масштаба, микропор, трещин. Подобные дефекты могут возникать только в локальных зонах гидростатического растяжения, которые характеризуются увеличением молярного объема.

В интервале v-1 - V4, где F(v) < 0, любая дефектная фаза является неравновесной и термодинамически сохраняет способность перейти в равновесное кристаллическое состояние. В интервале v4 - v6, где F(v) > 0, кристалл представляет собой атом-вакансионную структуру с аномально большим неравновесным молярным объемом.

Большинство упругопластических задач механики разрушения решено в предположении о несжимаемости

Рис. 1. Зависимость термодинамического потенциала Гиббса F(v) от молярного объема V с учетом локальных зон концентраторов напряжений различного масштаба [1]

материала. С формальной точки зрения процессы, описываемые этими задачами, должны соответствовать изменениям, происходящим в локальных зонах макроконцентраторов напряжений, где имеет место гидростатическое сжатие. Такие зоны определяются областью деформирования v_1 - v1 на графике зависимости F(v). Однако из ассоциированного закона течения вытекает, что всякая пластическая деформация должна сопровождаться монотонным увеличением объема, которое физически можно истолковать как образование в теле микро-пор, т.е. как пластическое разрыхление [4]. Следовательно, стоит обратить внимание на интервал v4 - v6, характеризуемый гидростатическим растяжением, где предположение о несжимаемости материала неуместно.

Тем не менее, большинство практических задач механики разрушения решено в предположении о несжимаемости материала отчасти из-за математических трудностей, а отчасти из-за незнания характера изменения коэффициента Пуассона в зависимости от деформации. При этом принимается ряд упрощений, приводящих к гипотезе о несжимаемости материала. Считается, что пластические деформации, как правило, существенно больше упругих. Учитывая, что объемная деформация является величиной порядка упругих удлинений, принимается, что при пластическом деформировании изменение объема пренебрежительно мало. На основании этого положения вводится гипотеза, что в пластической стадии деформирования материал считается несжимаемым. Откуда следует, что на пластической стадии деформирования коэффициент Пуассона принимает значение v = 0.5, что неплохо согласуется с экспериментальными данными.

Действительно, изменение коэффициента Пуассона с ростом пластических деформаций подтверждают многочисленные опыты на простое растяжение. А. Стенг, М. Гринспен и С. Ньюмен [5] испытали на растяжение отожженные образцы из низкоуглеродистой стали и получили рост коэффициента Пуассона до значения 0.430.44. Н.Н. Давиденков и Д.М. Васильева [6] путем измерения плотности деформированных (до 10 %) и неде-формированных образцов из стали марок 40 и 45 нашли, что коэффициент Пуассона достигает величины 0.47. А.М. Жуков [7], опираясь на опыты на простое растяжение сплошных цилиндрических образцов из стали марок 40 и 45 и алюминия, определил, что коэффициент Пуассона при пластическом деформировании отличается от 0.5 менее чем 10 %.

Заметим, что гипотеза о несжимаемости материала хорошо работает, так как эксперименты показывают, что изменение объема не превышает 0.5 %. Однако при всех своих неоспоримых достоинствах она не позволяет учесть такой эффект, как пластическое расширение. В действительности же этот эффект имеет место, и как показывают опыты (например, [8]), сначала (при плас-

тических деформациях, не превосходящих 1-2 %) доминирует эффект трансляции границы, затем основное значение приобретает ее расширение.

Таким образом, на определенном этапе пластически деформированный материал испытывает пластическое расширение. При этом фиксируется повышение коэффициента Пуассона до значения v = 1/2. Но, поскольку в этом случае материал уже не может быть несжимаем, коэффициент v не может быть постоянной величиной, равной 1/2 во всей пластической области.

В настоящей работе для плоской деформации и плоского напряженного состояния предлагается уточнить границу зоны пластичности для внутренней трещины нормального отрыва, опираясь на точное распределение напряжений и критерий пластичности Шлей-хера (критерий Шлейхера уточняет критерий Мизеса с учетом процесса пластического разрыхления), а также исследовать изменение коэффициента Пуассона внутри этой зоны при удалении от концентратора напряжений.

