РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТЕРМОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Решение задач термоупругости для анизотропных тел вращения

Иванычев Д.А.

Липецкий государственный технический университет, ул. Московская, 30, Липецк, 398055, Россия e-mail: Lsivdmal@mail. ru

Статья поступила 30.05.2019

Аннотация

Работа посвящена определению напряженно-деформированного состояния трансверсально-изотропных тел вращения, находящихся в стационарном осесимметричном поле установившихся температур. Граница тела свободна от защемления. Поставленная задача обеспечивается развитием обратного метода. Сформулировано понятие внутренних состояний и введено скалярное произведение в этом пространстве. Решение представляет собой ряды Фурье по элементам ортонормированного базиса. Задача сводится к определению коэффициентов этих рядов. Представлены строгое решение тестовой задачи термоупругости для кругового цилиндра и приближенное решение задачи для тела в виде ступенчатого цилиндра. Полученные поля характеристик напряженно-деформируемого состояния показаны в графическом виде. Проведен анализ результатов.

Ключевые слова: анизотропия, термоупругость, метод граничных состояний, обратный метод, осесимметричные задачи, трансверсально-изотропные тела, ряды Фурье.

Применяемые в машиностроении, авиастроении современные материалы,

такие как поликристаллические металлы, керамика, а также композитные материалы, обладающие значительной анизотропией в отношении упругих свойств, часто пребывают в условиях сильных тепловых воздействий. Определение напряженно-деформированного состояния нагретых тел в силу сложной физической природы материалов составляет актуальную научную задачу.

Исследованию термомеханических процессов конечного деформирования анизотропных сред посвящена работа [1]. Для трансверсально-изотропного цилиндра решены краевые задачи теории упругости с участие массовых сил [2]. Особенность решения заключается в том, что след упругого поля одновременно удовлетворяет заданным условиям на границе и внутри области. В случае малых деформаций упругого анизотропного тела напряжения, деформации и температура чаще всего связываются с помощью уравнений Дюгамеля-Неймана, вывод которых с точки зрения термомеханики приведен в монографии Новацкого [3]. Задачи термоупругости для анизотропных тел рассматривались в книгах: Б.Е. Победри, А.С. Кравчука.

В работе [4] рассматривается осесимметричная задача статической термоупругости для трансверсально-изотропного круглого цилиндра конечной длины. С помощью специальной функции напряжения, выводится основное уравнение поставленной задачи. Доказывается, что оператор симметричный и положительно определенный, и тем самым решение исходного уравнения сводится к задаче о минимальном функционале.

Задачи по определению температурного поля по заданным на границе

значениям температур, тепловых потоков для изотропных однородных и неоднородных тел исследовались методом граничных состояний в работе [5].

Исследованию полей напряжений в задачах градиентной термоупругости, возникающих в рамках градиентных моделей теплопроводности, описывающих термобарьерные свойства границ за счет более полного учета условий сопряжения на границах раздела слоев композита посвящена работа [6]. В работе [7] рассматривалась стационарная задача градиентной теории термоупругости для слоистых композитных структур. Дается решение задачи о неоднородном температурном нагреве однослойной и двухслойной структуры.

В работе [8] с помощью обобщенного метода Фурье решена осесимметричная термоупругая краевая задача для трансверсально-изотропного полупространства со сфероидальной полостью.

В работе [9] разработан обратный метод определения напряженно-деформированного состояния упругого изотропного тела от непрерывных объемных сил.

В работе [10] решалась несвязанные краевые задачи термоупругости для пологих оболочек двоякой кривизны и постоянного кручения в условиях конвективного теплообмена через основные поверхности с внешней средой. Решения получены методами одинарных и двойных тригонометрических рядов с переменными коэффициентами.

В последнее время широко изучаются трехмерные несимметрияные задачи

термоупругости для изотропных тел [11], [12]. В работе [13] строится точное

решение несимметричной краевой задачи теории упругости для цилиндрического

резервуара с жидкостью, находящегося в температурном поле (термоупругая задача

несвязанная).

