Синтез нелинейных систем управления на основе функций Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция автоматических и автоматизированных систем

управления

УДК 62.50

Ле Чан Т ханг, А.Р. Г айдук

СИНТЕЗ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

.

нелинейных систем дифференциальных уравнений, так как модели реальных динамических систем обычно являются нелинейными. Особенно сложной оказывается проблема синтеза нелинейных систем управления. Известный русский ученый ..

,

Ляпунова [1]. Знание функции Ляпунова для конкретной системы позволяет дать оценку её устойчивости, оценку времени и качества регулирования, оценить область притяжения или влияние постоянно действующих возмущений. С помощью функций Ляпунова можно также осуществить синтез нелинейной системы управления [2, 3]. В данной работе рассматривается алгоритм синтеза нелинейных систем управления на основе функций Ляпунова.

. , нелинейной системой дифференциальных уравнений

х = / (х, и) , (1)

где х е Яп - вектор состояния, и - скалярное управляющее воздействие, /(х, и) - нелинейная дифференцируемая функция, /(0,0) = 0 .

Задача синтеза САУ заключается в определении управления и = и( х), т.е. в

определении такой нелинейной обратной связи, чтобы положение равновесия

х = 0 (1) .

. , (1)

условию

д 2 / ( х, и)

•V2 = 0, (2)

ди

тогда эту систему можно представить [3] следующим образом:

х = Ах + У1 (х) + Ь( х)и, (3)

где А - постоянная матрица линейного приближения функции /(х, 0) в точке х = 0; f1 (х) - некоторая нелинейная вектор-функция. Подчеркнем, что уравнение (3) является точным представлением уравнения (1) при условии (2).

Имея в виду синтез управления на основе функций Ляпунова, будем предпо-, . -

пунова [2] АТР + РА = —С, где С > 0 - матрица Р будет положительно определенной, т.е. Р > 0 [4]. Возьмем в качестве кандидата в функции Ляпунова положительно определенную квадратичную форму

V = хТРх (4)

(3):

V = х тРх + хтРх = = хт АТРх + /1( х) Рх + Ь( х )иРх + хт РАх + хТР/1( х) + хТРЬ( х )и =

= — хТСх + 2[ хТР/1 ( х) + хТР Ь( х )и]. (5)

В соответствии с известной теоремой Ляпунова [1, 2] для обеспечения асим-

х = 0 (1)

выбрать управление и = и(х) так, чтобы V(х) < 0 на траекториях этой системы. Если хТР Ь(х) Ф 0, то можно положить

и = — хТР/1(х)/х ТРЬ(х) , (6)

при этом, согласно (5), производная V = — хТ С х, то есть является отрицательно .

Если же хТРЬ(х) = 0, то выбрать управление так, чтобы V = — хТС х, не

удаётся, потому что для этого при хТР/1 (х) Ф 0, в соответствии с выражением (6), .

выполнении условия

x T (tk) PK x(tk))

< Є , где Є - положительное, достаточно

малое число, предлагается выбирать управление следующим образом.

Обозначим 1к = хТ (ік )Р Ь(х(ік)) , а через Пе - область фазового про-

,

x T (tk )PЪ( x(tk ))

< Є . Если

при некотором tk величина \ k'~ , то u(tk) = u(tk—1), так как под действием

управления u(tk—1) система вошла в область DЄ. Далее, если

signIk+1 Ф signIk, то u(tk+1) выбирается по формуле (6), так как система перешла многообразие D0, т.е. множество точек, где XTPЪ(x) = 0.

Если же signIk+1 = signIk, т0 есть система не перешла многообразие D0, то если |Zk+11 > |Ik | ^^^стема удаляется от многообразия D0), то знак управления меняется, т.е. u(tk+1) = —u(tk ). Если же \Ik+1 < Ik I ^^^стема приближается к многообразию D0), то управление сохраняется, т.е. u(tk+1) = u(tk ).

Описанный процесс формирования управления и(^ + .) повторяется, пока при некотором . > 1 не выполнится условие signIk+. ф signIk+.-1. После чего и(1к +.) выбирается по формуле (6).

Итак, при

X Р Ь(х) < Є управление системы имеет вид

k+І-1

- xT (tk+i)P/1(x(tk+i ))/Ik+І , при sign Ik+i Ф sign 11 u(tk+i-1 ), при sign Ik+i = sign Ik+i-1 ,« |4+ІI < \h+i-1; 1

- u(tk+i-1), npU signIk+i = signIk+i-1 ^ |4> \h+i-1І

= 1,2_. (7)

При указанном определении управления производная функции Ляпунова будет отрицательно определенной во всем фазовом пространстве, кроме очень узкой

области, где ХТРЬ(х) < £. В этой области управление выбирается по условию

сохранения направления фазового вектора. Благодаря этому фазовые траектории пересекают область с уменьшением значения функции Ляпунова, что обеспечивает устойчивость по Ляпунову положения равновесия системы.

Приведем ряд примеров синтеза управлений нелинейными объектами на основе предложенного подхода.

Пример 1. Рассмотрим систему (3) второго порядка, где

" 0 1 '

- 2 - 5 ; f1( x) =

sin( x1 + x2)

БІЙ X

'і ' '1 0'

; b = ; C =

0 0 1

(В)

Отличительной особенностью данной системы является то, что матрица состояния .4имеет пару вещественных собственных чисел. В соответствии с выраже-

(6) и

U ■■

. , , 0,25x1 + 0,15x2 . Tr>,

-sin(x1 + x2)----------1---^sinx1 при x Pb Ф 0

1,55x1 + 0,25x2

и по формуле (7) при 1,55х1 + 0,25х2 < 10-6.