2. Напряженное состояние в пластине с исходной трещиной при плоской деформации и плоском напряженном состоянии

Определим напряженное состояние в произвольной точке пластины с трещиной. Компоненты тензора напряжений для пластины с внутренней трещиной нормального отрыва длины 2/0, растягиваемой на бесконечности однородными напряжениями ст^, запишутся в виде [9, 10]:

СТхх = Re Z1 - J Im Z1>

ст ^^ = Re Zi + у Im Z'

СТху =- У Re Z1 ст„ = CTyz = 0 (1)

ст zz = 0 для плоского напряженного состояния,

стzz = v(ctхх + стуу) для плоской деформации, где Z1 — голоморфная функция, имеющая вид:

Zi =-тг-г =

Ъ} z2 - /о2 -/о z

J

J =

V2n(z-/o)'

л/п(z + lo) -i0 z-t

^ (z ^VZ^^lF)

dt =

При исследовании поведения поля напряжений в окрестности вершины трещины используется полярная система координат: г - /0 = гег6, г = ^(х - /0)2 + у2, 6 = = аг^[у/(х - /о)] при х > /о, 6 = аг^[у/(х-/,)] + п при х < /0.

Вычислим ReZ1, 1тZ1, ReZ1', 1тZ1', ReJ, 1т/, Re J', 1т/ для произвольного г:

Re Z1 = --1 Re J cos— + Im J sin— |,

V2nrI 2 2

Im Z1 = --1 - Re J sin—+ Im J cos— |,

V2nr| 2 2

Re Z1 = i—— J Re J' cos—+ Im J' sin—-

1 V2nT I 2 2

1 (n r 30 T r -30 --1 Re J cos--+ Im J sin—

2r | 2 2

Im Z1 = —J - Re J' sinIm J' cos— +

1 Л^ПТ I 2 2

1 (ъ T • 30 r 30 +--1 Re J sin--Im J cos—

2r I 2 2

(2)

Re J = л/2пст„

(

Im J = л/2Па„

r1

cos

sin

Г\ 0s

01 -02 _ 1 2 - 4r cos— 2

Г\ J 0s

01 -02 1 2 - yfr si^— 2

J

Re J' = л/2па^х

( 1 —2 Т —^=-cos——--p=

Vr2 2 2Jr23

4

Im J' =

( 1 -—2 Г1

""^sin—-—i= Vr2 2 2yjr23

cos

sin

302

302

—¡=cos— 2>/r 2

-j=sin —

2Vr 2

где r =4x2 + У2, Т =4(x + lo)2 + y2, 01 = arctg[y/x], 02 = arctg[ y I (x +10)]. Подставив (2) в (1), получим:

1 L , 0(, • 0 • 30 S

axx = --\ Re J cos—l 1- sin—sin— | +

л/2пг I 21 2 2 J

T . 0(, 0 30 S + Im J sin—l 1 + cos—cos— | +

21 2 2 J „ T' -2 0 0 T 2 0 • 0YI

+2rl Re J sin —cos--Im J cos — sin— |,

| 2 2 2 2 JJ

1 L r 0^ • 0 • 30s,

ayy = --\ Re J cos— l 1 + sin—sin— | +

yy Л/2ПТ I 21 2 2

0 30 . + Im J sin— l 1 - cos—cos— |-21 2 2

(3)

^ I ъ r> - 2 ° °т r> 2 0 • 0 II

- 2r| Re Jsin —cos--Im J cos — sm— I + сст,

| 2 2 2 2 JJ ^^

1 i 0 • 0(™ r 30 r .30^ ст = ---cos—sin— | Re J cos—+ Im J sin— I-

^ 1 2 21 2 2 J

„ (^ т' 2 0 ■ 0 r r' ■ 2 0 0YI

- 2r| Re J cos —sin—+ Im J sin — cos— I,

| 2 2 2 2 JJ

vV2 Г 0 . 0| „

стzz = .— - Re J cos — + Im J sin — ^ для плоской де-

zz л/ПТ 1 2 2 J

формации,

ст zz = 0 для плоского напряженного состояния.

Если положить в формулах (2), (3) y = 0, то для плоского напряженного состояния при x > l0 получим [11]:

а x а а а^ x а

axx = I 2 ,2 ' Sy = I 2 ,2 , ^ = 0 (4) П/ x2 - lo2 Ч x2 - /о2

Заметим, что, находясь в рамках классической теории упругости, мы получили в вершине трещины сингулярность.

