Графический метод определения частот собственных колебаний Текст научной статьи по специальности «Физика»

Инж. В. К. НЕЧАЕВ.

(К вопросу о крутильных колебаниях валов.)

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.

Определение частот собственных крутильных колебаний вало-провода является первым и важнейшим этапом каждого расчета силовых установок с поршневыми двигателями на крутильные колебания.

Во многих случаях практики знания частот одноузловых и двух-узловых колебаний приведенной системы достаточно для суждения об эксплоатационной надежности работы данной силовой установки с точки зрения крутильных колебаний ее вала. Такое положение обычно имеет место в установках, работающих при постоянном числе оборотов.

Более глубокие расчеты, включающие в себя определение амплитуд вынужденных колебаний и напряжений скручивания в валу, возникающих при различных критических оборотах, необходимы в установках, работающих в широком диапазоне оборотов, так как здесь не всегда представляется возможным избежать тех или иных резонансов, хотя бы и слабых порядков.

Общий прием определения частот собственных (свободных) крутильных колебаний вала, имеющего ряд укрепленных на нем маховых масс, как известно, сводится к решению системы линейных дифференциальных уравнений.

Решение этой системы уравнений в общем виде, вплоть до окончательной готовой формулы для подсчета частот собственных колебаний системы, имеется только для вала с двумя и тремя маховыми массами. Для систем с большим числом масс этот путь приводит к крайне громоздким детерминатам, развертывание которых ведет к выражениям, едва ли пригодным для практических вычислений в виду их сложности г).

В настоящее время имеется ряд более практичных методов определения частот собственных крутильных колебаний многомассо-

*) Решение системы дифференц. уравнений для многомассовой системы исследовал в общем виде Н. Holzer, Schiffbau, 1907, стр. 823 и след.

Некоторые усовершенствования методики решения указаны академиком А. Крыловым в его работе „О численном решении уравнения, которым в техн. вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем" 1932 г.; см. также П.-Пап-кович .К вопросу о нахождении форм и периодов главных свободно крутильных колебаний" в приложении к брошюре Н. Урванцева .Критические числа оборотов в дизельных установках". См. также статью W. Tuplin в журнале Engineering, 1934, pp. 582.611.

вой системы 1). Все они дают искомое решение в результате ряда проб и последовательных приближений. Общим недостатком всех этих методов приходится считать необходимость проведения большой вычислительной работы. Это обстоятельство затрудняет их широкое внедрение в практику.

В большинстве установок с двигателями внутреннего сгорания имеется ряд одинаковых по величине и равномерно расположенных по валу масс (массы шатунно-кривошипных механизмов цилиндров двигателя). В этих случаях решение задачи может быть упрощено. Для этого имеется ряд методов более быстрого определения частот собственных колебаний системы 2). В большинстве из них все маховые массы всех цилиндров двигателя заменяются одной массой, равномерно распределенной по всей длине коленчатого вала. Этот прием, являясь известным допущением, несколько упрощает определение искомых частот, но приводит к отысканию корней трансцендентных уравнений. Лишь Behrens обходится без этого допущения. Но Behrens решил задачу только для частного случая, когда многоцилиндровы# двигатель имеет на валу еще только одну большую маховую массу (маховик).

Мы изложим здесь более общий прием, позволяющий определить частоты собственных колебаний вала с п равными махрвыми массами и двумя большими маховиками (такой случай мы имеем напр. в системе бескомпрессорный дизель маховик-динамо и в ряде винтовых судовых установок) графическим путем, без длительных пробных подсчетов.

В основе этого приема лежит метод приведения всех масс колеблющейся системы в одну точку, в одно сечение вала.

L

Рассмотрим упругую колеблющуюся систему, состоящую из ряда маховых масс, связанных между собою отрезками упругого вала (фиг. 1). Вал лежит в абсолютно гладких подшипниках.

Обозначим:

вь в2......Вп— моменты инерции маховых масс каждого

цилиндра двигателя относительно оси вала,

Н. Holzer. Die Berechnung der Drehschwingungen. Berlin 1921.

H. Wydler. Drehschwingungen in Kolbenmasehinenanlagen. Berlin 1922.

M. Tolle. Regelung der Kraftmaschinen. Berlin. 19 21.

J. Geiger. Mechanische Schwingungen. Berlin 1927.

F. Lewis, Torsional Vibrations in the Diesel Engine. Trans. Soc. Nav. Arch, and Mar. Eng- 192\

F. Porter. The range and severity of torsional vibration in Diesel engine. Transactions A. S. M. E., Vol. 49—50, 1927—28, а так-ке статьи Gümbel, Dreves и др. в Z. d. V. D. I.; А. Черевков. О вычислении колебаний кручения на валах, Вестник инженеров, 1933, № 7.

«) W. Benz. Automobil—Techn. Zeitschrift, 1930 Heft 27, 1934 Heft 5,

Göller. Z. d. V. D. J., 19"J0, № 16,

Behrens. Z. d. V. D. J., 1930, № 20,

Porter. Transactions A. S. M. E. Vol. 53 (1931); Vol. 51 (1929;,

Gorfinkel. Le Génie Civik 1932, № 15, 16.

вь 6ц— моменты инерции масс маховиков I и II относительно той же оси,

/Яь т2,.......тп> тг. тп—величины соответствующих масс, приведенных к радиусу кривошипа г 1);

^121-^23».....сп-\,п> спг счи~жесткости участков вала между соседними маховыми массами; индексы при с означают номера масс, лежащих по концам данного участка вала 2),

<?'г>.........ф'л, <р'п— соответственно углы отклонения масс

т2у.......тпУ т19 тп в данный момент времени, от их среднего, равновесного положения,

ъ----<рп— угловые амплитуды колебания соответствующих

масс.

