CC BY
25
Как следует из расчетов, достаточно большое количество тепловой энергии может быть утилизировано и использовано для других производственных нужд.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 09-08-00857-а.
список литературы
1. Колосов В. И., Гореликов П. А., Мусин Р. А. Новые возможности контактной точечной сварки // Сварочное производство. 2001. № 10. С. 25—28.
2. Козловский С. Н. Основы теории и технологии контактной точечной сварки: Монография. Красноярск: СибГАУ, 2003. 235 с.
3. Колосов В. И. Формирование температурных полей при контактной сварке // Сварочное производство. 1994. № 6. С. 27—28.
Владимир Феохарович Антонов
Сергей Владимирович Быстров
Валерий Владимирович Григорьев
Рекомендована кафедрой систем управления и информатики СПбГУ ИТМО
Сведения об авторах Пятигорский государственный технологический университет, кафедра информатики и информационных технологий; зав. кафедрой; E-mail: antonovpgtu@mail.ru
канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: sbystrov@mail.ru
д-р техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: grigvv@yandex.ru
Поступила в редакцию 18.01.11 г.
УДК 62-50
Д. С. Бирюков, А. В. Ушаков
ГРАМИАННЫЙ ПОДХОД К ОЦЕНКЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗАТРАТ НА УПРАВЛЕНИЕ В НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМАХ ПРИ СТАЦИОНАРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ
Рассматривается задача оценки энергетических затрат на управление при входном стохастическом воздействии типа „экспоненциально коррелированный шум". Приведена интерпретация характеристик стохастических систем с позиций грамианной теории и получен алгоритм оценки затрат на управление с помощью дисперсии управления в относительных величинах.
Ключевые слова: стационарный в широком смысле стохастический процесс, грамиан затрат на управление, белый шум, окрашенный шум.
Введение. Постановка задачи. При синтезе систем управления зачастую является неочевидным механизм выбора типа желаемого характеристического полинома в задаче обеспечения заданного времени переходного процесса в замкнутой устойчивой системе при отсутствии других требований к качеству процессов. Вместе с тем до сих пор при синтезе систем управления недостаточное внимание уделяется контролю энергетических затрат на управление. Для решения указанных задач авторами настоящей статьи был разработан ряд
грамианных алгоритмов оценки затрат на управление для детерминированных входных воздействий.
В настоящей статье рассматривается задача оценки энергетических затрат на управление в условиях стационарных в широком смысле стохастических воздействий. При исследовании указанных проблем авторы опирались на базовые концепции, изложенные в работах [1, 2].
Отметим, что в настоящей статье принято обозначать оператор вычисления математического ожидания стохастической переменной (*) как E(*) .
Определение 1. Стационарным в широком смысле (стационарным второго порядка) будем называть такой комплекснозначный L-процесс [1] X = {X(t), t е T}, для которого T — некоторая группа элементов, а
EX (t) = a при Vt е T, (1)
R (s, t) = E {[ X (t)-EX (t)][ X (s)- EX (s)]} = R (t - s). (2)
Определение 2. Стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным воздействием типа „белый шум" будем называть воздействие g (t ) = w (t), обладающее следующими свойствами:
E {w (t )} = 0, (3)
отсчеты w (t + т) при Vt некоррелированы, поэтому
E {w (t + т) wT (t)} = N5( т) :8(t, т) = = £ (4)
где N — интенсивность стохастического процесса.
Определение 3. Стационарным в широком смысле стохастическим экзогенным воздействием типа „окрашенный шум" будем называть воздействие g (t) = £(t) , обладающее следующими свойствами:
E {£( t)} = 0, (5)
Зтк : отсчеты £ (t + т) при |т| < тк коррелированы.
