Гипертермический эффект в магнитных наночастицах при слабых ориентационных флуктуациях Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2024

• ФИЗИКА •

Вып. 1

УДК 538.95+541.18

PACS 61.46.+w, 75.20.-g, 76.50.+g

Гипертермический эффект в магнитных наночастицах при слабых ориентационных флуктуациях

В. И. Степанов

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия

stepanov@icmm. га

Решена задача об установившемся движении магнито-жесткой частицы в переменном поле произвольной амплитуды и частоты в пределе слабых ориентационных флуктуаций (нулевой температуры или большого объема частицы). Из условия разрешимости уравнения Фок-кера-Планка в пределе низких температур получено корректное решение для намагниченности частицы. Показано, что поглощение энергии за период поля (площадь петли динамического гистерезиса намагниченности) в этом случае всегда выше, чем для петли с конечной температурой. Иными словами, для магнитожестких частиц тепловые флуктуации всегда снижают их тепловыделение. Данный вывод является важным для метода магнитной гипертермии.

Ключевые слова: магнитные наночастицы; магнитная гипертермия; суперпарамагнетизм

Поступила в редакцию 20.10.2023; после рецензии 29.01.2024; принята к опубликованию 08.02.2024

Hyperthermic effect in magnetic nanoparticles in the presence of weak orientation fluctuations

V. I. Stepanov

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, Russia stepanov@icmm. ru

The problem of steady-state oscillation of a magnetically rigid particle in an AC field of arbitrary amplitude and frequency in the presence of weak orientation fluctuations (at zero temperature or for a large particle volume) has been solved. From the condition of solvability of the Fokker-Planck equation at low temperatures, a correct solution for the magnetization of the particle has been obtained. It is shown that the energy absorption over one period of the field (the area of the dynamic hysteresis loop of magnetization) in this case is always higher than for a loop with finite temperature. In other words, for magnetically rigid particles, thermal fluctuations always reduce their heat generation. This conclusion is important for the method of magnetic hyperthermia.

Keywords: magnetic nanoparticles; magnetic hyperthermia; superparamagnetism

Received 20 October 2023; revised 29 January 2024; accepted 08 February 2024 doi: 10.17072/1994-3598-2024-1-43-48

© Степанов В. И., 2024

распространяется на условиях лицензии

Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0).

1. Введение

Магнитная гипертермия использует в качестве источника тепла суспензии магнитных однодомен-ных частиц. Магнитные наночастицы вводятся в организм пациента и затем подвергаются воздействию переменного магнитного поля, что приводит к их нагреванию. Это нагревание может быть использовано для лечения определенных заболеваний, таких как рак, путем уничтожения опухоли или инактивации патогенных клеток. В ходе развития этого метода, который сейчас переходит из лаборатории в клиническую практику, отрабатывается эффективность нагрева в зависимости от размера, типа и функционализации частиц, а также от частоты и амплитуды поля [1, 2].

Теоретической основой для всех видов гипертермии является магнитодинамика мелких частиц. Происходящее нагревание, независимо от состояния матрицы, может быть сформулировано в терминах динамического магнитного гистерезиса, где площадь петли А представляет собой энергию, рассеиваемую частицей за период поля, а произведение тА пропорционально удельной потере энергии в этом процессе. В простом приближении тепло, генерируемое частицей, равно теплу, передаваемому ее окружению.

Детали происходящего динамического гистерезиса (ДГ) в значительной степени зависят от конкретной магнитодинамики частицы. В настоящей работе в качестве модельной среды для изучения ДГ рассматривается разбавленная суспензия одно-доменных магнитожестких частиц в ньютоновской жидкости. При малых амплитудах поля динамика частицы в суспензии описывается флуктуацион-ным Броуновским процессом с характерным временем релаксации тв, пропорциональным температуре. Розенцвейгом в работе [3] было предложено феноменологическое расширение теории броуновской восприимчивости наночастиц на случай произвольных полей. Однако при таком подходе не учитывалось влияние магнитного поля на время поворота частицы. Между тем именно магнитное поле, при больших его значениях, формирует характерное время отклика частицы т. Время т0, в отличие от тв , не зависит от температуры, поэтому соответствующий процесс является атермическим. Кинетический подход на основе уравнения Фокке-ра-Планка позволяет единым образом описать ДГ сурерпарамагнитной частицы во всем диапазоне полей и температур [4, 5]. В работе [5] нами было показано, что для полей большой амплитуды, когда магнитоориентационные флуктуации отходят на второй план, кинетический подход радикальным образом поправляет феноменологическую теорию Розенцвейга. Однако в работе [5] рассмотрение не было доведено до логического конца, а именно корректного вывода из уравнения Фокке-