Для всех масс колеблющейся системы по фиг. 1 можно написать следующую систему дифференциальных уравнений:

аг2 1

ф ф/я_1

А ^я

--^г -я -1 - +^ (?'. - о=о

я'

е.

1 йр

в

¿Уи

4Р

где /? — так называемый остаточный момент. При вынужденных колебаниях системы он обозначает внешний возбуждающий момент, приложенный к массе II.

Величины в и т связаны между собою соотношением: О = тг2, так напр. = Щ г2\ вг = '«а & и т. д.

2) Жесткость отрезка вала постоянного поперечного сечения вообще опреде-

GJfi

деляется формулой: с =-кгсм/радиан, где О — модуль упругости второго

I

рода, Зр — полярный момент инерции сечения вала, / — длина вала. Для вала переменного поперечного сечения с может быть подсчитано аналитическим или графическим путем.

При свободных колебаниях системы:

# = 0.

Как известно, мгновенные углы отклонения колеблющихся масс могут быть определены следующими выражениями:

<p'j = cpj Sin lüt, 4>'2 = ?2 Sin« г1,

<p'„-! = ?„-

где e> — угловая скорость колебания.

Вставляя эти значения w в систему уравнении (1) мы для всех п масс двигателя получим:

Oj 0)2 ф! — а 2 (<Pl — <р2) = о, 92 0)2 <р2 -f Cj 2 (срх -ср2)-é:2;í (<р2 — <Рз) = О,

1(2)

n_1(<fn_2 — 'fn_1)-~cn_hn <ря) = 0,|

+ —(?я —Ф,) = 0

В бескомпрессорных дизелях, рядовых авто и авио-двигателях приведенные моменты инерции масс шатунно - кривошипных механизмов всех цилиндров одинаковы (фиг. 2):

01-02=........

а также одинаковы и жесткости участков коленчатого вала между ними:

с12 = с23 =.......=cn_hn = c

Теперь из (2), отбрасывая индексы, получим:

9°>2?1 — C(?i — <Рг) = 0, л

вш2 ср2 С (cpj _ ф2) _ с(?2 — ?з) = 0, I

в<°2 ?п 1 + С (<Р„ _ 2 — ?а - l) — С (?П - 1 — ?п>= °> еШ2 српс(сря_ j (?„—?,) = о

откуда после сокращения на с: А<? 1 — (<р! — Срз) = О, А'Ъ + (?»— Ъ) ~ (?2 — ?з) ==• О,

Л?л_1 + (?я_2 —*„_!) —(?Я_1-ФЛ) = 0 ( --(4)

¿«Р. + (Ф. -1 - ?„) - (?," ?) = о

........... (5)

с

Теперь амплитуды колебания масс двигателя определятся следующими выражениями:

ср3--ср2 — Дер,— Лср2, I

<Р4 = Ъ~АЪ—А?2 — А?а, \ .... (6) '

..................I

Фя= Фя_1 — -4<Р1 — —----— *

Из первых двух выражений системы (6):

<Рз = ?1 — А<?1 — — ^<р,) = ?г(1— ЗА-¡-А2), ... .(7)

и далее, подобным же образом:

ср4 = (1— 6Л+5Л2 — А»),.........(8)

ср5 = ср1 (1 —ЮЛ4-15Л2 — 7 Дз + Л4), . . . . (9) ср6 = (1 — 15Л + 35Л2 — 17ЛЗ_|_8"Л4 —Л6), . (10)

и т. д.

Просуммируем последовательно амплитуды колебаний отдельных масс двигателя:

<р1-Ь?а = <Р1 (2 — А), 1

<Р1 + Ф2 + ?3 = <Р1 (3 — 4Л + Л2) I

Ь + ?2 + Ь + ?4 = Ъ (4— ЮЛ + бЛ2—А3), (11)

<р1 + ср2 + ....+ср5 = ф1(5-20Л + 21 Л2-8ЛЗ + Д4), I

?1 + ?2 +......+<Рб = ф1 (6 —35Л + 56Л2 —25Ла + 9Л^~Л-) }

и т. д., или в общем виде:

2

2 <р = В2 <р,,

I

. з

Еср = £зсрь ^.......... (12)

П

2<Р = #Я<Р1> 1

где:

В2 = 2—А,

В3 = г — 4Л-|-Л2,

В1 = 4 — 10Л +6Л2 — А*,

Вь—Ъ — 20 Л 21 Л2 — 8 Л3 -{- Л4,

В6 = 6 — 35Л 56 Л2 — 25 Л8 9 Л4

Таким образом, суммы амплитуд: колебания всех масс тг----тп

двигателя могут быть выражены через амплитуду <р колебания первой массы и коэфициент В> зависящий только от параметра А. В общем случае для п масс двигателя:

1-/(А>>

п

Вычислим далее соотношения:

ф 2 _ 1 - Л "

А

А

А

А

2

Хер 1

фз

3

У, СО

Ф4 _

4 1

?5 =

5

1

Фб

6 1

2 — Л '

1 — ЗЛ+Л2 .

3 —4Л + Л2'

1— 6Л4-5Л2 — Л3

4 — 10Л-}-6Л2 — Л3 '

1 — 10 Л 15 Л2 — 7 Л3 Л4 5 — 20Л-}-21 Л2 — 8Л3Л4 '

1 — 15 Л+ 35 Л2 —17 Л3+ 8 Л4

Л*

6—35 Л+ 56 Л2 —25 Л3+ 9 Л< —Л6

П

Ф

'Я

я? 1

(14)

Коэффициенты О зависят только от Л, следовательно меняются при изменений о»!.

