CC BY
9Journal of Siberian Federal University. Engineering & Technologies 8 (2014 7) 886-893
УДК 681.513.5; 517.977
Global Optimization on a Set of Continuous and Discrete Variables with Unordered Possible Values
Anton S. Mikhalev and Anatoly I. Rouban
Siberian Federal University 79 Svobodny, Krasnoyarsk, 660041, Russia
Received 03.06.2014, received in revised form 04.11.2014, accepted 02.12.2014
The new algorithm of finding of a global minimum on the presence of constraints type of inequalities on a set of continuous and discrete variables with disorder possible values is offered. The idea of this approach is to separate at each iteration stage trial motions and working step, and also the effective information processing obtained in the sample points. Existence of discrete variables with unordered possible values leads to the solution of a sequence of tasks of global minimization of multiextremal functions on a set of only continuous variables in the presence of their constraints type of inequalities. As a result, among the obtained optimum solutions chooses the best solution.
Keywords: global optimization, continuous and discrete variables, selective averaging of required variables, constraints type of inequalities.
Глобальная оптимизация на множестве непрерывных и дискретных переменных с неупорядоченными возможными значениями
А.С. Михалев, А.И. Рубан
Сибирский федеральный университет Россия, 660041, Красноярск, Свободный, 79
Разработан новый алгоритм поиска глобального минимума при наличии ограничений типа неравенств на множестве как непрерывных, так и дискретных переменных с неупорядоченными возможными значениями. Идея подхода заключается в разделении на каждой итерации этапа пробных движений и рабочего шага, а также в эффективной обработке информации, извлекаемой в пробных точках. Наличие дискретных переменных с неупорядоченными возможными значениями приводит к решению последовательности задач глобальной минимизации многоэкстремальных функций на множестве только непрерывных переменных
© Siberian Federal University. All rights reserved Corresponding author E-mail address: [email protected]
*
при наличии своих ограничений типа неравенств. Среди полученных оптимальных решений в итоге выбирается наилучшее.
Ключевые слова: глобальная оптимизация, непрерывные и дискретные переменные, селективное усреднение искомых переменных, ограничения типа неравенств.
1. Введение
Задача поиска оптимального значения целевой функции является одной из актуальных в современной науке и технике. Большинство практических задач, возникающих в различных сферах человеческой деятельности, могут быть сведены к задачам оптимизации. Это различные варианты расчета оптимальных параметров конструкций, управления распределением ресурсов и грузоперево зками, оптимальных упревлений, обеспечивающих заданные траектории движения объектов, и т.п. Повышение качества управления, планирования и проектирования достигается подстройннй оптимальных параметров и поиском наилучших структур систем управления.
Основные трудности при оптимизации обусловлены многоэкстремальностью целевых функций и их разрывным характером, наличием как иепрерывных, так и дискретных переменной, наличием кроме непрерывных и дискретных переменных и др. Разрешением указанных проблем занимается глобальная оптимизация [1-8].
В данпой статье представлен новый алгоритм поиска глобального минимума с использованием селективного уср еднения искомых переменных при наличии ограничений типа неравенств [4] в пространстве смешанных переменных: непрерывных переменных и дискретных переменных с неупорядоченными возможными значениями.
2. Постановка задачи
Дискретные переменные, основывеясь на специфике их возможных значений, условно можно разднлить на три класса .
В первый клазс входит любая дискретнзя пeременная, возможные значения которой не-упортядочены. Все; нто значения являются самостоятельными (не связанными друг с другом), и при их пассмотрении нам не остаётся нииего дриоого, как просто пронумеровать их, а при решении задачи оптимиесции - пе ребирать все эти возможные значения. Этот класс дискретных переменных рудет рнасмотрен в данной статье. Другие два класса дискретных переменных - с упорадоченными возможными значениями и с числовым«! значениями - будут включены позже в сонтезаруемые алгоритм ы глобальной оптимизации.
Необходимо отыскать условный глобальный минимум функции многих переменных
/(г, у) н учетом ограныычений-неравенств фр^кО еенае = 1, "(хО, где x = ..., xk) - к непрерывных переменных, у - дискретная переменная с г неупорядоченными возможными значениями^, ...,.0,..
Наличие этой дополнительной дискретной переменной принодит к решению г задач глобальной оптимизации разсосны>1х функций /(х,у ) = /^О) только по непрерывным переменным г:
/(Х)= тт , ц = 1, г . (1)
xiX..
