Научная статья на тему 'Граничные свойства функций класса Неванлинны'

Граничные свойства функций класса Неванлинны Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
462
45
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
область класса () / класс неванлинны / наименьшая бигармоническая мажоранта / nevanlinna's class / domain class / minimum biharmonic major

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Федин С. И.

В статье мы рассмотрели свойства функций класса Неванлинны в области класса () пространства.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In this article we considered some properties of functions Nevanlinna's class in domain of class in space.

Текст научной работы на тему «Граничные свойства функций класса Неванлинны»

ИЗВЕСТИЯ

ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 13 (17)2009

IZ VESTIA

PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 13 (17)2009

УДК 517.55

ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ КЛАССА НЕВАНЛИННЫ а

© С. и. ФЕДИН

Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского кафедра математического анализа e-mail: kazakov@spu-penza.ru

Федин С. И. - Граничные свойства функций класса Неванлинны а // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2009. № 13 (17). С. 35-37. - В статье мы рассмотрели свойства функций класса Неванлинны а в области класса (T ) пространства C2 .

Ключевые слова: область класса ( T ), класс Неванлинны а, наименьшая бигармоническая мажоранта.

Fedin S. I. - Boundary prorerties of functions Nevanlinna's class а // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2009. № 13 (17). P. 35-37. - In this article we considered some properties of functions Nevanlinna's class а in domain of class (T) in space C .

Keywords: domain class (T), Nevanlinna's class а, minimum biharmonic major.

Пусть r (r)>r2 (x), " функции А. А. Темлякова [2], определяющие выпуклую ограниченную полную двоя-кокруговую область D с центром в начале координат пространства C2 двух комплексных переменных, граница которой дважды непрерывно дифференцируема и аналитически выпукла извне (область класса ( T )).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ [1]. Мы скажем, что регулярная в области D функция f (zj,z2) принадлежит классу а, если

2п 1 2п

lim-^y J dt\dx\ln+ f (l (x)Pe'9, r2 (x)pe'(e_i)) d0=a(f)

< ж.

0 0 0

ТЕОРЕМА 1. Если /^^)еа, то для почти всех (/,т) (в смысле плоской лебеговой меры)

Г ( (т)

и, г2 (т)ие й) в единичном круге \и\ < 1 принадлежит классу N, радиальные предельные значения

/ (1 (т)е'е, г2 (т)ег(6 1)) существуют почти всюду на дБ, причем на границе Б 1п+ /1г (х)в'®, Г2 (х) г^ 1 мируема.

Доказательство. По определению имеем

сум-

2% 1 2п

lim J dt J dx\ ln+ f (r (x)pe'9, r2 (x)pei(e_t^

000

d9 <x>.

ln4

Внутренний интеграл j ln+ f |r (х)рег6,Г2 (x)pe^6 0

f Ir (x) 11, r2 (x)ue'iQ~t^

d9 возрастает с возрастанием p, так как функция

того

,г2 (х)ие ,т

Нш / (1 (т)рег9, Г2 (т)рег(9 1)) существует при почти всех 9 . По лемме П. Фату получим

2п 1 2п 2п 1 2п

I ^| ¿х 11п+ Г (г (х) е'в, г2 (х)е^>) d9 <Нш | Л| dx^ 1п+ /(г1 (х)рег9, г2 (х)рег(9^>)

субгармоническая в единичном круге \и\ < 1, и обязан быть ограниченной функций от

р для почти всех (/, т). Для почти всех (/, т) имеем f ^ (х) и, г2 (х) ие и N в единичном круге |и| < 1, и, кроме

0 0 0

d 9 <<».

ИЗВЕСТИЯ ПГПУ • Физико-математические и технические науки • № 13 (17) 2009 г.

ТЕОРЕМА 2. Если f (z1 ,z2)еа, f (z1 ,z20 и

2n 1 2n

ln

f\

RR

, 2П i 2П / \

J dt] dT J P [ R, е-ф I ln f (r (x) Re«, r2 (x) Re

4n 0 0 0 ^ '

d 0,

i-T

регф =—— zi +——z2e-'t, 0<p<R <i,

ri (T) r2 (T)

(1)

P\p0- | = R -4p2R2+4p3R cos(е-ф)-р'

\ R ' ф| Г„2,2 '

4

[R 2 +p2 - 2pR cos (0-ф)]

то суббигармоническая в D функция ln\f (Zj ,Z2 )| имеет наименьшую бигармоническую мажоранту.

d0.