На участке между последней массой тп двигателя и первым маховиком вал скручивается моментом, равным сумме инерционных моментов всех п масс двигателя *):

п п

2<р = 9«>2£ср, . . .......(15)

1 1

или, так как:

п

со

4 )

1 ' о

V 4 п

п

то:

в СО? ф

М —--~............(16)

О

Инерционный момент одной я-ой (последней) массы двигателя очевидно равен:

мя = в®2*я............(17)

Из сравнения (16) и (17):

А, I»,' "

Отсюда следует, что сумма инерционных моментов всех п равных масс т двигателя равна инерционному моменту некоторой

в

фиктивной массы, имеющей момент инерции — и приложенной на

п

место последней, п-й массы. Все маховые массы т двигателя можно

е

заменить одной, эквивалентной им динамически массой ——2 .

°пГ

Коэффициент Оп является переменной величиной и при заданных в и с зависит только от угловой скорости колебания (при заданном так же числе цилиндров двигателя). Величина Оп для каждого числа цилиндров двигателя определяется формулами (14)2).

При свободных колебаниях системы (фиг. 1), для двух больших масс т1 и тп из (1) имеем:

в —— — с (?' —ф') + с (<р' — ю' ) = 0,

1 лн' га 11' 1 I и V» 1 т 11'

в.

*) Как известно, максимальный момент сил инерции массы тп относительно оси вращения равен вш2 ср, где <р— амплитуда колебания массы, со—угловая скорость колебания, в— /яг2 — ее момент инерции относительно этой оси.

2) Индекс при О означает число цилиндров двигателя.

Подстановкой:

ср Бш &

I * г

ъг = ф Sin О) * и »и

эти уравнении приводятся к виду:

+ сп I - ъ) -с .,и (?. — <Р„) = 0 •

0)2 + ГЫ1 ~~ ?ц) = 0 '

Отсюда:

в СО2 Ср

Ъ = --"-1..........(18)

С1II

0 ш2 ср[ + впО)2 срц + Сп 1 (сря — = О,

О 0)2ф+ еи(02фп

?„ = ?, — —----— ........О9)

Сп I

На участке между последней (п-й) массой двигателя и первым маховиком вал скручивается моментом, равным сумме инерционных моментов масс т\ и /я»:

М^б^ср, -{-в,, ш2<рХ1

Маховики I и II можно заменить одной новой массой, имеющей момент инерции:

+ Нп

А'. ............(20>

и помещенной в точке приложения последней, я-ой массы двигателя. Коэффициент К определяется из следующего соотношения, выражающего необходимое равенство инерционных моментов обоих маховиков I и II и заменяющей их массы, имеющей момент инерции

е! + е„ к :

вш2 9г + в„ 0)2 Сри = —0)2ср д.....(2 * )

Отсюда:

(в| + е„)?п =__+ _

Но из (18) и (19):

следовательно:

/ О 0)2 0 0)2 в 0)2 0 0 СО4

И_____11_____!____"__}- "_

\ С с с с с

¡г — /0 I 0 \ 4 . "___"1_п1_'■ " '

^ 1 " е,.в,т.ш2

е.-ье „--

Отсюда, вводя обозначения:

0 о„

I = «1; II

~0

с с, ,

м = ?1 ъ и

С С

а..

3-,

и принимая во внимание обозначения (5), имеем:

«2 , «1 + «2 \ | ло а1а2

^ № Р1 Г

1--^--Л.

(23)

р2 (», 4- ос2)

Наконец, обозначая:

М«1+«») ^

<*2 | _ д

..... 3. " '

«1«2 "Р1 Р2

получаем окончательно:

........

1—тл

Таково соотношение для случая двух больших маховиков I и II. Если же установка имеет только один маховик (фиг. 3), то:

*н = 0. } «,=0, Т =О, е = 0, .......

* к

8 р7 )

и

К=\ —Ы.......... . (25)

При свободных колебаниях системы отсутствуют внешние возбуждающие силы и инерционные моменты масс в каждое мгновение уравновешиваются с упругими моментами скручиваемого вала.

При этом сумма инерционных моментов всех масс системы в каждый момент времени равна нулю:

2 00)2 ср 0^ Ш2 0,2«^ — 0 ,

1

или:

2 0ф + О1?1 + 0псри=О........(26)

1

(к этому легко притти, суммируя все уравнения (1) при /? = 0).

Но согласно (15), (17) и (20) это выражение можно написать также в следующем виде:

з ср + + 0)2(Р =0

" К "

или

п.1'0.........(27)

Отсюда следует, что при свободных колебаниях системы, сумма моментов инерции всех ее масс, приведенных в одну точку, в одно сечение на валу, равна нулю.

Соотношение (27) может быть положено в основу следующего графического приема для определения частот собственных колебаний многомассовой системы по фиг. 2. Вводя относительные значения:

^

= ф I 0£2 = ф >

перепишем выражение (27), удовлетворяющееся при свободных колебаниях системы (и только при них) в следующем виде:

11.1 + ' К

2

О

0.

Отсюда:

1 _ «1 -[-а2

к '

или:

Оя = Ь ,............(28)

где:

¿ = —у—...........(29)

Для системы с двумя большими маховиками I и II по фиг. 2 согласно (24):

и для системы с одним маховиком (фиг. 3) на основании (25):

, S Л — 1

Величина Оп, как установлено выше, зависит только от числа п цилиндров двигателя и параметра Л. Для каждого числа цилиндров можно раз и навсегда построить кривые Оп=/(А) в координатах Оп и А, пользуясь выражением (14).

Величина согласно (30) и (31) зависит от параметра А, а также и от относительной величины моментов инерции вх и 6„ обоих маховиков и жесткостей участков вала между ними и двигателем.

Для каждой конкретно-заданной системы можно подсчитать числовые значения коэффициентов аи «2 у, 8 и г, входящих в выражения (30) и (31) и определить £ как функцию одного А:

В величину Л, определяемую формулой (5):

вй>2

А~-

с

входят, как известные по числовой величине значения в и с для каждого цилиндра двигателя, так и неизвестное пока числовое значение угловой скорости о) собственных колебаний системы.