Определение 4. Скалярным произведением двух стационарных в широком смысле процессов ф(), у (t) : E {ф()} = 0, E {у (t)} = 0 будем называть математическое ожидание их произведения:
(ф(t),у(t)) = E{Ф(t)у(t)}. (6)
Определение 5. Нормой стационарного в широком смысле процесса Ф^) : E{ф(t)} = 0 будем называть величину ^(t)||, удовлетворяющую соотношению
||ф(0||2 =(ф(t), ф(t)) = E {ф«ф(0}. (7)
Определение 6. Если процесс ф(t) векторный (dimф(t) = v,Vt), то стохастическим грамианом, построенным на его компонентах ф^ (t), к = 1, v , будем называть матрицу математических ожиданий
W(ф) = E{ф()фТ (t)}. (8)
Примечание. Стохастический грамиан (8) в литературе, посвященной исследованию динамических процессов в системах при стохастических воздействиях, принято называть матрицей дисперсии [3] и обозначать как
W (ф) = Ар. (9)
Определение 7. Если процессы ф(г) и г) векторные (<Ишф(г) = г) =
= V, Уг), то обобщенным стохастическим грамианом [4], построенным на векторах ф(г) и у (г) , будем называть матрицу
Ж(ф,у) = Е{ф()м/ (г)} = Е{ф(г)ут (Г)}7 . (10)
Основной результат. Стохастический грамиан затрат на управление. Рассмотрим объект управления, математическая модель которого характеризуется следующими соотношениями:
х (г) = Ах (г) + Ви (г); (11)
у (г ) = Сх (г), (12)
где х(г) — вектор состояния объекта; и(г) — вектор входного воздействия; ^(г) — вектор выходной переменной; А — пхп-матрица состояния; В — пхг-матрица входа; С — дахп-матрица выхода.
Входной сигнал £(г) объекта выделяется формирующим фильтром из белого шума:
г (г) = Гф2 (г) + ОфМ> (г); (13)
£( г ) = Рф г (г), (14)
где Гф, Оф, Рф — матрицы, аналогичные матрицам А, В, С соответственно.
Ошибка слежения за входным сигналом определяется как
е(г) = $(г)-у (г). (15)
Управление обеспечивает в синтезируемой системе требуемые показатели качества переходного процесса и единичное замыкание по входу (воспроизведение входного сигнала на выходе системы):
и (г) = - Кх (г) + к8 £( г), (16)
где К — матрица обратных связей по состоянию системы, Кё — матрица прямых связей по входу системы.
Замкнутая система, таким образом, описывается уравнением
х (г ) = Ех (г) + Щ г),
где Е — матрица состояния замкнутой системы.
Объединим уравнения замкнутой системы и фильтра входного воздействия:
" Ех (г) ОРф г (г )
о • х (г) Гф г (г)_
х (г ) = Ех (г) + О™ (г),
" Ех (г) ОРф г (г)"
о • х (г) Гфг (г)_
Для оценки затрат на управление сформируем выражение для дисперсии с использованием уравнения (16):
(г ) =
"х (г )_
_г (г)_
" 0 "
+ Оф _
(г);
Е =
" 0 "
; О = Оф _
(17)
(18)
(19)
(20)
) к/ - хт (г) кт)}
Ви = Е {и (г )ит (г)} = Е {(((г)-Кх (г )))т (г)^ ц
Е {{ £(г )^т (г) к/ - Кх (г )^т (г) к/ - к% \(г) хт (г) кт + Кх (г) хт (г) кт }
= КёРфБгРфтКёт - КБхгРфтКёт - КёРфБ2ХКт + КВХКТ.
(21)
Частные дисперсии можно получить, воспользовавшись уравнением для дисперсии агрегированной переменной Ох = Е {Х() ХТ ()}:
РОХ + ОХРТ =-СЫОТ,
здесь N — интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра. Раскроем уравнение (22):
¥Т 0 РфТОТ Гф7 ¥ОХ + ОРф О2Х + ОХЕТ + О^О1 = 0; РОХ2 + ОРф О2 + ОХ2 ГфТ = 0, Гф О2 + О2 ГфТ =-Оф NОффТ.
Отметим также, что
ОРф' " Ох Ох: ' + " Ох Ох: '
0 гф _ _ Ох О: _ _ Ох О: _
" 0 "
II 1 Оф _ N 0
0 Оф
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Ох: = ОХ
Решив систему уравнений (24)—(26) относительно частных дисперсий Ох (состояния системы), О: (состояния фильтра) и Ох: = О:х , получим значение дисперсии управления Ои, являющейся в данном случае стохастическим грамианом затрат на управление в силу
определения 6. Таким образом, сформирован метод оценки затрат на управление. Изложим его в виде краткого алгоритма.
