H-модели для организационных процессов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 330.115 doi: 10.17223/2077-6160/12/3

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

А. В. МЕДВЕДЕВ

Сибирский государственный аэрокосмический университет им. академика М. Ф. Решетнёва (г. Красноярск) [email protected]

Рассматривается проблема моделирования дискретнонепрерывных процессов в условиях неопределенности и наличия случайных факторов. Подобные процессы часто встречаются в организационных системах. Исследуется случай, когда процесс имеет «трубчатую» структуру в пространстве «входных-выходных» переменных. Приводятся H-модели подобных процессов, представляющих собой органический синтез параметрических и непараметрических моделей. Специально исследуется случай, приводящий к возникновению пространств дробной размерности, а также изменяющейся с течением времени размерности пространства. Даны формулы вычисления размерности пространства, а также результаты некоторых вычислительных экспериментов.

Ключевые слова: модель, неопределенность, индикаторная функция, непараметрические модели, дробная размерность пространства, изменяющаяся размерность пространства.

Даже незначительное отступление от истины в дальнейшем ведет к бесконечным ошибкам.

Демокрит

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование многих организационных процессов приводит к необходимости установления стохастических связей между входными и выходными переменными. Одна из трудностей, возникающих на этом пути, состоит в экспертном оценивании значений компонент выходной переменной, которое осуществляется со значительными задержками. Это

24

А.В. МЕДВЕДЕВ

приводит к тому, что объект, по существу динамический, может быть представлен только как статический с запаздыванием.

Такой процесс можно представить в виде ГП

x(t) = f(u(t-x),%{t)), (1)

где x(t) - выходная переменная объекта, u(t - т) - векторная входная переменная, т - запаздывание, t) - случайное возмущение, действую-

щее на объект, t - непрерывное время. Покажем это на нижеследующем рисунке:

Рис. 1. Принятая схема контроля «входных-выходных» переменных процесса

На рисунке 1 показаны каналы измерения H с соответствующими дискретностями контроля измерения u(t) и x(t). Таким образом, выборка наблюдений в дискретном виде может быть представлена следующим образом: u[t], x[t + n + m], где n - дискретность запаздывания, n = т / At, а m - задержка, вызванная длительностью контроля T, m = T / At, t = 1,2,...,s. Осуществляя сдвиг реализации xt, t = 1,s на (n + m) тактов, выборку наблюдений можно переписать следующим образом: \it,xt,t = \,s\ и, без нарушения общности, свести задачу идентификации к идентификации статического объекта с запаздыванием.

Наиболее общая схема исследуемого организационного процесса представлена на рис. 2 [2].

На рисунке 2 приняты обозначения: o(t), z(t) , q(t) - выходные переменные процесса, e (t) - управляющее воздействие, p(t) - входная неуправляемая, но измеряемая переменная процесса, X(t) - входная неуправляемая и неизмеряемая переменная процесса, 9(t) - переменная, регламентирующая ход процесса (стандарты, распоряжения, приказы и

т.п.), ^(t) - случайное воздействие, щг (t): i = 1,2,..., k - промежуточные переменные, характеризующие состояние процесса, (t) - непрерывное время, Hц, Hu , Hx , Hz, Hq, Hю, H0 - каналы связи, соответствующие различным переменным, включающие в себя средства контроля, pt, ut, xt, zAT , qT , wt, 91 - означает измерение p(t), e (t), x(t),

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

25

Рис. 2. Общая схема исследуемого организационного процесса

z(t), q(t), w(t), 9(t) в дискретное время, hц (t), hu (t), hx(t), hz(t), hq (t), hю (t) , h9 (t) со значком вверху - случайные помехи измерений соответствующих переменных процесса.

Отметим существенное отличие выходных переменных z(t), q(t) и x(t), представленных на рис. 2. Выходная переменная x(t), равно как и входные, контролируется через интервалы времени At, q(t) контролируются через существенно большие интервалы времени AT, z - через T (T > AT > At). С практической точки зрения для исследуемого процесса наиболее важным часто является контроль переменных z(t) . Особенностью здесь является то, что измеренное значение выхода объекта станет известным только через определенные промежутки времени, этим объясняется задержка в измерениях выходных переменных объекта x(t) , q(t) и z(t) . В активных системах «измерения» многих переменных осуществляются экспертами или группой экспертов, а иногда в виде опроса респондентов.

