Градиентное управление возбуждением генератора постоянного тока Текст научной статьи по специальности «Математика»

универсальный метод практически невозможно реализовать традиционными методами, без потери эффективности.

Решение поставленной задачи также усложняют сжатые сроки внедрения системы ДКУЭ, трудоемкость извлечения зависимостей ОК из принципиальных схем и их перевода в программный код.

К тому же необходимо учитывать, что в сложном технологическом процессе работы энергосистем существуют глубокие неявные взаимосвязи, которые нельзя выявить только традиционными методами. Поэтому становится актуальной разработка новых методов выявления неявных признаков и структурно-временных отношений между различными изменениями состояний ОК.

Выход в сложившейся ситуации заключается в разработке гибридного интеллектуального метода определения адекватного состояния ОК, основанного на различных алгоритмах обработки информации о состоянии ОК, который должен совмещать в себе точные аналитические методы, использующие технологии традиционного математического программирования и методы искусственного интеллекта, позволяющие в автоматическом режиме извлекать закономерности из поступающей информации ТС. К тому же, он должен быть максимально универсальным, обладать способностью к машинному обучению и адаптации к конкретным условиям.

А.Р. Гайдук, А.А. Ланская

ГРАДИЕНТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЕМ ГЕНЕРАТОРА ПОСТОЯННОГО ТОКА

Разработан метод синтеза градиентного управления, которое позволяет обеспечить устойчивость в целом и требуемое быстродействие системы управления возбуждением электрического генератора. Управление строится на основе функции Ляпунова в виде квадратичной формы.

1. Постановка задачи синтеза. Построение управлений возбуждением электрических генераторов, - важная проблема современной энергетики. В работах Ю.П. Петрова и его учеников [2, 3] предложен синтез оптимального управления, построенного на основе принципа максимума и обеспечивающего наибольшую область устойчивости при наличии ограничений на величину напряжения возбуждения. Метод агрегированных макропеременных позволяет наиболее полно учесть особенности внутренней структуры генераторов как объектов управления. Синтез нелинейных стабилизирующих управлений на основе модифицированных уравнений синхронного генератора [4] позволяет учесть естественные ограничения, присущие реальным объектам, и синтезировать устойчивые «в большом» нелинейные системы управления. Однако эти методы не позволяют обеспечить требуемое быстродействие системы возбуждения генераторов. Предложенный в данной работе метод синтеза градиентного управления решает эту задачу на основе функций Ляпунова и в общем случае может быть использован для построения нелинейных систем различного назначения.

Очень часто система управления возбуждением электрического генератора состоит из линейной части и нелинейности f ( х), и ее уравнения имеют вид

i = Ax — b (f(x) + u), (1)

где x - n -мерный вектор состояния, т.е. вектор отклонений от установившегося движения системы; A, b - матрица и вектор коэффициентов; u - искомое управление. Предположим, нелинейность f(x) удовлетворяет условию

f(0) = О, О <|f (х) < к(х), (2)

где к(х) < да - некоторая положительно определенная функция переменных

состояния, причем существует число eps , такое что eps\f (х)| <|х|Р при всех ||х|| > 0; матрица A является гурвицевой; вектор х доступен измерению и при

и = 0 система (1) неустойчива в большом.

Предположение об устойчивости матрицы A в (1) не является

ограничительным, так как в противном случае при измеряемом векторе состояния и управляемой паре A, b устойчивость линейной части рассматриваемой системы всегда можно обеспечить, если выбрать управление и следующим образом:

и = и л + и г . Здесь и г - стабилизирующее управление, с помощью которого

обеспечивается устойчивость и требуемые качества нелинейной системы, а ; т

и = к х - линейное управление, обеспечивающее при необходимости

устойчивость матрицы A — bkт. Например, вектор к можно выбрать методом модального управления [1]. В дальнейшем будем считать, что матрица A устойчива, ид = 0 , и = иг.

Для построения стабилизирующего управления и = иг (х) возьмем

функцию Ляпунова в виде квадратичной формы

У(х) = хтРх. (2)

Здесь Р - матрица, являющаяся решением уравнения Ляпунова

АтР + PA = —E. (3)

Так как по условию матрица A является гурвицевой, то Р > 0 .

При этих условиях функция У(х) > 0, поэтому для обеспечения устойчивости системы (1) в соответствии с известной теоремой Ляпунова достаточно, чтобы функция Ляпунова (2) имела отрицательно определенную производную. Эти условия можно выполнить, если выбрать управление и = иг (х) следующим образом:

0, \хтРЬ\ = 0;

(4)

иг(х)=

т

х рь I I т т»7 г\ ■щх\, \хтPb\ ф0,

хтРЬ\

где [л( х) - положительно определенная функция, подлежащая определению.

Управление (4) называется градиентным, так как величина 2х Р является градиентом функции Ляпунова (2) в пространстве состояний системы (1).

