CC BY
52
УДК 519.68
С.А. Бутенков, А.Л. Жуков
ГРАНУЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Введение. Теория информационной грануляции возникла как алгебраическое направление, развивающее теорию нечетких множеств на одномерных носителях [1, 2]. В настоящее время развитие методов ТИГ требует перехода к многомерным задачам и разработке математического аппарата многомерной грануляции [3]. В ряде работ - [4-8] и других работах - рассматривались вопросы расширения гранулирующего подхода на случай двумерных данных и трехмерных данных в декартовых координатах с помощью покрытия декартовыми гранулами согласно [9]. На этом направлении достигнуты значительные успехи [10]. Тем не менее, необходимы более общие модели, позволяющие моделировать перцепции человека, проектирующего сложную систему [11],
[12].
В работе предлагается подход, синтезирующий основные успехи алгебраического и геометрического подходов и позволяющий получить компактные (что важно для практики) и «прозрачные» геометрические модели гранулированных многомерных данных для использования в задачах интеллектуального проектирования.
1. Алгебраические модели декартовых гранул. В ряде наших работ была использована алгебраическая модель декартовой гранулы, позволяющая компактно кодировать геометрическую информацию в виде матриц специального вида, которые Б. К1еш назвал «грассмановыми элементами» [13].
1^
1
§ (*1, *2, *3, Уі, У2, Уз) =
*1 Уі
х2 У
*3 У 3
1
(1)
На основе таких элементов (см. ниже) Б. К1еш построил полную геометрическую теорию для плоскости и пространства [14].
Согласно [13], принципиальную роль для построения геометрии гранул (1)
(1),
площадей трех треугольников, построенных на опорных точках элемента (гранулы) по рис. 1, а.
Рис. 1. Определение базового элемента для плоскости
а
Согласно [13], из модели (1) можно получать геометрическую информацию о базовом элементе (в дальнейшем будем называть его гранулой). Так, высота и ширина гранулы находятся с помощью миноров базового элемента:
Вся геометрическая информация о декартовой грануле содержится в компактном представлении (1). Для сравнения, в [15], в тех же целях, предлагалось использовать клеточные комплексы, что значительно увеличивает объем хранимых данных. Аналогичные алгебраические модели могут быть разработаны для пространства любой размерности (см. пример представления трехмерных данных в [14]).
2. Базовые модели гранул для различной размерности данных. Используя принцип инвариантного кодирования геометрической информации по [13], мы можем получить уравнения базовых элементов в различных ортогональных систе-.
В полярной системе координат гранула 1,2,3,4 может быть определена с помощью площадей базовых секторов, подобно рис. 1, Ь. По аналогии с (1) введем базовый алгебраический элемент в полярной системе, заданный предельными значениями полярных радиусов р1 и р и полярных углов р и р
%Г°1аГ(, Р2РР2 ) =
V
р1 р2
Р1Р2 РР
Р2Р2 Р2Р1
(2)
(2) -формацию в случае необходимости работы с круговыми образами на плоскости [16]. Распространяя результаты предыдущего раздела на трехмерный случай, легко по-
(2)
, р1 р , -
лярных углов р1 р2 и высот и 12:
(, Р2РР2, *1, *2 ) =
*1 *2 0 0"
Р2 Р2 Р 0
Р2Р1 Р2Р1 Р2Р2 1
Р1Р1 РР РР2 1
(3)
(3) -
ских характеристик криволинейной гранулы путем вычисления определителей ее . , -
димо алгебраически описать гранулу, являющуюся частью усеченного конуса ( . 2).
(3), -
, р1 р , -
ных углов р1 р и высот и г2 в виде:
ёС°"е (, Р2Р1Р2, *1, *2 ) =
( *3 г3 2 0 0
Рі Р Р 0
21 2 21 2 * 2
Р2Р1 РР (Р1Р1 1
Р1Р1 РР РР 1
Рис. 2. Базовый элемент в конических координатах в пространстве
,
(3) (4), 5.
3. Инкапсулирующие гранулы в ТИГ. Фундаментальным понятием ТИГ
[2] . , -ределив на плоскости проекции произвольной гранулы g, обозначаемые как
Ргхё 11 рг^ , можно определить инкапсулирующую декартову гранулу для произвольной гранулы g как О+ = prxg X pryg. Гранула О+ является точной верхней гранью конечного множества всех гранул, содержащих g. Эти определения можно распространить на случай произвольного числа переменных. Пусть 0+1,..., О+Х" - цилиндрические расширения О (1) в направлениях Ц,..., ОСп соответственно. Тогда пересечение О^ дает гранулу О+, которая инкапсулирует
О (рис. 5). Это понятие инкапсулирующей гранулы подытоживает то, что декартова инкапсулирующая гранула является специальным случаем. В настоящей работе рассматривается более общий случай ортогональной системы координат.