В этом случае значения выходных переменных зависят от входных переменных и значений ®(t) следующим образом:

x(t) = A(u(t),ju(t),o}(t),A(t),e(t),^(t),t).

q(t) = А(и((), V (0 , ft>(0 , A (t ( , 6»(t ) , £ (t ) , х ( 0 , t ) . ,2,

z(0 = A(u(t),M(t), ttt(t) , М.0, в{(), Ш tt)(), t.) >), О ()

При моделировании подобных процессов, учитывая различную дискретизацию контроля измерений x(t), q (t) и z (t) при прогнозировании q(t) и z(t) естественно использовать весь набор переменных, влияющих на прогноз x(t), q(t), z(t) .

Для дальнейшего изложения, без нарушения общности, «свернем» все входные и выходные переменные в соответствующие векторы. Тогда исследуемый процесс по некоторым каналам может быть представлен в следующем виде (рис. 3).

26

А.В. МЕДВЕДЕВ

Ul(t) OfYKftTCT ■ *l(t) *

ujft) V_ ) X#) r

ц U„(t) \ Д

Рис. 3. Один из каналов исследуемого процесса

Показанные на рис. 3 дугообразные стрелки процесса характеризуют влияние отдельных входных компонент на те или иные компоненты вектора выхода системы. Стрелки между компонентами вектора входных переменных u(t) и вектора выходных переменных x(t) характеризуют стохастическую связь между соответствующими компонентами.

Моделирование организационного процесса

Пусть u = (u1?...,uk) е Q(u) с Rk, х е Q(x) с R1. Вообще говоря, каждая компонента вектора ut е [ai; bi ], i = 1, k, а x е [c; d]. При исследовании реальных процессов значения коэффициентов {ai, bi, c, d}, i = 1, k всегда известны. В дальнейшем, без нарушения общности, эти интервалы примем единичными, тогда Q(u) - единичный гиперкуб, Qк (и) = [0;1], т.е. и е [0;1], Qк+l(u,х) = [01 (u,х) еПк+1.

Задачу идентификации часто сводят к параметрической, состоящей из двух основных этапов: первый этап - выбор (определение) параметрической модели (1) в виде х = f (и, а), где а - вектор параметров, второй этап - последующая оценка параметров а на основании поступающих элементов выборки (и1,х^ (и2,х2) ...,(us,хs), т.е. получение оценки аs .

Такова общая схема решения задач параметрической идентификации. Отметим только, что наиболее «слабым» местом здесь является выбор параметрической структуры модели. Если на первом этапе допущена достаточно грубая ошибка, то, в итоге, полученная модель вряд ли будет удовлетворительной. Эта проблема достаточно подробно обсуждалась в [7]. Там же предложен новый класс K-моделей, учитывающий в комплексе знание фундаментальных законов, другую априорную информацию об объекте, в том числе разнотипную. Обратим внимание на то, что параметрические модели типа х = f (и, а) представляют собой гиперповерхности в пространстве «входных-выходных» переменных объекта, т.е. (и, х) е Q(u, х) с Rk+1.

Проанализируем два важных обстоятельства, возникающих при моделировании реальных процессов [3]. Первое из них состоит в том, что объем выборки S, {xz-,wz-,/ = l,s] катастрофически мал по отношению к

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

27

размерности вектора и = (щ,...,uk)еО(и), как того «требует» математическая статистика. Например, в практических задачах часто возникает ситуация, когда k = 20 ^ 30, а s = 90 ^ 100. Иными словами, в этом случае нельзя получить удовлетворительного решения задачи идентификации. Второе обстоятельство состоит в том, что если построена модель типа (4), по имеющимся данным, то при и е Q(u) с Rk можем получить оценку хs £ Q(х), т.е. вне допустимых значений. Оба эти факта могут быть объяснены, исходя из следующих соображений.

