ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА НЕВАНЛИННЫ α* Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010

IZVESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010

УДК 517.55

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА НЕВАНЛИННЫ а *

© С. И. ФЕДИН

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра математического анализа e-mail: rector@penza-spu.ru

Федин С. И. - Граничные свойства функций класса Неванлинны а * // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 26-29. - В статье мы рассмотрели свойства функций класса Неванлинны а* в области класса (T ) пространства C2.

Ключевые слова: область класса (T ), класс Неванлинные а*, внешняя функция.

Fedin S. I. - Boundary properties of functions Nevanlinna's class а* // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belin-skogo. 2010. № 18 (22). P. 26-29. - In this article we considered some properties of functions Nevanlinna’s class а* in domain of class (T ) in space C .

Keywords: domain class (T ), Nevanlinna’s class а*, external function.

Пусть D - выпуклая ограниченная полная двоякокруговая область с центром в начале координат пространства C2 двух комплексных переменных, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне (область класса ( T )) [2].

Для любой области D класса (T) существует параметризация

zi = r (т)ре’9, Z2 = Г2 (т)ре’(9 t ^,

где r (т), Г2 (т) - функции А. А. Темлякова, р е [0,1] 9 е [0,2п] t е [0,2п] т е [0,1]

На границе dD области D естественным образом вводится трехмерная мера Лебега исходя из объема «гипермногоугольников», расположенных на ней.

Определение 1 [1]. Мы скажем, что регулярная в области D функция f (Zi ,Z2) принадлежит:

1) классу а , если

2п 1 2п

lim | dtIdт J ln + f (ri (т)рег9, Г2 (т)ре’(9 t))

P^1 AAA

0 0

d 9 < да,

2) классу h5 (0 < 8 < да), если

2п 1 2п

lim j dt j d т j f ( Г1 (т)рег9, Г2 (т)ре’(9 t ^)

0 0

8

3) классу р , если f (z1 2) ограничена в D.

Определение 2. Функцию g (21,22) е Р назовём внутренней в D, если её радиальные предельные значения удо-

влетворяют условию

g(r1 (т)e’9,r2(т)e{'Q t))

= 1 почти всюду на границе области D.

Определение 3. Скажем, что функция f (21,22) класса а принадлежит классу а *, если

2п 1 2п

0 0

2п 1 2п

lim j dt j d т j ln+ f (Г1 (т)ре’9, Г2 (т)ре’(9 t)) d9 = j dtj d т j ln+ f (r (т) e’9, Г2 (т) e’(9 t))

00

d 9.

Введённый класс находится в следующем отношении: h8cа, с а .

ТЕОРЕМА 1. Для того чтобы голоморфная в области D функция f (21,22) принадлежала классу а* необходимо и достаточно:

1) для почти всех (/, т) (в смысле слоской лебеговой меры) f (Г2 (т ) и, Г2 (т ) ие— ) в единичном круге |и| < 1 принадлежала классу N*,

2) на границе D ln+

f (ri (т) е®, Г2 (т) ег(9 -))

суммируема.

Доказательство. По теореме Б. Леви и определению 3 получим

2п 1 2п 2п 1 2п

. dtГdz Г ln+ f (r (т)ре'9,r, (т)ре'(9-?)) d9 = f dt

P^1

0 0 0

lim j dt j d т j ln + f (ri (т)ре'9, Г2 (т)ре'(9 t)) d 9 = j dt j d т lim j ln + f (ri (т)ре'9, Г2 (т)ре'(9 t))

р^'1 “ 00 P^'1 0

2n 1 2n

j dtjdт j ln+ f (ri (т) ег9, Г2 (т) e<9-t))

d 9 =

0 0 0

Следовательно, для почти всех (/, т) в единичном круге |и| < 1

d9 < да.

2п 2п

lim j ln + f (ri(т)рег9,r2(т)ре'(9-)) d9= j ln + f (ri(т)е'9,r2(t)e'(9-t))

Тем самым необходимость доказана.

d9 < да.

Достаточность. По условию теоремы и теореме Б. Леви получим

2п 1 2п 2п 1 2п

lim | dt| d т j ln+ f (r (т)ре'9, Г2 (т)ре'(9 tj) d9 = j dtj d т j ln+ f (ri (t) e'9, Г2 (t) e'(9 tj)

p^'1 000 000

d9 < да,

то есть f (21,22 )еа*.

ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы голоморфная в области D функция f (21,22), f (21,22) & 0, удовлетворяющая

условию

ln

flp if

2п i 2п D4 л ^2r>2

< ТЛ2 j dt j d тГ

л л л

R - 4р R + 4р R cos (9-ф)-р

0 0 0 |^R2 +р2 - 2рR cos (9 — ф)Ц

х ln

f (ri(т)Re'9,r2(т)Re'(9 t))

d9,

i -t

ре'ф=^-z, +^\z2e-'1, 0 <р< R < i,

r (T) r2 (t)'

принадлежала классу а *, необходимо и достаточно, чтобы наименьшая бигармоническая мажоранта

Г ft М i ( м( л Г R - 4р R +4р R cos (9-ф)-р 1 fl ( )D '9 ( )U '(9-1 )\

(Lf (zi, z2 )J^^ г dtf dT г г 2 2--------- ----X ln f (ri (t) Re , r2 (t) Re' ’)

4n 00 0 R +р - 2рR cos (9-ф^

d9

для 1п|f (21,22) принадлежала классу а*.

