Голографический предсказатель случайных процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

2

ТЕХНОЛОГИИ ОПТОИНФОРМАТИКИ

ГОЛОГРАФИЧЕСКИИ ПРЕДСКАЗАТЕЛЬ СЛУЧАЙНЫХ

ПРОЦЕССОВ А.В. Павлов

Показано, что схема Фурье-голографии с обращением волнового фронта в корреляционной плоскости позволяет реализовать модель множественной линейной регрессии при использовании на этапе обратного прохождения света голограммы с инверсной передаточной характеристикой.

Введение

Задача предсказания значения случайного процесса имеет большое прикладное значение. В первую очередь это относится к проблеме управления работой сложных технических и транспортных комплексов - систем водоснабжения, управления уличным движением, управления работой узлов телекоммуникационных сетей [1-3].

Модель

Задача предсказания в теории случайных процессов рассматривается как частный случай задачи наилучшей оценки [4-6]. Модель множественной линейной регрессии [6] для реализации Im(x) стационарного случайного процесса с автокорреляционной функцией C(E), наблюдаемого на интервале [xMin, xMax], где xMax - момент или точка наблюдения, определяет значение ImPred(xMax + xk) в точке xk, выражением

xMax

ImPred (xMax + xk ) = j"Im(xMxx)dx , (1)

xMin

где весовая функция a(x) определяется из решения уравнения

xMax

} a( x)C (| x )dx = C (xk +Q. (2)

xMin

Для решения задачи дважды применим к (1) фурье-преобразование и теорему Бо-реля о свертке. В результате, учтя инверсию координат в силу нереализуемости в оптике обратного Фурье-преобразования, получим

ImPred (- (xMax + xk )) = F(F(Im(x)d F(a(x))d. (3)

Выражение (1.2) в фурье-пространстве примет вид F (a(x)). F (C (x4|)) = F (C (xk +0), откуда получим

F (a(x ))= F (( + . (4)

F ( (x -5|))

Подставив (4) в (3), получим

Impred(-(xMax + xk)) = F F(Im(x))■ F(k

F (C (x -ф),

V V VI ^>1//

и, применив теорему Винера-Хинчина, и учтя инверсию координат в корреляционной плоскости, получим окончательное выражение для значения процесса, даваемого линейным предсказателем, где астериск обозначает комплексное сопряжение:

ImPr ed (xMax + xk ) - F

f т*

F (C (xk + Q) F (lm(x))

(5)

Оптическая схема

Архитектура «4-Г схема фурье-голографии с фазосопрягающим зеркалом в корреляционной плоскости» приведена на рис. 1. Во входной плоскости 1п помещается эталонное изображение 1тА, освещаемое плоским волновым фронтом и. Входная плоскость 1п есть передняя фокальная плоскость первой фурье-преобразующей линзы Ьь которая в своей задней фокальной плоскости формирует фурье-образ этого изображения Г(1тА). При записи голограммы в эту плоскость помещается фоточувствительная среда Н, регистрирующая картину интерференции сигнального ¥{1тА) и внеосевого плоского опорного пучка Я. Передаточная характеристика проявленной голограммы для интересующего нас +1 порядка дифракции гц(Г(1тА)), где ц- оператор голографической регистрирующей среды. При помещении во входную плоскость 1п объектного изображения 1тв за фурье-голограммой Н формируется распределение ^(/тв) п(^(/тА)), а в задней фокальной плоскости С второй фурье-преобразующей линзы Ь2 формируется функция взаимной корреляции ¡тв®1тА'', где ® - символ операции корреляции, а 1тАп - результат фильтрации изображения 1тА оператором ц. На этом этапе схема работает как классический коррелятор Ван дер-Люгта .

Рис.1. Схема Фурье-голографии с обращением волнового фронта

Для обеспечения прохождения возбуждения в обратном направлении, т.е. C ^ H ^ Out, где Out - выходная плоскость, оптически сопряженная с входной In посредством полупрозрачного зеркала M, в плоскость C (или за ней) помещается устройство обращения волнового фронта PCM (фазо-сопрягающее зеркало). Нелинейный оператор Nl должен быть локализован в плоскости С и подбирается таким образом, чтобы выделить из корреляционного распределения только глобальный максимум автокорреляционной функции (АКФ). Как правило, эта процедура реализуется посредством многоитерационного процесса, для обеспечения которого аналогичное фазосопрягающее зеркало помещается также и в плоскость In. Процесс в плоскости C может быть описан как Nl(ImB® ImAn)^b,

где 5 - дельта-функция, описывающая дифракционно-ограниченный точечный источник. В результате такой процедуры в обратном ходе лучей C ^ H ^ Out глобальный

максимум АКФ как точечный опорный источник восстанавливает в Out изображение

МЛ

Таким образом, схема рис. 1. реализует модель автоассоциативной памяти. Эта схема хорошо известна под названием голографической автоассоциативной памяти. Отметим, что само эталонное изображение ImA, с которого была записана голограмма H, может быть восстановлено только при линейном операторе п, последнее для большинства реальных изображений физически невыполнимо.