{ Z1' Z2 2n i 2n

1 2П 1 2П / \

[f (zi,z2)] = Hm — J dtjdtJ P^R,0^J ln f (r (x)Reß,r2 (x)Re^)

гво. По теорема Гарнака бигармоническая функция 1 2п 1 2п / \

uR [ f (zi,z2 )] = j dtj dT j PI R, е-ф) ln f (ri (x) Reß, r2 (x) Re

n n n^ J

0 0 0

возрастая при R ^ 1, сходится к конечной бигармонической функции u [ f (zi ,z2 )] = lim Ur [ f (zi z )] в D.

R^i

В силу (1) имеем ln\f (Zj,Z2)| <u[f (Zj,Z2)], так что u[f(z1 ,z2)] - наименьшая бигармоническая мажоранта функции ln\f ( Zi ,z2 )|.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы голоморфная в области D функция f (z1, z2 ), удовлетворяющая условию (1), принадлежала классу а, необходимо и достаточно, чтобы наименьшая бигармоническая мажоранта для ln\f (Zi,z2)| принадлежала классу а.

Доказательство. Достаточность следует из того, что u + [ f (z1, z2 )] > ln+ [ f (z1, z2 )] в D .

Докажем необходимость. По лемме Фату

2п 1 2п г -. 2п 1 2п г -,

J dtj d%\ u+ f I r (х)регф, r2 (x^e^) dq = J dt\ dx\ lim uR f I r1 (х)регф, r2 (x)pe^l dq< 0 0 0 0 0 0

2n 1 2n

(2)

< to J dt J dx J uR f (r (x) регф, r2 (x) pei(9"t})

0 0 0

d ф.

Из определения наименьшей бигармонической мажоранты для ln\f (Zj,Z2)| имеем

2п 1 2п

f (ri (x^Vj (x)pe^ ))]< -L j dt J d xj P I R,0-<p|x

0 0 0

(3)

xln+

Подставляя (3) в (2), получим

2п 1 2п

f (r (х)Reß,r2 (х)Re,{Q~t)) d0. им

2% 1 2% f

J dtJ dx J u+ f (r (х)регф, r2 (т)^4") I

0 0 0

d ф <

2n 1 2n

lim [ dt f dx i p .1 J J J

0 0 0

I dt\dx^ Р [ , е-ф) 1п+ / (Г! (х) Ее®, г2 (х) Яе'^)) _0 0 0 ^Я ' 1 1 2п / \

Наконец, замечая, что —— | dt|dx^ РI —,0-ф рф = 1 и меняя порядок интегрирования, находим 4п о 0 0 ^ ^ '

| dt|dх| и+ f (г (х)регф,г2 (х)ре^^)) dф < 1ип | dt|dx\ 1п+ f Iг1 (х)ReIв,г2 (х)Re'{в-t)1 0 0 0 R^1 " то есть и [ / (г1, z2 )]еа.

0 0 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

d0 ,

u

АЛГЕБРА И МАТЕМАТИЧЕСКИЙАНАЛИЗ ►►►►►

Обозначим М/ (р)= тах_ |/(21 ,22 )|.

( 21,22 )е-°р

ТЕОРЕМА 4. Если f (х^ )еа и удовлетворяет условию (1), то

л1+2р-р2

)2

Mf (р)< е (1-р)

Доказательство. По условию теоремы

1п

Я Я

Я2 + 2рЯ -р* 1 (Я -р)2 4л2

2

<

2п 1 2п

] л] dX 11п+ / (г1 (т) Яе,е, г2 (т) Яг,{^>)

d 0.

0 0 0

переходя в этом неравенстве к пределу при Я ^ 1, после элементарных рассуждений получим утверждение теоремы.

список литературы

1. Айзенберг Л. А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных // ДАН СССР. 1958. Т.120. № 5. С. 935-938.

2. Темляков А. А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1957. Т.21. С. 79-82.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.