ГРАДИЕНТНАЯ МОДЕЛЬ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ СЛОИСТОЙ КОМПОЗИТНОЙ СТРУКТУРЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 75 www.mai.ru/science/trudy/

УДК 539.3

Градиентная модель термоупругости для слоистой композитной структуры

Лурье С.А.1*, Дудченко А.А.2**, Нгуен Д.К.2***

1 Институт прикладной механики, ИПРИМРАН, Ленинский проспект, 32А, Москва, 117334, Россия Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), МАИ, Волоколамское шоссе, 4, Москва, А-80, ГСП-3, 125993, Россия

*е-mail: salurie@mail. т **е-mail: a_dudchenko@mail. т ***е-mail: ndacquang@yahool.com

Аннотация

Проводится исследование локальных полей напряжений в задачах градиентной термоупругости, возникающих в рамках градиентных моделей теплопроводности, описывающих термобарьерные свойства границ за счет более полного учета условий сопряжения на границах раздела слоев композита. В основе расчётной модели используется градиентная теория упругости, учитывающая масштабный параметр структуры. Градиентная модель упругости полностью определяется Лагранжианом, учитывающим девиаторные, вихревые и объёмные деформации. Для учёта температурных воздействий используется классическая гипотеза Дюамеля-Неймана. В качестве примера рассматривается трехслойная композиционная структура с двумя прослойками между ними. Показано отличие распределение температуры по толщине структуры, рассчитанной

по классической теории и по градиентной теории термоупругости, что позволяет определять распределение локализованных около границ контакта поперечных напряжений и деформации.

Ключевые слова: градиентная теория упругости, термоупругость, слоистый композит, напряженно-деформированное состояние, термобарьерные свойства границ.

Введение

Широкое использование композиционных материалов в силовых

конструкциях требует более детального исследования напряженно-

деформированного состояния (НДС) слоистых структур с уточненным

анализом взаимодействий на границах слоёв. Как показывают

исследования последних лет, весьма полезными при этом оказываются

градиентные теории упругости, которые позволяют учитывать масштабные

эффекты. В частности, представляет интерес исследование локальных

полей напряжений в задачах градиентной термоупругости, возникающих в

рамках градиентных моделей теплопроводности, описывающих

термобарьерные свойства границ за счет более полного учета условий

сопряжения на границах раздела слоев композита благодаря повышенному

порядку уравнений градиентной модели. Особенно важно учитывать

термобарьерные особенности на границах слоев для композитных

конструкций, работающих в условиях циклического воздействия

температуры. Примером такого воздействия на планер самолета является

разность температур при полете на высоте десять тысяч метров и на земле

в летнее время или при эксплуатации летной техники в тропических странах. В этом случае на границе слоев возникает дополнительное напряженное состояние, которое прежними теоретическими подходами не могло быть учтено.

Расчетная модель

В основе расчётной модели используется градиентная теория упругости, развитая в работах [1-5], учитывающая масштабный параметр структуры. Градиентная модель упругости полностью определяется следующим Лагранжианом [1-4], в котором выделены девиаторные, вихревые и объёмные деформации

Ь = А -1 /// [2/, + + Лв + 8 / + вА ¥у -

2^ -3 ' С.'" С

2>

(1)

дв д 2Я1 „ 1 а® 1 дю, 1 дД ^ 1 д2Я

в=- = -—, +--" = -- " Эйиг эпт.,

г дх,. дх,. дх,. г" 2 дх,. 2 дх,. 4 дх дх пт 4 дх дх„ пт"

г " " ' " т

где ру, р^ - вектора плотности сил, распределенных в объеме и на поверхности; ЭпШ - тензор Леви-Чивита; п - компоненты вектора нормали к поверхности; Д - вектор перемещений; Д - производная по нормали к поверхности тела; уг] - тензор-девиатор деформации; юг -вектор поворотов; в - объемная деформация; /, Л - коэффициенты Ламе (физические постоянные в законе Гука для классической среды); С -

физическая постоянная, отвечающая за когезионные взаимодействия (масштабный параметр); А, В - физические постоянные, соответствующие поверхностным взаимодействиям адгезионного типа.

