ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ «ЗАКОН СТЕНКИ» С УЧЕТОМ ШЕРОХОВАТОСТИ ДЛЯ МОДЕЛИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ СПАЛАРТА-АЛЛМАРАСА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6

DOI: 10.53815/20726759„2021_13_4_103

Н. Ш. Нгуен

Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)

Граничное условие «закон стенки» с учетом шероховатости для модели турбулентности Спаларта^Аллмараса

Во многих случаях шероховатость может оказать большое влияние на результат расчета аэродинамики и теплообмена. Для учета эффекта шероховатости используется модификация модели турбулентности Спаларта-Аллмараса. Граничное условие «закон стенки» применяется для повышения точности решения при использовании грубой сетки. Для реализации метода разработана вычислительная программа на неструктурированной расчетной сетке. Проведено сравнение с экспериментальными данными и численными результатами других авторов.

Ключевые слова: шероховатость, модификация модели Спаларта-Аллмараса, закон стенки, шероховатая поверхность.

N. S. Nguyen Moscow Institute of Physics and Technology

Wall roughness function approach to SA model

In many cases, roughness can have a large impact on the numerical result of aerodynamics and heat transfer. To take into account the roughness effect, a modification of the Spalart-Allmaras turbulence model is used. The boundary condition «wall law» is implemented to improve the accuracy of the solution on the coarse mesh. Comparison of the computational and experimental data is performed.

Key words: Roughness, modification of SA model, wall law, rough plate.

1. Введение

Шероховатая поверхность встречается в многих случаях, например, поверхность ледяного слоя при моделировании процесса обледенения. Шероховатость может оказать большое влияние на пограничный слой и, как следствие, на процесс нарастания льда. Она может увеличивать коэффициент конвективной теплопередачи из-за двух причин: повышение коэффициента трения и возрастание площади поверхности теплоотдачи. Таким образом, при моделировании нарастания льда необходимо учитывать этот факт. Для этого часто используются модификации модели турбулентности ББТ к — ш или Б А [1-4], в настройке которых применяют некоторые изменения, зависящие от шероховатости. Также надо отметить, что закон стенки модифицируется по сравнению со случаем гладкой поверхности.

© Нгуен Н. Ш., 2021

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2021

2. Эффект шероховатости

Как показано на рис. 1, неровности на поверхности .льда имеют разнообразную форму, и это сильно затрудняет изучение шероховатости. Для простоты широко используется «эквивалентная песочная модельная» шероховатость с одинаковой высотой бугорков к3. На практике также используется ее безразмерное значение:

к+ = ^, (1) где ит = л/Т^ - динамическая скорость, и - кинематическая вязкость.

1

Рис. 1. Ледяной слой на профиле

Проведенные И. И. Никурадзе исследования движения жидкости в трубах, поверхность которых покрыта однородной песочной шероховатостью [5], показывают, что влияние шероховатости на течение можно разделить на три режима:

1. Гидравлическая гладкость к++ < 5: зерна шероховатости полностью погружены в вязкий подслой и не наблюдается влияния шероховатости на сопротивление и профиль скорости.

2. Переходный режим 5 < к++ < 70: часть элементов шероховатости выступает из вязкого подслоя и начинает оказывать влияние на характеристики течения, создавая дополнительное сопротивление.

3. Полное проявление шероховатости 70 < к+: гидравлическое сопротивление полностью зависит от сопротивления элементов шероховатости, эффектом вязкости можно пренебречь.

С учетом шероховатости меняется закон стенки (рис. 2). По мере увеличения шероховатости логарифмический закон принимает вид

и+ = 11п(у+) + С - Ди+,

К

(2)

где у+ = ^^,и+ = ^, к = 0.4, С = 5.5 , величина сдвига Ди+ зависит от безразмерного параметра шероховатости к+.

По данным эксперимента И. И. Никурадзе:

Ди+ = 11п( к++) + С -В,

К

где

В =

5.5 + ± 1п(к+), 1 <к+ < 3.5,

6.59 + 1.521 1п(к+), 3 .5 <к+ < 7.0,

9.58, 7 < к+ < 14,

11.5 - 0.71п(к+), 14 <к+ < 68,

8.48,

68 < к+.

