CC BY
09 Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: Пер. с англ. -Изд. второе стереотип. - М.: Мир, 2001. - 575 с., ил.
10 Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. - Киев: Наук. думка, 1989. - 272 с.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ДРОССЕЛЬНОГО СПОСОБА РЕГУЛИРОВАНИЯ ПОДАЧИ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ НАГНЕТАТЕЛЕЙ
11 Писсанецки С. Технология разреженных матриц: Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. - 410 с., ил.
12 Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 264 с., ил.
Левин А.Б.
Московский государственный технический университет,
Мытищинский филиал доцент, кандидат технических наук, Афанасьев Г.Н.
Московский государственный технический университет,
Мытищинский филиал доцент, кандидат технических наук
GRAPHIC MEANS OF STUDYING THROTTLING METHOD OF REGULATION OF CAPASITY OF
CENTRIFUGAL PUMPS AND BLOWERS
Levin A.B.
Bauman Moscow State Technical University
Mytischi Branch PhD, associate Professor Afanasyev G.N. Bauman Moscow State Technical University
Mytischi Branch PhD, associate Professor
Аннотация
Предложен графический метод определения знака изменения мощности центробежного нагнетателя при изменении подачи дросселированием. Получена формула определения точки на напорной характеристике, в которой увеличение мощности сменяется уменьшением. В этой точке мощность потребляемая нагнетателем максимальна. Показано, что при общедоступности современных средств вычислений графическое представление характеристик обязательно должно сопровождаться и аналитическим.
Abstract
A graphical means is proposed for determining the sign of the change of power for centrifugal pumps and blowers when the capacity is changed by throttling. The formula for determining the point on operating performance is obtained, in which the power increase is replaced by a decrease. At this point, the power consumed by the pump or blower is maximal. It is shown that with the general availability of modern means of calculation, the graphical representation of characteristics must necessarily be accompanied by analytical ones.
Ключевые слова: центробежные нагнетатели, регулирование подачи
Keywords: centrifugal pumps and blowers, capacity regulation
Проблемы, возникающие при изучении естественнонаучных дисциплин, часто снимаются при замене аналитических выражений графическими образами. У большинства людей математическое воображение развито существенно меньше, чем зрительное. Поэтому ученые и преподаватели, излагая результаты своих и чужих исследований, пользуются заменой математических зависимостей их геометрическими метафорами. Например, предложенный Клапейроном способ представлять термодинамические процессы линиями в координатах p,v упростил изложение и, главное, понимание термодинамики. Так, чтобы сравнить величины термических КПД двух прямых циклов, которые в T,s координатах представляют собой окружности одинакового радиуса с центрами, расположенными на различных изотермах, нужно записать уравнения
окружностей, найти интегралы J Тйъ по верхним и
нижним половинам окружностей и затем их алгебраическую сумму разделить на значение интеграла по верхней половине окружности. Если же использовать графическое представление, предложенное Рудольфом Клаузисом, то достаточно одного взгляда, чтобы определить, что КПД выше у цикла, центр которого расположен на изотерме с более низкой температурой, так как при одинаковой полезной работе, равной площади кругов одинакового радиуса, в этом цикле подводится меньше теплоты. Другим примером очень удачного применения графической интерпретации сложного явления может служить предложенный И. Ф. Верещагиным способ определения деформаций напряженных элементов конструкций.
В настоящей работе предлагается метод графического анализа энергетической эффективности дроссельного регулирования подачи для центробежных насосов и вентиляторов.
В общем виде напорная характеристика центробежного нагнетателя представлена на рис.1 и представляет собой график зависимости напора Н от подачи Q.
При некотором значении подачи напор нагнетателя равен сопротивлению сети и нагнетатель работает с параметрами, определяемыми положением рабочей точки Ь. При этом полезная мощность нагнетателя равна N = pgHQ и эквивалентна
площади прямоугольника ОаЬсО, так как произведение р^ (плотности среды и ускорения свободного падения) для каждого конкретного случая известная и постоянная величина. Если для уменьшения подачи прикрытием клапана или шибера увеличить сопротивление сети рабочая точка переместится по линии напорной характеристики и совпадет с точкой d, в которой новое сопротивление сети опять станет равным напору насоса. При этом мощность нагнетателя станет эквивалентна площади прямоугольника Овё^О. Очевидно, изменение мощности машины эквивалентно разности площадей ¥2 - Е1. Положим, что
Рис.1. К выводу уравнения (1)
уменьшение подачи было бесконечно малым ДQ ^ dQ , а увеличение напора составило ёН. Разность мощностей, в конечном счете, равна разности dF2 - dFl= \QdHl - \HdQl, если пренебречь величинами второго порядка малости. Возможны три варианта:
\QdHI - \HdQI = 0;
\QdHI - \HdQ\>0;
\QdHI - \HdQ\< 0.