Моделирование синтезированной системы проведено в среде МаНаЪ. На рис. 1,а приведены графики изменения переменных состояния Хі(ї), Х2(ґ), а на рис. 1,6 - график управления п(ї).

Фазовый портрет рассматриваемой системы (3), (6), (7), (8) приведен на рис.2. Из графиков видно, что положение равновесия системы является устойчи-.

Solution equation (ode45)

/ i х Х2 i

I

Tin

a

0.4 0.2 O' -0.2 з -0.4 -0.6 -0.8

* +

'++

+■ +

+

+

Ь "+ +

~'Т'7

10 15

Time

6

Рис.1.Переменные состояния и управление

Рис.2. Фазовый портрет

Пример 2. Рассмотрим систему, где матрица А имеет пару комплексных корней. Здесь

' 0 1 "

- 5 - 2 , f1( x) =

sin( x1 + x2)

'1" '1 0'

; b = ; C =

0 0 1

(9)

Как и в предыдущем примере, управление определяется равенством

u = - sin( x1 + x2 ) -

0,1x1 + 0,3x2 1,7 x1 + 0,1x2

sin x1, при x Pb Ф 0,

и по алгоритму (7) при 1,7x1 + 0,1x2 < 10 6.

На рис. 3,а приведены графики переменных состояния x1(t), x2(t), а на рис. 3,6 - график управления u(t).

Solution equation (ode45)

Л<2

V

JCI

Рис.3. Переменные состояния и управление

На рис. 4. показан фазовый портрет и окрестность начала координат синтезированной системы в увеличенном масштабе.

Рис.4. Фазовый портрет

Точками 1 и 2 на рис. 3,6; рис. 3,в и рис. 4,6 - обозначены моменты времени,

при которых происходит переключение управления в области

xT (tk )Pb

< Є .

Положение равновесия системы и в этом случае устойчиво.

Пример 3. Система управления (3), (9) со степенными нелинейностями, где

б

а

в

б

а

A =

" 1 1'

- 7 - 5 , М. ^ =

0.1( х1х2)' 0.5( XlX2)l

'1' '1 0'

ь = ; C =

0 0 1

(10)

Управление определяется выражением

\0.2

(x1 x9) . (0,85x1 + 0,2x9)

u = - 1 ----------1--------—, при

4,75x1 + 0,75x2

xTPb ф 0,

а при 4,75x1 + 0,75x2 < 10 6 - в соответствии с алгоритмом (7). Соответствующие графики переменных состояния x1(t), x2(t) приведены на рис. 5,а, а на рис. 5,6 -график управления u(t).

а б

Рис.5. Переменные состояния и управление

На рис. 6 приведен фазовый портрет синтезированной системы управления, из которого следует, что положение равновесия системы устойчиво и в этом случае.

Рис. 6. Фазовый портрет

Таким образом, предложенный в работе алгоритм позволяет синтезировать эффективные управления для нелинейных объектов (3) достаточно общего вида. В дальнейшем предполагается исследование управлений данного типа, а также различных

< £ , в том числе и опти-

алгоритмов выбора управления в области

, .

x (Ч)п(^)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Барбашин Е.Л. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука, 1967. - 223 с.

2. Зубов В.И. Устойчивость движения. - М.: Высшая школа, 1984. - 229 с.

3. Гайдук А.Р. Основы теории систем автоматического управления. М.: УМ и ИЦ «Учебная литература», 2005. - 408 с.

4. . . . - .: « -

ная литература», 2004. - 247 с.

УДК 62.50

С.В. Василенко

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКИМ ФОРМАМ МОДЕЛЕЙ ДИСКРЕТНЫХ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Широкое применение получило преобразование, предложенное Луенберге-ром для приведения уравнений линейных систем к канонической управляемой (КУФ) или наблюдаемой (КНФ) формам [1]. Если правые части уравнений нелинейной непрерывной системы дифференцируемы и управление входит в них ли,

[2]

X = A(x)x + ^x)Цx) , (1)

у = ег (x)x, (2)

где A(x), Ь(x) , еГ (x)- функциональные матрица и векторы, u(x)- скалярное управление, у - управляемая переменная.

При определенных условиях, эти уравнения можно привести к такому виду, когда матрица A и вектор Ь или c совпадают по форме с матрицей и вектором канонических управляемой или наблюдаемой форм систем с постоянными параметрами. Однако имеются и существенные отличия. Во-первых, в процессе приведения необходимо двукратное последовательное преобразование переменных со, -зультатам первого преобразования. Причем преобразование к той или иной форме осуществляется по сути одними и теми же матрицами, только в различной после. - , , -енты канонических форм оказываются функциями переменных состояния и часто зависят от производных по времени переменных состояния системы. Это приводит к зависимости от производных найденного таким путем управления, и, следовательно, правых частей уравнений синтезируемой системы. Однако условия существования и устойчивости решений таких дифференциальных систем до сих пор неизвестны, что сужает область применения подобного подхода.

Проведенные исследования показали, что матрица перехода и результат пре, , по времени переменных состояния, как в случае непрерывных систем, а от их предыдущих и последующих значений, что упрощает синтез регулятора. Строго гово-,

переменных состояния, т. е. физический смысл преобразования в дискретном случае тот же, что и в непрерывном.