Теорема. Если выполняется условие

щ(х) = к(х) + у(х), (5)

где у(х) - некоторая положительно полуопределенная функция, то положение равновесия системы (1) асимптотически устойчиво в целом.

Доказательство. Производная по времени функции (2) вдоль траекторий системы (1), (4) имеет вид

Г(х) = хт AтPx — 2хтPb (f(x) + и ) .

Покажем, что V(x) < 0 при любых х. С учетом соотношения (3) отсюда следует

т

V(x) = —xm Ex — xm Pb ( f(x) + и ).

(б)

Рассмотрим вначале случай |хтРЪ| = 0 . При этом, согласно (4), и = 0 и из

гр | I

(6) получим У(х) = —х Ех < 0. Пусть теперь \хтРЬ\ Ф 0. Тогда из (6)

получим

V(x) = — xm x — 2xm Pb

f xmPb Л f(x)^(x)

(7)

V = — xm x —

= — xm x —

2xm Pb

Представим хт Pb = \хт P^sign (хт Pb ) и подставим в (7). Получим

2хтPb sign(хтPb)( f (х) + sign(хтPb~)щ(х)) = (sign (хт Pb) f( х) + щ(х)).

Подставим сюда выражение для щ(х) из (5). В результате будем иметь

V(x) = —хтх — 2^хтР^ (sign( xinPb )f(x) + k(x) + v(x)). (8)

В соответствие со вторым условием (1') слагаемое sign (хпРЬ) f(x) + k(x) > 0 при всех х > 0 . Следовательно, из (8) вытекает

неравенство

V(x) <—хтх — 2\хпРЬ\v(x). (9)

По условиям теоремы функция v(x) является произвольной. Поэтому можно принять

v

(x)\

x

2

(9')

2|хтРЪ\ '

где V2 (х) - некоторая положительно полуопределенная функция. Тогда из (9) с учетом (9') получим неравенство

V(x) <— xmx — 2xmPb

'(x)\\

x

2

xTPb

или

2

2

V(x) <-(1 + -г7(х))||х|| .

(10)

Таким образом, в условиях теоремы производная по времени положительно определенной функции (2) вдоль траекторий системы (1), (4) является

отрицательно определенной функцией. Отсюда следует справедливость

утверждения теоремы.

Неравенство (10) позволяет доказать вытекающее из теоремы

Следствие. Пусть Vj (x) = Vq = const. Тогда в условиях теоремы

положение равновесия системы (1), (4) является экспоненциально устойчивым в целом, причем

||x(t;|| < c(x0)e~at. (ii)

где c(Xg), а - некоторые положительные величины.

Доказательство. Из свойств квадратичных форм и равенства (2) следует неравенство

2 2 А™,„ IIх < V(x) < \nax IIх! , (12)

где А

шах |

.тп’^тах - соответственно минимальное и максимальное собственные числа матрицы Р . Тогда

«2 1

А

V(x).

(13)

mm

Подставляя (13) в (10), получим V(x) < —

t1+Vo >

А

V(x).

mm

Отсюда

V(x) < e С учетом (12) отсюда выводим

i1+Vo)

А

mm

V(0).

x <

K) t

А — 2 А

max xo e mm

А .

mm

(14)

Очевидно, что из (14) следует выражение (11) при

c(x0)=

к

А

max xo

А . , а

mm

2А

(15)

mm

При Vj (x) = Vq = const градиентное управление имеет вид

и (х)= <

г

хт РЬ

хт РЬ

0, хт РЬ (к(х) + у0 ),

= 0;

хтРЬ

Поэтому, выбирая соответствующее значение параметра Уд градиентного управления, можно обеспечить требуемую скорость затухания нормы решения системы (1), (4). Воспользовавшись известным соотношением 7 ? < (3 + 5)Т,

характеризующим время затухания экспоненты ехр(—^Т), получим

Я .

У> 6 т.т — 1, (16)

0

і

где 7^ - желаемое время затухания переходного процесса в системе.

Основная особенность закона управления (4) заключается в том, что

управление и равно нулю при обращении в нуль функции хтРЬ. В реальных

условиях невозможно точно установить момент прохождения функции х РЬ через нуль. Поэтому для практической реализации выбирается некоторая погрешность eps определения нулевого значения этой функции. При этом реальное градиентное управление типа (4) принимает вид

и (х)=< г

0,

< ерь;

ст РЬ

(17)

т П1

х РЬ

(к(х) +у0 ),

хтРЬ

> ерь.

Градиентное управление (17) легко реализуется с применением современных вычислительных средств при достаточно большом числе разрядов.