Придавая со некоторое произвольное числовое значение, можно подсчитать величину Л, а по нему определить и соответствующие числовые значения Оп и ¿, пользуясь формулами (14), (30) или (31). Эти найденные значения Оп и I вообще окажутся неравными друг другу, т. к. равенство Оп и ¿, согласно (28), может иметь место только при тех значениях о>, которые являются угловыми скоростями собственных колебаний рассматриваемой системы. Предугадать же заранее величины угловых скоростей собственных колебаний достаточно точно едва ли возможно.

Для того, чтобы найти те значения ш (а следовательно и параметра Л), при которых выполняется соотношение

п

следует на построенной ранее диаграмме Dn=f(A) для данного числа цилиндров двигателя, по точкам построить кривую L = F(A), придавая здесь Л различные числовые значения и откладывая по оси ординат подсчитываемые значения L+ Абсциссы точек пересечения этой кривой с кривой Dn дадут очевидно те значения Л (а

следовательно и ш). при которых выполняется равенство Dn = L. Эти величины А{ Аъ . . . . определяют собою теперь, на осно-

вании (5) и соответствующие угловые скорости собственных колебаний системы; _

.....<з2)

Из изложенного выше следует, что для определения частот собственных колебаний многомассовой системы по фиг. 2 и 3, необходимо заранее заготовить кривые Оп для соответствующего числа цилиндров. Каждая такая кривая полностью пригодна для любой установки с двигателем, имеющим данное число цилиндров. Построение этих кривых производится по выведенным выше уравне* ниям (14).

На каждом двигателестроительном заводе такие кривые могут быть выстроены раз навсегда, для каждой марки выпускаемых им машин. В этом случае, для еще большего ускорения расчетов, можно на оси абсцисс наравне с значениями А нанести так же и соответственные значения со, вычисленные по соотношению (5). Эти кривые будут пригодны для быстрого определения угловых скоростей собственных колебаний любой силовой установки с данным типом двигателя.

Необходимо отметить, что изложенный метод графического определения частот собственных колебаний системы является принципиально совершенно точным, включая в себя лишь известные ошибки, неизбежные при любом графическом построении. При выборе достаточного размера чертежа эти ошибки могут быть сделаны ничтожно малыми.

Этот метод может быть применен также и для установок, имеющих кроме двигателя еще целый ряд маховых масс с различными моментами инерции 8,,6П, в1П и т. д, К этому вопросу автор предполагает вернуться в другой статье.

Покажем применение изложенного метода на примере.

Определим угловые скорости собственных колебаний установки на фиг. 4, состоящей из четырехцилиндрового дизеля, маховика и динамо, соединенных одним общим валом и имеющей следующие основные данные, полученные после приведения масс и длин системы *)•

Момент инерции маховых масс каждого цилиндра двигателя

В — 3,0 кг м сек2,

момент инерции массы маховика ©I = 30,0 кг м сек2, момент инерции массы динамо 6И = 21,0 кг м сек2, жесткости участков вала между массами:

с = 5,0.106 кг м!радиан, сп1 =3,0.106 кг м\рсдиан. сг п = 2,0.10° кг м/радиан.

Здесь взяты округленные (для удобства подсчетов) данные одной действительной установки. Все дальнейшие расчеты произведены на 25-сантиметровой счетной линейке.

На фиг. 5 вычерчена заранее кривая О* для четырехцилиндровых двигателей, по соответствующему уравнению (14).

Для нашей установки подсчитываем коэффициенты, согласно обозначениям (22) и 23):

30 0

се1 = -^ = ^ =10,0

В 3,0

^ 210

^ _ п___у 0

—~ "здг— '

с 5,0.10,!

О

с,, „ 2,0.10^ с 5,0.10е

«1 . «2 10.7

2 ------ - „ 77^7" - 0,40

10,30

Ра • («1 + «г) 0,4. (10,0 7.0)

3 1. = + __7£_ 4_ 10'° -45 8

Р2 Р, 0,4 ^ 0,6 ^ 0,6

- _а1 • —291 7 " рГ-р2 0,6.0,4"

Теперь по ф-ле (30)

I — 1—45,8 А + 291,7 А* ~~ 17,0.(10,3 Л — 1)

Придавая здесь параметру А различные значения, начиная с А = О и вычисляя из предыдущего уравнения соответствующие значения Ь, выстраиваем по точкам кривую ¿ — Г (А) на диаграмме на фиг. 5 эта кривая обозначена через I. Пересечение этой кривой с кривой дает точки, абсциссы которых получились равными следующим величинам:

Ах — 0,0720, Л2 =0,1512, А, = 0,870,

(на фиг. 6 часть кривой 1)4 дающая величины А\ и Л2, для большей точности вычерчена в увеличенном масштабе).

Теперь по формулам (32) определяем угловые скорости собственных крутильных колебаний системы:

, / Ахс л /0,0720.5.10« ,зллп |

ш =1/ =1/ ——----= 346,0 сек.-1

У в У 3,0

0,1512.5.10^5Q2 сек. 3,0

0,870.5.10L= 1203 сек/

3,0

и соответственные числа собственных колебаний системы в минуту

30 <о зо 346

п —--=--= 3305 колеб/мин.

тг 3,14

30 «>„ зо.502

п —-----------=-= 4795 колеб/мин.

Я 3,14

30 о», ?о 1203

п —--= 11500 колеб/мин.

тг 3,14

Заметим, что практически нет необходимости выстраивать всю кривую L, как это было показано на фиг. 5; вполне достаточно ограничиться построением только участков этой кривой около точек пересечения ее с кривой D.