ра-Планка магнитодинамики частицы в атермиче-ском процессе, т.е. в случае полного отсутствия флуктуаций. Задача предельного перехода к нулевой температуре оказалась не столь тривиальной, как представлялась в [5]. Настоящая статья призвана заполнить этот пробел. План статьи следующий: в разделе 2 для единства изложения повторяется полное решение задачи в рамках кинетического подхода из работы [5]. Раздел 3 посвящен корректному вычислению атермического предела из уравнения Фоккера-Планка, а в разделе 4 обсуждается соответствующий этому пределу гипертермический эффект с точки зрения оптимизации процесса.

2. Основные уравнения

Рассмотрим однодоменную частицу, находящуюся в суспензии в немагнитной жидкости и подвергающуюся внешнему полю Н. Зависимая от ориентации частицы часть энергии определяется следующим образом:

П = -цН соз$ ,

(1)

где 3 - угол между полем и магнитным моментом частицы. Величина последнего определяется формулой / = М<Ут, где MS - намагниченность ферромагнетика а Vm - объем магнитного «ядра» частицы. При наличии тепловых флуктуаций магнитное состояние частицы описывается функцией распределения ориентации W(3,t), которая подчиняется уравнению Фоккера-Планка

2т

1 д

дW

д( &1п3д3

. „, W dU дW

81П$|--+-

' кТ d3 д3

(2)

здесь мы представляем характерное время ориен-тационной релаксации двумя способами, которые полезны для дальнейших рассуждений:

тв = 3]У /кТ = £т0,

т0 = 3]У / цН, % = цН / кТ,

(3)

где ] - вязкость жидкости, а У - полный «гидродинамический» объем частицы, учитывающий наличие у нее немагнитного поверхностного слоя и внешней оболочки. Для крупных частиц размером 50 нм величинатв ~ 10-3 с в воде при комнатной температуре. Соответственно, при £ = 10 время т0 на порядок меньше тв.

Статистические свойства равновесия ансамбля частиц следуют из распределения Гиббса

W (3) = W0 = г-1 ехр(уН соэ3/ кТ),

С+1

1 = J ехр[уН соБ$ / кТ ] d (со&9),

(4)

и, следовательно, все равновесные моменты (Р/)0 полиномов Лежандра Р1(со$,3) могут быть найдены

аналитически, например, {Р/)о =Ь(ё) является функцией Ланжевена.

Для неравновесной ситуации функция распределения сохраняет осевую симметрию, задаваемую полем, поэтому также может быть представлена в виде ряда по полиномам Лежандра

W (x, t) = ¿Z 1,(21 + !)(р,)р, (*)■

(5)

Здесь средние {Р), в отличии от {Р/)о, являются функциями времени. Подставляя это разложение в уравнение (2) и интегрируя по ориентациям частицах, получаем трехдиагональную систему уравнений для средних полиномов Лежандра:

2тв d l (l +1) dt

<P> + (P) = ^«P-i)-(P*i))> (6)

где 1=1, 2, 3... и {Ро) = 1.

Мы рассматриваем диссипацию в неравновесной ситуации, вызванную линейно поляризованным полем И(0 = Н0 cos®t. Чтобы найти стационарное осциллирующее решение, все {Р) в уравнении (6) представим в виде фурье-ряда, частоты которого кратны о:

<P > = Z Qk (с) -

(7)

Таким образом, уравнение (6) превращается в однородное трехдиагональное матричное рекуррентное соотношение [9]:

l (l +1)

+1

Qk - (Q> -i,k-1+Q>

(8)

Ql+1,k-1 Ql+1,k+1 ) 0

A = -цф( P1 )dH = n/uHQ

(9)

рей мощности или удельным поглощением), связана с площадью петли Л выражением

К = С Л = и^ИоЖ = - сМИоЛп, (10) 2ж 2 ж

где мы вводим безразмерную площадь петли, приведенную к единице; выбор коэффициента позволяет учесть тот факт, что при измерении в единицах ¿иН0 максимальная возможная площадь петли равна Л = 4. Результаты частотной зависимости расчета Лп для некоторых значений зависящего от

температуры параметра ¿0 представлены на рис. 1 (кривые 1-4). Характерной особенностью этих кривых является наличие релаксационного максимума, положение и высота которого определяется параметром ¿0.

