Гладкость решений (разделимость) нелинейного стационарного уравнения Шредингера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИИ (РАЗДЕЛИМОСТЬ) НЕЛИНЕЙНОГО СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА

© Биргебаев А.*

Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Республика Казахстан, г. Алматы

Работа включает исследования оператора Шредингера методами функционального анализа и доказательство теоремы о существовании решений нелинейного дифференциального уравнения соответствующего оператору Шредингера.

В этой работе рассматривается гладкость решений нелинейного уравнения:

Lu = -Au + q(x, u)u = f (x) e L2(Rm) (0.1)

В § 1-2 для нелинейного уравнения Штурма-Лиувилля найдены достаточные условия, обеспечивающие наличие оценки коэрцитивности, а для первой производной решения получены оценки весовых норм. В § 3-4 обобщены результаты § 1-2 для уравнения Шредингера в случае т =3 .

Приведем один результат для уравнения Штурма-Лиувилля.

Теорема 0.I. Пусть выполнены следующие условия: a) q(x, y) > S > 0; б) q(x, y) - непрерывная функция по совокупности переменных B R2; в)

sup sup C01 < A q(x'Co) (ж, где А - любая конечная величина.

[x-n)<i Co-Ci|<a 1 1 q(x, C1)

Тогда для любого f(x) e L2(Rm) существует решение y(x) уравнения: Ly = - y"(x) + q( x, y) y = f обладающее квадратично суммируемой второй производной, т.е.:

y'(x) e L2(Rm)

Как мы увидим в дальнейшем (в §§ 2, 4) такие результаты имеют место для широкого класса нелинейных операторов.

Обозначения:

Rm - евклидово m-мерное вещественное пространство точек:

* Профессор кафедры Теории и методики обучения математике, кандидат физико-математических наук.

X — х2,...,хт)

Введем следующие обозначения: О - замыкание О, где О - открытое множество в Ят, ||-||р О - норма элемента Ьр (О). При О = Ят вместо ||-||р О будем писать ||-||р, еслир = 2 в обозначениях ||-||рО и ||-||ропускаем р.

д\а\

D" = -

дх"1 ...дх^т

а = (аь ..., ат) мультииндекс, |а| = а1 + а2 + ... + ат. С1; С2, ... - различные постоянные, точное значение которых нас не интересует.

^ 1. Существование решения

В этом параграфе рассматривается уравнение:

Ьу — -У'(х) + д(х,у)у — /(х) е ¿2 (Я) (1)

где Я = (-да, да).

Функцию у е Ь2(Я) называем слабым решением уравнения (1), если существует последовательность {уи} с W21 (Я) п W22loo (Я) такая, что:

¡Уп -y\\a ^0, \\Lyn - f\\L ^0,n ^да

11 a2,loc( R) " 2,loc (R)

Говорят, что последовательность {пп }да основных функций из Сда (Rm) сходится к I в Rm, если:

а) для любого компакта K с Rm найдется такой номер N ,что цп(x) = 1 при всех x e K и п > N.

б) функции {пп} равномерно ограничены в Rm: \рп (x)| < 1, x e Rm,

n = 1,2,... [8].

Лемма I.I. Пусть q(x, y) >8 > 0 и непрерывна по обоим аргументам в R2 , тогда для любого f e L2(R) существует слабое, решение уравнения (1) в пространстве W21(R).

Доказательство. Так как, по предположению, функция q(x, y) снизу ограничена, то, не нарушая общности рассуждений, можно предполагать, что выполняется условие q(x, y) >1.

Сперва мы займемся доказательством существования решения первой краевой задачи:

„ (q( x, у, ) -1) ущ

Ln, Уп, = -Уп, + Уп, +-¡j-¡j- = f4n (2)

1 + e(q)(x,Уп,) -1) + e\\b(x,y ) ) v 7

^ (+а) = (а) = 0 (3)

где [- ап, ап ]- 5пррпп, а Ь(х, уПе) = (д(х, ущ) -1)у^ в пространстве

Ко [- ап, ап];

^220 [- ап, ап ]-пространство функций 7 еЖ2г и г(-ап) = 2(ап) = 0.

Задачу (2)-(3) мы сведем к эквивалентному интегральному уравнению, к которому потом применим принцип Шаудера [9].

Через Ь0 обозначим оператор, определенный на ^220 [- ап, ап ] равенством:

Ьо у = - у"( х) + у( х).