Аналитический подсчет угловых скоростей собственных колебаний нашей установки по методу "Tolle дал следующие значени я

со, = 346,1 сек~\ с«„ =502 сек~х,

со

III

1205 сек

-1

Мы приводим здесь таблицы этих подсчетов для следующих значений ш2) (см. приложение):

Одноузловые колебания ш = 345; 346; 347 сек~гу * двухузловые колебания ш = 501; 502; 503 сек~19 трехузловые колебания ш= 1204; 1205 сек-1. (При подсчете табл. Tolle мы пользовались таблицами логарифмов). Обращая здесь внимание на перемену знака остаточного момента /?, можно на основании этих таблиц написать следующие соотношения для угловых скоростей собственных колебаний:

345 <о>, < 347 501 <шп < 503 1204 <>,„< 1205

Отсюда интерполяцией (пользуясь указанными в таблицах значениями R) получаем указанные выше величины ш„ ш1г, щи.

!) М. Tolle. Regelung der Kraftmaschinen. 1921.

2) В этих таблицах е — упругий момент в данном участке вала, 9 — амплитуды колебания соответствующих масс, с и в —имеют прежние значения.

Амплитуда колебания первой массы <pi принята равной одному радиану.

Сопоставление результатов, полученных графическим методом, изложенным в настоящей статье, с данными, полученными по ме тоду Tolle, показывает полное их совпадение в отношении угловых скоростей одноузловых и двухузловых колебаний. Незначительное расхождение в величине о>ш возникло вследствие неизбежных погрешностей графического построения. Но это расхождение ничтожно и практически не имеет никакого значения.

В качестве иллюстрации определим теперь угловые скорости собственных колебаний той же установки, но без динамо (0„ = О). В этом случае мы приходим к схеме по фиг. 3. Для нее по формулам (22-а) и (25):

«1=—1 = 10,0, е

с

=16|67

Pi 0,6

и

О А — 1

L = —-- = 1,667 А — 0,1.

«i

По этому уравнению строим прямую L на диаграмме D4 (на фиг. 5 и 6 она обозначена через II). Она пересекает кривую D4 в двух точках, абсциссы которых:

Л/= 0,127

А ■/ = 0,870

Теперь угловые скорости собственных колебаний:

-,/ А^с л/ 0,127.5.10° '

(0=1/ --- I/ - — ------- = 460 сек

1 V в V з.о

3,0

, / А.:с , / 0,870.5.10'= 10nQ ,

№„ = 1/ —— = 1/ —--г-= 1203 сек- \

V в V 3,0

и соответственные числа собственных колебаний в минуту:

п}= 4390 колеб1мин. п1Х — 11500 колеб/мин.

Аналитический подсчет, проведенный для этой системы по методу Tolle, дал те же значения:

cüj = 460 сек*1, ши = 1203 сек-1,

IL

Еще F. Porter1) показал, что для двигателей с достаточно большим числом цилиндров вполне возможна замена всех маховых масс двигателя одной массой, равномерно распределенной по всей длине коленчатого вала. Получающаяся при такой замене ошибка в определении частот собственных колебаний установок с многоцилиндровыми двигателями практически ничтожна, составляя доли процента и уменьшаясь с увеличением числа цилиндров2). Так например, для шестицилиидрового двигателя эта ошибка меньше 0,5% и для десятицилиндрового—меньше 0,1%.

F. Porter дал метод аналитического определения частот собственных колебаний такой системы с равномерно распределенной по всему коленчатому валу маховой массой двигателя. Но этот метод все же достаточно громоздок и требует проведения ряда табличных вычислений.

Мы применим и здесь изложенный выше графический метод определения частот собственных колебаний. Ниже будет установлено, что для всех многоцилиндровых двигателей, с достаточно большим числом цилиндров (начиная примерно с шести цилиндров и выше) пригодна одна и та же кривая D. Обозначим (фиг. 7):

в—момент инерции движущихся масс каждого цилиндра двигателя, относительно оси вращения ваЛа,

m—масса движущихся частей каждого цилиндра, приведенная к радиусу кривошипа г,

©I и 6„ — как и ранее, моменты инерции масс обоих маховиков относительно той же оси,

/о — длина вала между осями соседних цилиндров, приведенная к определенному полярному моменту инерции Jp его поперечного сечения,

1п\ —длина вала между концом распределенной массы двигателя и маховиком I, приведенная к тому же

А и — длина вала между маховиками I и II, приведенная к тому же Jр*

При обычном приведении масс и длин системы, каждый п — цилиндровый двигатель разбивается на п отдельных маховых масс, находящихся на расстоянии /0 одна от другой. Полная упругая длина 1\ всего коленчатого вала равна расстоянию между обоими крайними массами двигателя.

Для того, чтобы иметь возможность приближенно рассматривать все маховые массы двигателя равномерно распределенными по всей длине его вала, необходимо, как показано на фиг. 7, к длине 1Х с

обеих сторон добавить по

!) F. Porter, Transactions A. S. M. Е., Vol. 52 (1931).

2) Предложенный I. Geiger'oM метод замены всех масс двигателя одной суммарной массой, приложенной на середине длины коленчатого вала, часто венет к очень большим ошибкам в определении <о и потому не может быть рекомендован.

Теперь суммарную приведенную массу ^ т шатунно-кривошипных:

I

механизмов всех цилиндров считаем равномерно распределенной по> длине 1 — п1$ коленчатого вала. На единицу длины вала теперь приходится масса с моментом инерции:

е„ / '

п

где вв = 2 е = ле.

I

Участок вала /, длиною йх (фиг. 8) несет массу йт с моментом* инерции:

авп = --—"-ах I

Жесткость вала / очевидно равна:

0.1

и соответственно:

*«= * /

п\

Л,,

С —-----

I, п 1

I, и

При колебательном движении системы, мгновенный угол поворота <р каждого сечения вала / зависит от времени.(¿) и положения данного сечения (х) (фиг. 8г.

