Горение капли жидкого горючего при неравновесном испарении с поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 534.222.2

ГОРЕНИЕ КАПЛИ ЖИДКОГО ГОРЮЧЕГО ПРИ НЕРАВНОВЕСНОМ ИСПАРЕНИИ С ПОВЕРХНОСТИ

В. В. Тюренкова1, Н. Н. Смирнов2

Обычно математическая модель для горения и испарения одиночной капли строится в предположении о равновесном состоянии фазового перехода. Как следует из теоретических и экспериментальных результатов, это допущение эффективно для больших капель и плоских поверхностей, но дает существенную ошибку для малых капель. Цель данной работы — развитие математической модели для задачи горения капли с учетом неравновесного испарения и определение степени влияния неравновесного условия фазового перехода на поверхности раздела.

Ключевые слова: газ, жидкость, капля, горючее, испарение, горение, диффузия.

Mathematical models for individual droplets combustion incorporated in polydispersed mixtures modeling are usually based on the assumptions of the equilibrium character of phase transitions even for unsteady-state evaporation regimes. Comparison of theoretical and experimental data shows that this assumption being undoubtedly valid for large droplets and flat surfaces brings to essential errors for small droplets. The aim of the study is to develop a mathematical model for the non-equilibrium combustion of a single droplet surrounded by a diffusion microflame. The model will take into account non-equilibrium phase transitions.

Key words: gas, liquid, droplet, fuel, evaporation, combustion, diffusion.

1. Стационарная постановка задачи. Будем рассматривать сферически-симметричную задачу горения одиночной, равномерно прогретой капли постоянного радиуса в системе координат, начало которой совпадает с центром симметрии fl], область x > xw соответствует смеси газов, область 0 X Xw жидкости, ax = xwh x = x* — поверхности капли и пламени соответственно.

Сначала для простоты изложения определим некоторые параметры, которые будут использоваться далее: р — плотность смеси; v — скорость; Y — массовая концентрация г-го компонента; mi — молярная масса г-го компонента; D — коэффициент диффузии; Л — коэффициент теплопроводности; ^ — коэффициент динамической вязкости; R — универсальная газовая постоянная; T — температура смеси; Mi — массовая скорость рождения г-го компонента; h0 — удельная энтальпия образования г-го компонента; h = Y1 iL\ Yihi — удельная энтальпия всей с меси, где hi = cpiT + h0; hbi = (h )g — (hi )i — удельная теплота фазового перехода г-го компонента; cpi — удельная теплоемкость г-го компонента; cp = ^ iL\ YiCpi — удельная теплоемкость смеси; ш — средняя скорость брутто-реакции; vi, vi — стехиометрический коэффициент

of

л тт У.^-Л тл)

г-го компонента до реакции и после соответственно; АН = , V 1 — удельная теплота сгорания

)

п I —V-)

горючего; Ф^ = ——г,—тт — стехиометрическое отношение.

т1(и1 -и±)

Будем предполагать, что процесс горения капли протекает в квазистационарном режиме, т.е. размеры капли с течением времени уменьшаются значительно медленнее, чем устанавливается газодинамическая картина течения в окрестности капли. Данное предположение подтверждается тем, что скорость уменьшения диаметра капли в рд¡р\ ~ 10-3 раз меньше скорости оттока газов от поверхности. В рамках этого предположения скорость выгорания определяется в каждый момент времени из стационарного решения.

При наличии массовых сил (сил тяжести) могут возникать термогравитационные конвективные течения в окрестности капли, являющиеся существенным эффектом при

VgxjhL Dcpe(Те -Tw+ ¥1еФмАН)

Маг — ¿evap/^conv — ^^ (rji rji , лл лч A tj\ ^

Тюренкова Вероника Валерьевна — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tyurenkova.v. vQyandex.ru.

2 Смирнов Николай Николаевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ebifsunlQmech.math.msu.su.

где ¿еуар — характерное время испарения, ¿Сопу — характерное время тепловой конвекции, д — ускорение

г ГТ! 3/2 „ ОоРе(Те-Ты +У1еФ^АН) свободного падения. 1огда для капель с радиусом < ——-—- влиянием термогравитационных конвективных течений в окрестности капли можно пренебречь: Маг < 1 [2].