Итак, исследуемый процесс, без нарушения общности, протекает в единичном кубе Q(u, х) = Q(ui, и2, х) с R3. Если опустить влияние случайных возмущений £(t)и погрешностей измерений иьи2,х, т.е. отсутствие hu, hх и £ из соображений простоты иллюстраций, то процесс протекает по поверхности ОH (u, х) cQ(u, х), как это следует из модели класса (4), представляющей собой поверхность Q(u, х). Реальный же процесс проходит по линии J (рис. 4а), лежащей на поверхности S(и,х) с Q(u,х), т.е. J е S(и,х). Из рисунка 4а видно, что точка C £ S(и,х), B е S(и, х), но B £ J, и точка A е J с S(и, х) с Q(u, х). А на рисунке 4б представлен случай, учитывающий влияние помех h и £ . Важно заметить, что априори неизвестно, имеет ли исследуемый процесс «трубчатую» структуру. На этот факт было обращено внимание в [4]. Для того чтобы установить это, необходимо, как это обычно делается, построить модель и проанализировать поведение оценок х (и j) при произвольных значениях компонент вектора и j = (и-j,..., uj) е Q(u ).

Если исследуемый процесс имеет «трубчатую» структуру, то его модель может быть взята в виде

х s (и) = F (и, a, Us, х s), (3)

где Us, Xs - временные векторы, Us = (щ, U2,..., us ), хв = (х1, х2,..., Xs), F(-) - не-

а)

б)

Рис. 4. Примеры H-процессов

28

А.В. МЕДВЕДЕВ

который функционал, включающий в себя как параметрическую составляющую, так и соответствующие непараметрические оценки. Таким образом, модель класса (3) представляет собою «генетический» продукт от методов параметрической и непараметрической идентификации. Иными словами, он есть «дитя» от «родителей» - методов параметрической и локальной аппроксимации.

В частном случае можно подкорректировать стандартную модель следующим образом:

Xs (u) = f (u, a s) Is (u) (4)

N

либо Xs (u) = Is (u) Y a !ф ! (u), (5)

J=1

где индикатор / (и) имеет вид:

(6)

Заметим лишь, что, вообще говоря, область Q (и) нам не известна, а известна лишь выборка {xz,«z,/ = 1 ,s}. Если индикатор равен нулю, то оценка x (u), Xs (u) не может быть вычислена, т.е. при таких значениях компонент вектора u е Q(u) процесс протекать не может. Если индикатор Is (u) при любом значении u е Q(u) равен единице, то модель (4) совпадает с общеизвестными. В качестве оценки индикатора Is (u) можно принять следующее приближение:

Is (и) = Sgn(5Cs )-1 Е Ф{с~1 (xs (и) -X;)) п Ф{с~1 (suJ -и{ )) 5 О)

где 1=1 7=1

xs(u) = Y xj П О(c-1(uj -uj) / Y П О(c-1(uj -uj) , (8)

i=1 j=1 j=1 j=1

а параметр размытости cs и колоколообразная функция О (•) удовлетворяют условиям [5].

Об одной особенности моделирования «трубчатых» процессов

Приведем следующий пример, имеющий отношение к идентификации безынерционной системы. Пусть объект описывается уравнением

x(u) = f (u15 «2, ^), (9)

где трехмерный вектор u = (u1, u2, u3) е R3 является входной переменной, а x е R1 - выходная переменная. Традиционный путь построения модели процесса, описываемого (9), состоит в определении класса параметрических зависимостей х(и) = f{ul,u2,u3,a) и последующей оценки параметров а тем или иным способом по выборке наблюдений (wf,xf),z = 1,5, где s - объем выборки. Проанализируем этот пример с разных точек зрения. Пусть компоненты вектора входных переменных u = (u1, u2, u3) стоха-

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

29

стически никак не связаны, т.е. независимы. В этом случае естественно использовать обычный традиционный прием, описанный выше. Теперь предположим, что объективно компоненты вектора входных переменных функционально связаны, например,

u2 =9» «3 = Ф2^) =Ф2(Ф1(М1). (10)

Естественно, исследователь не знает о существовании зависимостей

(10). В противном случае можно было бы сделать подстановку (10) в (9) и получить следующую зависимость х уже от одной переменной « вида

х(и) = Ф^) Ф2(Ф1(«1))). (11)

Таким образом зависимость (9) в приведенных выше условиях может быть сведена к одномерной зависимости х от «г

В случае, если зависимость «3 от «2 объективно отсутствует, то (9) легко приводится к виду

