Глобальная оптимизация в пространстве непрерывных и дискретных переменных с упорядоченными возможными значениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Исходя из полученных данных можно сказать, что, в общем, стандартный ГА при известных наилучших настройках работает эффективнее СГА [5], но эти настройки практически никогда не известны. Поэтому СГА предпочтительней стандартного, при этом он работает не намного хуже стандартного. При этом можно рассмотреть вариант выбора настроек для стандартного ГА при помощи самоконфигурирующегося.

Библиографические ссылки

1. Фисак А. В. Исследование эффективности самонастраивающегося генетического алгоритма // Актуальные проблемы авиации и космонавтики : материалы науч. конф. (2012, г. Красноярск) / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. Т. 1. С. 522-523.

2. Митрофанов С. А. О выборе эффективных настроек генетического алгоритма оптимизации параметров классификаторов в задачах распознавания цифры по рукописи // Проспект Свободный-2016 : материалы науч. конф., посвященной году образования Содружества Независимых Государств (15-25 апр. 2016, г. Красноярск) : Сиб. федер. ун-т [Электронный ресурс]. Красноярск, 2016. С. 28-30. URL: http://nocmu.sfu-kras.ru/digest2016/src/title.pdf (дата обращения: 10.08.2016).

3. Об эволюционных алгоритмах решения сложных задач оптимизации / А. В. Гуменникова [и др.] // Вестник СибГАУ. 2003. № 4(10). С. 14-23.

4. Бежитский С. С., Семенкин Е. С., Семенкина О. Э. Гибридный эволюционный алгоритм для задач выбора эффективных вариантов систем управления // Автоматизация. Современные технологии. 2005. № 11. С. 24.

5. Semenkin E. S., Semenkina M. E. Self-configuring Genetic Algorithm with Modified Uniform Crossover Operator // Advances in Swarm Intelligence. Lecture

Notes in Computer Science 7331. Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, 2012. P. 414-421.

References

1. Fisak A. V. [Issledovanie jeffektivnosti samonastraivajushhegosja geneticheskogo algoritma] Aktual'nye problemy aviacii i kosmonavtiki: materialy nauch. konf. (2012, g. Krasnojarsk): Tom 2; Sib. gos. ajerokosmich. un-t. Krasnojarsk, 2012. P. 522-523 (In Russ.).

2. Mitrofanov S. A. [O vybore jeffektivnyh nastroek geneticheskogo algoritma optimizacii parametrov klassifikatorov v zadachah raspoznavanija cifry po rukopisi] "Prospekt Svobodnyj - 2016": materialy nauchnoj konferencii, posvjashhennoj Godu obrazovanija v Sodruzhestve Nezavisimyh Gosudarstv (15-25 aprelja 2016, g. Krasnojarsk): Sib. feder. un-t., g. Krasnojarsk, 2016. P. 28-30. (In Russ.) Available at: URL: http:// nocmu.sfu-kras.ru/digest2016/src/title.pdf (accessed: 10.08.2016).

3. Gumennikova A. V., Emel'yanova M. N., Semenkin E. S., Sopov E. A. [About evolutionary algorithms for solving hard optimization problems]. VestnikSibGAU. 2003, no. 4, рр. 14-23 (In Russ.).

4. [Gibridnyj jevoljucionnyj algoritm dlja zadach vybora jeffektivnyh variantov sistem upravlenija / Bezhitskij S. S., Semenkin E. S., Semenkina O. Je.] Avtomatizacija. Sovremennye tehnologii. 2005. № 11. P. 24. (In Russ.)

5. Semenkin E. S., Semenkina M. E. [Self-configuring Genetic Algorithm with Modified Uniform Crossover Operator] Advances in Swarm Intelligence. Lecture Notes in Computer Science 7331. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012. Pp. 414-421.