В силу известных теорем для оператора Штурма-Лиувилля существует вполне непрерывный обратный оператор Ьо'1, определенный во всем пространстве Ь2 [- ап, ап ]. Нам нужна Лемма.

1.2. .Задача (2)-(3) эквивалентна интегральному уравнению:

(д( х, Ь- ^)-1)Ь-о1^ =-■-:-;-""-¡¡Т + Пп

1 + е(д(х, Ьо х„ш) -1) + е\\Ь(х,Ц х„ш )||2 (4)

2п„ , /Пп 6 Ь2 [- ап , ап ]

Доказательство очевидно.

Обозначим через А оператор, действующий по следующей формуле:

А( 7) =-^^ - 1)Ь-'2 2-+ п

1 + е(д(х,Ь-12) -1) + ф(х, Ь-1г)|| [ ]

II 112,[-ап ,ап ]

Далее обозначим:

5(0;N) = Ь2(-ап,ап):||3||2 <N =

где 3 = 2 - /пп. Рассмотрим на этом шаре оператор:

А(3) = А(2) - /пп = А(3 + /пп) - /пп = = (ч( х, ь-1 (3+/Пп)) -1) Ь0'(3 + /Пп)

. II . ||2

1 + е(д(х, Ь- (3 + /пп)) -1) + ф(х, Ь-1 (3 + /Пп )) I ( )

II И2,(-ап ,ап )

Очевидно» что если 00 - неподвижная точка оператора А» то 00 + /п„ -неподвижная точка оператора А. Поэтому в дальнейшем вместо оператора А достаточно рассматривать А0.

Докажем, что А0 отображает шар £(0; N) е Ц [- ап, ап ] в себе. Пусть

0е £ (0; N).

Рассмотрим два случая:

II , , II2 1

I. \\(д(х, Ц1(0 + /п„)) -1)Ц'(0 + /Пп )2( ) < N = -=.

11 |12'( апа)

Тогда:

14.09)112 =

(д( x, Ц1 г)-1) I-1 г

1 + е(д(х,Ь01г) -1) + е\\Ь(х,Ц1 г)||

2,(-ап ,ап )

< 11(9(х, I-1 (0 + /Пп)) - 1)Ц*(0 + /Пп )|| < N = 11 11 у1е

2. |(?( х, Ц (0 + /пп)) -1) Ц-1 )(0 + /п., | > N. Тогда:

||(9( х, Ц1(9 + /Пп)) -1) Ц01(0 + /пп)[

Ай(3\ <-

2,(-ап ,ап )

II 1 1 1|2

\\(д( х, Ц-1 (0 + /1п)) -1)!-1 (0 + /п ) I ( )

11 |12,(-ап ,ап )

1 1 1

ф(х, 1-40 + /п)) -1)Ц'(0 + /п )|1 ) \ л\'

11 |12,(-ап ,ап )

Следовательно:

14(0)1

2,(-ап ,ап )

< N, V9е £(0;Ы)

(5)

Покажем теперь, что Ао - вполне непрерывный оператор на £(0; N). Непрерывность очевидна. Далее, в силу теоремы Рисса, достаточно доказать, что множество функций {а00 : 0 е £(0; N)} равномерно ограничено и выполняется соотношение:

Нш (Л(0))(х + к) + (40(0))(х) а)

= 0

равномерно по 0 е £.

2

Вследствие оценки (5) множество функций {А0 (3): 3 е £ (0; N)} равномерно ограничено.

В силу непрерывности д(х, у)по совокупности переменных и свойств оператора Ь0-1 соотношение:

и и2

||(Л (3)(х + И) - Ао (3))(х)||2,(-^д) ^ 0 при И ^ 0 равномерно по 3 е £(0; N).

Таким образом, оператор Ао вполне непрерывен и отображает £ (0; N) в себе. Следовательно, согласно принципу Шаудера; интегральное уравнение (4) имеет в шаре £ (0; N) по крайней мере одно решение. Отсюда в силу леммы 1.2 следует, что существует решение задачи (2)-(3), принадлежащее пространству №22'.

Далее у оценивается сверху константой, не зависящей от п, е.

II II№21[-ап ,ап ]

Для доказательства этого факта возьмем линейный оператор:

1 пе У = У'( х) + (1 +--¡¡2") У( х),

1 + е(~(х) -1) + е (д(х,уп ) -1)у,

"■> II 2

определенный на множестве №220 (-ап, ап), где х) = д(х, уп ), а уп - решение задачи (2)-(3) с правой частью /цп. Составим скалярное произведение (¿пе, уп , уп ^. Интегрируя по частям и учитывая, что внеинтеграль-ные члены исчезают в силу (3), получим:

II II /2 Г| |2 1/

у^ , < 2' (\ЩсыУ2.