х(«) = f («j,Ф1(г^^ u3) (12)

т.е. к двумерной зависимости х от «1, « Отсюда можно заключить, что при наличии функциональной зависимости между компонентами вектора « мы получаем зависимость х от «, в данном случае - одно-двух-трехмерные. Подчеркнем еще раз, что о наличии функциональных зависимостей между компонентами вектора входных переменных исследователю не известно. Просто мы проанализировали случай: «Если бы...». А теперь проанализируем наиболее интересный случай, имеющий непосредственное отношение к H-процессам. Пусть «3 и «2, хотя и неизвестным образом, но стохастически связаны. Подчеркнем - стохастически, а не функционально. Вернемся еще раз к анализу того, что произошло. Во-первых, если компоненты вектора « независимы, то исследуемый процесс описывается функцией трех переменных. Если две компоненты вектора входных переменных « связаны функциональной зависимостью, то процесс описывается функцией двух переменных. Наконец, если две переменные связаны стохастически, то процесс описывается функцией более чем двух переменных и менее чем трех?! Можно считать, что мы приходим к зависимости от дробного числа переменных и, следовательно, к пространству дробной размерности. Такой факт в математике был уже известен, правда, истоки его лежали в области геометрических исследований природных объектов и описаны в книге Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» [4]. Приведем небольшой фрагмент: «Жидкость, газ, твердое тело - три привычных физических состояния вещества, существующего в трехмерном мире. Но какова размерность клуба дыма, облака, точнее их границ, непрерывно размываемых турбулентным движением воздуха? Оказалось, что она больше двух, но меньше трех. Дробная величина! Аналогичным образом можно посчитать и размерность других реальных природных объектов - например, береговой линии, размываемой прибоем,

30

А.В. МЕДВЕДЕВ

или кроны дерева, шелестящей под ветром. Кровеносная система человека - пульсирующая, живая - имеет размерность 2.7». Ранее этот факт был известен как размерность пространства Хаусдорфа - Безиковича. Из опыта разработки некоторых компьютерных систем моделирования и управления дискретно-непрерывными процессами мы приходим к заключению о том, что многие реально существующие процессы могут быть отнесены к классу Н-процессов, а их модели - к классу Н-моделей.

Моделирование динамических процессов. В общем виде модель линейной динамической системы может быть описана уравнением

m к

Xt = I aixt-i + IbiUt-i+!, (13)

i=1 i=l

где X и U - соответственно выходная и входная переменные объекта. Введём векторные обозначения:

Zt = (xt-1,..'> Xt-m > Ut-1v••, Ut-k ), a = (al,.•., am > b1v.-. bk ),

тогда уравнение (13) перепишется в виде

0

Xt = Iai Zt, (14)

i=1

где 0 = к + m. На рисунке 5 представлен аналог объекта (13) при к =1.

Рис. 5. Схема объекта

Следует обратить внимание на тот факт, что мы, по существу, свели задачу идентификации линейной динамической системы к задаче идентификации многомерного линейного объекта без памяти. К сожалению, это не приводит к каким-либо упрощениям решения исходной задачи, а разве лишь к алгоритмической простоте.

В случае, если процесс относится к классу нелинейных динамических, то

Xt = ^ ( Xt-1, Xt - 2,..., Xt - m , Ut-1, Ut-2,..., Ut - к+1^ (15)

где ^ (.) - некоторая функция. Для динамических объектов А. А. Фельд-баум использовал термин - объект с памятью. Мне представляется, что объект с памятью и динамический объект не всегда одно и то же, например, Xf =¥ (Xf -q, Uf -h), где 0 и n принимают некоторые целочисленные значения. В частности,

Xt = ^ (Xt-1, Xt-3 , Xt-7 , Ut-1, Ut-5 ) .

(16)

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

31

Выражение (16) может не являться дискретным аналогом какого-либо дифференциального уравнения.

О пространстве с изменяющейся размерностью. Рассмотрим следующую ситуацию [7]. Из простоты соображений, пусть интересующий нас процесс описывается уравнением (9).

В случае стохастической зависимости между переменными u2(uД u3(u1) по имеющимся в наличии обучающим выборкам можно вычислить квадратичную ошибку прогноза u2s (u1), u3s (u1). Здесь u2s (u1), u3s (u1) есть непараметрические оценки.