Система уравнений для описания стационарной задачи будет иметь следующий вид [2]:

d_

dx

, Q\ d , 2 2\ di o dv

(pvx ) = 0, —j—{pv X ) = — I X Ц — dx dx dx

x

dp dx

dx dx dx

(1)

phvx2) = -j- ( x2X +^~(x2pDy 'hi ^

dx dx dx dx dx dx

d_

dx

dx

d_

dx

dv\ dx

d_

dx

N

i=l

m

dx

N

p = prtY^—.

^ mi i=i

Yi

Будем предполагать, что скорости движения газа, вызванного наличием горения, незначительны и эффектами, связанными с трением и относительными изменениями давления, можно пренебречь. Тогда вместо уравнения количества движения (первое уравнение системы (1)) будем использовать условие го-мобаричности д|=0 [1]. Умножим третье уравнение системы (1) на Н®, просуммируем по г и вычтем из четвертого уравнения. С учетом сделанных предположений и произведенного преобразования система (1) для газовой фазы (х > хт) примет следующий вид:

-j-(pvx2) = 0, pYiUX2) =

dx

d_

dx

dx

±(х2 D

dx V dx

+ Mi, i = 1,...,N,

(pvCpTx2

d í 2 \ dcpT\

dx

N

N

x

cp dx

ил

' i=i

p

pRTJ2

i=l

Yi

mi

(2)

= const.

Граничные условия на поверхности раздела фаз ( X — X w)'

(pv)g = m, mYig = pD

(3)

где гп — массовая скорость испарения жидкости.

Для описания неравновесного испарения на поверхности фазового перехода будем использовать уравнение Герца-Кнудсена [3]

m = ói

mi

2nRT

{p*(Tw) _ pO ,

которое, введя молярную концентрацию г-го компонента Xг, перепишем в следующем виде:

реХг = р*(Тт) - Арг,

(4)

причем Api = т- л /2жRT ш в неравновесном случае и Api = 0 в равновесном. Здесь ói — коэффициент

у mi

аккомодации; pe — полное давление на бесконечности; pi — парциальное давление г-го компонента в газовой смеси у поверхности раздела фаз; p* — равновесное давление паров v поверхности фазового перехода

при температуре Tw, определяемое из уравнения Менделеева-Клапейрона ^ = exp flL^ni ^--Ть)'

Ро — парциальное давление паров при температуре То. Учитывая, что для химической реакции имеет место соотношение Mi — wmiV — v¡), преобразуем второе и третье уравнения системы (2), введя новые переменные fji, следующим образом [4]:

dpx2vfti, d \x2 dfíi,

dx

dx Cp dx

(5)

где pi =

Yi

Yi

i = 2,...,N,Pt =

Yi

) Ш1 (v1 -v1) т^ V ^ )АН т\ —v1)

Также, используя метод Шваба-Зельдовича [1, 4], дополним условия задачи предположением о диффузионном режиме горения (ниже поверхности пламени (х = хг) отсутствует окислитель, а выше — горючее):

Ум = 0 при х > хг и У\ = 0 при х.ш ^ х ^ хг,

CpT

где индекс г = N относится к горючему, г = 1 — к окислителю, г = — 1 — к продуктам реакции и

инертным компонентам.

Граничные условия на бесконечности записываются следующим образом:

Т = Те, У\ = Уе, У2е = 1 — Уе, Уе = 0, г = 3,...,Ж Интегрируя первое уравнение системы (2) с учетом первого граничного уравнения системы (3), получим

1 • X2

следующее выражение, верное в пределах газовой фазы: рь = т

Введя безразмерные переменные г = —, Ре = а также используя предыдущее равенство, приведем систему (5) к виду

йвг й X2 йвг

йх йх Ре йх '

С учетом новой переменной {(г) = ^ йг преобразуем уравнение (6): = — ^. Его решение будет иметь следующий вид:

вг = + Бгв-, (7)

