Голономность, полуголономность и неголономность однородных и псевдооднородных пространств Текст научной статьи по специальности «Математика»

7. Борисович Ю. Г., Близняков Н.М., Израилевич Я. А., Фоменко А. Т. Введение в топологию. М., 1995.

M. A. Cheshkova The model of projective plane

If along a closed curve on the surface local orientation of the tangent space changes sign, then the surface is called a one-sided surface. The simplest one-sided surface is the Mobius strip. Klein bottle, cross-cap, Roman surface and Boy's surface are also one-sided surfaces. Roman surface, Boy's surface are models of projective plane. We define two vector functions in the Euclidean space En : 2 л -periodic and 2 л -antipe-riodic. Using the obtained functions model for the projective plane are given. We construct in the Euclidean space E3 model for projective plane with a help of mathematical package.

УДК 514.76

Ю. И. Шевченко

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград ESkrydlova@kantiana.ru

Голономность, полуголономность и неголономность однородных и псевдооднородных пространств

Показано, что в общем случае однородное пространство является полуголономным гладким многообразием. Найдено условие голономности однородного пространства. Показано, что проективное пространство обладает голономностью 1-го порядка и тривиальностью 2-го порядка. Доказано, что псевдооднородное пространство, вообще говоря, неголономно.

Ключевые слова: голономность, полуголономность, неголоном-ность, однородное пространство, псевдооднородное пространство.

© Шевченко Ю. И., 2016 168

1. Однородное пространство. Рассмотрим г -членную группу Ли Ог со структурными уравнениями

йФ = СЛ0К (/,... = 1,7), (1)

причем структурные постоянные Сж удовлетворяют условиям антисимметрии и тождествам Якоби

С(Ж) = 0, СJ[КСЬМ} = 0 , (2)

где круглые скобки обозначают симметрирование, а фигурные — циклирование.

Зададим натуральное число п : 0 < п < г и произведем разбиение значений индексов

1 = (',а); i,... = 1,n; а,... = n +1,r. Запишем структурные уравнения (1) подробно:

dm' = c'jkmJ люк + 2cjamJ люа + с'арта лар, (3)

dma = саргар л mr + 2сартр л m' + cjm' лю]. (4)

Пусть

сар=о, (5)

тогда уравнения (3) примут вид

dm' = mJ л mJ, mJ = c'kmk + 2c' ma. (6)

j' j Jk Ja y '

Уравнения (4) запишем следующим образом:

dma = c^m" лmr + m' лma, ma = ca mj - 2 c^. (7)

Возьмем часть тождеств (22) с внешними греческими ин-

дексами

а J _ п cj{rcSe} = 0,

которые запишем подробнее:

а р а 1 _ с\

СР{уС5е} + С]{уС5е} — °

В силу условия (5) 2-е слагаемое равно нулю, поэтому

Са Ср - О

Это тождества Якоби для структурных постоянных Сау (г - п) -членной группы Ли Нг -п .

Утверждение 1. При выполнении условия (5) группа Ли 0г становится главным расслоением Нг-п (Еп ) со структурными уравнениями (61,71), базой которого является п-мерное гладкое многообразие — однородное пространство Еп — 0г /Нг-п, а типовым слоем служит группа Ли Нг-п — подгруппа стационарности точки пространства Еп.

Найдем внешние дифференциалы форм (62) с помощью структурных уравнений (61 ,71 ) :

ат) — 2С)СаР®а лтр+тк л (с) + 24Х). (8)

Преобразуем следующее внешнее произведение форм (62):

т) лтт — 4Ск]аС\рта лтр +

+тк л [Су) + 2(С^- С1]аС)к )та].

Покажем совпадение первых слагаемых в формулах (8) и (9). Запишем часть тождеств Якоби (22), соответствующую 1-му слагаемому формулы (8) и учтем условие (5)

I у I к I к _ /-V

с 1УСар + СакС р + С ркС]а —

С помощью этих тождеств доказывается совпадение рассматриваемых слагаемых:

~ I у а в ~ I к а в

2с !уСирф Лф =~2С0кСаф Лф -

~ I к а в л к I а в

- 2свкс}аф ЛС = 4с1аСкф Лф .

Выразим 1-е слагаемое из формулы (9) и подставим результат в формулу (8):

7 I к I , к г I 1 , ~ I а

= ф. Лфк + ф Л [С}1фк + 2С}афк -

т I 1 гь/ 1 I 1 I \ От

- С.кСт1ф - 2(С.кС1а - С.аС1к )ф ].

Раскроем обозначения форм (62,72) :

7 I к I , к г/ I т , ~ I а т I \ 1 ,

= ф. Лфк + ф Л [(С.тСк1 + 2С]'аСк1 - С .кСт1 )ф +

. / I 1 ^ I в 1 I I 1 I \ а + 2(С]1Ска - 2С]РСак - С]кС1а + С]аС1к )ф ].

С помощью тождеств (22) преобразуем выражение в круглых скобках, причем во 2-й скобке учтем условие (5):

7 I к I к I

йф. = С. Лфк + СО Л со]к,

ф = (.С'а, - сттСт - 2с0(.Сак) 1 С1 - 44((10) Альтернирование последних форм дает

= (.О - .]т С . (11)

В силу тождеств Якоби (22) циклирование коэффициентов при базисных формах по нижним индексам аннулирует их:

О I т I _

с{]кС\а\1} - С{1[]Ск]}т =

Теорема 1. Однородное пространство Еп в общем случае является полуголономным гладким многообразием [1].

Следствие. Условие голономности 1-го порядка для однородного пространства Еп имеет вид

- С?иСк]т = 0. (12)

Действительно, при выполнении условия (12) формула (11) дает со1^] = 0 , т.е. формы С ^ симметричны по нижним индексам.