Доказательство проводится аналогично случая f (21,22) еа [3] и использует теорему Б. Леви. Определение 4. Функцию f (21,22) е а*. назовём внешней в Б, если

I |i( ) 1 f м f1— 4р +4р cos (9-ф)-р j ( ) ’9 ( ) ’(9-t

ln|f ( z1, z2 )\=—^2 j dtj ^ j^-----------------Х ln f ( Г1 (т ) e , Г2 (т ) e )

4п 0 0 0 |^1 +р2 - 2р cos (9 — ф)Ц

Из определения следует, что внешняя функция f (Z1 ,Z2) не имеет нулей в D и

u [ f ( Z1, Z2 )]= ln|f ( z1, Z2 )|.

Очевидно, для того чтобы функция |f (Z1, Z2) класса а * была внешней в D, необходимо

d9.

, 2п i 2п

ln I f ( 0,0)=—2 j dt j dT j ln f ( ri (t ) e'9, rf (t ) e'(9-t ))

4П A A A

0 0 0

d9

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.

и достаточно, чтобы

1 I ft М. 1 f J, fj i 1 - 4р +4р c0s (®-ф)-р 1 ft ( ) i9 ( ) /(e-t )\

ln f (zf, z2 )p—2 I dt I dT I —---------------^-L-r- Xln f (rf (T ) e , r2 (T ) ^ ;)

4n2 „ „ „ Гі , 2 ^ /r\ \12 ' '

0 0 0 |^1 +p2 - 2p cos (в-ф)^

d e,

d e.

1п| І (0,0) =~Пі і & І&т 11п І (Г (т ) егЄ, г2 (т ) ег(Є '))

4п 0 0 0

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы функция І (Zl^) є а* была внешней в D необходимо, что для почти всех (/, т ) функция І (Гі (т ) и, г2 (т ) ив~й) есть внешняя в единичном круге |и| < 1 и достаточно, что для почти всех (/, т ) функция І (Гі (т ) и, г2 (т ) ив~а) есть внешняя в единичном круге |и| < 1 и

d в.

1 \f( 1 ( ¿Л Л Г 1 — 4р +4р C0S (9 —ф) —р , г! ( ) ¿9 ( ) ¿(9—t )\

ln|f (z1, z2 j dtj ^ j^-----------------------Х ln f (Г1 (т ) e , Г2 (т ) e )

4n 000 [1 + р2 — 2р cos (9 —ф)]

Доказательство. Если f (Z1 ,Z2)еа* - внешняя в области D, то для неё из интегрального представления Пуассона-Темлякова II рода следует для почти всех (t, т ) в единичном круге \ы\ < 1, что

ln

1 2п

f (rf (т ) u r2 (т ) ue-t )| = f

1 -P2

+ p - 2p cos (в-c

ln

f (rf (T ) e,e, r2 (T ) /9 t))

d e.

Следовательно, для почти всех (/,т) функция f (т\ (т ) и, Г2 (т ) ие 11) - внешняя в |и| < 1. Достаточность. По условию теоремы

і |,/ 1 г мfj п 1 -4р +4р c0s(e-(p)-p , rl ( ) /e ( ) /(e-t)\

ln f ( zf, z2 )р—т I dt I dT x ln f ( r1 (T ) e , Г2 (T ) e )

4n 0 0 0 |^1 +p2 - 2p cos (e - ф)^

d e

и для почти всех (t,T ) в единичном круге |и| < 1

,2л

lnlf (0,0)| =2ПIln f (r (T ) e'e, r2 (T ) e'{e‘))

d e.

Интегрируя равенство по всем (t, т ), получим

1 2п 1 2п

ln| f (0,0) = —2 I dt I dT I ln f ( Г1 (t ) eie, Г2 (t ) e/(e-t ))

4n AAA

de,

0 0 0

то есть функция f (Z1 ,Z2) класса а* будет внешней.

Обозначим через Re P (dD) класс всех действительных функций у( , (т ) e’9, Г2 (т ) e’(9 f)) на dD, для которых функция

1 I jt j d 5 1 — 4р2 + V»™ (9 — ф) — р4 J п (т) ?•>, ,2 (т) )) d9

4п2 0 0 0 ^ + р2 — 2р cos (9—ф)]2 1 2 ’

является действительной частью голоморфной функции в D .

ТЕОРЕМА 4. Если функция f (Z1 ,z2) класса а * является произведением внутренней и внешней функций в D, то

ln

f (Г1 (т )el9, Г2 (т )el(e t)) є ReP(dD).

Доказательство. Пусть функция класса а* f (21,22 )= g (21,22) h (21,22), где g (21,22) - внутренняя, h (21,22) -внешняя функции в Б. Тогда по определениям 2 и 4 получим

1 - 4р + 4р cos (9-ф)-р 0 0 0 |^1 +р2 - 2р cos (e - ф)Ц

ТІ2 I dt i dT i

'•I* Л Л Л

ln

f (r1 (T) e'9, r2 (T) el(e t))

d e =

(г (т)еге,Г2 (т)ег(е ?)) й?0 = 1п|h(^22)|

то есть

1п f (Г1 (т) е10, Г2 (т) е‘(е ?)) е ReР (дБ).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айзенберг Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных // ДАН СССР. 1958. Т. 120/ № 5. С. 935-938.

2. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т. 21. С. 79-82.

3. Федин С. И. Граничные свойства функций класса Неванлинны а // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 35-37.