Целью работы является разработка математической модели решения задач термоупругости для трансверсально-изотропных тел вращения, находящихся в стационарном осесимметричном поле установившихся температур. Модель опирается на фундаментальные положения метода интегральных наложений, метода граничных состояний и обратного метода.

1. Постановка задачи

В стационарной задаче термоупругости тепловые краевые условия отражают воздействие окружающей среды на поверхность S тела и записываются в форме одного из следующих условий:

1) на поверхности задана температура Т как функция координат

Т = к(Р), Р е 5;

2) на поверхности задана нормальная компонента градиента температуры как функция координат

8Т / дп = к(Р), Р е 5,

соответствующая потоку тепла, проходящего через поверхность S;

3) на поверхности задана функция, описывающая свободный теплообмен:

(д / дп + а)Т = /(Р), Р е 5,

где а - некоторая константа.

4) на поверхности заданы смешанные краевые тепловые условия, т.е. на разных участках S заданы различные краевые условия.

Пусть в недеформированном и ненапряженном состоянии трансверсально-изотропное тело, ограниченное одной или несколькими коаксиальными поверхностями вращения имеет температуру Т как функцию координат г, 2. В результате воздействия каких-либо факторов (внешних нагрузок, внутренних тепловых источников, нагрева поверхности) температура тела изменилась и стала Т, тогда приращение температуры составит Т = АТ = Т2 - Т. Поверхность тела свободна от защемления. Будем считать, что изменение температуры не приводит к изменению упругих и тепловых констант материала. В качестве граничных температурных условий используются предельные значения функции температуры в точках границы.

Изменению температуры сопутствует возникновение перемещений, деформаций и напряжений, которые и подлежат определению.

В силу осевой симметрии, компонента вектора перемещения V = 0, компоненты тензора напряжений сггв = сггв = 0 и тензора деформации = = 0.

В цилиндрических координатах искомые осесимметричные (т.е. зависящие только от координат 2 и г) температурные перемещения, деформации и напряжения должны удовлетворять следующим разрешающим уравнениям [14].

1. Дифференциальным уравнениям равновесия:

дг дг 2. Обобщенному закону Гука:

д<гг , д<г , 7 г = д.

дг дг г д< + Ъг=0

= -1 < - V (7 + 7в )] + агТ;

1 V

^ =—(<- )- ^т < + агТ; (2)

1 / л ( 1

Ег Ег

3. Соотношениям Коши:

дм ди

£ г = ' = '

дг дг

и д№ ди

г дг дг

(3)

Здесь введены обозначения: - компоненты тензора напряжений;

- компоненты тензора деформаций; и, w - компоненты вектора перемещения в направлении осей г и 2; а2, аг - коэффициенты температурного расширения в направлении осей 2 и г; Т - температура; Ег, Ег - модули упругости в направлении плоскости изотропии и нормальном к ней; уг - коэффициенты Пуассона, характеризующий сжатие в плоскости изотропии, при растяжении в этой плоскости, V - то же, но при растяжении в направлении, нормальном к плоскости изотропии; Ог и Ог - модули сдвига для плоскости изотропии и любой перпендикулярной к ней.

г

2. Метод решения

Метод граничных состояний [15] и обратный метод [9] схожи по структуре; оба используют понятие пространство внутренних состояний среды

Е = ,..}, (4)

базис которого ортогонализируется. Искомое состояние раскладывается в ряд Фурье по элементам ортонормированного базиса, и задача состоит в отыскании коэффициентов этой линейной комбинации. Различие заключается в выборе ортогонализатора и в выражении для скалярных произведений.

В качестве внутреннего состояния принимаются наборы

е _ II,(к) л,(к) лл,(к) } Г (к) (к) (к) (к) (к) (к) } /_(к) (к) (к) (к) (к) (к) } г(к) }

Ьк = (Р ' v ' у Р Гг , ^ гт >атд р Р г т в ' гт ' Чв , тд ЬТ0 У

Основную сложность составляет построение базиса внутренних состояний, который опирается на общее, фундаментальное или частное решение для среды. Методика конструирования базиса внутренних состояний в случае температурных деформаций описана ниже.