3. Критерий пластичности Шлейхера

Критерий Шлейхера имеет вид [4, 12]: g = а +Рст = л/2т», в = const. (5)

Здесь

ai =7— =

= ^3л/(а1 -а2)2 + (°2-^3)2 + (°3 -^l)2,

где а j= а - -1/3 а-8- — компоненты девиатора тензора напряжений; а1, а2, а3 — главные напряжения (подразумевается, что ст1 > а2 > а3), такие что

, + ст

а1,2 ="

yy

I О xx yy ^

+ ai

(6)

а3 = v(а1 + а2) = v(а хх + а уу) для плоской деформации,

а3 = 0 для плоского напряженного состояния;

а = 13(а1 + а2 +а3) = У3ай; в — коэффициент внутреннего трения. Согласно [4], в — величина порядка 0.01. Если экспериментально определены пределы пластичности при растяжении и сжатии ст( и ас, то [13]

P=V3

ст„ + а

Величина т» — предельное сопротивление среды чистому сдвигу (в случае критерия Мизеса т» = стс/л/3). Критерий Шлейхера (5) уточняет критерий пластичности Мизеса в сторону учета влияния среднего нормального напряжения на критическое значение среднего касательного напряжения [14].

После применения ассоциированного закона течения

d£j=4 дО-

(7)

к критерию (5) придем к следующему соотношению

v-hdg + pMg = daj + dep.

(8)

Первое слагаемое равенства (8) является девиаторной частью пластической деформации и отвечает за изменение формы, второе слагаемое — за всестороннее изменение объема. Возведя первое слагаемое dэp выражения (8) в квадрат (в скалярном смысле), получаем

dэp = = hdg > 0.

Таким образом, из ассоциированного закона (7) вытекает, что всякая пластическая деформация должна сопровождаться не только изменением формы, но и монотонным увеличением объема.

Эксперименты показывают весьма слабое влияние а на картину возникновения и развития деформаций. Порядок поправок, вносимых при учете а в критерии разрушения Шлейхера, как правило, таков же, как и порядок величины коэффициента внутреннего трения в (в — величина порядка 0.01). Обычно эти поправки лежат за пределами точности построения феноменологической теории пластичности. Однако, когда речь идет о циклическом нагружении, указанные поправки существенны и сравнимы с членами основного порядка. При симметричном цикле путь пластического деформирования выражается формулой [4]

L = 2п | ёэр,

где п — число циклов; L — длина «пути пластического деформирования»; интеграл берется в пределах одного полуцикла. Тем самым L пропорциональна остаточному увеличению объема и растет пропорционально числу циклов. При достаточно большом п длина L может достигнуть значительной величины, несмотря на малость интеграла. Соответственно, и остаточное пластическое изменение объема ер = вL может стать существенным, несмотря на малость коэффициента в.

Таким образом, циклическое нагружение будет особенным случаем, наиболее благоприятным для проявления тех поправок, которые вносятся в теорию пластичности при учете а в критерий пластичности, поскольку основные члены решения в данном случае остаются все время ограниченными определенными пределами, тогда как поправочные члены монотонно растут пропорционально числу циклов.

4. Оценка границы зоны пластичности

Подставив формулы (3), описывающие напряженное состояние в произвольной точке пластины с трещиной, в (5), запишем критерий Шлейхера для плоской деформации в виде:

3 а

-xx+ ^-Р(1 + v)x

(9)

Критерий (5) для плоского напряженного состояния получим, если из выражения (9) исключим V, полагая

V = 0.

На рис. 2, а, б показаны границы пластических зон, определяемые равенством (9) для плоской деформации и плоского напряженного состояния соответственно (Х1 = х/10, Л = у/10). Кривые 1, 2 на рис. 2 построены без учета пластического расширения материала при в = 0: кривые 1 на рис. 2 соответствуют а^ а^ = 2, кривые 2 — а^а^ = 3. Кривые Г, 2 на рис. 2 построены с учетом эффекта пластического расширения: кривые Г, 2 на рис. 2, а соответствуют в = 0.01, кривые Г, 2 на рис. 2, б — в = 0.03. Заметим, что присутствие среднего нормального напряжения а в критерии Шлейхера (5) обеспечивает всестороннее расширение пластической области.

По величине и форме пластической области плоская деформация отличается от плоского напряженного состояния. При плоской деформации пластическое течение в вершине трещины затруднено в виду того, что эффективный предел текучести оказывается значительно выше предела текучести при одноосном растяжении. Пределы текучести при плоской деформации и плоском напряженном состоянии непостоянны. Характер их изменения регулирует коэффициент стеснения пластической деформации % = а^х/аc таким образом, что пределы текучести определяются эффективным напряжением а^ = %аc. Заметим, что на рис. 2, а показаны границы зон пластичности при плоской деформации при

X = 1. При х > 1 зона пластичности будет меньше обозначенной на рис. 2, а.