здесь ^Ъ - безразмерный параметр, характеризующий отношение амплитуды поля Но к температуре, в соответствии с уравнением (3). Аналогично, через амплитудное значение поля в уравнении (8) определяется и атермическое время релаксации го. Граничными условиями системы (8) являются Q00 = 1 и Qok = о при k Ф 0

Решая уравнение (8) методом матричной прогонки [6], вычислим набор амплитуд Qlk с любой желаемой точностью. Предметом нашего интереса являются зависимости амплитуды Q11 от безразмерных параметров ^0 и сото.

Потеря энергии за один цикл в каждой частице определяется площадью петли динамического гистерезиса

°-2 штп 0.3

О

Рис. 1. Частотная зависимость нормализованной площади петли для ¿0 = 1 (1), 5 (2), 10 (3) и 50 (4). Огибающая кривая (5) соответствует атермическому пределу ¿о=да

Во флуктуационном пределе ¿0 << 1 имеет место теория линейного отклика, где вместо бесконечной цепочки уравнений (6) достаточно рассмотреть одно уравнение, выражающее Броуновский механизм релаксации в чистом виде

d

1

тв^~ < P > + < P > = -#(t) -

dt

3

(11)

Из уравнения (11) для площади петли ДГ получаем

%0ств

ТТ

A = - цН 0¡fCT ~ Х"(с) Н

3 1 + а> т2

(12)

которая содержит только мнимую компоненту амплитуды 2и. Потеря мощности, рассчитанная на единицу объема (также называемая удельной поте-

где X' - диссипативная компонента линейной динамической восприимчивости частицы. Как показывает уравнение (12), площадь петли ДГ достигает максимума при сотв ~1. В пределе высокой частоты Л убывает ж (атв/ф0)~1 = (от0)-1; соответственно, удельная потеря мощности насыщается на не зависящем от температуры уровне

k=-да

П. =

(уНр)2 = цН 0 18]У 6т0

(13)

3. Атермический предел

В этом случае также доступно аналитическое представление для (РД Условие ¿0 >> 1 означает слабое влияние тепловых флуктуаций на динамику частицы. Скорость ее вращения определяется из баланса моментов магнитных и вязких сил, действующих на частицу, и выражается уравнением

d „ 1 . „

— 3 =--.1п3со.®/.

dt 2т0

(14)

Траектория вращательного движения частицы, полученная путем интегрирования уравнения (14), может быть записана для ориентационной координаты х(?) = со. 3(0 в виде

х0 + taпh

х = -

siпаt 2а т

1 + х0 taпh

.1п аt

2а т

(15)

где Х0 - начальная ориентация частицы. Параметр х0 является интегралом движения: его значение не меняется при периодическом вращении магнитного момента частицы по замкнутой орбите

х - tanh

s1паt 2ат0

1 - х tanh

s1паt 2ат0

(16)

тем самым параметр х0 отличает одну возможную орбиту частицы от других. Естественным образом возникает вопрос о функции распределения /х0). Зная ее, можно найти временную эволюцию средней ориентации магнитного момента частицы

(со.3(0) =|х(^х0)/(х0^х0 .

(17)

со.

3^)) = ■

.1п(аt) | .1п(аt)

со.И!5^ |-1

(18)

Разложив это выражение численно в ряд Фурье по а, можно найти амплитуду первой гармоники при любой частоте. Предел агь >> 1 доступен аналитически в виде асимптотического ряда:

вг'г =

1

1

3ат0 120(ат0)3

+ ....