Ортонормирование базиса осуществляется по разработанному рекурсивно-матричному алгоритму Грама-Шмидта [16], где в качестве перекрестных скалярных произведений принимаются (например, для 1-го и 2-го состояния):

(£,Ь2) = \ Т0(1)Т(2) ау.

Искомое термоупругое состояние представляет собой ряд Фурье:

<х>

Ь = Е сЛ;

к=1

или в развернутом виде:

х> х> х> да

и = Е с,и(к); ^ = £ % ); = £ с, ); Т = £ с,Т(к). (5)

к=1 к=1 к=1 к=1

где ^ - элементы ортонормированного базиса внутреннего состояния 5, с^ -коэффициенты Фурье, которые рассчитываются так:

Ск =| ТТ0(к) ¿К, (6)

г

Ч к)

где Т0( ) - температура в базисном элементе <;к, Т - заданное поле температуры.

3. Построение базиса внутренних состояний

Температурное поле, дающее значение температуры в любой точке тела будем считать известным.

Установившееся температурное поле Т0р1 (г, у) плоского состояния с отсутствующими внутри источниками тепла удовлетворяет уравнению теплопроводности [14]:

е \

к„ —- + к

г дг2 г ду2

ТоР (г, у) = 0:

где к2 и кг - коэффициенты теплопроводности в направлении осей 2 и г;.

Тр = Яе^о (^о )1, ^о = г / Го + У, Го = лШ^Т. (7)

Е г

Перемещения и напряжения плоских состояний соответствующие температурному полю [14]:

ир1 = Яе[Ро% ($о)]; ир = ВД/^о (^о)]; иРр1 = о;

7р = - Яе[Го>о (то)]; 7р = (^)]; (8)

< = Яе[(1 - ^ К (<Г0 )]; < = - *е[Г( (<* )],

где ^, р0, %, е0 - константы, зависящие от упругих и термомеханических

В работе [1 4] на основе метода интегральных наложений установлена зависимость между пространственным напряженным и деформированным состоянием упругого трансверсально-изотропного тела и определенными вспомогательными двумерными состояниями, компоненты которого зависят от двух координат 2 и у (переменных). В качестве плоских вспомогательных состояний используется плоская деформация, возникающая в бесконечных цилиндрах с осью 1/, имеющих в каждой точке плоскость упругой симметрии, параллельную плоскости 2у.

Переход к осесимметричному пространственному состоянию в цилиндрических координатах осуществляется по зависимостям [17]:

Базис пространства (4) можно сконструировать, придавая функции (0 в (7), (8) последовательно следующие значения: (р0=дП, п = 1,2,3... и по (9) осуществить

постоянных; (0 (д0) - некоторая аналитическая функция переменной д0.

4у ;ав=атв= 0;

(9)

переход к пространственному осесимметричному температурному состоянию, образуя конечномерный базис.

4. Тестовая задача

Апробацию метода проведем на изучении термоупругого состояния транстропного цилиндра из алевролита крупного темно-серого [18]. После процедуры обезразмеривания, аналогия которой приведена в работе [19], упругие характеристики материала: Ег = 6.21; Ег = 5.68; Ог = 2.55; уг = 0.22; уг = 0.24.

Тело занимает область: Б2 = {(г)| 0 < г < 1, - 2 < 2 < 2}. Зададим следующие безразмерные термомеханические характеристики гипотетического трансверсально-изотропного материала: кг = 1.6, кг = 6.5, аг = 6.7, аг = 8.6. Заданное температурное поле Т = г + 2.

Ортонормированный базис функций температуры Т0 в (5) представлен в таблице 1.

Таблица 1

Ортонормированный базисный набор функций температуры

Т)

6 - 0.70711

62 - 0.61237 г

6з 0.75375 + 0.07294г2 - 0.59266г2

64 1.28853 г + 0.21475 г2г - 0.58163 г3

65 - 0.6645 - 0.21216 г2 - 0.01278г4 +1.7238г2 + 0.41552г2г2 - 0.56268г4

Коэффициенты Фурье (6) ск е {-2.82843,-1.633,0,0,0,...}.