При этом инерционный момент, создаваемый элементарной массой йт вала / определяется выражением:

п дР I др

Проведем в валу / сечение, удаленное на расстояние х от левого* конца системы. Сумма инерционных моментов всех элементарных масс йт, лежащих слева от сечения х, равна моменту, скручивают щему вал в этом сечении, т. е.

X

I-

й д2Ф ду

/ 1 р дх

^второе слагаемое в этом выражении означает упругий момент вала

в сечении х; производная ^ - очевидно является мерой скручи-

дх

вания вала на участке <1х).

Возьмем частную производную по х от обеих частей этого выражения:

д2<Р = (? / I дР ' р' дх2 *

Обозначая:

О.М

- — л2.........(34)

в

п

получим так, наз. дифференциальное уравнение колебания струны:

д2У —. q2 62 Ф

di2 дх*

Общий интеграл этого дифференциального уравнения в частных производных, как известно, может быть написан в следующем виде: 1)

ф =(Аг Cos akt-\-A2 Sin akt).{As Cos кх-\-А± Sin kx\ . . . (35)

где A i, Л2, ASi А4 и & — постоянные интегрирования, определяемые начальными и граничными условиями. Полагая:

. при ¿ = 0 и лг=0 <р = 0, при t= 0 и jc = / 9 = 0,

из (35) получим:

ф = Sin akt. (Л3 Cos Sin .....(36)

При свободных колебаниях системы левый конец вала свободен и не подвергается действию скручивающих моментов, т. е.:

при 0, ^ = 0.

дх

При этом условии из (36):

Aá = 0

и

ср = А2 Sin akt. Аг Cos kxb

или:

<Р = сро Sin akt Cos kx, . .......(37)

Здесь 'f0 очевидно является амплитудой колебания левого свободного конца вала I. Произведение

ak

со

!) См. напр. А. Н. Крылов. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики. 1932.

означает угловую скорость колебания вала. Отсюда

ш

К —-------,

а

и следовательно:

¡D = фЛ Sin (DÍ. Cos — х.......(38 )

* ro а

Мы ставим при 9 индекс х, так как выражение (38) дает величину мгновенного угла отклонения сечения х вала /.

п

Инерционный момент всей массы 2 т двигателя, скручивающий^

i

вал на участке 1т равен:

i i

М =

о о

/ I

Г д2® Г в ш / _ d% ——-= / — dx • ср0ш2 Sin o>¿. Cos— x

J dt2 J I a

в /

= —Ча Sin oit . Sin —........(3Í )

/ T a

П

Всю массу двигателя, равномерно распределенную по валу

I можно заменить некоторой сосредоточенной массой с моментом инерции приложенной в конечном (х~1) сечении вала дви-

гателя. Эквивалентность этих масс будет осуществлена, если инерционные моменты, создаваемые ими будут равны между собою т. е. необходимо:

в ш/ 6

—acp0tüSina>¿. Sin — = — ш2© Sin .... (40) / т a D '

где <р,— амплитуда колебания правого конца вала. Из (38) при х — 1:

r W

Ъ = 9о

Подставляя в равенство (40) это значение <?е найдем:

o—^L _ 1

' —— а < •

tg — а

'Но на основании (34) и (35), заменяя в (5) в через

/е„ш2

Теперь окончательно:

В= У'А- ..........(41)

*еУ А

Коэффициент О здесь имеет совершенно тот же смысл и значение, кдк и в рассмотренном выше случае графического определения частот собственных колебаний системы с рядом одинаковых сосредоточенных масс. Отличие только в том, что в формуле (5) для А:

0 0)2

А =

Сп

теперь необходимо понимать под 0П—суммарный момент инерции всех маховых масс двигателя и под сп жесткость всего вала двигателя длиною /.

Кривая й по уравнению (41) построена на фиг. 9 в координатах О и А. Она, очевидно, пригодна теперь для любого двигателя с достаточно большим числом цилиндров. Конечно, этой кривой можно пользоваться и для двигателей с малым числом цилиндров, но при этом погрешность в определении частот собственных колебаний системы несколько возрастает.

Для каждой заданной расчитываемой установки с известными массами и приведенными длинами или жесткостями валов, пользуясь соотношениями (22) и (23) подсчитываем величину по формулам (24) или (25) в виде алгебраической функции от А. Здесь под в и с согласно сказанному выше, понимаем суммарный момент инерции всех маховых масс двигателя и соответственно жесткость всего вала /. Длина I определяется соответственно указаниям на стр. 18.

Теперь на графике 0=/(А) выстраиваем по точкам кривую ¿ = /=,(Л), откладывая по ординатам значения I, подсчитанные для различных принимаемых значений А. Пересечение этой кривой с кривой О дает точки, абсциссы которых А позволяют определить угловые скорости о> собственных колебаний системы по формуле:

V-

со

как и ранее.

Для системы с одним маховиком построения значительно упрощаются, так как здесь кривая Ь обращается в прямую, определяемую уравнением (25).

Применим изложенный метод к рассмотренной выше, на стр. 14 установке: четырехцилиндровый дизель-маховик. Заменим эту установку системой по фиг. 7. Согласно указаниям на стр. 18 подсчитываем для нее следующие данные:

Величина момента инерции равномерно распределенной массы:

я 9 = 4.3,0= 12.0 кг м сек2.