Г1
Допастимые 05б5л^]1с::':11]Е1^ ^^НЛ^ задаются coaoKyoHocToco ни^иецэааз^еинв^с^пгч^
i/c ^Oj^,»: . (2)
0десь tp/^V ^O) mOv) = :
Налич^ огг]|5;^ни:1и(р1н:и:й[ типа HepaBeHcTB приводит к гужению области поиска ^iccrpeMyvia. Целевою функции f (x),: = l, 3 многоэсстремальны, MoryT бЗыыть» нeдиффepeнциpyeмыми, a TaiüKe HcriKaaíc^Hi1^ помсхой. Функции ограничемий такжа MoryT быль невыггуклыми и шдифф!-ренцируемыми. Поиск :KcopeMyMOB на 0CH0Be iiEîbbin-run^jioeHnû (или ^Mepeniñ)
yKa3aHHbio функций /^CXc^Ce),1^1,'1 ев пробных точках.
3. IDEomcic минимума функций
PentceM задачцс глобальной минимизации(Г), (2) при каждом фиксированном ц. В области Xp заданной ограничаниями HepaBeHcTBaMH (2), pa3MeinaeTca n пробных T04eK xjp, i = i, n. В этих тгои1::к];^?<и ]Et:E>ii4::^c:^jiEiiùîiui 1íUI:^iio]^^:ei:^iíí:]:5;5:^i^V'I:ie>:e])í fE ■ /ц).*!^), i = B, :
.ITHjicit^ получении пркбных точьк xjH , i = \]0 послед=вательно reHep:pycoT равHOMepHO pai<c-ишрзкгдЛвг^оеЕЕш:])1]]»^ точки is прямоугольной области П^ с центром в точке x, :
jg] т, X^+Ax'v,^,-£[-:,][],:==£, ÍTl,B,... (3)
и пси них С5ca^^EEsлГо^яа^'еи^ска.ис n точек, попадающих ев допустимую область Х^ = П|1П X^ (yдoвлeтвo-ряющих orpaHDieHMM типа He^BeHCTB (2)]
Исходноя тачка х° и pa3Mep: Д] прямоугольной csÉiiii]^сс^нв ПС выбирают так, чтобы П(( охватывала допустимую область JS] или T)y её часть, гд!г pjaccIb^^^o^^ia глобальный экс-TpeMyM.
HoBoe значение . в срсднсм -З^л^е близю^ к положснию глобального минимума 0Ire:M:c:pyeM0й фонкции и pa3Mep2i прямоуголь-ой оьб^л^бэистп^ иои[С])сс>:вь.1?£ движсний ДсН], на = \,m выч-сляют по c^^pfi^vEouE)^л;ЕЭ1]чл[:
хг+1-X +Axl и -u ] -TV'] О0 . v к
i-l
—(О = V+I§|,min) (i) = Л1 Р\1,тт
Pimin ь п , g|,min """m —g >
E^c/i) о m= a^ ^
./=\
A^YXiŒU0 i9 UKmJ1^ i=l
l = 0,1,2,..k[0 < Yq, q e {1,2!,...}, О < s] Здесь fi,max = max)/"=,i = 1,и}; j'[lmin = min)/O'-1,i = s - коэффициЕнт ceлeктивн^^ти яодр PsO); в IiepeMeHHbix и^'\рертт Для упрощения ;з;а:^иси OII(?IЦlSH[ шзмр^рз итграции l; 0<.;^'Пп;п <1.
n /ч
ГТ = 1
Bec;oE5b^ie; :к(^э(C)(})ици^нты (ядра) нормированы на c:cTeMe n проби^1^^(ох^еP—ç's, min .
Критерием останова процесса поиска обычно сщ'жит условие уменьшения размера области варьирования до заданной величины: max{| Дх^ц |, v = 1Д} < s.
После нахождения олобального минимума для таждо й из r функций {x*, /* (x*), * = 1,r} выбирют наилучшее решение х*., f. (**.):
й И й
min{fy (хЙХ й = 1 ,r} = fy. (х^.} (5)
Оптимальное значение дискретной переменной имеет номер д*.
4. Численные примеры
Пример 4.1. Квждая трехэкстремальная одномерная (функция (относительно непрерывной переменной х), соответствующая значению дискретной переменной, построена в виде наложения (с помощью опер)ации min) трех потенциалов без искажения их местоположения и значений функции в точках минимума и в их окрестностях:
/ц (x) = mm
( 1 1 1 ^
ц = 1,3. (6)
х2 + aц 2( x - 2)2 + ) 3( x - 4)2 + }
Коэффициента а- Ьд, сд определяют глубину потенциалов, где д - номер значения дискретной переменной y. Задаём следующие значения указанных коэффициентов для каждого д:
И = 1 : a = 0 .4; b = 0.2; с1 = 0 .3 ;
li = 2: a0 = 0.3; й2=0.15; c2=0.4;
И = 33: a0=0.5; 6* =0.1; c3 = 0.2.