тогда из граничных условий (3) для функции вг имеем

ст\ Уи, (гЩЛ 1-Уми, Ы/Зт\ =__Ьь

(6)

(8)

Уравнения (7), (8) позволяют найти выражения для Ум— Уг™'

1

Сго = 1п + (СреТе ~ СрЛ + У1еФмАН)^ , УМш = 1 - (1 + У1еФ м)

У- = (Уге — УхеФ) в-«™ . Используя (9), найдем выражение для Т—:

(9)

т _ СреТе + УиФмАН - (е^ - 1 )Нь

Теперь преобразуем (4): Хм = Хм — Ям, где

Арм „ г Т- Г ет'-рт т- БеМ / 2п Ям =-=р е-1м-А ---, 1м = '

Ре у ТеСреШм Х- У КеТе'

М Уш\ ^ ъ(7- — 1)

^ ) ' Тг«(7с-1)' Сг,'

Ре

УМ,Ш ^ = Х*М(Т,Ш) - Р е-1м- (П)

тм у ТеСретм

где = = ехр — ; а Ум-т, Уг-ш и Т,ш задаются соотношениями (9) и (10).

Для отыскания поверхности диффузионного пламени (х = х*) рассмотрим поведение функции

!>* =

тм (V "м — V 'м) т\(и "м — V 'м)'

Так как на поверхности пламени вм меняет знак (вм(С*) =0), то справедливо следующее равенство:

в«* =1 + У1еФм, (12)

X±

iw

-. Распределения концен-

а соотношения (12) позволяют определить координату ж*: — , . . .

Xw ln(1 + Yle$N )

траций и температуры в газе, окружающем горящую каплю, выражаются следующими формулами:

0,

-Ф^ + Ф^(1 + Yle$N) • (eU)

'N1

à \ xw

Xw ^ X ^ ;

X ^^ X % ;

Y2 = Y2e(e^w )"

1 - (1 + YleФN) • (e«w)-0,

xw < x < ж*; Fi = Yi(x)<&i - Fie$i(ee[") ™

X ^^ X >k

i = 3,

1,

(13)

T (X) =

1

Cp

1

Cp

(cpwTw - hL + hL ■ (eCw) , (cpwTw - hL + A Я + (/?,L + CpeTe - CpWTu, - AH) • , ж ^

Xqn X X*

X.

2. Влияние неравновесного граничного условия на поверхности раздела фаз на характер горения капли. Рассмотрим горение капли этилового спирта в атмосфере воздуха, обогащенного кислородом. Будем предполагать, что окислитель состоит из 30% кислорода и 70% азота. Используем следующие значения параметров:

То = 370 К; Те = 300 К;

1 Ро 1

ре = 1 атм; — = 1;

Ре

У\е = 0,3; АЯ = 2,9-107—;

hL = 9 • 10

5 Д^

Запишем химическую брутто-ре-акцию, соответствующую раеематри-в аемому процессу:

С2Н5ОН + ЗО2 = 2СО2 + ЗН2О.

Пусть этиловому спирту (С2Н5ОН) соответствует помер N кислороду (О2) —

СО2

мер 4, воде (Н2О) — помер 3 и азоту (N2), являющемуся инертным компонентом, номер 2. Для процесса горения капли этилового спирта построим графики зависимости Y¿ и Т от г (рис. 1) на основании полученных формул (11) и (13). На данном рисунке кривая Yp соответствует изменению концентрации всех продуктов реакции: ^ -

1Р = ^ г=3

Y = ^ N-1 Y

Рис. 1. Распределение концентраций Yi и температуры T в задаче горения капли этилового спирта в равновесном (пунктирная линия) и неравновесном (сплошная линия) случаях Также исследуем горение капли н-декана в атмосфере воздуха, обогащенного кислородом, при следующих условиях:

То = 370 К, Те = 300 К, ре = 1 атм, ^ = 1, У1е = 0,3, АН = 47347670 hL = 278956

pe кг кг

Химическая брутто-реакция, соответствующая данному процессу, имеет вид

2C10H22 + 31O2 = 2OCO2 + 22H2O.