^21 = S(W2 ~u2s (Ml)) jGl2 » ^31 = S(W3 ~u3s(ul)) » (17)

где S21 и S31 - квадратичные ошибки, полученные при непараметрическом восстановлении принятых зависимостей. При наличии функции многих переменных могут быть приняты и другие варианты зависимостей одних компонент вектора входа от других. Возвращаясь к предыдущему примеру, «силу» стохастической связи X между двумя произвольными переменными можно, например, вычислить по формуле

Х = 1 -5, (18)

где 5 может быть равно S21 либо 531.

Отсюда видно, что самая сильная стохастическая связь (функциональная) равна 1, отсутствие связи при X =0, а при стохастической зависимости между входными переменными 0< X <1.

Если в более общем случае такого рода процессы интерпретировать как функции многих переменных, то изменчивость этой функции во времени может быть, например, показана на нижеследующей цепочке соотношений, действующих во времени.

х =f (t, ul, u2, u3, u4, u5) -T1

X=f(t,u1, u2,u3,u4,u5) -T2

x=f (t, ul, u2, u3, u4, u5) -T3

x=f(t, ul, u2, u3, u4, u5) -T4

x=f (t, u2, u3, u4, u5, u6) -T5

x=f (t, , u2, u3, u4, u5, u6) -T6

x=f (t, , u2, u3, u4, u5, u6) -T7

x=f (t, , u2, u3, , u5, u6) -T8

x=f (t, ul, u2, u3, u4, u5, u6, u7) -T9

x=f(t, ul, u2, u3, u4, u5, u6, u7) -T10

x=f (t, ul, u2, u3, u4, u5, u6, u7) -Til

x=f(t, ul, u2, u3, u4, u5, u6, u7) -T12

x=f(t, ul, u2, u3, u4, u5, u6, u7) -T13

x=f(t, ul, u2, u3, u4, u5, , u7) -T14

(19)

32

А.В. МЕДВЕДЕВ

Поясним наши обозначения. Наиболее темным цветом (u1) обозначены переменные, которые оказывают самое сильное влияние на x (возможно, функциональная зависимость). Менее темное обозначение (u1) говорит о более слабом влиянии переменной на x (возможно, стохастическая зависимость), более слабое влияние на x оказывают u1 и u1. Ti, где i = 1,9 -интервалы существования соответствующих зависимостей. Таким образом, в реально действующих процессах подобного рода роли значения переменных существенно изменчивы. Из приведенных выше зависимостей видно, что некоторые переменные могут утрачивать свое значение, а некоторые утрачивают, а потом восстанавливаются, а некоторые новые переменные появляются впервые, как, например, u6, u7. В более общем виде модель организационного процесса может быть представлена следующей цепочкой соотношений:

х =f (t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t))

x=f (t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t)) x=f (t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t)) x=f (t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t)) x—f (t, , u2(t), u3(t), u4(t), u5(t), u6(t))

x=f (t, , u2(t), u3(t), u4(t), u5(t), u6(t))

x=f (t, , u2(t), u3(t), (i), u5(t), u6(t))

x=f (t, , u2(t), u3(t), , u5(t), u6(t))

x=f(t, u1(i, u2(t), u3(t), u4(t), u5(t), u6(t), u7(u) x=f(t,ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t), u6(t), u7(t)) x=f (t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t), u6(t), u7(t)) x=f(t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t), u6(t), u7(t)) x=f (t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t), u5(t), u6(t), u7(t)) x—f (t, ul(t), u2(t), u3(t), u4(t),u5(t), , u7(t))

Если сохранить математический «облик» интерпретации функции многих переменных как точку многомерного пространства, то при наличии «трубчатого» процесса мы приходим к пространству дробной размерности F1 . Вычисление размерности F1 можно осуществить, например, так:

dimFX = (n +1) - EXи+^ (21)

i=1 ’

где n - размерность вектора и, а | м означает «силу» стохастической связи между ии и .