Жесткость вала длиною /=я/0 (фиг. 7) несущего эту массу:

с

Сп =----

п

где с—жесткость участка вала между осями соседних цилиндров, п — число цилиндров; в нашем случае:

= 1,25.10«

4

Жесткость сП\ вала /„,' между концом распределенной массы двигателя и маховиком / может быть найдена из выражения:

1 1 1

где ст — жесткость участка вала между осью последнее цилиндра и маховиком / (см. фиг. 4), 2с — жесткость участка коленчатого /о

вала длиной — равной половине расстояния между осями соседних 2

цилиндров. Отсюда, при (согласно данным на стр. 14):

Ст — 3.10° кгм\радиану С =5.10° кгм/радиан9

получаем:

ст' — 4,28.10° кгм\радиан. В соответствии со сказанным на стр. 22 подсчитываем коэффициенты по формулам (22-а):

30,0

а, = — =--------- = 2,0

е„ 12,0

С ' 4 98 10« сп 0,25.10«

р! 3,43

Теперь по (25) получаем уравнение для £:

°'729 А~1 =0,291 А -0,4. 2,5

Построив эту прямую на диаграмме D (фиг. 9), получаем следующие значения абсцисс точек пересечения ее с кривой D

At= 2.07 Л2 = 15.23

Отсюда угловые скорости собственных колебаний системы:

л/ А\>СП ■,/ 2,07.1/25.106 ... ,

со = I/---- = I/ —---— 464,0 сек-1,

1 У ел V i2,o

1 / А2-Сп I / 15,13.1,25.100 ОСЛ «„=1/ -— I/ —'--= 1260 сек-1,

" У вя У 12,0

и соответственные числа колебаний в минуту

30 ш

nt =-= 4430 колеб/мин.

7Г

30 со

п =------"== 12030 колеб/мин

тс

Из сравнения этих значений с приведенными выше данными, полученными в результате аналитического расчета по методу Tolle:

<о, =460 С€к~\ и ш1Х = 1205 сек-ху

можно подсчитать величину погрешности в определении ш, возникающей при замене всех масс двигателя одной, равномерно— распределенной массой. Эта погрешность получилась равной 0,86% для со, и 4.56% для ши.

Такая ошибка в определении угловых скоростей собственных колебаний еще допустима во многих случаях практики, тем более, что для двигателей с большим, нежели четыре, числом цилиндров, она получается еще меньше.

Необходимо отметить, что применение метода замены всех масс двигателя одной равномерно-распределенной массой, может быть оправдано только при отсутствии готовых кривых D для данного числа цилиндров.

При многократном проведении расчетов на крутильные колебания наиболее целесообразно заранее вычертить в достаточно большом масштабе кривые D по уравнениям (14) для всех требуемых чисел цилиндров и пользоваться ими согласно сказанному в разделе I настоящей статьи. •

г) На фиг. 9 прямая обозначена цифрой I.

*) Совершенно аналогично можно было бы определить значения <*>ц и т. д. и для системы с двумя большими массами по фиг. (7), выстоаивая на диаграмме /> (фиг. 9) кривую по уравнению (24). Мы не приводим здесь пример такого расчета в виду недостатка места.

Табл.1 Приложение « = 345 сек.

е с — 6 с»2 ф

— 3.5707 10® = — 3.5707 . 10» ; 1.00000 1

1,2 — 3.5707 :5.10е ! — 0.07141 г

— 3.3157 = — 3.5707 + 0.92859 2

2,3 — 6.8864 : 5.10е - 0.13773

— 2.8239 = / — 3.5707 4- 0.79086 3

3,4 — 9.7103 : 5.10« - 0.19421

- - 2.1305 = — 3.5707 4- 0.59665 4

4,5 — 11.8408 : 3.106 — 0.39427

— 7.2264 — — 35.707 + 0.20238 5

5,6 -19.0672 : 2.106 - 0.95386

4- 18.7833 = — 24,995 — 0.75148 6

1* = - -0,2839 Л О5

Табл. 2 е С — 00)2 «> = 346 <Р сек.—1

! —3.5915 105 г — — 3.5915 . 10з 4- 1.00000 1

1,2 - 3.5915 : 5.106 — 0.07183

— 3.3335 = — 3.5915 + 0.92817 2

2,3 — 6.9250 : 5.106 — 0.13850

- 2.8361 = — 3.5915 4- 0.78967 3

3,4 — 9.7611 : 5.106 — 0.19522

— 2.1315 = — 3.5915 4- 0.59445 4

4,5 —11.8961 : 3.106 — 0.39614

— 7.1223 = — 35.915 4-0.19831 5

5,6 — 19.0184 : 2.10« — 0.95092

+ 18.9200 = — 25.139 -- 0.75261 6

-0.0384.105

Табл.3 ш = 347 сек.-» ее — в ®3 <р

— 3.6123.105 = - 3.6123 . 105 : 5.10е = —3.6123 : 5.10® = —3.6123 : 5.10е = ' —3.6123 * : ЗЛО6 = —3.6123 : 2.10« = — 2S.286 + 1.00000 — 0.07225 4- 0.92775 - 0.13927 1

1,2 - 3.6123 — 3.3513 2

2,3 - 6.9636 - 2.8482 — 9.8118 — 2.1393

4-0.78848 - 0.19624 -1- 0.59224 — 0.13170 3

3,4 4

4,5 — 11.9511 — 5.7992

+ 0.16054 — 0.88751 5

5,6 — 17.7503 + 18.1290

— 0.71697 6

R = 4- 0.3787 105 Табл.4 е со — 501 сек. —1 С — в to2 f

— 7,5300.105 = — 7.530 . 105 : 5.106 = — 7.530 : 5.10е = — 7.530 : 5.10« = — 7.530 : 3.106 = - 75.30 : 2.10« = ' - 52.710 -f 1.00000 - 0.15060 1

1,2 — 7.5300 - 6.3989

+ 0.84940 — 0.27858 2

2,3 - 13.9289 — 4.2983

+ 0.57082 — 0.36454 3

3,4 — 18.2272 —1.5453

-f 0.20528 — 0.65842 4

4,5 - 19.7725 -{-34.1215

5,6 — 0.45314 + 0.71745 5

-f 14.3490 —13.9318 6

+ 0.26431

R —+ 0.4172 . 105 i

Табл. 5 e С — в 0)2 ш = 502 сек.—K ?

