CC BY
60
Е.А. Бессонов, к.т.н.
Московский государственный горный университет
ГРАШСЭ-МАТЕМАТИЧЕСКИ И МЕТОП ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ МЕСТОРОЖДЕНИИ ПОЛЕЗНЫХ ИСКОПАЕМЫХ
Вопросами определения геометрических параметров рудных тел, месторождений и полей полезных ископаемых занимается наука, называемая горной геометрией.
Выяснением и отображением на графических материалах совокупности форм и свойств полезных ископаемых, пород вскрыши и вмещающих горных пород, методам определения различных геометрических параметров месторождений посвящены многочисленные работы отечественных ученых: И.Н. Ушакова, В.В. Ржевского, П.А. Рыжова, В.А. Букринского и др., а также зарубежных: Э. Донна и Дж. Шимера (США).
Основоположником отечественной горной геометрии, как науки, является проф. П.К. Соболевский (1868-1949). Соболевский впервые разработал методику подсчета запасов полезных ископаемых с помощью палетки, создал ряд измерительных приборов, прототипы которых до настоящего времени применяются в горном деле и геологоразведке.
Горная геометрия сегодня содержит различные методы определения геометрических параметров месторождений, в том числе с использованием различных измерительных устройств. Так, для определения площадей поверхностей, ограниченных кривыми, используют полярный планиметр Я. Амслера или палетку П.К. Соболевского, либо производят вычисления по известной формуле В.И. Баумана. Для определения длины кривой, ограничивающей площадь залежи, обычно используют курвиметр, либо мерную нить.
Существуют также многочисленные методы определения объемов запасов полезного ископаемого, среди которых наибольшее распространение получили: метод геологических блоков; метод с использованием объемной палетки Соболевского, формул Баумана и Симпсона. Погрешность результатов вычислений между этими способами не превышает 1-2%. Погрешность методов между полученными результатами и реальными величинами параметров, при условии полного учета геологической характеристике месторождений, зависит, прежде всего от принятой величины единицы измерения параметра: чем больше будет произведено измерений, тем точнее будет результат и наоборот. Перечисленные методы обычно дают ошибку в замерах и расчетах в 5% и выше.
Причина такой величины ошибки состоит в том, что все известные методы, кроме параболической формулы Симпсона, которую удобно применять на одноименных с ней формах залежей, были построены на математическом анализе, основанном на вычислениях геометрических параметров тел, имеющих некриволинейную форму, в основном форму призматоидов - призм, содержащих в основаниях многоугольники. В реальности же, большинство типов месторождений в пространстве, и, соответственно, на проекциях их сечений, имеют более сложные и разнообразные формы: и в плане, и разрезах имеют более или менее криволинейный профиль. Это относится, прежде всего, к изометрическим, трубообразным, промежуточным и иным типам ме-
сторождений. Криволинейность профилей этих типов месторождений и вызывает величину ошибки при расчетах в известных методах.
Кроме того, при решении многих инженерно-технических задач в различных разделах горной науки: аэрологии, гидрологии, в физике горных пород и др., часто используют геометрический параметр площади криволинейных поверхностей рудных полей, тел, площадей контакта различных горных пород, площадей поверхностей горных выработок, либо частей этих поверхностей, которые, ввиду отсутствия в горной геометрии данной методике расчетов, определяют весьма приближенно, пользуясь простыми геометрическими уравнениями. Применение для этих вычислений методов высшей математики, например интегрального вычисления, сдерживается необходимостью получения большого количества исходных данных, что в целом намного усложняет процесс вычисления и делает такую методику малоприемлемой для горной геометрии.
Предложенный графо-матема-
тический метод определения основных геометрических параметров месторождений не сложен в применении, более точен в результатах вычислений, так как полученные уравнения учитывают криволинейность форм вычисляемого объекта, приемлем для расчета искомых параметров на ЭВМ и универсален, так как с помощью предложенного метода можно определить площади поверхностей и длину кривых, их ограничивающих, различных фигур, таких как: окружность, эллипс, овал, других фигур, в том числе сложной формы, ограниченных кривыми линиями; полных площадей поверхностей и объемов (или), их участков и частей, таких тел, как: сферы, сфероиды, эллипсоиды различных криволинейных тел, в том числе сложной формы.
Вместе с тем, новый метод имеет сходство с известными методами в том, что
также включает в себя элементы начертательной геометрии при выполнении построений проекций сечения рудного те-ла(месторождения), в нахождении их центров тяжести, и используют специальную палетку, разработанную автором, которая отличается от известной стереографической полярной палетки тем, что оснащена метрической шкалой, отсчитываемой по диаметрам от оси палетки и выполнена непо-ворогной относительно объекта измерения.