Для учёта температурных воздействий используется классическая гипотеза Дюамеля-Неймана. Предполагается, что напряжения в среде связаны законом Гука только с упругой деформацией, которая имеет следующее представление:

е=ее-ет = е-аАт, (2)

где ве - упругие деформации изменения объёма; в - полные деформации изменения объёма; вт = а-АТ - температурные деформации, а-коэффициент термического расширения; АТ - изменение температуры.

Учитывая соотношения (1), (2) можно получить следующую вариационную постановку градиентной термоупругости [5-9].

- 1ггг (Л 2 „(Л

1 = А - ^ Ш { 2 ^ + ( 2^ + ^ - 2 ^ + ^АТв + 8 +

2 3 Л (3)

(2^ + Х) двдв (2^ + Х) двдаАТ ^ +-------2------аУ.

С дх. дх. С дх. дх.

II

Рассмотрим локальные эффекты на границах слоев. Для этого используем одномерную постановку термоупругого деформирования слоистой структуры для пятислойной структуры (три слоя композита и две прослойки) (рис.1).

о дгз дг3 Л

В этом случае можно принять г = Г = —3 = —3 = 0, Г, г2

дх ду

компоненты перемещении в плоскости слоев, г3 - смещени в направлении поперечном направлении, в направлении оси ъ.

Вариационная модель термоупругости приниимает вид

51 = /

Е2

Ег" - — г"" + а

С

Е2

Е2

К АГ'--АГ'"

С

■5гй2

Е2

(Ег' - —г"

С

V С

- КаАГ + а—АТ'' )5г

С

У 2=2

С

(г" - аАТ' )5г'

= 0

У 2=2

(4)

где Е = 2^ +Л и К = + Л - модуль Юнга и объёмный модуль;

г = г

( \ г^ , dг „ d2г

(2) - перемещение точек в направлении оси Оъ; г = —, г =—-

d2 d2

АТ

, (АТ

d2

Вариационное уравнение (4) позволяет сформулировать следующую краевую задачу:

- разрешающие уравнения (уравнения Эйлера):

Ег" - г!у + а

2гг С г

ГЕ 2 '

е2- АТ'- К АТ'

^ 1 1 1

\ С ,

0, г =1-5

(5)

- граничные условия

при 2 = 0

еаК- Е21 ^ С1

С Е 2 Е21

С1

АТК АТ

= 0;

Е

С

1 (г/'-а^Т ') = о.

(6)

при 2 = 3 Н + 28

Е 2

ЕМ - Е25 г"'+а5

2 5 5 х-у 5 5

С5

С Е 2

Е5 АТ5" - К АТ

V С5

= 0;

Е.

25

С

(г; - а ат' ) = 0.

(7)

- контактные условия на границе слоев

г = г+1;

г = г' •

'г 'г+1;

Е 2

Ег ' - —г "+а

2

'Е2 _

V С

АТ "- К АТ

Ег

Е (г'+1)г+1

/

Е

гя +а

г+1 + а+1

С

г+1

(Е 2

ат - К+АТ

V С+1

г = 1 - 4 (8)

Е 2 Е 2 Е 2 (г "-аАТ ') = (г+1 -а+1АТ')

С

С

г+1

Решая совместно систему (5)-(8), найдем перемещения г(2) (г = 1 -5) в

рассматриваемых слоях.

Для определения напряжений и деформаций на границах слоёв

необходимо сначала найти распределение температуры по толщине

6

<

<

2

<

V

исследуемой структуры. Для этого используется градиентная модель теплопроводности, предложенная в работе [9]. Для одномерной задачи разрешающее уравнение градиентной теплопроводности имеет вид [9]

к,Т -Л-Т"") = 0 , = 1 + 5, (9)

где к - коэффициент теплопроводности, Л- = к- - градиентный

параметр.

Общее решение для каждого слоя имеет вид

к Ж(2-(1-1)(И+5)-И) Л к ((-)(Н+5)-2)

\ Л: \I-T- (2 -(,-1)(Н +5)-Н ) Л: -1)(Н +5)-2 ) _

Т (2) = А, В + . 1 _ /1А.