При \QdH\ -\HdQ\ = 0 можно записать уравне-
ние
dH dQ
(1)
dH
Отношение Н^ = а —= Это означает,
что угол X между касательной Ы к линии напорной характеристики и осью абсцисс является дополнительным к углу наклона к этой оси диагонали ас прямоугольника ОаЬс (X = п- у). Тангенсы указан-
ных углов равны по модулю, но на падаю-
щей части линии напорной характеристики имеют противоположные знаки
Если бы линия напорной характеристики в точке Ь была более пологой (тп), новая рабочая точка при уменьшении подачи на dQ оказалась бы в положении ё'. Мощность нагнетателя уменьшается при дроссельном уменьшении подачи. Напротив, если бы в точке Ь линия напорной характеристики была более крутой (рщ), то рабочая точка оказалась бы в положении d", а мощность нагнетателя возросла.
Формы напорных характеристик могут сильно различаться в зависимости от коэффициента быстроходности и конструктивных особенностей нагнетателей, предложенный же выше подход позволяет оценить, как изменится мощность при дроссельном уменьшении подачи для любого начального положения рабочей точки.
Также способ позволяет наглядно, как это следует из рис. 2, показать, что полезная мощность нагнетателя стремится к 0 по мере приближения рабочей точки к нулевым значениям напора Н или подачи Q , так как эквивалентная ей площадь прямо-
угольников аЬсО и def0 очевидным образом стремится к 0. Более того, в области малых подач дроссельное уменьшение подачи всегда приводит к уменьшению мощности нагнетателя (угол у '^п/2 и у' > п- Л'). В области малых напоров, наоборот, уменьшение подачи приводит к увеличению мощности (угол у" близок к 0 и у" < п-Л'').
Нагнетатели по-разному реагируют на дроссельное уменьшение подачи в различных режимах в зависимости от формы напорной характеристики и положения рабочей точки на ней.
Очевидно что, в области возрастающей ветви характеристики всегда уменьшение подачи приводит к уменьшению мощности, поскольку уменьшение подачи обязательно приводит к уменьшению напора.
На падающей ветви напорной характеристики можно найти точку, в которой увеличение мощности при дросселировании сменяется уменьшением, т.е точку где dH/dQ = -(Н^). В этой точке полезная мощность нагнетателя максимальна. Предложенный прием позволяет наглядно продемонстрировать, что режим максимальной полезной мощности не совпадает с режимом максимального напора.
Рис.2.
Определение знака изменения мощности при уменьшении подачи дросселированием при Н^-0 или Q^0
Уравнение действительной напорной характеристики получается вычитанием из теоретической характеристики (Нт -линейная функция Q) потерь напора внутри проточной части нагнетателя (Н пот-функция Q2) [1]. Поэтому это уравнение можно записать как
Н = -А(2 + В(( + С, (2) а уравнение производной напора как
[-) = -2А ( + В
Тогда уравнение (1) можно представить в виде: -{^+Е21£) = -2А( + В. (3)
Решение уравнения (2) дает искомое значение подачи, при котором dH/dQ = -(Н/Q), полезная мощность максимальна, а касательная к напорной характеристике параллельна диагонали прямоугольника ОаЬсО (рис.1).
-AQ2 + BQ + C = 2AQ2 - BQ
^ 3 A vv3^ 3 a'
(4)
-3AQ2 + 2BQ + C = 0,
2 В
С
Ниже приведен пример нахождения точки перемены знака изменения мощности нагнетателя при уменьшении подачи дросселированием. Характеристика задана таблицей значений Q и Н.
Таблица
Данные для построения напорной характеристики нагнетателя
3Л
3Л
Q, м3/с H, м
0,001000 75,00
0,080000 87,00
0,200000 82,00
0,360000 34,00
0,400000 15,00
Уравнение напорной характеристики выражается с коэффициентом достоверности Я2 = 0,9992 полиномом второй степени как
Н= - 930,2 Q2+219,23 Q + 75,066. (5)
Координаты точки Мпех, полученные подстановкой коэффициентов из (5) в (4), составили Q = 0,260 м3/с и Н = 70,0 м.
На рис. 3 представлена напорная характеристика рассмотренного нагнетателя и искомая точка максимальной мощности на ней.
Рис. 3.
Пример определения точки перемены знака изменения мощности нагнетателя при уменьшении подачи
Напорные характеристики центробежных нагнетателей обычно хорошо описываются уравнениями вида (2). Это тем более верно для рабочей части характеристики. Если требуемая точность удовлетворяется представлением характеристики в форме полинома степенью 3 и более, то решение придется найти численным методом.
Читателям следует обратить внимание на то, что предложенный подход можно применять только к характеристикам с линейным масштабом на обеих осях и с нулевым значением по обеим осям в начале координат. В учебной и справочной литературе часто используется логарифмический масштаб, а значение напора в начале координат иногда отлично от нуля.
Авторы надеются, что настоящая работа сможет мотивировать заводы-изготовители кроме графического представления напорных характеристик
обязательно приводить и аналитическое представление зависимости Н=/^) в форме (5). Это при современной общедоступности средств и методов вычислений позволило бы решать задачи автоматического регулирования нагнетателей, с меньшими трудозатратами и с гораздо большей точностью, чем при использовании графиков.
Предложенный подход может быть также полезным для преподавателей университетов и колледжей при изложении разделов гидравлики и гидрогазодинамики, связанных с изменением подачи центробежных нагнетателей.
Список литературы
1. Черкасский В.М. Насосы, вентиляторы, компрессоры. Учебник для теплоэнергетических специальностей вузов.-М.: «Энергия», 1977.^424 с.