Отличие графической части метода состоит в том, что при графопостроении объект измерения рассекают не параллельными, а взаимно пересекающимися плоскостями, образованными через равные интервалы углов и проходящими через горизонтальную, либо вертикальную ось тела, лежащую на его центре тяжести.
Графо-математический метод осуществляется следующим образом.
Если объектом вычисления является какое-либо криволинейное объемное тело, например, изометрическая по форме залежь полезного ископаемого, то на основании полных данных скважинной разведки, вначале, в принятом масштабе, методом начертательной геометрии строят горизонтальную, фронтальную и профильную проекции этой залежи, известными способами находят на построенных сечениях центры тяжести ОI, Оъ Оз этих сечений, а затем находят результирующую координату центра тяжести тела залежи, через который проводят горизонтальную О-О' либо вертикальную ось "вращения" тела. Затем залеж, через ось О-О' рассекают плоскостями 1-1, 2-2,... ММ, через равные интервалы углов У так, как показано на рисунке 1. Причем, для сложных криволинейных тел величину угла У следует принимать менее 15°-10°. Затем, методами начертательной геометрии строят проекции сечений я,, $т (рисунок 2), образованными секущими плоскостями 1-1, 2-2,...М-М После выполнения графических построений на сечения я,, накладыва-
ют полярную палетку (либо строят сеть линий на полярной оси) так, чтобы ее центр лежал на центре тяжести От сечения 5т, а ее
лучи (диаметры) составляли бы в образованном лучами секторе с любой касательной к кривой 2 угол, меньший 180°. С помощью координатных окружностей метрической шкалы палетки с сечения 5Ш считывают размеры длины лучей-радиусов кривизны /?/, R^...Rn от центра до их пересечения с кривой 2. Причем, палетку устанавливают на проекцию сечения неподвижно, а размеры считывают по порядку, по ходу, либо против хода часовой стрелки, с равным интервалом угла У, через 1°, 3°, 5°, 10°, либо 15° ( вплоть до 45°, если объектом измерения является овал, близкий к форме окружности ), в зависимости от требуемой точности вычисления объекта, а результаты измерений сводят в таблицу. После того, когда будут считаны все размеры радиусов кривизны со всех построенных сечений приступают к вычислениям геометрических параметров по приведенным ниже формулам.
[Л г
I м
Рис.1.
Площадь поверхности сечения, ограниченного кривой:
Рис.2. 1 - стереографическая сетка палетки
(показана часть палетки), 2 - кривая, ограничивающая сечение 3 - метрические шкалы лучей палетки, 4 - координатные окружности палетки
вт = 3,14 [(ВД + {ЯЯ}) +...+ (ЛХ)] -//360°,
(1)
вогнутых форм:
* =' 360 )£(*- *•>(*. я' )](| 2)
выпукло-вогнутых форм:
V =1^7 [!(«,>(«)>
(1.3)
+(”»•; - -360.) К (Л-Л- - И".л)]
где п - количество лучей радиусов кривизны, ограничивающих секторы вогнутых участков форм.
Длина кривой, ограничивающей площадь сечения:
1т = 3,14 / 5ш(7 / 2)^/(я,2 + Я] )- 2 Л, Я2 cosJ +
+ 2 + /?з 2 /?2 Д3 ^ + ...+
+ y|(R2n+RfУ2RnR]cosJ + } /360“
Д2)
Если в задачу входит определение объема и полной площади поверхности криволинейного тела, то выполняют еле-
дующие преобразования. Определяют среднюю длину радиусов кривизны /?„ для каждого сечения $т, каждый из которых был бы равен радиусу круга равнозначной площади с сечением т.е.:
Я,.=Л./3.14, (3)
После преобразования (3) все пересекающиеся Между СОбОЙ СеЧеНИЯ на двух проекциях условно примут форму пересекающихся кругов с радиусами окружности /?5 . Поскольку для несимметричных и криволинейных тел величина радиусов окружностей /?5 будет различной,
то на третьей основной проекции тела условно получают новый криволинейный профиль тела, где радиусы кривизны /?„ сечения тела (на третьей проекции)будут по направлению и величине равны радиусам пересекающихся кругов. Затем площадь сечения третьей проекции также приводят к форме круга равнозначной площади путем усреднения радиусов кривизны /?5 до величины /?и по формуле:
)- К *■> > +(М,)] 7180" ■
(4)
и получают объем криволинейного тела, которое после ряда преобразований было приведено к форме сферы, по формуле:
V- 4-3,14 (/?„)3/3, (5)
Для нахождения полной площади поверхности тела выполняют следующие преобразования.