С С^ I = 1 + 5. (10)

+Ц2 + Е

Краевые условия на поверхностях контакта для градиентной модели теплопроводности [8] формулируются для температуры, полного

теплового потока — = д, обобщенного теплового потока

д2

д = -к—(Т —1—(Т)) и скорости изменения полного теплового потока

d2 С d2

1 (2Т п (Т

—У —т-, записанного с учетом термосопротивления - к5 —

С dz (2

является характеристикой теплопроводности границы тела. В результате имеем следующие краевые условия:

Т (z ) = Т+1 (z);

0Т1 (2)_ 0Т++1 (z)

d2

d2

к ^ d3Т (2) = dT+1 (2) & аТ+1 (2) .

г Ог СТ 02Ъ г+1 02 С^ d23 ' к' 0 2 Т ( 2 )_ д0Т ( 2 )_ к?+1 0 2 Т+1 ( 2 )

г = 1 - 4

(11)

СТ 022

02

С

г+1

02 2

вид:

На верхней и нижней поверхности слоев краевые условия имеют

при 2 = 0 (на верхней поверхности):

Т (2 ) = Т;

д 2Т1( 2) СТ д22

0.

(12)

при 2 = 3 Н + 28 (на нижней грани):

Т5 (2 ) = Т2;

д %(2) С5Т д22

= 0.

(13)

Подставляя (10) в (11)- (13), найдём коэффициенты А, В, Д, Е. Полученные значения для полей температуры используются для решения задачи градиентной термоупругости (5)-(8). В результате можно

найти значения поперечных напряжений:

= Е ^-аК АТ.

(14)

<

<

<

Пример расчета

Приведем пример расчета для определения напряженно-деформированного состояния на границах слоёв пакета (рис. 1). Для этого примем следующие значения параметров геометрии и свойств слоёв. Структура материала панели имеет укладку слоёв с углами направления волокон < = 0°, < = 90°, < = 0°; толщины слоев h = h = h = 0,1 мм; толщина прослоек 5 = 0,01 мм; температура на верхней поверхности панели ^ = 80 °C; температура на нижней поверхности Г2 = 0 °C; R = 0,6921 - параметр, отвечающий за адгезионные взаимодействия по нормали к границе z = c°nst; C = 1000н/мкм4 - масштабный параметр (физическая постоянная,

учитывающая масштабный эффект).

Для слоев (1 = 1,3,5 - композит) коэффициент теплопроводности Вт

k = 0,5 -; модуль упругости вдоль оси oz Ezi = 6860 МПа;

м • С

коэффициент Пуассона = 0,28; коэффициент линейного

температурного расширения azi = 25 • 10"6 уград.

Для прослоек (i = 2,4 - смола) коэффициент теплопроводности 1 Вт

k = k =— -; модуль упругости вдоль оси oz Ezi = E = 1176 МПа;

1 90 м•С

коэффициент Пуассона /л = 0,3; коэффициент линейного температурного расширения azi=a = 60 • 10"6 уград .

Результаты расчета представлены на рисунках 2, 3.

На рис. 2 показано распределение температуры по толщине пакета:

Рис. 2

На рис. 3 представлены кривые, показывающие распределение локализованных около границ контакта поперечных напряжений сг21, найденных с учетом градиентных эффектов.

Рис. 3

Вдали от границ контакта распределение напряжений стремится к нулю, что соответствует распределению напряжений а21 в классической постановке. Градиентные составляющие напряжений, отличные от нуля,

локализуются только лишь в окрестности границ контакта.

Найдем теперь распределение напряжений в плоскости слоев (в плоскости хоу).