Рис. 2. Профиль скорости

Другая формула для определения сдвига является формулой Колебрука Григеона [6,7]:

1

Аи+ = - 1п 1 + , ч к \ ехр(3.25к)

,к = 0.41.

(4)

Сравнение двух формул представлено на рис. 3. Основное отличие наблюдается в переходном режиме. В данной работе для изучения всех режимов используется формула Колебрука Григеона.

+ Мкигас^е - Опд5с>п-Со1еЬгоо

+ + + + +

0.5 1.0 1.5 2.0

1оВ(к5+)

Рис. 3. Сдвиг Аи+

3. Модификация модели Спаларта Аллмараса для шероховатой поверхности

Стандартная модель Спаларта Аллмараса с одним дифференциальным уравнением, составляющимся относительно переменной г>, имеет следующий вид [1]:

^ = + Р)уг>)]+ Сь2[(уг>).(уг>)]) + СИ(1 — —(с«, 1 и — ^ ) . (5)

Турбулентная вязкость вычисляется по формуле

№ = рё/ь 1.

В этом уравнении:

Щ = /«1 5 /«1 = ха+сз1 ,Х = ¡7, ^ = П + /«2/«2 = 1 -

,/ ад — У I

Г = Ш1П

10

д = г + Сад2(г6 - г), ) , /¿2 = с*э ехр(-с44Х2),

(6)

где I - расстояние до ближайшей стенки.

Для моделирования обтекания шероховатых поверхностей Б. Аупуа и П. Спаларт в работе [1] предложили использовать модификацию, в которой граничное условие на стенке 5 = 0 заменено условием

(7)

95 5 9п I'

где п - нормаль к стенке, I - росстояние, которое необходимо искусственно увеличить: I = !тт + 0.03Й s, (тт расстояние до стенки.

Рис. 4. Граничное условие Такое условие представлено на рис. 4. Его приближенная формула имеет следующий

вид:

51 - 5«

51

(1 (1 + 0.03^ 0.03^'

где 51 - параметр в центре пристеннои ячеики. Кроме того, изменяются следующие функции:

X = ¡7 +Сж ^ ,Сш =0.5, = 1 - .

4. Граничное условие «закон стенки»

(8)

Главная идея Б. Аупуа и П. Спаларта [1 3] заключается в том, чтобы искусственно увеличить турбулентную вязкость ^ на стенке для моделирования эффекта шероховатости. Метод основан на следующем принципе. Используется некоторый сдвиг уо, такой, чтобы градиенты скорости на шероховатой и гладкой поверхностях удовлетворяли соотношению

9и+

9и+

+ ^

Интегрируя это соотношение, получаем

+

У++У+

•и+(у+) = и+(у + + у+) - и+(у+).

(9)

(10)

И тогда сдвиг Д-и+ определяется как

Ди+ = и+( %+)

(11)

т

+

Для определения у+ можно использовать профиль скорости Рейхардта для гладкой пластины:

и+ = - 1п(1 + ку+) + 7.8 Л — ехр( —У+) — ехр(—0.33у+) к \ 11 11

) •

(12)

Из этого соотношения можно задать А-и+ и вычислить

у+ = тах(0, 3.2Ып(к0-9) — 5.5) ехр

()

V 880 )

+ 0.0318Й+,

у+ = (0.202Й+ + 10.1) Л I ( ) I , по данным С. Колебрука. Их сравнение представлено на рис. 5. В данной работе используется формула (14).

(14)

+ ГЛкигас15е Со1еЬгоок

^ «<-

У ***

¿Л'

/ж

20

15

10

100

200

300

400

500

Рис. 5. Сдвиг

Алгоритм граничного условия «закон стенки» устроен следующим образом.

На первом этапе, в центре приграничной ячейки, на расстоянии у1 = определяется тангенциальная составляющая скорости щ. Далее необходимо задать температуру стенки Тт, метод определения которой описан в работе Власенко [12]. Зная Тт, можно вычислить вязкость и плотность газа рЩ на стенке. При этом предполагается, что давление на стенке равно давлению в центре приграничной ячейки рЩ = р1. Далее методом деления отрезка пополам решается уравнение (10), чтобы найти подходящее значение у+. На каждой итерации г задано

У+ = °.5(Утт,г + Утахд),

тогда

ит =

РшУ 1

_ к3 ит рт +_ и1

) К £ --, ^Х/р --.