В принципе, могут быть предложены и другие схемы вычисления размерности пространства. Например,

n—1

dim FjX = (n +1) — E Xj i+1, (22)

i=1

-Tl, /e [/„,/,] -T2, <£[/,,/,] -T3, /б[Г2,/3] -T4, re[/3,»4] -T5, <e[r4,fs] -T6, re[(5,(,] -T7, ?e[^6,?7] -T8, *G[f7,r8] -T9, /e[r„r,] -T10, f 6 [/„/,„] -Til, (£[<,„,<„] -T12, /e [/,„/„] -T13, tG [/l2,/l3] -T14, <e[/13,/l4]

(20)

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

33

где Xl m - зависимость всех компонент вектора и от одной компоненты U .

При достаточно внимательном анализе разложения функций в ряды уместно вспомнить фразу В.И.Арнольда из замечательной книги «Теория катастроф» [5]: «Вычисления в этих прикладных1 исследованиях обычно проводились без общей теории за счет правильного отбрасывания одних членов ряда Тейлора и оставления других, наиболее важных. Из физиков, особенно систематически применявших теорию катастроф до ее возникновения, стоит особо выделить Л.Д. Ландау. В его руках искусство отбрасывать «несущественные» члены ряда Тейлора, сохраняя меньшие по величине «физически важные» члены, дало много включаемых в теорию катастроф результатов».

Вычислительные эксперименты. Пусть процесс описывается функцией х = f(up и2) и находится под воздействием помехи ^(/). Примем обучающую выборку равной 500, входные переменные - независимы, также покажем зависимость размерности пространства F1 от s.

На рисунке 6 видно, что при независимых входных переменных, размерность процесса близка к 7.

Рисунок 7 иллюстрирует, что при небольшой выборке, размерность F1 уменьшается, но при увеличении выборки размерность пространства F1 близка к 7.

Рис. 6. Зависимость размерности пространства F1 от уровня помех

Рис. 7. Зависимость размерности пространства Fx от объема выборки

1 Здесь речь идет о теории упругости.

34

А.В. МЕДВЕДЕВ

Рассмотрим процесс, имеющий «трубчатую» структуру, то есть Н-процесс.

Видно, что у Н-процесса, в этом случае, размерность пространства близка к двум (рис. 8). Объясним причину данного явления.

Пусть х = f(u , u2), но вследствие того, что данный процесс имеет «трубчатую» структуру, u2 = g(u), соответственно, х = f(u , u2) = fu, g(u)). В итоге имеем процесс, описываемый одной переменной. При увеличении помехи связь между u } и u2 ослабевает, соответственно, и размерность процесса растет.

В проведенных экспериментах (рис. 9) dim Fx отличаются друг от друга, что является следствием того, что u2 во втором эксперименте стохастически зависит от u 7. Далее проведем эксперимент, когда на входе про-

Рис. 8. Зависимость размерности пространства F1 от уровня помех

Рис. 9. Зависимость размерности пространства F1 без помех и с помехой 10%

Рис. 10. Зависимость размерности пространства Fк от уровня помех

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

35

цесса действуют 10 независимых переменных, а выход, без нарушения общности, скалярный.

На рисунке 10 видно, что размерность близка к 11. Рассмотрим случай, когда в первом эксперименте на процесс действует 10% помеха, а во втором - отсутствует.

На рисунке 11 размерность пространства Fx, как и следовало ожидать, приближается к 11.

Вычислим размерность пространства Fx в зависимости от уровня помех, если все входные воздействия стохастически зависимы (рис. 12).

Рис. 11. Зависимость размерности пространства Fx от объема выборки

Рис. 12. Зависимость размерности пространства Fx от уровня помех

Рис. 13. Зависимость размерности пространства Fx от объема выборки

36

А.В. МЕДВЕДЕВ

Как и предполагалось, размерность пространства F при функциональной зависимости компонент вектора входа стала равна двум. При уменьшении степени этой зависимости dim F1 возрастает.

При увеличении объема выборки (рис. 13) размерность пространства F1 возрастает, в связи с более точным оцениванием параметров 5.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итог статьи состоит в анализе особенностей, возникающих при моделировании процессов «трубчатой» структуры, которая имеет место всегда, если компоненты вектора входных переменных процесса стохастически зависимы. В этом случае традиционно используемые модели статических систем с запаздыванием неприменимы или могут приводить к значительным ошибкам. Наиболее интересным является тот факт, что мы приходим к необходимости введения пространства дробной размерности. Безусловно, важным является факт исчезновения и появления влияния некоторых входных переменных в различные периоды времени на значения выходных переменных процесса, что тесно связано не столько с пространством дробной размерности, сколько с пространством изменяющейся размерности.