Решение является строгим. Восстановленные компоненты температурного упругого поля (5):

и = -4.01471г - 2.00736 гг; w = -0.95057 г2 + 30.89352 + 7.72338 г2:

ог =-143.267 - 71.6334 г; ав =-143.267 - 71.6334 г;

= 39.8667 +19.9333 г; тп =-9.96667 г; т2в=тгв= 0; Т = г + 2.

5. Расчетная задача

Исследуем термоупругое равновесие трансверсально-изотропного «ступенчатого» цилиндра при тех же упругих и термомеханических

характеристиках. Заданное температурное поле Т = г2. Тело занимает область В = Д + Д; Д = {(г,г) 0 < г < 2,0 < г < 2}; Д = {(г,г) 0 < г < 1, -1 < г < 0}.

2

-2 -1

Б2

0 -1

2

Б4

Бз

1 2

Рис. 1. Меридианное сечение тела вращения

При определении упругого поля от температуры использовался ортонормированный базис в 20 элементов. Решение, представляющее ряды (6),

удовлетворяет всем уравнениям (1) - (4).

г

На рис. 2 изображен график, иллюстрирующий «насыщение» суммы Бесселя (левая часть неравенства Бесселя). Это является косвенным признаком сходимости решения.

14 12 10 8 6 4 2

N

I Ск •

к=1

N

5 10 15 20

Рис. 2. Сумма Бесселя Рис. 3 иллюстрирует сопоставление восстановленного поля температуры с заданным полем. Данное сопоставление является ключевым для оценки точности решения по всей области.

а

б

Рис. 3. Поле температуры: а - заданное; б - восстановленное Проведем сопоставление температуры на границе (рис. 4). На графике штриховая линия - заданные значения; сплошная - восстановленные значения.

4

3 2 1

0 0.5 1 1.5 2 Рис. 4. Верификация температуры на границе Sl

Как видно из рис. 3 - 4, восстановленное поле температуры совпадает с заданными в диапазоне определенной точности (+10% от значения заданной величины в любой точке области).

Изолинии полученных компонент напряженно-деформированного состояния представлены на рис. 5 a-д. В силу осевой симметрии, изображена область {(2,г) 0 < г < 2, -1 < 2 < 2}.

а

б

в

г д

Рис. 5. Изолинии: а - напряжения <; б - напряжения <гг; в - напряжения

<; г - перемещения и; д - перемещения w

Исследовался вопрос сходимости решения при наращивании базиса. С увеличением количества используемых элементов базиса внутренних состояний наблюдалась осцилляция в окрестности сингулярной границы, которая продолжала расти и «наползать» вглубь области с увеличением числа используемых элементов базиса, при этом коэффициенты Фурье постоянно убывают. Например, найденные значения температуры на поверхности при 43 удержанных элементах базиса представлены на рис. 6. Естественно, что решение в таком случае становится непригодным. Преодоление этих трудностей требует дальнейших исследований, здесь же, однако, в качестве приближенного результата выбиралось то полученное состояние, восстановленная температура которого в набольшей мере соответствовала заданной.

Т

60

40

/

/

20

г

0 0.5

1 1.5 2

Рис. 6. Температура на границе при 43 коэффициентах Фурье

Окончательно можно сказать, что сходимость решения главным образом зависит от границы тела и функции распределения температуры.

Предложенный подход, являющийся, по сути, развитием обратного метода, показал свою эффективность в плане решения термоупругих осесимметричных задач для трансверсально-изотропных тел вращения. Преимуществом представленного подхода заключается то, что наиболее трудоемкие вычисления, а именно построение ортонормированного базиса, выполняются один раз для тела определенной конфигурации. Затем этот базис может использоваться для решения различных термоупругих задач для этого тела. Основным преимуществом перед численными методами заключается в том, что в своей структуре метод оперирует квадратурами, которые берутся средствами компьютерной алгебры с абсолютной точностью. Это ликвидирует еще одну причину формирования результирующей ошибки вычислений, связанной с промежуточным характером численного счета. Так же, предложенный подход позволяет получить аналитическое решение задач.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой

области в рамках научного проекта № 19-41-480003 "р_а"

Библиографический список

1. Ferrari M. Anisotropic layers with through-thickness thermal and material variations // Journal_of_Thermal_Stresses, 1992, vol. 15, no. 3, pp. 439 - 445.