Значение сдвига вычисляется по формуле (14), по данным С. Колебрука, и+ (у+ + у+), и+ (у+) — по профилям X. Рейхардта (12). Затем вычисляется невязка, уравнение (10):

Я = — и+(у+ + У+ + и+(ут).

(15)

По ее величине определяется новое значение ут;п,¿+1 или утах^+1- Наконец, зная решение +

+2 2 'ш — 2

У^Рш

и диффузионные потоки на стенке.

Также можно использовать профиль скорости с тепловым потоком [12]:

у+ =( + (е(И+) - 1 - ки+ - 2(ки+)2 - 6(ки+)3 - ^(™+)4) , У+ < 10, (16) 1 е-кАЕ(и+), 10 < у+,

где

Е(и+) = ехр ^К (аго81п 2ГЦ+—~ -

■иН

Я = V/2 + 4Г,^ = аге81п(-//Я),/ = , Г = -

Для такого профиля скорости алгоритм граничного условия «закон стенки»

+

метры пт, и+, как описано выше. Величина и+(у+) = Ди+ вычисляется по формуле Колебрука-Грпгсона (4) с к = 0.4. Из уравнения (10) получаем

и+(У+ + У+) = + и+(У+). Дальше вычисляется невязка уравнения (16).

R = (у + + Уо+) - (у + + Уо+)), (17)

где ДД,("и+(У+ + У+)) _ правая часть уравнения (16). Другие шаги такие же, как в вышеописанном алгоритме.

Для тестирования описанной методики была разработана вычислительная программа на неструктурированной сетке. В программе используется схема второго порядка. Описание тестов и результаты тестирования представлены ниже.

5. Обтекание шероховатой пластины 5.1. Эксперименты М. Хосни

В 1991, 1993 гг. в университете штата Миссисипи М. Хосни с коллегами [8, 9] проводил эксперименты для измерения и вычисления теплопередачи на шероховатой стенке в турбулентном пограничным слое.

В экспериментах были рассмотрены все три режима влияния шероховатости, включая режим аэродинамической гладкости, переходный режим и режим с полным проявлением шероховатости. В целом, было рассмотрено четыре поверхности: одна гладкая и три шероховатых. Для моделирования шероховатости на поверхностях располагались полусферы с диаметром И = 1.27 мм на расстоянии друг от друга Ь = 20, 40,100 соответственно (рис. 6). Длина пластины составляла 2.4 м. В этих работах не представлены конкретные начальные условия набегающего потока, поэтому в данной работе задавались параметры, описанные в [11].

В результате эксперимента вычислялись коэффициент трения:

2 Роо С^2

и число Стантона:

^ = п^П Т ). (19)

рЖ ПосСр^ш - Тоо)

Рис. 6. Шероховатая пластина [8]

Рис. 7. Расчетные сетки

Для верификации метода проведены расчеты на подробной сетке МО и на двух грубых сетках М1 и М2 (рис. 7).

Эксперимент 1

Рассмотрим эксперимент на пластине с Ь/И = 2. Начальные условия набегающего потока и. = 58.0 м/с, Т. = 28.56 °С, Р.. = 101325.0 Па. Температура поверхности постояна и равна 45 °С. Эквивалентная песочная высота неровности равна к3 = 1.58 мм, к~+ ~ 300 соответственно режим полного проявления шероховатости.

Для граничного условия «закон стенки» используются два варианта профиля скорости с обозначениями \у11 профиль (16), \у12 профиль (12).

На рис. 8 представлен профиль скорости в сечении х = 0.86 м. Коэффициент трения и число Стантона представлены на рис. 9, 10. Для сравнения на этих рисунках также представлены результаты модификации Боинга модели Спаларта Аллмараеа [1]. На хорошей сетке МО видна разница между нашим результатом и результатом модификации Боинга, при этом оба результата не превышают доверительный интервал эксперимента. На сетке М1 расчетные результаты без использования закона стенки менее точные. Видно, что использование граничного условия «закон стенки» позволяет повысить точность решений на обеих сетках М1 и М2, при этом оба профиля скорости \у11, \у12 дали близкие результаты.