5. Влияние пластического разрыхления на предел текучести при плоской деформации и плоском напряженном состоянии

Обычно сложное напряженное состояние может быть представлено главными напряжениями а1, а2, а3. При этом наибольшим из них является а1. Воспользуемся зависимостями (2), (3), (6), (9) и положим 0 = 01 =02 =0. Представим напряжения а2, а3 в виде:

2^-а

1

(10)

где а^а1 = (4х2 -1)/х = t. Воспользовавшись критерием Шлейхера (5), запишем коэффициент стеснения для плоской деформации:

Х = ^[^(г >2-у + 1) -

-1(4у2 - ^ +1) + 2 - ^ +1)12 + + в^ + 1)(2 - )]-1 и плоского напряженного состояния:

а =_л/б

а

1

х=— =

л/6л/г7-7+1 + в(2 - г)

(11)

(12)

0.975 0

Т-1-1-г

1.05 1.10 х1

0.95

Рис. 2. Конфигурации пластических областей, полученных по критерию Шлейхера, при плоской деформации (а) и плоском напряженном состоянии (б) при V = 1/3

1 3.0

2.82.62.42.2-

2.0

1.00

0

1.02 1.04 1.06

1.08

х1

X

1.150 1.1251.100 1.0751.0501.0251.020-

1.015-

1.0

1.1

1.2

1.3

х1

Рис. 3. Изменение коэффициента стеснения по мере удаления от вершины трещины при плоской деформации (а) и плоском напряженном состоянии (б)

Согласно (11), (12), чем больше коэффициент внутреннего трения, тем меньше коэффициент стеснения и ниже эффективное напряжение а^. На рис. 3 кривые 1, 2, 3 построены при в = 0, 0.01, 0.05 соответственно. Значение коэффициента стеснения х убывает по мере удаления от вершины трещины. В вершине трещины, когда х1 = 1, величина I = 0, и при V = 1/2 значение х принимает бесконечно большое значение. Причиной этому служит наличие сингулярности в вершине трещины, поскольку уже при следующем шаге h = 0.0001 и х = 1 + h х принимает конечное значение, обозначенное на рис. 3. В точке х1 = 1, т.е. на контуре трещины, представляющем свободную поверхность тела, трехосность напряженного состояния можно считать отсутствующей [9]. Поэтому при х1 = 1 коэффициент стеснения х = 1. Таким образом, эффективное напряжение, принимая в вершине трещины значение предела текучести материала при одноосном растяжении ас, резко повышается до эффективного напряжения а ^ = ха с [15], после чего монотонно убывает.

Для плоского напряженного состояния наблюдается похожая картина с той лишь разницей, что нет ни резкого подъема в малой окрестности вершины трещины, ни резкого спада при удалении от нее, а значения эффективного напряжения и предела текучести близки.

Рис. 4. Зависимость длины зоны пластичности х1 при у1 = 0 от прилагаемой на бесконечности нагрузки ао при в = 0.05 (1) и 0 (2)

6. Оценка длины зоны пластичности при у = 0

Оценим продольный размер пластической области х1 при у1 = 0. Из выражения (9) получаем:

х =

-1,

(13)

где

'1 = 1 -

А

Д

-4 А А3

2 А1 2 А1 А1 = 6(1 - 2v)2 - 4в2 (1 + V ), А2 = 6(1 - 2 V )2 + 12л/2р (1 + V)— - 4р 2(1+V),

т2

А3 = 6^2 -V +1)-в2(1 + V) + 6>/2р(1 +V)—-18

Если изначально в формуле (3), определяющей нормальное напряжение ауу, не принимать во внимание гладкую часть (напряжение ао) и ограничиться исследованием асимптотического поведения напряжения вблизи вершины трещины р<< /0, вместо формулы (13) для плоской деформации получим следующее приближенное равенство [9]:

г (6) =

КI

4па2

^ш2 6 + (1 - IV )2(1 + ^ 6)

(14)

где г (6) — безразмерный радиус-вектор; К1 =аоох х^п!0 — коэффициент интенсивности напряжений.

Под действием больших напряжений в окрестности вершины трещины значение коэффициента поперечных деформаций V изменяется, приближаясь к 1/2. Тогда, согласно приближенной формуле (14), при 6 = 0, V = = 1/2 длина зоны пластичности перед вершиной трещины г(6) = 0. Следовательно, при V = 1/2 в зоне пластичности на линии продолжения трещины материал пластически не деформирован. На основании этого утверждения в работе [16] выдвигается гипотеза о переходе небольшого слоя материала на линии продолжения трещины при V = 1/2 в состояние несжимаемости.

