CC BY
75
SUMMARY
V.I. Razumov
The course ''Methodology of scientific researches'' as the instrument of preparation of professional scientists in agrarian and industrial complex
The special course ''Methodology of scientific researches'', is carried out since 2004 for graduate students of OMGAU. The new intellectual technologies developed in categorial and system methodology, the theory of dynamic information systems, are given in the device intellectual the circuit designer. Labor productivity in scientific, educational, design activity increases.
Key words: intellectual circuit designers, categorial and system methodology (CSM), scientific researches, preparation of scientists, design, theory of dynamic information systems (DIS, TDIS), educational and methodical activity.
УДК 52.336:621.318 И.В. Тихомиров
ГРАВИТАЦИОННЫЕ ПОЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ПРИРОДЫ
В общей теории относительности гравитационные поля представляют собой искривление метрики пространства-времени. В данной статье в тензорной форме получены уравнения гравитационного поля при наличии только электромагнитного поля, а также уравнение Пуассона для гравитационного потенциала в пространстве, определяемого напряженностью электростатического поля.
Ключевые слова: общая теория относительности, гравитационное поле, нелинейная электродинамика, электромагнитное поле, уравнения гравитационного поля, искривление пространства.
Введение
В общей теории относительности (ОТО) гравитационные поля представляют собой искривление метрики пространства-времени. В отсутствии гравитационных полей, в инерци-альной системе отсчета метрика пространства-времени галилеева, т. е. соответствует геометрии четырехмерного псевдоевклидова пространства с метрическим тензором
С
г(0) gik
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(1)
Рассмотрим четырехмерное пространство с декартовыми пространственными координатами х12 3 = х,у,г и временной координатой х0=& . Искривление метрики пространства-
времени происходит при наличии макроскопических тел или электромагнитного поля [1]. При этом геометрия пространства-времени становится неевклидовой, что может быть интерпретировано как появление гравитационных сил в инерциальных системах отсчета. Локально инерциальная система отсчета с гравитационным полем эквивалентна некоторой неинерци-альной системе отсчета. Квадрат интервала в искривленном пространстве-времени имеет вид
Ж2 =-Х,<Лх'с1х>. (2)
Здесь производится суммирование по повторяющимся индексам, т. е. под данной записью мы будем подразумевать произведение ковариантного тензора ^ на контравариантный
© Тихомиров И.В., 2012
тензор . Переход между ковариантной и контравариантной формами тензоров осуще-
ствляется через метрический тензор, например:
вы=8и8ткв1к. (3)
Компоненты метрического тензора подчиняются уравнению гравитационного поля
8 пС Г 1
(4)
где С-6,77-10 имкг 1с 2 - гравитационная постоянная; с = 2,99-108м/с - скорость света в вакууме; Тл - тензор энергии-импульса; 7 = /,' - след тензора энергии-импульса; Кк - тензор второго ранга, который можно получить из тензора кривизны четвертого ранга Щтк, суммируя по индексам пит:
дг: дГ"
Я =]?.=■
ж гтк
¡с ¡т Не 1к тг -
дхт дх'
где Г^ - символы Кристоффеля, определяемые выражением
т—>т _ 1 тI
л _ 2
I
\
, дхк дх' сЬсг ,
Тензор кривизны четвертого ранга определяется следующим выражением
дГ" дГ"
К\ =■
1ГПК
■ + Г" Г1 -Г" г1
/с 1т /к 1к т
(5)
(6) (7)
дхт дхк
Тензор энергии-импульса электромагнитного поля
Рассмотрим уравнения гравитации при отсутствии макроскопических тел, при этом в пространстве может находиться электромагнитное поле. В этом случае тензор энергии-импульса определяется только электромагнитным полем и имеет вид
1 1
Т*= — * 4л-
р р1__р рыя
й к ^ Ьп о гк
(8)
где Ек - тензор электромагнитного поля. Здесь для упрощения выражений используется га-
уссова система единиц 4-потенциал А:
= Но =
4л-
. Тензор электромагнитного поля определяется через
дА.
дх1 дхк ' (9)
где А составляется из векторного и скалярного потенциалов электромагнитного поля
(А12 3 = Ах, А ,А2 и Ац = —фу, Агк- ковариантная производная от 4-потенциала:
А- * =
Ч к
дА.