В приближенной постановке для этого можно использовать средние значения температур в слоях. В таблице 1 даны значения средних температур каждого слоя

Таблица 1

Значения средних температур каждого слоя

1-й слой 2-й слой 3-й слой

Т = 75 оС Т2 = 40 оС Т3 = 4,5 оС

В таблице 2 приведены значения температурных напряжений в месте контакта слоя и прослойки

Таблица 2

Температурные напряжений в месте контакта слоя и прослойки

Номер слоя и прослойки Слой 1 Прослойка 1 Слой 2 Прослойка 1 Слой 2 Прослойка 2 Слой 3 Прослойка 2

Координата 2 мм 0,1 0,1 0,11 0,11 0,21 0,21 0,22 0,22

Значение напряжения стй МПа 2,2 - 2,2 1,5 - 1,5 1,0 - 1,0 0,3 - 0,3

Запишем физические соотношения, определяющие связь между напряжениями и деформациями в /-м слое в системе координат хоу:

а = Ь ле + Ьпе + Ь,у - ЬТ;

хг 11х 12у 13/ ху иг'

а = К+ Ь+ Ь,г - ЬТ;

уг 2™х 22 у 23/ хУ t2 г'

г = ъг+ ъг0£ + ь- ЬТ,

хуг 31 х 32 у 33/ хУ t3 г '

г = 1 - 3

(15)

где Т - средние температуры для каждого слоя; Ъ - коэффициенты преобразования характеристик анизотропного материала в осях 1, 2 к осям

х, у представлены ниже

. . * . . г\ г\ 'Л 'О

ъ'п = е[ соб р + 2Е^/ б1п р соб р + Ег б1п р + 2 б1п 2р; Ъ12 = Ь21 = (Е1 + Е2 - 4^1г2)81П2 Р С0^ Р + Е1л12(81п4 Р + С0^ р);

Ьз = Ъ31

(Е[ соб2 р - Е2 Бт2 р )- (Е[л[2 + 2^2)со82р

Б1п р СОБ р

г'

• • 4 • • Г\ Г\ 'Л 'О

Ъг22 = Е б1п р + 2Е[//2 б1п р соб р + Е соб р + Ог2 б1п 2р;

ъ23 = ъ32 = [(Е1 Б1п2 р - Е2 соб2 р ) + (Е1л12 + 2О^2 ) С0Б 2р Ьз = (Е[ + Ег2 - 2Е1г/)б1п2 р соб2 р + Ог2 С0Б2р;

Ь1 = Е1(а1 + /12а2)с0Б2 р + Е2(а2 + /21а1)Б1п2 р; Ь2 = Е1 (а1+л2а2)Б1п2 р + Е2(а2 + /21а1)с0Б2 р; ь23 = [ Е1 (аг + //12а2) - Е2 (а2 + л21а1) ]Б1п р соб р.

Б1П р СОБ р;

(16)

Уравнения равновесия рассматриваемого пакета слоев при отсутствии силового нагружения при действии только температуры имеют

вид

ах = к1ах1 + Е2ах 2 + ^3ах3 = 0; ау = \ау1 + Е2ау2 + к3ау3 = 0 ; гху = к1Гхуг + к2Гхуг + к3Гхуг = °

(17)

- к

где к = —, к = к + к2 + к3. к

<

<

Из системы уравнений (15) и (16), найдем напряжения в слоях аХ1, ст . и деформации ех , е для всего пакета, учитывая совместность

деформаций. Их численные значения приведены в таблице 3.

Для определений касательных напряжений в прослойках считаем приближенно, что каждый слой независимо деформируется только вследствие действия температуры Т • Деформацию слоя определяем так:

ех 1 = ах 1Т1 ; ех2 = ах2Т2; ех3 = ах3Т3;

еу 1 =ау 1Т{; еу 2 =ау 2Т2; еу 3 =ау 3Т3- (18)

Прослойка обеспечивает монолитность пакета. Касательные напряжения в ней приближенно определяются как произведение модуля сдвига прослойки на разность нормальных деформаций между слоями

= °(ех2 - ех1); = °(ех3 - ех3);

V = °(еу2 -еу1); = °(еу3 еу3 )• (19)

Численные значения расчетов деформаций ех ,е и напряжений аХ1, а . для различных структур приведены в таблице 3.