С понятием инкапсулирующей гранулы тесно связано фундаментальное понятие аппроксимирующего графика отношения. График подмножества плоского множества задается как
/ = Ах X А +... + АХ XА" = X АХ XАХ, 1 = 1,...,п,
где операция ”+” означает дизъюнкцию в широком смысле слова. Отметим, что в настоящей работе речь идет о декартовых координатах (в отличие от лингвистиче-).
4. Нечеткие модели инкапсулирующих гранул. Введенные выше модели гранул в ортогональных координатах допускают нечеткую интерпретацию в духе нечетких геометрических объектов, введенных А. КоБепТеИ [18]. Параметры таких
, ( ) -, , , как в [18] это было введено для плоских геометрических объектов. Для случая инкапсуляции двух произвольных непересекающихся грассманновских гранул g' и
gJ (1) можно записать min-max оценки параметров инкапсулирующей гранулы
G+ :
G+ (g', gJ) =
min(x1, x( ) max( xi, xi) max( x3, x/)
min( yl, У І ) max( yi, yi) min( уЗ, y()
(5)
Исходя из (2) и (5), мы можем получить аналогичные выражения и для криволинейных гранул в полярных координатах:
G+Pohr (g, gJ) =
min(p1 ,p/) max(pi ,pi) O
min(M M)max(pi ,p2) min(M ,M)min(p1i, p/) 1
max(M M)max(pi p) max(M ,M)min(p1i ,p[) 1
(б)
Для цилиндрической системы координат, используя (3) и (6), получаем уравнение инкапсулирующей гранулы в виде:
(
Gcy ( я' , gJ ) =
min(z1, z() max(pi ,pi) min(M ,^i)min(p1 ,p/) max(^i, <pi ) min(pi, pi )
max( zi, zi ) min(p1 ,p/) mm(M,M)mm(pl ,p() max(M ,^2)min(pl ,pJ)
O O
min(pl ,p/) O
min(M, Ml) max(pi ,pi) 1
max(vi ,M)max(pi ,pi) 1
. (7)
В конических координатах уравнение инкапсулирующей гранулы, полученное из (4) и (7), будет выглядеть так:
min(zl, z( )З
max(pi,pi) max( zi, zi)2
min(vl M )min(pl ,pl) max( vi, m2 ) min(pli, pl)
max( zi, zi )З
max(pi ,pj) max( zi, zi)2
min(vl ,^)min(pl ,p) max(Mi ,^)min(pl ,p/)
min(pl ,pj)
min(z; , z()2 mm(M,M)max(pi ,pi) max(M, M ) max(pi, pi )
. (S)
Введенные выше модели (5-8) для инкапсулирующих гранул в различных ортогональных системах координат позволяют находить параметры нечетких геометрических моделей ортогональных гранул, покрывающих множества точек многомерных данных. Min-max оценки (5-8) могут использоваться для построения систем покрытий n -мерных отношений [9] и их аппроксимации нечетким графиком
[2]. На следующих этапах на инкапсулирующих гранулах G+ строятся нечеткие
[14] и в настоящей работе, используемые для решения задач интеллектуального проектирования в трехмерном пространстве.
5. Г ранулирование в трехмерном проектировании. Проектиро вание представляет собой иерархическую человеко-машинную процедуру Первичное размещение элементов задается конструктором. Он же определяет, какие элементы нельзя смещать и параметры каких элементов не могут изменяться. Остальные элементы могут выбираться из заданной базы и размещаться с учетом заданного типа ( , -метрично относительно заданной оси и т.п.). Этап первичной компоновки является наиболее субъективным и во многом определяет все основные качества будущей .
O
На втором этапе конструирования происходит уточнение размещения выбранных элементов конструкции. На этом этапе целью проектирования является , .
На основе введенных мер и алгоритма проектирования был разработан стенд для отработки задач трехмерной компоновки подводных телеуправляемых аппаратов [17] (рис. 3).
Рис. 3. Примеры автоматизированной компоновки ПТ А с использованием гранулированных представлений трехмерных элементов
Исследование качества проектирования подтвердило корректность введенного подхода и возможность дальнейшего улучшения качества проектирования [7].