Нетрудно видеть, что выражение (5) может быть реализовано в обсуждаемой оптической архитектуре посредством процедуры, состоящей из следующих двух этапов.

1 этап - формирование в слое С распределения C(x). На этом этапе НС работает как классический голографический коррелятор Ван-дер-Люгта и фурье-голограмма H согласована с эталоном, т.е. H(v)=F(ImAn).

2 этап - прохождение возбуждения от выделенного из АКФ фрагмента C(xk+в обратном направлении С ^ H- ^I через матрицу связей с инверсной передаточной характеристикой H~l(v)=(F(ImA1))1. Методы реализации инверсных голограмм известны и заключаются, в частности, в использовании голографических регистрирующих сред с обратной зависимостью дифракционной эффективности от экспозиции. В результате реализации второго шага амплитуда света в точке xk плоскости Out будет пропорциональна искомому значению ImPxed{xuax + xk).

В следующем разделе мы рассмотрим структуру связей, реализуемую этой архитектурой, и увидим, что требование на выделение на втором шаге фрагмента C(xk+ £) из автокорреляционной функции выполняется автоматически в случае, если голограмма обладает свойством угловой инвариантности.

Структура связей

Схема рис. 2а реализует архитектуру двуслойной нейронной сети (НС) со связями только между слоями I и C. Слой I объединяет оптически сопряженные плоскости In и Out. Нейрон может быть реализован как в виде дискретного элемента матричной структуры (пиксела), так и в виде дифракционно-ограниченного элемента разрешения для непрерывной среды, размер которого определяется в соответствии с теоремой Котель-никова.

I (In) H C

__________________ю

ImA ................... ...........................Ю

................................Ю

О

8

ю ю о о

Рис. 2а. НС типа «звезда Гроссберга»

Операция суммирования входов такого нейрона осуществляется в соответствии с принципом суперпозиции, связи в свободном пространстве формируются в соответст-

вии с принципом Гюйгенса-Френеля, а нелинейная активационная функция реализуется обычно за счет нелинейных свойств самой регистрирующей среды. Матрица связей нейронных слоев I и С реализуется фурье-голограммой Н. Особенность голографиче-ского метода реализации межнейронных связей заключается в том, что, в отличие от НС с локализованными связями, голограмма восстанавливает более сложную структуру связей, нежели структура, сформированная при обучении НС. Использование именно этой особенности и позволило нам реализовать модель предсказателя.

Основные отличия структуры связей, восстанавливаемой Фурье-голограммой, от фиксированных связей состоят в следующем.

Во-первых, если при обучении предъявлялось звезда из N лучей, то в результате действия оператора п восстанавливается звезда из лучей, где - число нейронов в изображении 1тАп. Это отличие актуально для любого типа голограмм - как «тонких», так и объемных.

Второе существенное для рассматриваемой задачи отличие имеет силу только для «тонкой» голограммы и заключается в том, что проявленной голограммой воспроизводится единственная «звезда Гроссберга» только в том случае, если голограмма объемна, т.е. обладает свойством угловой селективности. Если голограмма тонкая, то, поскольку каждый 1-нейрон независимо от других 1-нейронов является точечным источником, в силу свойств угловой инвариантности тонкой голограммы и независимости распространения световых волн при предъявлении во входной плоскости изображения 1тв звезда «оШ^аг» 5 ^ 1тАп восстанавливается независимо для каждого активированного 1-нейрона. Размер 1-нейрона на этапе предъявления обученной сети изображения 1тв определяется оператором п. В результате формируется ^ независимых звезд Гроссберга «оШ^аг», где NB - размерность (число нейронов) 1тв, показанных на рис. 2б пунктиром.

Каждый 1-нейрон через свою звезду активирует NAп нейронов в слое С (на рис. 2б для простоты пунктиром показаны только связи от крайних 1-нейронов). Всего в слое С активируются + Nв-1) С-нейронов. При этом только активированный глобальным максимумом АКФ 5-нейрон связан со всеми NAп 1-нейронами, остальные С-нейроны, затушеванные на рис. 2б серым, связаны каждый с (N5 -п) 1-нейронами, где п - порядковый номер С-нейрона относительно 5-нейрона, принятого за начало отсчета.

При обращении волнового фронта в слое С для каждого С-нейрона как независимого точечного источника голограмма также формирует звезду «оШ^аг». В результате

I (Ои1:)

н

с

1т™ ] к=3 О

к=4 О

Рис. 2б. Формирование независимых звезд Гроссберга «ои1э1аг»

каждый С-нейрон активирует NAn связей к I-нейронам, а общее количество активированных I-нейронов, которые могут быть активированы этими связями, составляет (2NAn + Nb -2).