II е II№2 [-ап ,ап ] Л 1 1

Положим:

Тогда:

да

2 V

2 , Ч /2

С = 212( ||/\2 с1х)

УпЛ№ [-ап ,ап ]- С (6)

Выберем какую-нибудь последовательность {уп } решений, принадлежащих ограниченному множеству {у }, так что:

V пек >

Ы|,К,а„]- С (7)

где ек ^ 0 при к ^ 0.

В силу (7) из последовательности {у } можно выделить подпоследо-

V пек >

вательность, снова ее обозначим через {уп }, что:

(8)

у ^ у слабо в №'(-а , а ),

•У пк п 2 V п> п-"

у ^ у слабо в Ь2(-а ,а ).

•У пек п 2 V п> п/

Из (7) имеем:

||у II 1 - С и нетрудно видеть, что уп удовлетворяет уравнениям:

1 пу п = - х)+q(x, уп) у п = ,

уп(-а п) = уп(а п) =0.

Далее, каждую у п продолжим нулем вне [- ап, ап ], продолжение обозначим через ~у .

При таком продолжении мы получим элементы ^(Я), нормы кото -рых ограничены:

11~ II - с

II пИ1 №'(Я)

Поэтому из последовательности ~п. можно выделить такую подпоследовательность ~ , что:

Ук ^ у слабо в №2'(Я)

Упк ^ у слабо в ^2Лос (Я) (9)

Причем:

IWUw < C (10)

Пусть [а, 0] - произвольный фиксированный сегмент в R . Тогда для любого s)0 существует такое число N, что при к = N (а, 0) е supp ~ и в силу (8):

lk~ - /I <£

II Упк У II 2,(а,в)

Отсюда и из (9) получаем, что y(x) является слабым решением уравнения (1). Лемма доказана.

§ 2. Гладкость решения

В данном параграфе покажем, что все решения из W2(R) будут элементами из W22 (R), как только известная в ней потенциальная функция обладает некоторыми свойствами.

Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия;

a) q(x, y) >£)0; б) q(x, y) - непрерывная функция по совокупности

переменных в R2; в) sup sup |с0| < A q(Х' Co) (да, где А - любая

[x-v)<i Co-Ci|<a q(x, C1)

конечная величина. Тогда для любого / е L2 (R) существует решение y( x) е L2 (R) уравнения (1), такое, что y"( x) е L2 (R). Теорема 2.2. Пусть выполнены условия:

a) q(x, y) >£)0; б) q(x, y) непрерывны по совокупности переменных в R2; в) sup sup где U(x, C1) = inf (d- + fq(n,C2)dn), A -

xeR |C1 -C2 <A |C2 <A U (x,c2) d)0 J

-t <10

любая конечная величина. Тогда для любого / е L2 (R) существует решение y( x) е L2(R) уравнения (1) такое, что y"( x) е L2(R).

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия а)-в) теоремы 2.1 и r(x) - непрерывная функция, такая что sup r(y) (да.

x- y| <1 r(x)

Если для любого к > 0 величина:

B = sup sup sup

x&R |C\<K 0(n<mT1(x,C1)

n~p j|r(t)|°dt

Ив

t - x <n

конечна, тогда для любого / е Ь2(К) функция:

— в V

г(х)—у(х) е Ь2 (К), (2 < в<«>, р = — -, т(х, С1) = (д(х, С1)/'), ах 2

здесьу(х) - решение уравнения (1) из Ь2 (К).

Доказательство теорем 2.1-2.3. При любой функции / е Ь2(К) в силу леммы 1.1 для уравнения существует решение у(х) такое, что у(х) е Ж2(К). Следовательно, по теореме вложения Соболева [10], у(х) е С(К). Тогда согласно условию б):

Ч(х, у(х)) е С1ос (К) (11)

Пустьу0(х) - слабое решение уравнения (1) с правой частью / е Ь2 (К). Так как у0 (х) е Ж (К), то:

Г —у 0

у0 (О - У0 (П) ^ — —х

п ах

По неравенству Буняковского и в силу (10), имеем:

|у„(о - у„(п)| < $—пЙ|/||2,К (12)

Положим ~(х) = д(х,у0(х)) и обозначим через Ь замыкание в норме Ь2 оператора, заданного на С0™ (К) равенством:

Ь0 у = - у"( х) + ~(х) у

Далее нам нужна

Лемма 2.1. Оператор Ь самосопряжен и положительно определен.