© Митрофанов С. А., 2016

УДК 681.513.5; 517.977

ГЛОБАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ С УПОРЯДОЧЕННЫМИ ВОЗМОЖНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

А. С. Михалев*, А. И. Рубан

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26 E-mail: spaming1@yandex.ru

Представлен алгоритм поиска глобального минимума целевой функции со смешанными дискретно-непрерывными переменными при наличии нежестких ограничений типа неравенств. На численном примере показана работоспособность и высокая эффективность предложенного алгоритма.

Ключевые слова: глобальная оптимизация, дискретные переменные, селективное усреднение искомых переменных, ограничения типа неравенств.

Фешетневс^ие чтения. 2016

GLOBAL OPTIMIZATION IN THE SPACE OF CONTINUOUS AND DISCRETE VARIABLES

WITH ORDERED POSSIBLE VALUES

A. S. Mikhalev*, A. I. Rouban

Siberian Federal University 26, Kirenskogo Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: *spaming1@yandex.ru

The paper presents algorithm of finding a global minimum of the objective function with the mixed discrete and continuous variables in the presence of restrictions of the form of inequalities. Efficiency and usability of the given method are described in terms of a numerical example.

Keywords: global optimization, discrete variables, selective averaging of required variables, restriction of the form of inequalities.

Постановка задачи. Решается задача поиска минимума целевой функции, зависящей от смешанных дискретно-непрерывных переменных f (х, у) при наличии ограничений типа неравенств ф( х, у) [1]:

f (х у) - фу (х у) < ^ у -1 т. (1)

Здесь х - (х1, ..., хк) - вектор к непрерывных переменных, у - (у1, ..., ук) - вектор h дискретных переменных. Каждая дискретная переменная у( имеет Г возможных упорядоченных целочисленных значений у(^ , t -1, h . Ограничения неравенства выделяют

(сужают) допустимое множество, внутри которого ведется поиск минимума. Целевая функция может быть многоэкстремальной, недифференцируемой, искаженной помехами. Функции ограничений также могут быть недифференцируемыми и невыпуклыми. Требуется определить положение (х*, у*) глобального минимума целевой функции f (х, у).

Алгоритм. В данной статье для решения задачи смешанной глобальной оптимизации (1) применяется базовый алгоритм метода с использованием селективного усреднения искомых непрерывных переменных [2-5]. В основе метода лежит разнесение во времени пробных и рабочих шагов, равномерное размещение пробных точек в допустимой области, селективное усреднение искомых переменных по результатам экспериментальных данных, полученных в пробных точках, адаптивная перестройка при каждом рабочем шаге размеров прямоугольной области пробных движений.

На начальном этапе поиска задаются центральная точка (х0, у0) и симметричная относительно нее прямоугольная область П0 пробных движений, охватывающая допустимую область или ту ее часть, где расположен искомый глобальный минимум. Для получения пробных точек (х(г), у(г)), i -1, п в прямоугольной области П последовательно генерируются равномерно распределенные точки и из них оставляются п точек, которые удовлетворяют ограничениям неравенства. Генерацию пробных точек по дискретным переменным у (г), i -1, п можно проводить разными

способами. В данной статье для этого используется генератор непрерывно распределенных случайных чисел. Каждому возможному значению дискретной переменной ставится в соответствие интервал возможных значений ее непрерывного аналога. При попадании генерируемого значения в интервал за счет использования функции взаимно однозначного соответствия осуществляется переход от непрерывного значения к дискретному. Таким образом, для дискретных переменных сами значения остаются дискретными. В полученных пробных точках вычисляются минимизируемые функции f (г) = f (х(г), у(г)),

i -1, п . Далее происходит уточнение положения минимума.

Численный пример. Задана целевая функция f (х1, у1) . Дискретная переменная принимает следующие значения: {-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}. Допустимая область задается в виде области между двух кругов ф(х1, у1): 1) х^ + у^ -16 > 0, 2) х1 + у2 -100 < 0. Линии равных уровней минимизируемой функции f (х1, у1), ограничения ф(х1, у1) и первые шаги движения к глобальному минимуму представлены на рис. 1. Условный глобальный экстремум приходится на точку (х*, у*) - (-8; 0).

Ух 12

10

3 6

4 2 О

-г

-4

-6 ■а

-10 -1г.