1. Сформировать векторно-матричное описание объекта управления в виде (11), (12) и формирующего фильтра в виде (13), (14).
2. Решить задачу обеспечения требуемых показателей качества и единичного замыкания системы по входу, получив замкнутую систему (17).
3. Решить систему уравнений (24)—(26) относительно частных дисперсий Ох, О: и
Ох: = О2хТ .
4. Найти дисперсию управления (грамиан затрат на управление) из выражения (21).
5. Произвести процедуру сингулярного разложения дисперсии управления, получив минимальное и максимальное сингулярные числа и дтах .
6. Модифицировать исходную структуру мод по принципу уменьшения угла локализации желаемых мод [5].
7. Повторить шаги 2—5 до достижения минимального значения максимального сингулярного числа Дтах.
Пример. Для иллюстрации предложенной методики рассмотрим, как меняются затраты на управление при решении двух противоположных задач: минимизации дисперсии ошибки О8 (что имеет место при задающем стохастическом воздействии) и минимизации дисперсии
выходного сигнала Оу (что равносильно компенсации стохастической помехи на входе). Рассмотрим систему второго порядка с передаточной функцией вида
ф(,) = 2 У2 Ю°2-- (28)
52 + У1Ш0 5 + у2 ш02
Представление (28) параметризовано характеристической частотой Ш0 системы, а конкретная реализация коэффициентов ^, \2 позволяет задать желаемое распределение мод
(корней). Так, при у1 = 72, V? = 1 функция Ф( ^) будет обладать каноническим распределением мод (корней) Баттерворта, а при V = 2, V? = 1 — биномиальным распределением мод (корней).
В качестве формирующего фильтра используется апериодическое звено первого порядка, формирующее из белого шума на выходе экспоненциально коррелированный шум. Передаточную функцию формирующего фильтра запишем в виде
фф (* ) =
О
ф
^ + О
(29)
ф
где Оф — характеристическая частота фильтра.
Решение системы матричных уравнений (23)—(26) для конкретной матрицы дисперсий Вх позволяет записать следующее:
N ОА
Вг = А-
(30)
^ ш0
Вхг = Вх =
N О
ф
v2 ш0 + ^ш0 Оф + О
^2 ®02оф
У2 ш0 + ^ш0 Оф +Оф
(31)
Вх =
N О
ф
Г Оф Л
v? ш
2Ш0
1+
ф
Пшо;
v2 ш02 + Пш0 Оф +Оф2
v22 (V ) 1 ш03Оф v2 ш02 + v1ш0 Оф +Оф2
(32)
При подстановке матриц дисперсий (30), (31) в уравнение (21) следует иметь в виду, что
рф =[];к* =
v2 ш0
; К =
^ш0 v1ш0
тогда для Ви получим
Ви =
^ш0
Г 21 N Оф Г 21 Л
^ш0 2 v2ш0 - 2
v2ш0 Пш0
N О.
ф
V2шо2 + Пш0Оф +Оф2
v2ш0 Оф
V2шо2 + Пш0Оф +Оф2
v2ш0
v2ш0 Пш0
N О
ф
V, ш
2Ш0
Г Ол, Л |1
I v1ш0,
v2ш02 + Пш0°ф +Оф2
0
-1 3,
0
v2 (V) ш0 Оф
V2шо2 + Пш0Оф +Оф2
v2ш0 Пш0
Введем в рассмотрение матрицы относительных дисперсий и относительную характеристическую частоту, определив их соотношениями
2
л Л Г Г0
п.-,- = —, Г0 =-.
