Графический метод решения модуль содержащих задач с параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ МОДУЛЬ СОДЕРЖАЩИХ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ Григорян К.М. Email: [email protected]

Григорян Карине Микитовна - ассистент, кафедра ИТ и естественных наук, Шушинский технологический университет, г. Шуши, Республика Армения

Аннотация: в статье рассмотрены примеры применения графического метода решения модуль содержащих задач с параметрами. Для построения графической модели задачи в зависимости от особенностей задачи используется координатная плоскость или параметрические плоскости. При этом плоскость построения разбивается на области, в каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют свой знак. В каждой из этих областей строится соответствующий график. Решение задачи определяется по графику с исследованием семейства кривых, зависящих от параметра

Ключевые слова: задача, модуль, параметр, плоскость построения, разбиение, решение.

GRAPHICAL METHOD OF SOLUTION OF THE CONTAINING MODULE TASK WITH PARAMETERS Grigoryan K.M.

Grigoryan Karine Mikitovna - assistant, CHAIR OF IT AND NATURAL SCIENCES, SHUSHI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY, SHUSHI, REPUBLIC OF ARMENIA

Abstract: the article describes the examples of the graphical method of solving the module problems with parameters. To build a graphical model of the problem, depending on the features of the problem, a coordinate plane or parametric planes are used. In this case, the plot plane is divided into areas, in each of which the expressions under the module sign retain their sign. In each of these areas, a corresponding graph is drawn. The solution of the problem is determined by the graph with the study of a family of curves that depend on the parameter. Keywords: task, module, option, plane, build, split, chart, decision.

УДК 512. 1

При решении модуль содержащих уравнений, неравенств и их систем с параметрами часто применяется графический метод, преимущество которого в наглядности и краткости решения. Аналитическое решение подобных задач, основанное на определении модуля, сводится к решению совокупности различных систем, что может быть более длинным и громоздким, особенно, если алгебраическое выражение задачи содержит несколько модулей. Суть графического метода состоит в условном разбиении координатной плоскости на области, в каждом из которых выражения, находящиеся под знаком модуля, сохраняют свой знак и последующем построении в каждой области соответствующих графиков. По графику в зависимости от значений параметра определяется решение задачи. Графическая модель задачи строится как в координатной плоскости x0y, так и в параметрических плоскостях a0x и x0a. Рациональный выбор плоскости построения зависит от особенностей конкретной задачи.

Приведем примеры решения нескольких различных задач с параметрами и модулем.

Пример 1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение х — | 2 | х | — а 2 | (1) имеет три различных корня.

Рис. 1. Графики функций

Решение. В координатной плоскости хОу построим графики функций у — х — и у — 2 | 2 | х | — а 2 | (рис. 1.).

Исходное уравнение имеет три различных корня, если прямая у — х — ^

проходит через точку ( — ~~~;О ) или через точку ( О ;2 а 2 ) .

а2

В первом случае, при х — — — , у — О из уравнения прямой получим:

а2 а

----=0оа+а = 0оа = —1

2 2

Итак.

графику определяя знаки корней (они положительны) и выражения, содержащегося под знаком внешнего модуля.

2

хх — — - Для нахождения двух других корней, рещим уравнение (1), по

х + - = |4х ■

■2 фф

х + - = 4х ■

2

х + - = 2 - 4х

2

5

X = -

6

Х ю

Во втором случае, при , из уравнения прямой получим:

а ' 1

2а2 =--ФФа = —

2 4

Аналогично, найдем два других корня, решив уравнение (1) с учетом знаков корней и выражения, содержащегося под знаком модуля ( они определяются по

граф

)ику). Уравнение (1) равносильно следующей совокупности:

х Н— = |—4х — 2а 8 1

х + - = |4х — 2а21

х + - = —4х — 2 а

8

1 9

х + - = 4х — 2 аг

х = —-

х = —

12

Итак, при

— ,х7 — —,хо — - при а — — х, —--,х7 — о , х-, — —.