На рис. 2 изображен график зависимости числа Ре от In для горения этилового спирта и н-декана в атмосфере воздуха. Итак, сравнение равновесного и неравновесного чисел Ре в обоих случаях показывает, что при In < 10 разница между равновесным и неравновесным решениями не превышает 4%, для In = 100 расхождение увеличивается до 10% а для In > 1000 — превышает 30%. Таким образом, для определения скорости диффузионного горения малых капель необходимо использовать неравновесную модель испарения.

x

xw

x

Рс

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

/ г

- l/

- 1 jj I 1 А/

3. Квазистационарное решение задачи об испарении одиночной капли. Так как процесс горения в данной задаче протекает в квазистационарном режиме, то скорость выгорания определяется в каждый момент времени из стационарного решения (11). При этом скорость выгорания капли может быть определена из уравнения

йх- т

•Т-шО

0,1

10

1000

10

In

Рис. 2. Зависимость Ре от IN в неравновесном (сплошная линия) и равновесном (пунктирная линия) случаях: 1, 2 для задачи горения капли н-декана: 8, 4 для задачи горения капли этилового спирта

dt pNi

Введем безразмерные переменные r уравнение (14) примет вид

dr mto Pe peDt0 dr

(14)

, t = j-. Тогда

pNlxw0

2

r PNlxWo

(15)

где х-0 _ начальный радиус, ¿0 _ характерное время сгорания капли при равновесном режиме испарения. Граничные условия: г = 0 Т = 1- Проинтегрировав уравнение (15) с использованием граничных условий, описанных выше, получим следующее соотношение для равновесного режима:

to

2

PNlxwo

2pDe Peeq

подставив которое в (15), будем иметь

Pe

dr

2 г — = -dr Pe,

r(0) = 1.

(16)

eq

Рис. 3. Зависимость безразмерного радиуса капли от времени для равновесного (пунктирная линия) и неравновесного (сплошная линия) случаев: 1, 2 для задачи горения капли этилового спирта: 1, 8 для задачи горения капли н-декана

Для равновесной модели испарения решение уравнения (16) имеет вид г = \/1 — т, а для неравновесной модели может быть получено численным интегрированием (16) совместно с (11). Результаты решения представлены на рис. 3, откуда видно, что для рассматриваемых примеров учет неравновесных эффектов существенно замедляет процесс горения капли, так что время ее полного выгорания значительно возрастает.

4. Выводы. 1. Безразмерный параметр, характеризующий отклонения системы от равновесия и

имеющий вид /дг = - \ —-, возрастает при уменьшении радиуса капли, коэффициента аккомодации

дм Х- Ч КеТе

и температуры, а также при возрастании коэффициентов диффузии.

2. Полученные аналитические и численные решения позволяют определить различие скоростей выгорания при расчетах по равновесной и неравновесной моделям. Это отличие возрастает при увеличении параметра 1м, характеризующего степень отклонения от равновесия.

3. Согласно представленным результатам, для малых капель (при 1м > 10) использование равновесной модели дает существенную ошибку. Поэтому для получения достоверной информации при исследовании горения и испарения малых капель необходимо использовать неравновесную модель.

Работа выполнена в рамках тематики гранта РФФИ № 12 08 00804.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вильяме Ф.А. Теория горения. М.: Наука, 1980.

2.Dushin V.R., Srnirnov N.N., Kulehitskiy A.V., Nerchenko V.A., Nikitin V.F., Osadehaya E.S., Phylippov Yu.G. Mathematical simulation for non-eqnilibrinm droplet evaporation // Acta Astronaut. 2008. 63. 1360 1371.

3. Betelin V.B., Nikitin V.F., Kushnirenko A.G., Nerchenko V.A., Srnirnov N.N. Spray injection and ignition in a heated chamber modeling // WSEAS Trans. Fluid Mech. 2011. 6, N 3. 147 159.

4. Смирнов H.H., Зверев H.H. Гетерогенное горение. М.: Изд-во МГУ, 1992.

Поступила в редакцию

05.12.2011 После доработки

11.04.2012