Таблица 3

Значения деформаций и напряжений < , а для различных структур

структура 0-90-0° 00-±450-00 900-±450-900 ±450-900-±450

Деформации всего пакета слоев 8х 0,000079 0,000048 0,0018 0,00097

8у 0,00015 0,00076 0,00012 0,00014

Температурные напряжения в плоскости слоев структур МПа <х1 - 3,23 - 6,33 - 2,83 -6,16

<х 2 - 7,0 - 0,83 - 8,04 -1,28

<х3 10,25 7,17 10,88 7,44

<у1 - 13,48 - 9,6 4,69 - 13,5

<у 2 13,24 5,48 - 22,88 13,41

<у3 0,24 4,12 18,19 0,097

структура 00-900-00 00-±450-00 900-±450-900 ±450-900-±450

Температурные деформации не связных свободных слоев 8х1 0,000075 0,000075 0,0023 0,0013

8х 2 0.0012 0,00062 0,00062 0,0012

8х3 0,0000045 0,0000045 0,00014 0,00007

8у1 0,0023 0,023 0,000075 0,0013

8у 2 0,00004 0,00062 0,00062 0,00004

8у3 0,00014 0,00014 0,0000045 0,00007

Величины касательных напряжений, возникающие в прослойках МПа Tzх\ 0,17 0,082 - 0,24 0,0056

Tzх 2 - 0,18 - 0,092 - 0,073 - 0,17

Т7у\ - 0,33 - 0,24 0,082 - 0,17

Т7у 2 0,014 - 0,073 - 0,092 0,0045

Для заданных параметров рассмотренной конкретной структуры найдены значения деформаций и напряжений, связанные с тепловым нагружением. Напряженное состояние следует учитывать при оценке НДС всей слоистой структуры, поскольку оно дополняет НДС, возникающее от

реальных действующих сил. Учет дополнительных напряжений в слоях и прослойках может оказаться существенным и привести к разрушению конструкции, особенно в случае действия циклических силовых и температурных воздействий.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект № 12-01-00273). Библиографический список

1. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D., Tuchkova N. Nanomechanical Modeling of the Nanostructures and Disperesed Composites // Int. J. Comp. Master. Scs. 2003. 28(3-4). P.529-539.

2. Образцов И.Ф., Лурье С.А., Белов П.А., Волков-Богородский Д.Б., Яновский Ю.Г., Кочемасова Е.И., Дудченко А.А., Потупчик Е.М., Шумова Н.П. Основы теории межфазного слоя// Механика композиционных материалов и конструкций, 2004, вып.4, 596-612.

3. Волков-Богородский Д.Б., Евтушенко Ю.Г., Зубов В.И., Лурье С.А. Численно- аналитический учет масштабных эффектов при расчете деформаций нанокомпозитов // Вычислительная математика и математическая физика, 2006, т.46, № 7, с. 1318-1337.

4. Lurie S.A., Volkov-Bogorodsky D.B., Zubov V.I., Tuchkova N.P. (2009).

Advanced theoretical and numerical multiscale modeling of

cohesion/adhesion interactions in continuum mechanics and its applications for

filled nanocomposites. Int. J. Comp. Mater. Scs. 45(3), 390 709-714. 2009.

5. Лурье С.А., Белов П.А., Рабинский Л.Н., Жаворонок С.И. Масштабные эффекты в механике сплошных сред. Материалы с микро- и наноструктур. -М.: Изд-во МАИ, 2011. 160-с.

6. Лурье С.А., Фам Тьюнг., Соляев Ю.О. Градиентная модель термоупругости и ее приложения к моделированию тонкослойных композитных структур // Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т. 18. №3. С. 440-449.

7. Лурье С.А., Соляев Ю.О. Моделирование механических свойств наноструктурированных пористых керамик // Деформирование и разрушение материалов. 2012. №1. С. 6-15.

8. S.A. Lurie, A.A. Kasimovskii, Yu.O. Solyaev, D.D. Ivanova. Methods for predicting effective thermoelastic properties of composite ceram reinforced with carbon nanotubes // International Journal of Nanomechanics Science and Technology. 2012. №. 3(1). P. 1-14.

9. Лурье С.А, Полянский М.Н., Соляев Ю.О., Лысокова Е.Д. Моделирование теплопроводности неоднородных материалов и структур // Механика композиционных материалов и конструкций. Сборник трудов IV всероссийского симпозиума, 2012, т. 2, стр. 235-241.