2 10 л 6 г 4 х 20 -3 12

Пример 2,Найти все значения параметра а, при каждом из которых неравенство 3 — | х — а | > х 2 имеет хотя бы одно отрицательное решение.

Решение.Перепишем искомое неравенство в виде 3—х 2 > | х —а | (2) и построим в координатной плоскости хОу графики функций у=3 — х 2 и у = | х — а | (рис.2).

У , у = \х-а\

у = \х — я1

£1! -т/3 \ о \л/3 а2 у = 3-х2 X

Рис. 2. Графики функций

Неравенство (2) имеет хотя бы одно отрицательное решение при (см.

рис.2). Очевидно, что а2=3. Так как при ах < а < — //3 отрицательные корни неравенства больше , то выражение принимает положительные значения, и,

следовательно, неравенство (2) примет вид: х2+х — а — 3<О

Последнее неравенство имеет корни, если дискриминант положителен, то есть 4а + 1 3 > О о а > — —.

4

Окончательно, исходное неравенство имеет хотя бы одно отрицательное решение

13 ^ ^ о

при — — < а < 3 .

Пример 3.Найти все значения параметров а и Ь, при каждом из которых система уравнений

(\х + у\=х — у + а (1)

||х-у|=х + у + Ь (2)

имеет бесчисленное множество решений,

Решение. Построим в координатной плоскости х0у графики уравнений (1) и(2) .Прямая у=-х разбивает координатную плоскость на две полуплоскости, в каждом из которых выражение, стоящее под знаком модуля в уравнении (1), сохраняет свои знак.Если у>-х, то у=а/2, если у<-х, то х=-а/2. Таким образом, графиком уравнения (1) являются два параллельных координатным осям луча, исходящие из точки (-а/2;а/2). Аналогично, прямая у=х разбивает координатную плоскость на две полуплоскости, в каждом из которых выражение, стоящее под знаком модуля уравнения (2), сохраняет свой знак. При у>х имеем у=-Ь/2, а при у<х , х=-Ь/2. Итак, графиком уравнения (2) являются два параллельных осям координат луча, исходящие из точки (-Ь/2;-Ь/ 2).

Искомая система имеет бесчисленное множество решений при взаимном расположении графиков уравнений (1) и (2), показанных на рисунках 3 и 4, соответствующих случаям и .

/

/

N /

Ч /

ч а ;

ч — У

ч 2 /

ч /

ч ?

ч /

ч /

ч /

у? 9"

а 2 у У / / / / / /■ \ ч ч ч 1 X 2 \ ч ч ч ч

/ ч ч

Рис. 3. Графики уравнений (1) и (2)

V А

а 2

а 2 X

а 2

Рис. 4. Графики уравнений (1) и (2)

Если а= —Ь, то при а > 0 у=^ , х > ^ (рис.3,а), при а<0 у = рх > — ^ (рис. 3,б). Обьединяя оба случая, получим: если а = — Ь, то у = х > | ^ | .

Если а = Ь > 0 , то х = — | у | < ^ (рис.4).

Заключение. Особенностью графического метода решения модуль содержащих задач с псрсметрами является разбиение плоскости построения на области, в каждом из которых выражения, находящиеся под знаком модуля, сохраняют свой знак.Построив в этих областях соответствующие графики, можно определить решение задачи в зависимости от значений параметра. Наличие параметра обусловливает рассмотрение множества кривых у=Дх) в плоскости хОу.Во многих случаях более рационалзно применение параметрических плоскостей а0х или х0а (см. [1]).

Список литературы /References

1. Григорян К.М., Арутюнян Р.М Модуль содержащие уравнения с параметрами.Ученые записки Арцахского государственного университета,1/2017, стр.33-39

2. Старков В.Н. 165 задач с параметрами (в помощь абитуриенту) // Методические указания. СПб. Изд. СПБГУ, 2004. 25 с.

3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987. 240 с.