Итоговысйглобальный миниму м находится в точке x* = 2, д* = 35.
Введем ограничения неравенства, отсекающие основную часть области притяжения глобального минимума для каждой трёхэкстремальной функции:
д = 1 : х<0.5 и 3.5< х; д = 2 : ев < 1 и 3<х, д = 3: х<1.2 и 2.8<х.
После учета ограничений глобальный экстремум условный приходится на точку x* = 4, д* = а . График функции/з(х) и ограничения представлены. на рис. 1а.
Алгоритм поиска! имеет срзкнивельно выасокую скорость сходимости (решение отыскивается за 12-20 итераций!) с оценкой вероятности отыкжания глобального минимума, равной 1. Назтройки для алгоритма: x0 = 2, Дх0 = 4, n = 25, yq = е, ci = 2, ядро параболическое, степень селективности ядра s = 2200.
Добавим ic минимизируемым функциям центрированною раономерно распределённую помеху ^[-0; 0] = 0-,R[-1; 1], изменяювиуюся веутри интервала [-0; 0]:
7д(о) .функция (6) + R[-1;1], д. 1,а,3. (7)
29х
Коэффициента 0Д выячисляем по заданной величине р отношения «шум-сигнал»: р =-.
4/ц
Здесь Д/Д - интервал изменения фу нкции без помкци (при изменении х внутри допувтимой об- С89 -
ласти). При p = 1 шум 100 % по отношению к сигналу (функции без помехи), при р = 0.1 шум 10 %. Ориентир°емся на максимальную амплитуду изменения сигнала для каждого д в следующих областях: д = t: -t < х < 0.5 ь 3.5<х<5; д = 2:-1<х<1ь3 < x <5; д = 3: -t < х< t.2 и 2.8 < x < 5 . Помеха будет 100 % при следующих значениях паракетров: 0J = 02 = 1.5,63 = 2.5.
Для случая с 50%-ной помехой (рис. 1б) алгоритм отыскивает решение за 15-20 итераций с оценкой вероятности, равной 1. Настройки для алгоритма: x0 = 2, Ax0 = 4, n = 500, yq = 1, q = 2, ядро по функции параболическое, степень селективности s = 100.
Пример 4.2. Четыре пятиэкстремальные двумерные функции заданы так: д = 1 : f1(x1,x2) = min {3|x1 - 2| + 2|x2 - 2|°-9 - 4; 3|x1 - 4|15 + 3|x2 - 4|L7 - 6; 2|x1 - 6|18 + 3|x2 - 6| - 2; 3|x1 - 2|14 + 3|x2 - 6| - 3; 2|xj - 6|13 + 2|x2 - 2|16 - 1}
д = 2 : f2(x1,x2) = min {3|xj + 2| + 2|x2 - 2|09 + 9; 3|xj + 4|15 + 3|x2 - 4|17 + 1; 2|xj + 6|18 + +3|x2 - 6| + 7; 3|xj + 2|14 + 3|x2 - 6| + 3; 2|xj + 6|13 + 2|x2 - 2|16 + 5}
д = 3 : f3(x1,x2) = min {3|x1 + 2| + 2|x2 + 2|09 + 4.5; 3|x1 + 4|15 + 3|x2 + 4|17 + 2.5; 2|x, + 6|18 -4 3 |x2 + 6| + 10. 5; 3|x1 + 2|14 + 3|x2 + 6| + 6.5; 2|x1 + 6|13 + 2|x2 + 2|16 + 8.5}
д = 4 : f4(x1,x2) = min {3|x1 - 2| + 2|x2 + 2|09 + 2; 3|x1 - 4|15 + 3|x2 + 4|17; 2|x1 - 6|18 + 3|x2 + 6| + 6; 3|x1 - 2|14 + 3|x2 + 6| + 4; 2|x1 - 6|13 + 2|x2 + 2|16 + 8}.
Функции имеют минимумы в следующих точках: д =1 : (2; 2), (2; 6), (4; 4), (6; 2), (6, 6) - глобальный в точке (4; 4); д =2 : (-2; 2), (-2; 6), (-4; 4), (-6; 2), (-6, 6) - глобальный в точке (-4; 4); д =3 : (-2; -2), (-2; -6), (-4; -4), (-6; -2), (-6, -6) - глобальный в точке (-4; -4); д =4 : (2; -2), (2; -6), (4; -4), (6; -2), (6, -6) - глобальный в точке (4; -4).