дх
1--Г:А
к гк т
(10)
Тензор электромагнитного поля можно записать через напряженности электрического и магнитного полей:
(
Р* =
0 Я г -Я У Е X
-я г 0 я X Е У
Я У -Я X 0 Е г
-Е -Е -Е Е
4
С
X
У
2
X
1 8А -
где Е —----gradф, Н = го/А . Для того чтобы выражение для тензора энергии-импульса
с дt
электромагнитного поля не зависело от метрического тензора, запишем тензор энергии-импульса электромагнитного поля в смешанной форме:
1 ( 1 л
^к _
4л-
—К ¥8
II ^ 1т г
(12)
где 8* — g¡lg'I - единичный тензор; 8* - О при / ^ к и 8* = 1 при г = к. Тензор энергии-импульса обладает тем замечательным свойством, что его след равен нулю, т. е. Т = Т = 0 . В смешанной форме тензор энергии-импульса электромагнитного поля имеет вид
г^к _
Аж
~(-Е2+Е2+Е2
2 х У 2
-Н2 +Н2 +Н2)
х у г /
ЕЕ +НН
X у X у
- ЕЕ + Н Н
ЕН -ЕН
у г г у
- ЕЕ +НН
X у X у
1
(Е,
■Е2+Е2
У *
2
+Н2-Н2 +Н2)
х V г /
- ЕЕ +Н Н
Е Е +Н Н
у г у г
-ЕЕ+НН
у г у г
ЕН -ЕН
-(Е2+Е2-Е2
^ У 2
+Н2 +Н2-Н2)
х V г /
ЕН -ЕН
у г г у
ЕН -ЕН
ЕН -ЕН
у г г у
(13)
ЁН -ЕН I
^¿Х у ух 2 ^
Временная компонента тензора энергии-импульса связана с плотностью энергии электромагнитного поля Г0° = -со, компоненты Т'' а, /3 = 1, 2, 3 образуют тензор плотности потока импульса электромагнитного поля, и компоненты Т° а = 1, 2, 3 связаны с вектором плотности импульса электромагнитного поля Г° = сРа . Полученное выражение тензора энергии-импульса электромагнитного поля в криволинейных координатах не зависит от метрического тензора.
Уравнения гравитации при наличии электромагнитного поля
При отсутствии макроскопических тел уравнения гравитационного поля запишутся в виде (Т= 0):
С
(14)
Вследствие квантовых эффектов классическая электродинамика становится противоречивой при сильных полях. Наличие сильного электромагнитного поля сопровождается рождением частиц из вакуума, поэтому электромагнитное поле в «чистом» виде, без частиц, возможно только при слабых полях. Мы будем рассматривать классические, слабые электромагнитные поля, т. е. в нашем случае напряженности электрического и магнитного полей
ограничены снизу величиной
2 3
т с
кг
где к - постоянная Планка; т, е - масса и заряд электро-
на. Такие поля, вследствие малости G, будут приводить к малым искривлениям пространства-времени, поэтому можно пользоваться первым приближением (ньютоновским приближением) для уравнений гравитационного поля. В этом случае метрика пространства-времени близка к галилеевой метрике и компоненты метрического тензора могут быть записаны в следующем виде
8¡к ~ 8¡к ^к ■> (15)
1
где к.к - малая поправка к галилеевой метрике.
Так как гравитационное поле создано слабым электромагнитным полем, то поправка к тензору энергии-импульса вследствие искривления пространства-времени является величиной большего порядка малости, т. е. ковариантный тензор энергии-импульса Т можно рассчитывать в галилеевой метрике:
Тт _ гт1гп _ 0 гт-гт , 7 гт-гт _ 0 гт-гт тг О
Ъ = Я К =% К +П.1. 1. =1, ,
гк <-> гт к <—>гт к гт к <—> гт к гк у I 10 )
причем Та; =г;х: = -Т0° а,р = 1,2,3 .
Выражение для Я.к в первом приближении имеет вид
гк 2
(
А-
V
1 д2Л
c2 dt2
1 d2^
7 dt2 j
К> (17)
3 д2 I и
где А = ^—- - оператор Лапласа, а □ = А—-—- - оператор д'Аламбера. Уравнения
а=1 дХа ^
гравитационного поля при наличии только электромагнитного поля принимают простой вид
( 1 \
и
* с4
А- — —
с2 dt2
V ^ ^ j
\bnG о
^ ■ (18)
1 о Е
Например, для электростатического поля R00 ~ — Афп, и У,-," = —, где фГР - потенциал
2 8 ж
статического гравитационного поля, уравнение для временной компоненты тензоров имеет вид
2 GE2
(19)
Полученное выражение - это уравнение Пуассона, определяющее распределение гравитационного потенциала. Решение уравнения зависит от напряженности электростатического поля, т. е. распределение гравитационного потенциала в пространстве определяется электростатическим полем.
Безусловно, гравитационное поле, созданное электромагнитным полем, слабо и не может быть обнаружено в современных экспериментах, но удивителен сам факт существования связи между, казалось бы, совершенно различными объектами природы - электромагнитным и гравитационным полями.
Список литературы
1. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика : В 10 т. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - Т. 2. - М. : ФИЗМАТГИЗ, 1962. - 400 с.
SUMMARY
I.V. Tikhomirov
Gravitational fields of the electromagnetic nature
In General relativity the gravitational fields represent the curvature of space-time metric. In this article in tensor form are obtained equations of the gravitational field in the presence of only the electromagnetic field, as well as the Poisson equation for the gravitational potential in the space defined by the intensity of the electrostatic field.
Key words: theory of General relativity, the gravitational field, nonlinear electrodynamics, electromagnetic field, the equations of the gravitational field, the curvature of space.