Заключение. Новые модели пространственных гранул, предложенные в ра, -ных геометрических объектов дизайна декартовыми гранулами, а также минимизировать объем данных, необходимых для описания и обработки многомерной информации проектирования [5].
Предложенные унифицированные алгебро-геометрические модели могут быть широко использованы при построении интеллектуальных систем высокоуровневого дизайна, «прозрачных» для пользователя или систем типа «стеклянного ящика» [19] в противовес гранулированным моделям типа «черного ящика » [6]. В , -[1, 2], применительно к задачам конструирования трехмерных
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Zadeh L. Fuzzy sets and Information Granularity. In “Advances in Fuzzy Set Theory and Applications”, M. Gupta, R. Ragade, and R. Yager, Eds. Amsterdam, The Netherlands: North-Holland, 1979, pp. 3-18.
2. Zadeh L. Toward a theory of fuzzy information granulation and its centrality in human reasoning and fuzzy logic. Fuzzy Sets Syst., vol. 90, pp. 111-127, 1997.
3. Клайн М. Математика. Поиск истины. - М.: Мир, 1988. - 295 с.
4. Baldwin J., Martin T., and Shanahan L. Fuzzy logic methods in vision recognition. // Fuzzy Logic: Applications and Future Directions Workshop, London, UK, 300-316, 1997.
5. Suh N.P. The Principles of Design, New York : Oxford University Press, 1990.
6. Batyrshin I., Panova A. On Granular Description of Dependences // Proc. Of 9th Zittay Colloquium (Zittay, Germany, 2001). - 2001, p. 1-8.
7. Butenkov S. Granular Computing in Image Processing and Understanding. In Proc. IASTED International Conf. On AI and Applications “AIA 2004”, Innsbruk, Austria, February 10-14, 2004, pp. 622-630.
8. Butenkov S., Krivsha V., AlDhouyani S. Granular Computing in Computer Image Perception: basic issues and Glass Box models. In Proc. IASTED Conf. In Artificial Intelligence and applications “AIA 2006”, Innsbruk, Austria, February 16-18 2006, pp. 811-816.
9. Zadeh L. From Computing with Numbers to Computing with Words - From Manipulation of Measurements to Manipulation of Perceptions. IEEE Trans. // Circuits and Systems - Fundamental Theory and Applications, vol. 45, №1, 1999, pp. 105-119.
10. Бутенков C.A., Кривша В.В., Бутенков Д.С. Гранулированные вычисления в системах
// .
конференции ’’ИАИ-2005”, Киев, 17-20 мая 2005. - С. 79-85.
11. Walker E. Perspectives on Fuzzy Systems in Computer Vision // Proc. of the Annual Conference of the North American Fuzzy Information Processing Society [NAFIPS '98], August, 1998, pp. 296-300.
12. . . -
// , - -нальной академии наук Украины, №4, 2005. - С. 106-115.
13. F. Klein. Elementarmathematik vom Hoheren Standpunkte Aus Erster Band. Verlag von Julius Springer, Berlin, 1924.
14. . . -
// ”, - -циональной академии наук Украины, №6, 2006. - С. 124-131.
15. Erwig M., Schneider M. Vague Regions. 5th Int. Symp. on Advances in Spatial Databases (SSD), LNCS 1262, 298-320, 1997.
16. Ullah S. F-granular design information based Information axiom. In Proc. of ICAD 2002, Cambridge MA, June 2002, pp. 1202-1209.
17. . ., . ., . ., . . -
// . - :
Изд-во ТРТУ, №3, 2004. - С. 66-73.
18. Rosenfeld A. Fuzzy plane geometry: Triangles. Pattern Recognition Letters, 15(12): 12611264, 1994.
19. . ., - . . . -
// .
” ” -2006, , 20-22 -тября 2006. - C. 216-230.
УДК 65S.5
. . , . .
РАЗРАБОТКА АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ В CAD/CAM
.
обработки можно представить последовательностью задач, выстроенных вдоль потока развития информации от исходных данных для проектирования к результату - информации, необходимой и достаточной для подготовки к исполнению производственного процесса.
Процесс проектирования многовариантен и имеет итерационный характер с обратными связями разной глубины. Современные CAD-системы поддерживают этапы технического предложения, эскизного и рабочего проектов с полным комплектом конструкторской документации, содержащей информацию о номинальной (абстрактной) геометрии проектируемых изделий. CAM-системы связаны с разработкой программного обеспечения для станков с ЧПУ, рабочих технологий обработки деталей и сборки сборочных единиц, что позволяют создать полный комплект рабочих технологических документов.