Получают средний изопериметриче-ский радиус каждого сечения, длина кривой Ьт которого бы была равна длине окружности некого круга, по формуле:
Гт = ^2-Ъ,\А, (6)
Затем, по аналогии с преобразованиями (3,4) определяют усредненную длину кривой для всех площадей сечений $т по формуле:
1и =3,14/л7>»(Г/2)
(/?* + Л22 )-2Я|’/г2,сол-К +
+ Л I К )-2К2 *3 СОЯУ +
Г/180"
(7)
и получают площадь полной поверхности криволинейного тела, которое после преобразований (6, 7) получило форму поверхности сферы, по формуле:
* = 4-3,14 (^У2 3,14)2, (8)
где /?„ - длина лучей радиусов кривизны, ед. длины;
J - величина интервала угла между лучами-радиусами кривизны;
У - величина интервала угла между секущими плоскостями, градус; п - количество считываемых с сечения лучей - радиусов кривизны, ед.; т - количество секущих плоскостей (сечений) тела, ед.
3,14 - значение числа я.
Причем, вследствие доказательства, которое сделал Я.Штейгер, между объемом тела и площадью поверхности выпуклых тел (кроме шара) существует изопериметриче-ское неравенство, вследствие этого :
/?, Ф Ят кроме того : 0° < У < 45°, 0°< J <
45°, и =-//360°, т = У/180°.
Для уменьшения ошибки вычислений геометрических параметров и повышения точности метода в построениях принимают меньшие значения углов У и У.
Некоторые типы месторождений полезных ископаемых могут иметь весьма сложную изометрическую форму. Вследствие этого, на некоторых участках сечения такого тела не могут быть считаны (построены) лучи-радиусы кривизны из-за поставленного ранее условия. Поэтому, настоящий метод дополнительно включает в себя способ, который позволяет разделить
сложное сечение на более простые участки, раздельно вычислить параметры этих участков, а затем получить результирующие параметры такого сечения.
Рис.З.
Суть способа заключается в том, что от сложной формы сечения отсекают «теневые» участки формы -«отростки» в которые не могут пройти, без пересечения с кривой, лучи-радиусы кривизны, направляемые из центра тяжести этого сечения, а прямолинейные участки сечения, если таковые оно содержит, - округляют. Отсечения и округления участков сечения производят графически - компенсационными окружностями (рис.З). Компенсационные секущие окружности площадью строят на переходах "отростков" с основной площадкой сечения, а компенсационные окружности округления ^ - на прямолинейных. Для нахождения центров тяжести О,, О2, 03 каждого из трех, показанных на рисунке 3, уча-
стков с площадями 5 ,, следует принять, ЧТО 5'; = .Уу + .У, + + .У*.
.у'з = + 5б , тогда центры тяжести О,, ()2,
03 находятся с учетом "тяжести" площадок 55, . После их нахождения на отсечен-
ные участки поочередно накладывают палетку, считывают длины лучей-радиусов кривизны и по формулам 1 и 2 определяют площади сечений участков 5т„ и длину их кривых Ьтп.
Затем, вычисляют общую площадь сечения по формуле:
лт - Л’ - 3,14г 5 - 3,14г\ - 3,14г\/ 2
общую длину кривой по формуле:
Ьт = Ь+ Ь \ + Ь- 2-3, 14г5 - 2-3,14г6 -- 3,1 4г4 + 2г4, и находят центр тяжести От полного сечения V
Далее процесс построения сечений, их отсечения и округления, вычисления параметров площади поверхности и объема производят аналогично описанным выше методом.
1. Ушаков И.Н. Горная геометрия. М.: "Недра", 1979. с. 41-42, 304-312, 323.
2. Ржевский В.В. Открытые горные работы. 4.2. М.: "Недра". 1985. с. 5-8, 458-471.
3. Ялтанец И.М. Проектирование гидромеханизации открытых горных работ. М.: МГГУ, 1994. с. 25-29.
4. Халдвигер Г. Лекции об объеме, площади поверхности и изопериметрии. Перев. с нем. А.С.Солодовникова. М.: "Наука" 1966, с. 360.
©Е.А. Бессонов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