— 7.5601.105 = — 7.5601 . 10® + 1.0000 1

1,2 — 7.5601 : 510« — 0.15120

- 6.4170 — - 7.5601 -f 0.84880 2

2,3 - 13.9771 : 5.106 — 0.27954 ' ■

- 4.3036 = — 7.5601 + 0.56926 3

3,4 — 18.2807 : 5.10e — 0.36561 / ...... i

— 1.5396 - 7.5601 + 0.20365 4

4,5 —19.8203 : ЗЛО« — 0,66000 i

+ 34.5005 - 75.601 — 0.45635 5 1

5,6 + 14.6802 : 2.10* + 0.73401

— 14.6940 = - 52.921 + 0.27766 6 -V

R = - -0.0138 . 105

Табл. S" С — в 0)2 ш = 503 сек.— ?

— 7.5903.105 — — 7.5903 . 105 + 1.00000 1 J

1,2 - 7.5903 .-5.106 — 0.15181

— 6.4380 = — 7.5903 + 0.84819 2

2,3 - 14.0283 : 5.106 — 0.28057

— 4.3084 = — 7.5903 + 0.56762 3

3,4 —18.3367 : 5.106 — 0.36673

— 1.5248 = -7.5903 + 0.20089 4 ^

4,5 — 19.8615 : ЗЛО« — 0.66139

+ 34.9530 — — 75.903 — 0.46050 5 f

5,6 + 15.0915 : 2.106 + 0.75457 >

— 15.6244 = — 53.132 + 0.29407 6 ï1

R = - -0.532Э . 105 X d

Табл. 7

(« = 1204 сек.—

в 0)2

— 43.488.105 — 43.488 . 105 + 1.0000 1

1,2 - 43.488 : 5.10° - 0.86976

— 5.664 = - 43.488 + 0.13024 2

2,3 — 49.152 : 5.106 — 0.98304

+ 37.087 — — 43.488 — 0.85280 3

; з,4 - 12.065 : 5.10« - 0.24130

+ 47.580 = — 43.488 - 1.09410 4

4,5 + 35.515 : 3.10е + 1.18265

< -38.509 — — 434.88 + 0.08855 5

5,6 — 3.094 : 2.106 • 0.15470

* + 2.014 = — 304.42 - 0.06615 6

> - 1.080 . 103

Табл. 8

ю

1205 сек.—1

в 0)2

— 43.560.105 = — 43.560 . 105 + 1.00000 1

1,2 — 43.560 : 5.106 — 0.87121

— 5.610 = — 43.560 4-0.12879 2

2,3 -49.170 :5.10е — 0.98342

+ 37.228 = — 43.560 - 0.85463 3

3,4 — 11.942 : 5.106 — 0.23884

4- 47.634 — — 43.560 — 1.09347 4

4,5 4- 35.692 : 3.106 + 1.18854

— 41.414 = — 435,60 + 0.09507 5

? 5,6 — 5.722 : 2.10е — 0.28610

! + 5.825 = — 304.93 — 0.19103 6

\ И = + 0.103 . 10» .

SUMMARY.

The determination of frequencies of natural vibrations of a shaft forms the first and the most important stage of every calculation of power plants with piston engines.

It is known that a general way for. determining the frequencies of natural torsional vibrations of a shaft having several masses fixed over it consists in the solution of a system of linear differential equations. The solution of this system of equations for a shaft with many masses is very cumbersome and does not suit to the purposes of practice.

The existing more practical methods for determining the frequencies of natural vibrations give the solution sought for, as a result of a series of tests and of successive approximations, and[ require a great amount of calculations.

This article describes a graphical method permitting ta determine without long trial estimates the frequencies of natural vibrations of a shaft with n equal masses being an equal distance apart and with one or two large fly wheels (this being the case in Diesel Fly Wheel Dynamo and in a series of ship screw installations).

This method is based on the following statement proved in this article: the sum of moments of inertia of all the masses of the system reduced to one point and to one section of the shaft, the vibrations of the system being free, is equal to zero.

For the determination of frequencies of natural vibrations by the given method, it is necessary to find the points of intersection of two curves Dn—f (A) and L — F (A) constructed in the coordinates A (the axle of abscisses), and D>L the axle of ordinates). The value Dn depends only on n—number of cylinders of the engine and on the parameter A A curve Dn=f(A) may be constructed once and for all for each n. Every such curve is entirely suitable for any installation with an engine having a given number of cylinders.

The value L depends on the parameter A, and also on the relative^ value of the moments of inertia of the masses of the system and on the stiffness < f the sections of the shaft between them. The parameter A is a function of the angular speed of natural torsional vibrations.

The method of determining the natural frequencies of vibrations given in the first part of the article proves to be quite precise including only those mistakes which are unavoidable with any graphical construction.

A comparison of the results of the estimate of one examplary installation by the given method with those of the estimate by the Tolle method shows their total coincidence.

In the second part of the article the author shows the possibliy of a still further simplification of the solution of the problem of determining the frequencies of natural vibrations by replacing all the concentrated masses of the engine by one mass uniformly distributed over its shaft. In this case for engines with any (but not a too small) numbei of cylinders the same curve Dn — F(A) is suitable.

61

е, еп_, оп е

0 0 ООО

4,2

'2,3

0 0 ООО

Фиг. 1.

е е в е е

0 0 0 0 0

6 6 6 6 0

б б' Фиг. 2,

Спд ^^ й

е е

е

в в

О О о о о

ПД

О 6 6 6 6

Фиг. 3.

Д в и г а /л е л б Маховик Динамо

оооо О О

Фиг. 4.

¿с ¿с ¿с 0С1Ло

е 9 е е

©I

е

д

0n

dx.

Cn

О

ш

шш

^Щшш

;------X

О

Фиг. 8.

^-Г1,1 '