у 0 Пф
Тогда становится справедливой зависимость
= (Го ),
которая позволяет осуществить сравнение результатов синтеза не в абсолютных величинах, а в относительных. Тогда для дисперсий Лу = СЛХСТ , Д = С8ДХС^ и Ли становятся справедливыми соотношения
- ' 1 4 .1
v2 Шо2 (1 + V !Ш0 Г1 - _( V2 Vf1 + V1 )шо +:
PJ /_ \ '2W0 v 1 '1w0/ H
Dy (_0 -_-- , Ds_ _ 2 - , •
v2 Ш0 + V1Ш0 + 1 v2 Ш0 + V1Q0 + 1
Если рассмотреть ситуации, при которых должны выполняться неравенства Dy << 1 и Dg << 1, то для этих дисперсий справедливы будут следующие соотношения:
D'y (_0 ) _ _lim Dy (_0 ) _ — _0,
_0 ^0 ^ V1
Df(_0 )_ _lim Ds(_0 )_ V1 1
_0 ^œ
f 2 Л , 1 + 1 _ V2 + V1
Х ^ ^Г0 ^Г0 В свою очередь, матрица дисперсий управления (Го ) принимает вид
Du (Ш0 )_Ц 4
v22Ш04 (v2V1 + 1)
ф 2_ 2 —
^ Г0 + ^Г0 + 1
При решении задач минимизации дисперсии ошибки Д. и дисперсии выходного сигнала Лу матрица (Г ) принимает следующий вид:
ДУ (Г0 0 ^Г0 ^ 0 ^ Ли (Г0 ) = ^ф4Г04^
\3
Dg(cÖ0 0 ^00 ^ Du (_ )_0/ V + V1 )
2
Vo + Vi
V1V2 Щ_0 ) "V"' %12 (( (_0 ))3
В рассматриваемом примере конкретной реализацией объекта управления будет служить конструкция радиотелескопа, подверженная воздействию ветра. Для моделирования решаемой задачи выберем частоту формирующего фильтра, задающую стохастическую составляющую ветровой нагрузки на объект при скорости ветра 20 м/с: 0,ф = 1,3 с-1.
Зададим дисперсии стохастического входного сигнала, выходного сигнала и ошибки:
2 2 Д = 625 мм ; Лу = Д8 = 1 мм .
Введем в рассмотрение модифицированное распределение мод Баттерворта, моды которого находятся в левой полуплоскости в секторе с раскрывом 2а на лучах его образующих. Заметим, что при а = 45° имеет место каноническое распределение мод Баттерворта, а при а =0 — биномиальное распределение мод. При изменении угла локализации желаемых корней для
решения задач минимизации дисперсии ошибки В8 и дисперсии выходного сигнала Ву получены результаты, продемонстрированные на рисунке, где представлен график зависимости затрат на управление Ви (а) и Ви (а) от угла локализации желаемых корней а в полярных ко-
8 у
ординатах.
:;!!!.....:
ЕШд||| II1
1нН
" .!!!. 111 I:!!!:. 111 .:!■
вУНМнДуГ ... ::: ....
г ?-
||||||||| ||||||||||
р1|1Н|11 р1|!|!||!! Цр9В
¡]!||щ|||ш ЦВВ
I 1
Ы||дк
В (а) Е1ИННЯНННИ|1ВВ!9 (а)
Ви8 (а) Виу ((Х)
^ у
■
'''щЦд! ч
!!!!!!!!!!
||нд| ■Щ
......-Ж-......г......*........
-*-'-. I :
V,
!
■ /
Л щЬЦщ
..¡ррИЦПрИу
\ .... !!!г!!!!!ж!!!!!!!
."".... .... .... I
I ■ "¡¡и: N1 рри аиитдшишшюд , _ Е ^ ........ \ цшц ш шщц ш|
Для коэффициентов V , V2 и дисперсии затрат на управление в функции от угла локализации желаемых корней были получены следующие аналитические соотношения:
(а) =
2соБа
шг
(а) =
соБ2а
ш0
2
Ви (а) = [соБ2а]-ф[соБ2а]-2[соБ2а 2соба]-фх
соБ2а
соб 2а + 2 соб аОф + О
соБ2аО
ф
соб 2а + 2 соб аОф + О
[со8 2а] + [сов2а 2соб а]
N О,
ф
(
соб 2а
1 + ■
Оф Л
2соБа
у
соб 2а + 2 соб аОф + О
ф^ьг.ф
со82 2а(2сова) О
-1
0
ф
соб 2а + 2 соб аОф + Оф
соб 2а 2соБа
Заключение. Поставленная задача решена с помощью стохастического грамиана затрат на управление, экстремальные элементы спектра сингулярных чисел которого позволяют получить оценки энергетических затрат на управление.
список литературы
1. Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005.
2. Дэвис М. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.
3. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.
V
V
2
0
X