2. Система управления генератором постоянного тока. В качестве примера применения развитого в работе метода синтеза градиентных управлений построим систему стабилизации напряжения генератора постоянного тока при ненасыщенной магнитной цепи якоря, который описывается уравнениями [1]:

ив = 1в %в + ™в Фв (1в ),

1н (%н + ) + wяФя (1н ) = ся®яФв (1в ), (18)

ин = 1н Кн,

где - коэффициенты пропорциональности между скоростью изменения

я в

магнитного потока и ЭДС самоиндукции, возникающих в якорной обмотке и

обмотке возбуждения, Ф (I ),Ф (I ) - усредненные нелинейные функции,

в в ян

описывающие зависимости магнитных потоков статора и якоря от

*

соответствующих токов, С - конструктивная постоянная генератора. Причем

я

I < I , где I - максимальное значение тока в обмотке возбуждения. в вmax вmax

Пусть х. =Ф , ах, = I . В качестве управляющего воздействия примем

1 в 2 н

напряжение возбуждения, т.е. и = и .

Усредненная зависимость магнитного потока Ф от тока возбуждения I

является неоднозначной и имеет гистерезис, однако в первом приближении им обычно пренебрегают.

Ток в обмотке возбуждения I найдем как обратную нелинейную функцию

потока возбуждения

Тогда система (18) примет вид

I — щ(Ф ). в в

Я 1

х ——— \у(х1) л--------и,

в

С а

1

в

(Я + Я )

■ _ я я ' н я'

Лл — х -і х —ъ,

2 I 1 I 2

(19)

я

я

>' = Ян х2.

Если уравнения (19) записать в форме (1), то

- аи 0 " ' 1 '

А — С w я я (Я + Я ) н я ’ Ь — w в

Ь _ я Ь я _ 0

ст —

0 Я

/(х) = Яв¥(х1) - ап.

Численное моделирование системы (19) проводилось при следующих

значениях параметров: Я — 1 Ом ; Я — 10 Ом; Я — 1 Ом; С — 0.1 Ф ;

я н в я

Ь — 1 Гн; w — 10 ;'№ — 1; I — 5 А. Зависимость магнитного потока я я в вном

от тока возбуждения была принята, равной

Ф (I ) — в в

\агсіаи(І ), I < I ; ' в в вшах

Ф , I > I ,

в шах в в шах

где I = q TI , Ф = arctan(I ) - максимальные значения

emax I вном emax emax

потока и тока возбуждения, параметр q^ определяется конструкцией генератора, в нашем случае q^ = 1.2.

Градиентное управление для системы (19) будет иметь вид (17) при £ = 0.1.

*

Зададим желаемое время регулирования в системе t < 1 с , тогда, согласно (16),

найдем у > 6.3 . Примем у = 6.5. Функцию k(x) найдем из выражения

I

k(x) = emax = 4.268.

Ф

emax

Тогда управление (17) для системы (19) примет вид

xm Pb

4.2б8 -

xm Pb

б.5\ x

< eps;

> eps.

(20)

Графики переходных процессов, полученные при моделировании системы, приведены на рис. 1.

Рис.1

Как видно из графиков переходных процессов, система является устойчивой, время регулирования в системе при различных начальных условиях не превышает 1 с.

Заключение. Предложенный в работе метод синтеза градиентного управления позволяет обеспечить желаемую скорость затухания переходных процессов в системе. При этом замкнутая система управления является асимптотически устойчивой в целом. Предложенное градиентное управление может быть использовано для построения нелинейных систем различного назначения.

O

т x Pb

В качестве примера реализации градиентного управления синтезирована и исследована система управления генератором постоянного тока.

1. А.Р. Гайдук. Математические основы систем автоматического управления. -М.: Фирма «Испо-Сервис», 2002.-152 с.

2. Абдуллаев Н.Д., Петров Ю.П. Области устойчивости синхронной машины// Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1980. № 6. - С. 172-173.

3. Абдуллаев Н.Д., Петров Ю.П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов. - Л.: Энергоатомиздат, 1985. - 240 с.

4. Беляев В.Е., Гайдук А.Р. Аналитический синтез управления электрическим синхронным генератором// Энергетика. 1991. № 7. - С. 54-57.

АДАПТИВНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА (СИСТЕМЫ) ТИПА «ЧЕРНЫЙ ЯЩИК» МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ

КВАДРАТОВ

Разработаны алгоритмы адаптивной идентификации неизвестного динамического объекта в режиме реального времени. Разработана процедура синтеза параметров настройки цифровой адаптивной модели.

Общее описание. Как известно, при адаптивном управлении энергетическими системами часто возникает задача идентификации объектов типа «черный ящик» в процессе их функционирования. Под «черным ящиком» понимается система (объект), структура и параметры которой неизвестны.

В статье рассматриваются вопросы реализации адаптивной модели такой системы в виде цифрового адаптивного трансверсального фильтра с перестраиваемыми параметрами [1].

На рис. 1 показана схема идентификации неизвестной динамической системы с одним входом и одним выходом [2]. На вход системы и адаптивной модели подается один и тот же сигнал gk, выходной сигнал Хк= Як , сигнал ошибки

где весовые коэффициенты в соответствии с методом наименьших квадратов определяются по рекуррентным формулам

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

Н.В. Гудкова

& к хк~ Ук-

Выражение для выходного сигнала адаптивной модели имеет вид

I

(1)

>

w

Ь(к +1)