-12 -10 -0-6-4-2 0 2 4 б 8 10 17 X

Рис. 1. Линии равных уровней минимизируемой функции, допустимая область и первые шаги алгоритма

Комплексной характеристикой процесса поиска глобального минимума является оценка Рправ вероятности попадания получаемых искомых переменных в заданную е окрестность истинного решения. На рис. 2 представлена зависимость оценки вероятности попадания получаемых искомых переменных в заданную е окрестность истинного решения от числа п пробных точек при 100 < п < 500 . Параметры алгоритма минимизации следующие: (х°, у0 ) = (-10; -10), (Ах0, Ду0) = (20; 20), у = 1, q = 2, ядро по минимизируемой функции параболическое со степенью селективности ^ = 50. Параметры исследования: число реализаций N = 101, размер окрестности истинного решения е = 0,0005 . Оценка вероятности попадания найденного решения в окрестность истинного решения равна 1 при п > 150.

100 150 2QO 250 300 350 400 J 50 500 n

Рис 2. Зависимость оценки вероятности попадания найденного решения в окрестность истинного решения от объема выборки n

Библиографические ссылки

1. Bussieck M. R., Pruessner A. Mixed-Integer Nonlinear Programming // SIAG/OPT Newsletter: Views & News. 2003. Pp. 19-22.

2. Rouban A. I. Method for Global Optimization in Continuous Space // AMSE Journals. Series: Advances A. 2003. Vol. 40 (4). Гр. 9-28.

3. Рубан А. И. Глобальная оптимизация методом усреднения координат : моногр. Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2004. 303 с.

4. Кузнецов А. В. Алгоритмы глобальной оптимизации функций в пространстве непрерывных переменных при наличии ограничений-неравенств : дис. ... канд. техн. наук / КГТУ. Красноярск, 2006. 138 с.

5. Рубан А. И. Метод глобальной оптимизации, основанный на селективном усреднении координат при наличии ограничений // Вестник ТГУ. 2013. Вып. 1(22). С. 14-123.

References

1. Bussieck M. R., Pruessner A. Mixed-Integer Nonlinear Programming. In SIAG/OPT Newsletter: Views & News, 2003, pp. 19-22.

2. Rouban A. I. Method for Global Optimization in Continuous Space. AMSE Journals, 2003, Series: Advances A, Vol. 40 (4), pp. 9-28.

3. Rouban A. I. Global'naya optimizatsiya metodom usredneniya koordinat [Global optimization by a method of averaging of coordinates]. Krasnoyarsk, KGTU Publ., 2004. 303 p.

4. Kuznetsov A. V. Algoritmy global'noy optimizatsii funktsiy v prostranstve nepreryvnykh peremennykh pri nilichii ogranicheniy - neravenstv. Dis. kand. tehn. nauk. [Algorithms of global optimization of functions in space of continuous variables in the presence of restrictions -inequalities Cand. Tech. Sci. diss]. Krasnoyarsk, KGTU Publ., 2006. 138 p.

5. Rouban A. I. Metod global'noy optimizatsii, osnovannyy na selektivnom usrednenii koordinat pri nalichii ogranicheniy [Global optimization method based on the selective averaging coordinate with restrictions] // J. Control and Computer Science, 2013, Vol. 1(22), pp. 114-123.

© Михалев А. С., Рубан А. И., 2016

УДК 519.87

АЛГОРИТМ ВЫДЕЛЕНИЯ СУЩЕСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ОПТИМИЗАЦИИ ВЕКТОРА С/

Е. Д. Михов

Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79 E-mail: edmihov@mail.ru

Предложен алгоритм выделения наиболее информативных, существенных переменных в задачах восстановления функции по результатам наблюдений. Данный алгоритм может использоваться при проектировании космических аппаратов.

Ключевые слова: существенные переменные, непараметрическая модель, непараметрические алгоритмы, задача идентификации.

1 Работа была поддержана министерством образования. Соглашение: 14.578.21.0021. Уникальный идентификатор: КРМЕР157814Х0021.