I (Out) H Nl C

Ю Ю Ю Ю

8

Ю Ю Ю Ю

Рис. 2в. Восстановление одной звезды

Для реализации модели ААП из этого массива связей слоев С ^ I посредством нелинейного оператора Nl, действующего в слое С, выделяется единственная звезда b^ImAn, восстанавливающая ImAn (сплошные стрелки на рис. 2в), а связи от нейронов, активированных боковыми максимумами корреляционной функции (на рис. 2в веера из коротких стрелок), режектируются. Если эти связи не режектируются, то созданный ими ореол вокруг изображения ImAn (на рис. 2.в I-нейроны, затушеванные серым) в оптике традиционно трактуется как шум.

Как следует из рассмотрения, проведенного выше, именно эти, режектируемые при реализации ААП, связи от С-нейронов, возбужденных боковыми максимумами корреляционной функции, и необходимы для реализации модели линейного предсказания (5).

На рис. 2в приведена структура связей, обеспечивающих формирования решения (1.5). Для упрощения рисунка приведена только одна (нижняя) половина. Из рис. 2.в видно, что к-тый I-нейрон получает возбуждение от (NAn -к) С-нейронов и через них связан с (NAn - к) I-нейронами, активированными ImAn. Иными словами, предсказание на глубину к вычисляется по базе (NAn - к).

Экспериментальная реализация

Модель была экспериментально проверена в схеме рис. 1 на примере аэрофотоизображения леса (рис. 3).

Для записи голограммы использовался центральный фрагмент, ограниченный на рис. 3 вертикальными белыми линиями. Размер эталона составлял 650x650 пикселей.

Голограмма фазосопрягающего зеркала PCM располагалась не в корреляционной плоскости, а за ней, на расстоянии, на котором распределение амплитуд по сечению пучка было примерно равномерным. Такое решение было обусловлено невозможностью записи линейной голограммы корреляционного поля в плоскости C в силу того, что перепад амплитуд в корреляционном поле существенно превышает динамический

Im

диапазон регистрирующих сред. Принятая схема обеспечила возможность режекции ГМ АКФ не на этапе записи PCM, а на этапе восстановления голограммы.

Рис. 3. Аэрофотоизображение леса, использованное в экспериментах

Как следует из (5), в построении предсказания участвуют только боковые максимумы корреляционной функции. В то же время яркость изображения эталона, восстанавливаемого ГМ АКФ, настолько превосходит яркость ореола-предсказания, что «забивает» телевизионный сенсор. Поэтому на этапе восстановления голограммы для обеспечения возможности регистрации изображения ГМ АКФ также режектировался.

Для реализации модели необходима именно тонкая голограмма. Принципиальная ограниченность дифракционной эффективности тонкой голограммы, вкупе с использованием голографической техники для реализации фазо-сопрягающего зеркала, ведет к существенным энергетическим потерям в схеме рис.1. Эти потери усугубляются применением техники инверсной голограммы. Поэтому для обеспечения интенсивности восстановленного изображения (5), достаточной для его регистрации телевизионным сенсором, вместо инверсной голограммы вынужденно была использована схема узкополосной фильтрации с записью фурье-голограммы в режиме переэкспозиции. В результате в восстановленном изображении были утрачены практически все детали, за исключением контуров крон.

На рис. 4 приведен фотометрический профиль фрагмента изображения рис. 3 вне пределов кадрового окна (белая кривая) и фотометрический профиль ореола, обрамляющего восстановленное в схеме рис. 1 изображение эталона (черная кривая), т.е. предсказания. По оси Х размер дан в пикселях, эталон занимал участок от 0 до 650 пикселей.

0 70D 300 900 1 ООО 1 100 1 200

Рис. 4. Фотометрический профиль оригинального аэрофотоизображения рис. 3 (белая кривая) и восстановленного ореола - предсказания (черная кривая)

Заключение

Таким образом, теоретически и экспериментально показано, что схема Фурье-голографии с обращением волнового фронта строит линейное предсказание в случае использования на этапе обратного прохождения голограммы с инверсной передаточной характеристикой.

Литература

1. Pedricz W., Vasilakos A., Linguistic Models and Linguistic Modeling// IEEE Trans. On Systems, Man, and Cybernetics, Part B. 1999. V.29. 6.

2. Grossglauser M., Bolot J.C., On the Relevance of Long-Range Dependance in Network Traffic, //IEEE Trans. on Networking. 1999. V.7. №5.

3. Roughan M., Veitch D., Abry P., Real-Time Estimation of the Parameters of Long-Range Dependance// IEEE Trans. on Networking. 2000. V.8. №4.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория случайных процессов и инженерные приложения, М.: Высшая школа, 2000.

5. Вентцель А.Д., Курс теории случайных процессов, М.: Наука, 1975.

6. Grimmet G.R., Sterzaker D.R. Probability and Random Processes. Oxford. Oxford Sc. Publ., Claredon Press, 1992.