- МО, Smooth ---МО, Rough, no wl • Exp

г

/

✓ /

---^П у *

18 16 14 12 10 8 6 4

-- - ■ Ml, по ml Ml, use wll

— Ml, use wl2 - M2, no wl --M2, use wll ----M2, use wl2 • Exp. i уf

м ($t

/

'¿у

/ii'

v

-1

1 2 log{y+)

1.0

1.5

2.0

2.5 1од{у+)

3.0

3.5

4.0

Рис. 8. L/D = 2: Профиль скорости

Рис. 9. L/D = 2: Коэффициент трения

Рис. 10. L/D = 2: Число Стантона

Эксперимент 2

Рассмотрим второй эксперимент на пластине с Ь/И = 4. Эквивалентная песочная высота неровности равна 0.38 мм, к+ ~ 60, т.е. мы имеем переходный режим, когда часть элементов шероховатости выступает из вязкого подслоя и начинает оказывать влияние на характеристики течения, создавая дополнительное сопротивление.

Коэффициент трения и число Стантона представлены на рис. 11, 12. В этом случае сетка М1 дала неточный результат даже при использовании закона стенки. Результаты с использованием профиля скорости \у11 на сетке М2 сильно отличаются от результата на хорошей сетке МО. Причиной больших погрешностей нри применении профиля \у11 могут быть как особенности переходного режима, так и использование формулы но данным Колебрука для определения сдвига Аи+ и у+.

0.0030

0.0015

! 5 \\ • Ехр. ---Aupolx, Boeing - МО, Smooth ---МО, Rough, no wl

ft

>Л \\

\\ W \\

\ N S. s :

—

0.0 0.5

1.0 1.5 2.0

х

Рис. 11. L/D = 4: Коэффициент трения

0.0040

0.0035

1 \ \ • Exp. ---Aupolx, Boeing - M0 Smooth

w ---M0, Rough, no wl

\\

\\ 1 *v\

\ *' 4

0.0030

0.0026

0.0022

0.0018

it. • Exp. - ■ Ml, no wl

\v. •л* Ml, use wll — Ml, use wl2 - M2, no wl

\ \ \ --M2 ----M2 , use wll , use w!2

• & 4

N.

••• с v

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Рис. 12. L/D = 4: Число Стантона

5.2. Эксперименты Дж. Хеалзера

В 1974 году Дж. Хеалзер с коллегами [10] проводил эксперимент для изучения турбулентного пограничного слоя на шероховатой пластины при разных скоростях набегающего

потока. В этой работе мы будем рассматривать случай со скоростью и= 73.8 м/с. Другие параметры заданы как в эксперименте М. Хосни. На пластине, в отличие от предыдущих экспериментов, расположены сферы с диаметром 0.635 мм. Эквивалентная песочная высота неровности равна 0.79375 мм, что соответствует ~ 175, т.е. режиму полного проявления шероховатости.

На рис. 13 показано сравнение нашего результата с данными эксперимента и результатами модели Б А в работе [2|. Видна большая разница между расчетным коэффициентом трения и данными эксперимента, возможно, из-за формы элементов шероховатости. Для числа Стантона наш результат на сетке М2 хорошо совпадает с данным эксперимента, но сильно отличает от результата [2|. Возможной причиной может быть задание различных условий набегающего потока в расчетах, так как эти условия конкретно не было описаны в работах [10] и [2].

0.00400 0.00375 0.00350 0.00325 0.00300 0.00275 0.00250 0.00225 0.00200

T- 'f • Exp.

- ■ ML, no wl HI. use wll

k — Ml M: , use wl2 , no wl , use wll , use wl2

v v — M; — M;

\

t ЧГ 4 • „

Рис. 13. Эксперимент Дж. Хсалзсра

6. Заключение

Расчетное исследование показывает большое влияние шероховатости на профиль скорости, коэффициент трения и число Стантона.