Доказательство. Положительная определенность Ь следует из условия а) теоремы 2.1. Самосопряженность вытекает из (2) и из результатов работы [2]. Лемма доказана.

Теперь, полагая:

уС(') = С2,у„(п) = С„А = 2/2 >л[лЩ~2

из

(12) получим С2 — С Л < А . Отсюда, в силу условий а)-в) теоремы 2.1,

для оператора Ь выполнены все условия теоремы 3, 7. Следовательно оператор Ь разделим, т.е.

И2 +11~(X)у||2 < С1у\\ + ||у|| 2)

где С не зависит от у е В(Ь), где Б(-) - область определения, а ||-|| норма в Ь2(П).

Нам остается показать, что у0(х) е Б(Ь). Допустим противное, что у0(х) е Б(Ь). В силу леммы 2.1, существует у1(х) еЖ21(Л) такое, что у1(х) = Ь-/0. Так что, по предположению, у0(х) е ^2(Л) является решением уравнения (1) с правой частью £0(х), тогда:

Ь~У2 = 0 У2 = У1 - У0 е Ь2(К).

Для завершения доказательства теоремы нужна

Лемма 2.2. Пусть выполнены условия а) и б) теоремы 2.1. Тогда уравнение Ьу = 0 не имеет решения у(х) е Ь2(К).

Доказательство. Хорошо известно, что если ~(х) > 8)0, то решение уравнения у"(х) = д(х)у экспоненциально растет как при х ^ -да, так и при х ^ +да. Поэтому это решение не может принадлежать пространству Ь2(К). Лемма доказана.

Из этой леммы получаем, что у0(х) = У;(х). Получили противоречие.

Теорема 2.1. доказана полностью.

Аналогично доказываются теоремы 2.2, 2.3.

^ 3. Нелинейный оператор типа Шредингера в Ь2 (К3)

Рассмотрим теперь уравнение:

-Ди + д(х, и)и = / (х) (13)

в пространстве Ь2(К3) .

Лемма 3.1. Пусть д(х,и) >8)0 и непрерывна по обоим аргументам в К2, тогда для любого / е Ь3 (К3 ) существует слабое решение уравнения (13) в пространстве (К3) /

Эта лемма доказывается, как и лемма 1.1.

Лемма 3.2. Пусть д(х,и) >8)0 и непрерывна по обоим аргументам в К2, тогда для любого / е Ь2(К3) существует слабое решение уравнения (13) и справедливо неравенство:

и

к с*) +1 пи^ < чДь^ (14)

в котором постоянная С не зависит от и и / Доказательство. Пусть:

Гд( х, и), если д( х, и) < Ж, ^^ (х, и) = <!

[ N, если д(х, и) > Ж

Существование решения уравнения:

-Ди + (х, и)и = /ж (15)

следует из леммы 3.1.

Пусть их е Ж} (Я3) - решение уравнения (15). Рассмотрим уравнение:

4 = /ж (16)

где Ь =-Д + Cx), (х) = Cx, иж.)

Так как дЖ (х, ) ограничены и (х), то по теореме (3) [2] оператор Ь самосопряжен и уравнение (16) имеет единственное решение, которое

Известно, если д,(х) <д2(х), то £(ху)>0 и б2(х,у)>0, и 01(х,У) >в^х,у), где 01 (х, у) и С2(х, у) - функции Грина операторов -Д+д1(х), -Д+д2(х).

Пусть (х, у) - функция Грина оператора Ь, тогда из вышеуказанного факта следует, что:

вж (х, у) < в0(х, у) (17)

где 00( х, у) - Функция Грина оператора -Д +1. Отсюда и из (17) следует, что:

их(х)=

I вж (х, у) / (у)йу

<

Я

I вж (х, у)/(у¥у < I в0(х, у)/(у)|dy (18)

Известно, что оператор:

(в/)(х) = и0( х) = I ва( х, у) / (у)| <Лу

совпадает с иЖ.

действует из L2(R3) в W22(R3). Поэтому, в силу теорем вложения Соболева [10], имеем:

\\UN (x)||L„(R3) < C<>|A\Ll{R3) (19)

где Со не зависит от N и/ С другой стороны имеет место оценка:

\\UN (x)|wi(R') < CJ/\\b1iR3) (20)

в которой C1 не зависит от N и/.