2. Иванычев Д.А. Решение краевых осесимметричных задач смешанного типа для анизотропных тел вращения с массовыми силами // Труды МАИ, 2019, №105, URL: http : //mai .ru//upload/iblock/e 10/Ivanychev rus. pdf

3. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.

4. Ханьжов Б.Д. Вариационное решение осесимметричной задачи термоупругости для трансверсально-изотропного цилиндра конечной длины // Известия вузов. Математика. 19б7. № 12. С. 84 - S9.

5. Пеньков В.Б., Викторов Д.В., Саталкина Л.В. Развитие метода граничных состояний на класс задач термоупругости // Материалы международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Россия, Тула, 17-21 ноября 2008 г.). - Тула: ТулГУ, 2008. С. 274 - 277.

6. Лурье С.А., Дудченко А.А., Нгуен Д.К. Градиентная модель термоупругости для слоистой композитной структуры // Труды МАИ. 2014. № 75. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=49б74

7. Лурье С.А., Соляев Ю.О., Нгуен К. -., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Исследование локальных эффектов в распределении температурных напряжений на

контактных границах слоистых сред // Труды МАИ, 2013, №71, URL:

http://mai.ru//upload/iblock/284/2846b95159abe27b5219c57d8b54294c.pdf

8. Николаев А.Г., Орлов Е.М. Решение первой осесимметричной термоупругой краевой задачи для трансверсально-изотропного полупространства со сфероидальной полостью // Проблеми обчислювально! мехашки мщносл конструкцш. 2012. № 20. URL: https://pommk.dp.ua/index.php/i ournal/article/viewFile/106/149

9. Левина Л.В, Кузьменко Н.В. Обратный метод эффективного анализа состояния упругого тела от массовых сил из класса непрерывных // XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник докладов (Казань, 20-24 августа 2015 г.). - Казань: Изд-во Казанского университета, 2015. С. 2276 - 2278.

10. Белосточный Г.Н., Мыльцина О.А. Статическое и динамическое поведение пологих оболочек под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий // Труды МАИ. 2015. № 82. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=58524

11. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Пространственная задача термоупругости для сферического купола // XV Международная научно-практическая конференция «Теория и практика современной науки»: сборник статей. - М.: 2014. Изд-во «Спецкнига», С. 10 - 17.

12. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Точное решение несимметричной задачи теории упругости для цилиндра в температурном поле // XI Всероссийский съезд по

фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник

докладов (Казань, 20-24 августа 2015 г.). - Казань: 2015. С. 1104 - 1106.

13. Гурьянов Н.Г., Тюленева О.Н. Краевая задача несимметричной деформации цилиндрического резервуара с жидкостью в температурном поле // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2017. № 2. С. 60 - 77. 001: 10.15593^^^0^2017.2.04

14. Александров А.Я., Соловьев Ю.И. Пространственные задачи теории упругости (применение методов теории функций комплексного переменного). - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 464 с.

15. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т. 2. № 2. С. 115 - 137.

16. Саталкина Л.В. Наращивание базиса пространства состояний при жестких ограничениях к энергоемкости вычислений // Научная конференция студентов и аспирантов Липецкого государственного технического университета: сборник тезисов докладов. - Липецк: ЛГТУ, 2007. С. 130 - 131.

17. Иванычев Д.А. Метод граничных состояний в приложении к осесимметричным задачам для анизотропных тел // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2014. № 1. С. 19 - 26.

18. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М., Наука, 1977. - 416 с.

19. Левина Л.В., Новикова О.С., Пеньков В.Б. Полнопараметрическое решение

задачи теории упругости односвязного ограниченного тела // Вестник ЛГТУ. 2016.

№ 2 (28). С. 16 - 24.