На рис. 4 отражена зависимость (13) с учетом (кривая 1, в = 0.05) и без учета (кривая 2, в = 0) эффекта пластического расширения. Согласно рис. 4 длина зоны пластичности х1 на линии продолжения трещины для разных ас/а^ принимает значения отличные от нуля (х1 ^ 0 только при а^ ^ 0). Следовательно, предположение о невозможности образования пластической зоны при 0 = 0, V = 12, вытекающее из приближенного равенства (14), несостоятельно. В его основе лежит неустранимая погрешность.

7. Изменение коэффициента Пуассона в зависимости от деформации

Перепишем критерий пластичности Шлейхера (5) при у1 в виде:

(15)

5jV2 + B2 v + B3 = 0,

где

B = (2t! +1)2(6 -ß2),

B2 = -2(2t1 + 1)2(3 + ß2) + 6yfl ß(2t1 + 1)^,

a„

B3 = 6(tj2 + tj +1) -ß2 (2tj +1)2 +

2

+ ^V2ß(2t1 +1)— -18-^2-,

aM ai

Корнями уравнения (15) являются

-B2 i л/B2 - 4Bi B3 V1,2 =-^¡^-> V2 >V1.

2 B

(16)

На рис. 5, а для разных ас/ам и ß показаны два решения (16) уравнения (15): v1 (кривые 1-4), v2 (кривые 1'— 4). Пунктирная линия отделяет эти решения. Рассмотрению подлежат только ниспадающие ветви, соответствующие корню v1. Кривые 1, 2 построены при ß = 0 и a с/ aM= 3 и 2 соответственно, кривые 3, 4 — при aс/aM= 2 и ß = 0.01 и 0.05 соответственно. В

непосредственной близости от вершины трещины коэффициент Пуассона v1 -1/2, по мере удаления от нее v1 уменьшается до тех пор, пока не примет значение, характерное для пластически недеформированного материала. При наличии пластического расширения коэффициент Пуассона убывает медленнее.

На рис. 5, б кривые 1, 2 построены при ac/aM = 3 и ß = 0.05 и 0.1 соответственно. По аналогии с рис. 5, а рассматриваем только ниспадающие ветви, соответствующие корню v1 уравнения (15). На рисунке хорошо заметен интервал А, где уравнение (15) решения не имеет. Чем больше ß, тем больше А. При малых ß (см. кривую 4 на рис. 5, а, построенную при ß = 0.01) интервал А также имеет место. С ростом ß интервал А смещается вправо относительно вершины. Коэффициент Пуассона на рис. 5, б в интервале 1 < x1 < 1 + 8 растет до значения 1/2 и убывает в интервале 1 + 8 + А< Х1 <1 + +Ар (Аp — длина зоны пластичности). Возможно, отсутствие решения на интервале А связано с тем, что в этом интервале критерий пластичности (5) не действует, так как пластичность как таковая отсутствует. Заметим, что скачкообразность роста усталостных трещин связана с исчерпанием пластичности в некоторой малой окрестности вершины трещины, размер которой определяется несколькими параметрами кристаллической решетки. Например, в случае стальных образцов, скачок трещины при числе циклов n = 104 и амплитуде напряжений 90 МПа составляет 4 мкм [16, 17]. В свою очередь, механизм исчерпания пластичности включает образование ячеистой дислокационной структуры, которая способствует формированию микропор, т.е. разрыхлению материала. Согласно опытам, длина области исчерпания пластичности перед вершиной трещины заведомо меньше длины зоны пластичности. При достижении критического числа циклов происходит хрупкий микроскачок трещины на всю область исчерпания пластичности. Материал внутри этой области предположительно находится в состоянии несжимаемости [16]. Су-

00 1.01 1.02 1.03 х-,

Рис. 5. Характер изменения коэффициента Пуассона на линии продолжения трещины в зоне пластичности

ществует вероятность, что длина области исчерпания пластичности тождественна длине интервала А. При этом величина коэффициента внутреннего трения материала в, скорее всего, не является постоянной величиной: принимая максимальное значение в малой окрестности вершины трещины, она убывает по мере удаления от нее. Заметим, что ячеистая структура в процессе циклического нагружения непрерывно изменяется, создавая автоколебательные процессы [18, 19]. Параметры материала, такие как коэффициент Пуассона, коэффициент разрыхления, коэффициент стеснения пластической деформации и другие, под действием автоколебательных процессов также должны непрерывно меняться.