2. Проективное пространство. В качестве примера голо-номного гладкого многообразия возьмем п -мерное проективное пространство Рп. Отнесем проективное пространство Рп к неоднородному реперу {А, Д-} с деривационными формулами (см., напр.: [2])

СА = вА + с Д, сСАг = вД + С А} + СгА, (13)

где в,С ,сС ,сг — линейные дифференциальные формы. Форма в играет роль множителя пропорциональности, а остальные формы являются структурными формами проективной группы GP(n), эффективно действующей в пространстве Рп . Структурные уравнения проективной группы GP(n) имеют вид (см., напр.: [2])

Ссг = С л С,Сс = С л с.,

. (14)

Сю'. = ак л а', +д'а, лС + а. л а'.

3 3 к 3 к 3

Деривационная формула (131 ) и структурные уравнения (141) показывают, что вполне интегрируемая система уравнений с' = 0 выделяет коаффинную (центропроективную) под*

группу ОА (п) стационарности точки А е Рп . Структурные

*

уравнения группы ОА (п) с ОР(п) получаются из уравнений

(142-3)

Сл\ = лк ллк, Слг = л' лл3 (л = С I ).

1 3 к' ' ' 3 v СС =0'

Следовательно, проективное пространство Рп можно представить как множество смежных классов Рп = ОР(п)/ ОА (п) со структурными уравнениями (141) .

Уравнения (143) запишем в виде

= фс Лфк+с л ф(к ,ф(к = -5)фк- 5'кф]. (15)

Продифференцируем формы (152) с помощью структурных уравнений (142):

¿ф = -5)ф[ лф1 - ^ лф1. (16)

Рассмотрим следующую сумму внешних произведений:

е = фк Лф11 -фк лфф -ф.1 Лфк. (17)

Раскроем обозначения (152) трехиндексных форм и приведем подобные члены:

е = 8'кф1 л фф + 8'т1 л фф . (18)

Правая часть структурных уравнений (16) совпадает с суммой Е (18), поэтому в правую часть уравнения (16) можно подставить сумму Е в виде (17):

йф)к = ф)к Л ф1 - ф1к Л ф) - ф]1 Л фк .

В этих структурных уравнениях не возникало четырехин-дексных форм ф'к . Следовательно, можно считать, что ф'.к1 = 0 .

Трехиндексные формы ф']к (152) симметричны по нижним индексам. Значит, справедливо

Утверждение 2. Проективное пространство Рп обладает голономностью 1-го порядка и тривиальностью 2-го порядка (см.: [1]).

Говорят также [3], что порядок голономной изотропии проективного пространства Рп равен 2.

3. Псевдооднородное пространство. Рассмотрим псевдогруппу От (бесконечномерную группу Ли — Картана) как обобщение конечной группы Ли Gr с заданной подгруппой Hr_n . Она имеет бесконечную серию структурных уравнений (см., напр.: [4]), первые из них совпадают с уравнениями (6Х) , в которых используется обозначение (62). Вторая совокупность уравнений имеет вид (7Х), но формы (72) выражаются следующим образом:

С = са С + 2с>р + сС, (19)

i ij i р ia ' v '

где с"а = const; с" — новые формы с индексом a, принимающим конечное множество значений. Внешние дифференциалы форм с" также содержат новые формы и т.д.

Бесконечная серия структурных уравнений псевдогруппы включает уравнения (61), поэтому система уравнений

с' = 0 остается вполне интегрируемой. Она выделяет под-псевдогруппу Нх с Gx.

Конечная группа Gr с заданной подгруппой Hr_n является главным расслоением Gr = Hr_n (En) . Аналогично бесконечномерная псевдогруппа Gx, в которой имеется бесконечномерная подпсевдогруппа Нт, является расслоением Gx = Нх (Vn ) с базой — псевдооднородным пространством Vn [4]. Назовем Нт (Vn) псевдоглавным расслоением.

Выясним степень неголономности псевдооднородного пространства Vn со структурными уравнениями (61). Поскольку формы с" приняли более общий вид (19) по сравнению с выражениями (72) , в формуле (10) добавится слагаемое

^ i a а л ^ i a а г-т*

2c]ackaа , а в альтернации (11) — слагаемое 2с^a\ck\<Р • Таким образом, формы а] ] перестанут быть линейными комбинациями только базисных форм ас , поэтому справедлива

Теорема 2. Псевдооднородное пространство Vn является, вообще говоря, неголономным гладким многообразием [5]; при условии с[мса]а = 0 пространство Vn будет полуголономным 1-го порядка; если, кроме того, выполняется условие (12), то псевдооднородное пространство Vn станет голономным 1-го порядка.

Список литературы

1. Шевченко Ю. И. Голономные и полуголономные подмногообразия гладких многообразий // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 2015. Вып. 46. С. 168—177.

2. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

3. Евтушик Л. Е., Лумисте Ю.Г., Остиану Н.М., Широков А. П. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1979. Т. 9. С. 1—247.

4. Евтушик Л. Е. Структуры высших порядков. М., 2014.

5. Шевченко Ю. И. Оснащения голономных и неголономных гладких многообразий. Калининград, 1998.

Yu. Shevchenko

Holonomicity, semi-holonomicity and non-holonomicity of homogeneous and pseudo-homogeneous spaces

It is shown that generally a homogeneous space is semi-holonomic smooth manifold. The holonomicity condition of homogeneous space is found. It is shown that projective space possesses holonomicity of the 1st order and a triviality of the 2nd order. It is proved that pseudo-homogeneous space, generally speaking, non-holonomic.