Использование граничного условия «закон стенки» позволяет повысить точность решения на грубой сетке. При этом использование профиля скорости wl2 позволяет получить более точный результат.

Литература

1. Aupoix В., Spalart В. R. Extensions of the Spalart-Allmaras turbulence model to account for wall roughness /7 International .Journal of Heat and Fluid Flows. 2003. V. 24.

2. Aupoix B. Improved heat transfer predictions on rough surfaces /7 International .Journal of Heat and Fluid Flow. 2015.

3. Chedevergne FAupoix B. Accounting for wall roughness effects in turbulence models: a wall function approach /7 EUCASS2017-372. 2017.

4. Brakash A., Laurendeau, E. Consistent surface roughness extension for wall functions /7 International .Journal of Heat and Fluid Flow. 2020.

5. Niku/radse. J. Laws of flows in rough pipes /7 VDI Forschungsheft. 1933. 361.

6. Cole.brook C.F., White. C.M. Experiment with fluid friction in roughened pipes /7 Proc. R. Soe. Lond. 1937. A 161.

7. Grigson С. Drag losses of new ships caused by hull finish //J. Ship Res. 36. 1992.

8. Hosni M., Coleman H., Taylor R. Measurements and calculations of rough-wall heat transfer in the turbulent boundary layer //J. Heat Mass Transf. 1991. V. 34.

9. Hosni M., Coleman H., Garner J., Taylor R. Roughness element shape effects on heat transfer and skin friction in rough-wall turbulent boundary layers //J. Heat Mass Transf. 1993. V. 36.

10. Healzer J., Moffat R., Kays W. The turbulent boundary layer on a porous, rough plate: Experimental heat transfer with uniform blowing // AIAA/ASME 1974 Thermophvsics and Heat Transfer Conference. 1974.

11. Olumide Folorunso Odetola Upgrading and Qualification of a Turbulent Heat Transfer Test Facility // Theses and Dissertations. 2002. 4852.

12. Власепко В.В. Расчетно-теоретические модели высокоскоростных течений газа с горением и детонацией в каналах // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. ЦАГИ, 2017.

References

1. Aupoix В., Spalart P. R. Extensions of the Spalart-Allmaras turbulence model to account for wall roughness. International Journal of Heat and Fluid Flows. 2003. V. 24.

2. Aupoix B. Improved heat transfer predictions on rough surfaces. International Journal of Heat and Fluid Flow. 2015.

3. Chedevergne F., Aupoix B. Accounting for wall roughness effects in turbulence models: a wall function approach. EUCASS2017-372. 2017.

4. Prakash A., Laurendeau E. Consistent surface roughness extension for wall functions. International Journal of Heat and Fluid Flow. 2020.

5. Nikuradse J. Laws of flows in rough pipes. VDI Forschungsheft. 1933. 361.

6. Colebrook C.F., White C.M. Experiment with fluid friction in roughened pipes. Proc. R. Soc. bond. 1937. A 161.

7. Grigson C. Drag losses of new ships caused by hull finish. J. Ship Res. 36. 1992.

8. Hosni M., Coleman H., Taylor R. Measurements and calculations of rough-wall heat transfer in the turbulent boundary layer. J. Heat Mass Transf. 1991. V. 34.

9. Hosni M., Coleman H., Garner J., Taylor R. Roughness element shape effects on heat transfer and skin friction in rough-wall turbulent boundary layers. J. Heat Mass Transf. 1993. V. 36.

10. Healzer J., Moffat R., Kays W. The turbulent boundary layer on a porous, rough plate: Experimental heat transfer with uniform blowing. AIAA/ASME 1974 Thermophvsics and Heat Transfer Conference. 1974.

11. Olumide Folorunso Odetola Upgrading and Qualification of a Turbulent Heat Transfer Test Facility. Theses and Dissertations. 2002. 4852.

12. Vlasenko V. V. Computational and theoretical models of high-speed gas flows with combustion and detonation in channels. Thesis for the degree of Doctor of Physical and Mathematical Sciences. TsAGI, 2017. (in Russian).

Поступим в редакцию 24-11.2021