Таким образом, присутствие среднего нормального напряжения ст в критерии Шлейхера обеспечивает всестороннее расширение пластической области. Зона пластичности при этом неоднородна: характеристики материала, такие как коэффициент Пуассона, коэффициент стеснения пластической деформации (а возможно, и другие), не постоянны. Их значения уменьшаются по мере удаления от концентратора напряжений, принимая максимальное значение в вершине дефекта или в непосредственной близости от него. Хотя эксперименты показывают весьма слабое влияние ст на картину возникновения и развития деформаций, когда речь идет о циклическом нагружении, указанные поправки существенны и сравнимы с членами основного порядка.

В работе исследована лишь толика изменений, происходящих в пластически деформированном материале. Рассмотрение пластического течения твердого тела как необратимого самосогласованного изменения взаимосвязанных функциональных систем и математическое описание этого процесса на всех масштабных уровнях является конечной целью построения многоуровневой модели деформируемого тела.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 10-08-00220, 11-08-00191).

Литература

1. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Неравновесная термодинамика деформируемого твердого тела как многоуровневой системы. Корпус-кулярно-волновой дуализм пластического сдвига // Физ. мезомех. -2008. - Т. 11. - № 2. - С. 9-30.

2. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1968. - 232 с.

3. ПанинВ.Е., Елсукова Т.Ф., ЕгорушкинВ.Е., Ваулина О.Ю., Почива-лов Ю.И. Нелинейные волновые эффекты солитонов кривизны в поверхностных слоях поликристаллов высокочистого алюминия при интенсивной пластической деформации. I. Эксперимент // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 6. - С. 21-32.

4. Новожилов В.В. О пластическом разрыхлении // Прикладная мате-

матика и механика. - 1965. - Т. 29. - № 4. - С. 681-689.

5. Stang A.H., Greenspan M., Newman S.B. Poisson's ratio of some structural alloys for large strains // J. Res. Nat. Bur. Stand. - 1946. - V. 37. -No. 4. - P. 211-221.

6. Давиденков Н.Н., Васильева Д.М. О коэффициенте поперечной де-

формации // Заводская лаборатория. - 1952. - Т. 18. - № 5. -С. 596-599.

7. Жуков А.М. О коэффициенте Пуассона в пластической области // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. - 1954. - № 12. - С. 86-91.

8. Большанина М.А., Панин В.Е. Скрытая энергия деформации // Ис-

следования по физике твердого тела. - Изд-во АН СССР, 1957. -С. 193-233.

9. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А.

Основы экспериментальной механики разрушения. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 140 с.

10. Кожевникова М.Е. Уточнение границы зоны пластичности в окрестности вершины трещины для квазивязкого и вязкого типов разрушения // ПМТФ. - 2005. - Т. 46. - № 1. - С. 106-115.

11. Хеллан К. Введение в механику разрушения. - М.: Мир, 1988. -С. 295-299.

12. Новожилов В.В. О физическом смысле инвариантов напряжения, используемых в теории пластичности // ПММ. - 1952. - Т. 16. -№ 5. - С. 615-619.

13. Коврижных А.М. Уравнения плоского напряженного состояния при условии пластичности Мизеса-Шлейхера // ПМТФ. - 2004. -Т. 45. - № 6. - С. 144-153.

14. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // ПММ. - 1958. - Т. 22. -№ 1. - С. 78-89.

15. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита Х. Вычислительная механика разрушения. - М.: Мир, 1986. - 334 с.

16. Арутюнян Р.А. Проблемы деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. - СПб.: Изд-во СПб. ун-та, 2004. - 252 с.

17. Иванова В.С., Терентьев В.Ф. Природа усталости металлов. -М.: Металлургия, 1975. - 455 с.

18. Зуев Л.Б., Данилов В.И. Медленные автоволновые процессы при деформации твердых тел // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 1. -С. 75-94.

19. Зуев Л.Б., Данилов В.И. О природе крупномасштабных корреляций при пластическом течении // ФТТ. - 1997. - Т. 39. - № 8. -С. 1399-1403.

Поступила в редакцию 13.07.2012 г.

Сведения об авторе

Кожевникова Марина Евгеньевна, к.т.н., нс ИГиЛ СО РАН, m.e.kozhevnikova@yandex.ru