Действительно, составим скалярное произведение (buN,иN). Интегрируя по частям, получим (20). Из (19) и (20) будем иметь:

HUN (x)L„(R3) +1 WLjtf) < ^И (21)

где C2 = max(C1, C2). Переходя к пределу при N ^ даполучим:

Hu(x)L.(R3) +1 \u(x)lW21(R3) < C2||/Hl2(R3)

Нетрудно проверить, что u(x) является слабым решением уравнения (13) (см. лемму II). Лемма доказана.

§ 4. Гладкость решения

Теорема 4.1. Пусть выполнены следующие условия: а) q(x,y) >8)0; б) q(x, y) - непрерывная функция по совокупности переменных в R2 и

sup sup q(xC1) (да, где А - любая конечная величина. Тогда: а) для

x-y| <1 |C1-C2 <A q( y, C2) C1< A

любой правой части / е L2(R3) существует решение u(x) уравнения (13) такое, что Ди е L2(R3); б) пусть r(x) - непрерывная функция в R3, если для любого к)0 величина:

B = sup sup sup

xsR \C\<K 0{tf<mTl (x,C1)

np j |r(t)| udt

|t - x| (n

конечна, тогда:

r (x)D 2u (x) = Le(R3),

в V

(2 <в(», p = -в, m(x Q = qx,c,))'2.

Введем функцию:

q*(t,C0) = inf\dd > inf [q(x,C0)dx\

I (t). J

где Fds)(t) есть совокупность всех компактных подмножеств куба вл (t), удовлетворяющих неравенству:

mese <sdn, se (0,1). Теорема 4.2. Пусть выполнены условия а), б) теоремы 4.1 и sup

x- У <1

sup q*(x, Co) (да, обозначим m(x, C0) = q*(x, C0), а через Ap (x, C0) -Co-C|<a qs(x,Cj)

функцию, определенную равенством:

Ap(x,Co) = m"1-в(x,Co) sup sup n~P fq(t,C1)dt,

|Ci|<K 0(n(m-1(x,C1) |x-t|(n

3

где к - любая конечная величина, в = 2(--1), p - любое число из ин-

Р

тервала (1.2). Тогда, если при некотором p e (1,2) величина:

Ap = sup sup Ap(x, C0)

C |<K xeR3

конечна, то для любого f (x) e L2(R3)существует решение u(x) e L2(R3) уравнения (13), такое, что Au e L2(R3).

Теоремы 4.1, 4.2 доказываются так же, как и теоремы 2.1-2.3, на основании результатов работы [7].

Список литературы:

1 Everitt W.H., Xiertz M. Some propereties of certein operators // Proc. London Math. Soc. - 1971. - № 23 (3). - Р. 301-304.

2. Everitt W.N., Yiertz M. Some ineqalies assocated with certein differential equations // Math. Z. - 1972. - № 126. - Р. 308-326.

3. Everitt W.N., Yiertz M. On some properties of the rowers of a formally self-adjoins differential expressions // Proc. London Math. Soc. - 1972. - 24 (3). - Р. 149-170.

4. Everitt W.N., Yiertz M. On some properties of the prower-ties of a formally self-adjoins differential expressions // Proc. London Math. Soc. - 1972. -Р. 24(3). - Р. 756-768.

5. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости // Докл. АН СССР. - 1973. -Т. 213, № 5. - С. 1009-1011.

6. Отелбаев М. О разделимости эллиптических операторов // Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 234, № 3. - С. 540-543.

7. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rm // Труды МИАН. - 1983.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1973.

9. Треногий В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука, 1980.

10. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - Л.: ЛГУ, 1952.

11. Отелбаев М. Об условиях самосопряженности оператора Шредин-гера с операторным потенциалом // Укр. мат. ж. - 1976. - Т. 280, № 6.

САМОВОССТАНАВЛИВАЕМЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ РЕСУРС

© Марсов У.С.

Украина, г. Симферополь

Представлен метод расчета квантовых процессов, происходящих в атомах молекул при генерации тепловой энергии наиболее распространенных топлив при их горении, а именно: водорода, метана, дизельного топлива (ДТ) и химически чистого угля (ХЧУ), то есть углерода, приведшей к выявлению - самовосстанавливаемому энергетическому ресурсу.

Известно, что наличие энергии является одним из необходимых условий для решения практически любой задачи, которая неизменно сталкивается с энергетической проблемой.

Данная работа связана с решением этой проблемы в области отопительных систем зданий различного назначения, в том числе и жилых помещений, а также в двигателях транспортных средств и стационарных средствах снабженных двигателями.