Н-процессы не следует путать с аттракторами, которые являются подмножеством фазового пространства динамической системы, все траектории из некоторой окрестности которого стремятся к нему при времени, стремящемся к бесконечности. Подмножество H-процесса D.H (х) отражает свойства исследуемого реального процесса и может существенно отличаться от регулярных, странных и других аттракторов. Обратим еще раз внимание, что подобласть D.H (х) исследователю никогда не известна, иными словами, H-процесс характеризуется (определяется) реально протекающим процессом, а не какими-либо теоретическими, математическими конструкциями.

Основной итог статьи состоит в моделировании процессов «трубчатой» структуры, которая имеет место всегда, если компоненты вектора входных переменных исследуемого процесса стохастически зависимы. В этом случае традиционно используемые модели статических систем с запаздыванием неприменимы или, в лучшем случае, могут приводить к значительным ошибкам. Наиболее интересным является тот факт, что мы приходим к необходимости введения пространства дробной размерности. Интересен вопрос: будет ли это пространство Хаусдорфа - Безиковича? Проведенные численные исследования подтверждают эффективность использования H-моделей вместо общепринятых.

H-МОДЕЛИ ДЛЯ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

37

ЛИТЕРАТУРА

1. Медведев А. В. Некоторые замечания к Н-моделям безынерционных процессов с запаздыванием // Вестник СибГАУ - 2014. - № 2(54). -

С. 24-34.

2. Медведев А. В. Анализ данных в задаче идентификации // Компьютерный анализ данных моделирования. - Минск: БГУ, 1995. - Т. 2. - С. 201-206.

3. Медведев А. В. H-модели для безынерционных систем с запаздыванием // Вестник СибГАУ. - 2012. - № 5(45). - С. 84-89.

4. Мондельброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.; Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2010. - 656 с.

5. Арнольд В. И. Теория катастроф. - М.: Наука, 1990. 128 с.

6. Тарасенко Ф. П. Моделирование и феномен человека. Ч.1; Моделирование - инфраструктура взаимодействия человека с реальностью. - М.: Научные технологии, 2012. - 137 с.

7. Медведев А. В. Основы теории адаптивных систем. - Красноярск: Сибирский государственный аэрокосмический университет им. ак. М. Ф.Решетнева, 2015. - 526 с.

REFERENCES

1. Medvedev A. V. Nekotorye zamechaniya k H-modelyam bezynertsionnyh protsessov s zapazdyvaniem [Some notes on H - models for non-inertis systems with a delay]. Vestnik SibGAU. 2014. vol. 54, no. 5, p.24-34. (In Russ.)

2. Medvedev A. V. Analizq dannyhq Bq zadacheq identifikatsiiq [Analysis of the data in the problem identification] Computer analysis of simulation data. V.2. - Minsk: BSU, 1995. p. 201-206.

3. Medvedev A. V H-modeli dlya bezynertsionnyh sistem s zapazdyvaniem [H-model for non-inertia systems with delay]. Vestnik SibGAU. 2012, vol. 45, no. 5, p.84-89.(In Russ.)

4. Mondelbrot B. Fraktalnaya geometriya prirody [Fractal Geometry of Nature]. Moscow - Izhevsk, Institute of Computer Science, NITS “Regular and Chaotic Dynamics”Publ., 2010. 656 p.

5. Arnold V. I. Teoriya katastrof [Catastrophe Theory]. Moscow: Nauka Publ., 1990. 128 p.

6. Tarasenko F. P. Modelirovanie i fenomen cheloveka . Ch.1 . Modeliro-vanie - infrastruktura vzaimodeystviya cheloveka s realnosty [Modeling and the phenomenon of man. Part 1 . Simulation - the infrastructure of human interaction with reality]. Moscow: Nauchnye tehnologii. 2012. 137 p.

7. Medvedev A. V. Osnovy teorii adaptivnyh sistem [Fundamentals of the theory of adaptive systems]. - Krasnoyarsk: SibGAY. 2015. 526 p.