Искомый глобальный минимум находится в точке x* = (4; 4), д* = 1, и f1( х*) = f ( х*, у*) = -5. Для каждой из функций введем своё ограничение неравенства:
д = 1 : (x1 - 4)2 + (x2 - 4)2 - 16 < 0; д = 2 : (x1 + 4)2 + (x2 - 4)2 - 16 < 0; д = 3 : (x1 + 4)2 + (x2 + 4)2 - 16 < 0; д = 4 : (x1 - 4)2 + (x2 + 4)2 - 16 < 0.
Пространственный вид для минимизируемой функции, линии равных уровней для неё и ограничения при д = 1 представлены на рис. 2. Условный глобальный экстремум приходится на точку x* = (4; 4), д* =1.
Рис. 1. Графики ограничения и функции при ¡и = 3: а - без по мехи; б - при 50%-ной помехе
Рис. 2 . Пространственный вид первой функции (при ц = 1) (а) и линии равных уровней для неё же, допустимая о(5ласть которой находится внутри круга (б)
а) б)
Рис. 3. Изменение непрерывных переменных х1 (а) и х2 (б) при поиске минимума последовательно для всех функций
Алгоритм поиска показывает примерно одинаковое поведение и отыскивает решение за 30-40 итераций с оценкой вероятности равной 1 (рис. 3). Настройка алгоритма: п = 50 , х0 = (2; 2), Дх0 = (10; 10), уд = 1, # = 2, ядро по функции параболическое, степень селективности 5 = 100.
Добавим к минимизируемым функциям центрированную равномерно распределённую по меху
/Оь Х2) = /(хьх2) + е^-1; 1].
Коэффициентами 9ц регулируем отношение «шум-сигнал». При этом ориентируемся на максимальную амплитуду изменения сигнальной части (функции без помехи) внутри допустимой области, задаваемой ограничением:
Лад)
а)
Рис. 4. Сечение функщ1и/1(хьх2) при х2= x без
fii*!, xd
б)
(а) и при 50%-ной помехе (б)
д=1: сигнальная часть меняется в интервале [-6; 11] ;
д=2: сигнальная часть меняется в интервале [1; 17];
д=3: сигнальная часть меняется в интервале [2.5; 21,5];
д=4: си гнальная часть меняется в интервале [0; 1 9].
Таким образом, коэффициенты 9 при 100%-ном шуме для каждого значения д будут следующими: 91 = 8.5, 92 = 8, 93 = 94 = 9.5.
Для наглядности степени влияния помехи на рис. 4а и 4б приведены сечения функции (при д = 1 - случай, содержащий глобальный экстремум) при 91 = 0 (без помех) и при 50%-ной помехе.
Для случая с помехой (50 %) алгоритм отыскивает итоговое решение за 35-40 итераций с достаточно высокой оценкой вероятности нахождения истинного решения, равной 0.98. Настройки для алгоритма: п = 500, х0 = (2;2), Дх0 = (10;10), уд = 1, д = 2, ядро параболическое, степень селективности 5 = 50.
Заключение
Минимизация всех функций (= 1, ь может выполняться в одно й и той же допустимой! области X, задаваемой сизтемой неравенств
Ф} (х) ^ 0,} = 1, т .
В этом случае можно построить более компактную вычислительную схему за счёт свёртки (с помощию операции «минимум») всех минимизируемых функций в одну и однократного решения задкчи глобальной оптимизации.
Список; литературы
[1] Стронгин Р.Г. Чисуенные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука, 1978. 239 с.
[2] Евтушенко ЮГ., Ратькин В.А. // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. № И. С. 119-127.
[3] Жиглявский А.А., Жилинсккс А.Г. Методы поиска глобального оптимума. М.: Наука, 19991. 247 с.
[4] Рубан А.И. Глобальная оптимизация методом усреднения координат. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. 302 с.
[5] Сергеев Я.Д., Квасов Д.Е. Диагональные методы глобальной оптимизации. М.: Физмат-лит, 2008. 352 с.
[6] Васильев Ф.П. Методы оптимизации М.: Факториал Пресс, 2009. 824 с.
[7] Пантелеев А.В. Метаэвристические алгоритмы поиска глобального экстремума. М.: МАИ-Принт, 2009. 159 с.
[8] Евтушенко Ю.Г., Посыпкин М.А. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2011. Т. 51. № 8. С. 1376-1389.