(19)

Зависимость площади петли гистерезиса, вычисленной на основании уравнения (18), изображена на рис.1 пунктирной линией. Как видно, она не является огибающей семейства кривых с растущим параметром ¿0 и, следовательно, уравнение (18) нельзя считать корректным решением задачи динамического гистерезиса в отсутствие флуктуаций. Для нахождения правильного выражения для функции распределения /(хо) вновь обратимся к уравнению Фоккера-Планка (2), записав его в виде

2т- £ + дх [0 - х2)»' ] =

дt дх1

_д_ ¿0 дх

•1 - х 2) £

дх

(20)

Здесь флуктуационный член уравнения вынесен в правую часть с малым параметром ¡/¿0. Легко проверить, что левая часть уравнения (20) тождественно обращается в 0 при подстановке решения в виде

W (х) = / (х0)

йх0 (х, t) дх

(21)

Будем называть эту функцию распределением орбит по ориентациям, подразумевая под хо ориентацию частицы в начале каждого цикла установившегося движения. В работе [5] мы предполагали, что /(х0), являясь изотропной функцией в начальный момент времени, остается таковой и в последующем. Фактически это означает отсутствие переходного процесса в системе; стационарный режим устанавливается сразу в момент включения поля. Такое предположение дает следующий результат [5]:

где / - произвольная функция распределения, а для временной и пространственной зависимости переменной х0 используется формула (16). Фактически уравнение (20) без правой части и уравнение вращательной динамики частицы (14) в этом случае эквивалентны. Условие разрешимости полного уравнения (20) с правой частью накладывает ограничение на функцию / и позволяет найти ее в явном виде. Сравним выражения под знаком пространственной производной в левой и правой частях уравнения (20). Первое является конвективным переносом функции распределения потоком, а второе выражает диффузионный перенос в поперечном потоку направлении. Оказывается, условием разрешимости уравнения Фоккера-Планка с малым параметром при операторе Лапласа является отсутствие результирующего диффузионного переноса W при движении по замкнутой траектории [7]. В нашем случае это условие выражается в виде равенства нулю интеграла за период

,• „ дW

[ (1 - х2)-dt = 0.

3 Яг

дх

(22)

Порядок вычисления в левой части (22) следующий: дифференцируем W в виде (21) по координа-

х0

0

0

те х, затем всюду заменяем ее по формуле (15) и полученное выражение интегрируем по периоду:

| (1 - х^)2)

д/ ( дх1

дх0 Ч дх

,д2 х0

| + /- ^

дх2

dt = 0.

В результате получим дифференциальное уравнение первого порядка для искомой функции распределения

1 - х02 + (1 + х02) I

(1 >

дх0

+ 2 х0

Решая его, находим: / (со. 30) =

(1- -;

/ = 0.

С

1

ч а

-1

со. 30 + 10

(23)

+1

Здесь 10 - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, С - нормировочная константа:

С = 1

1

-1

2 (

агсап

ат0

-1 10

ат

(24)

+1

| со. 3) = "

^И) |!

ат0

ат0

-С

.1п(аt)

ат0

со.И| ^^ 110

ат

ат

. (25)

-1

Разложив это выражение численно в ряд Фурье по а, можно найти амплитуду первой гармоники при любой частоте. Предел агь >> 1 доступен аналитически в виде асимптотического ряда:

вг'г =

1

1

3ат0 360(ат0)

(26)

Отличие ряда (26) от (19) начинается со второго члена разложения. Зависимость площади петли гистерезиса, вычисленной на основании уравнения (23), изображена на рис.1 кривой (5). Как видно, в отличие от штриховой линии, она является огибающей семейства кривых с растущим параметром ¿0, что подтверждает корректность проведенных расчётов.

4. Обсуждение

Как видно из рис. 1, атермический режим является наиболее эффективным с точки зрения тепловыделения за один цикл переменного поля. Особенно наглядно это проявляется при низких частотах в левой части рисунка. Понятно, что путем увеличения частоты и амплитуды поля, мощность нагревания (10) формально можно сделать сколь угодно большой. Однако для медицинских применений переменных магнитных полей существует эмпирическое ограничение, которое определяет физиологически приемлемый уровень произведения частоты поля на его амплитуду. Это ограничение называется правилом Брезовича [8]:

/Н < С,

С = 6 х 106 Гц Оэ =5 х 108 Гц А/м.

(27)

соз6>„

Рис. 2. Функция распределения орбит при разных частотах: ат = 0.1 (1), 1(2), 10(3)

Как видно из рис.2, при малых частотах (что

соответствует левой части рис. 1) функция распределения выраженно анизотропная. По мере увели-

чения частоты анизотропия сглаживается.

Подстановка (24) в (17) приводит к следующему выражению для временной эволюции средней ориентации магнитного момента частицы

На основании рис.1 сделаем оценки для оптимальных значений частоты и амплитуды поля, полагая, что их произведение в формуле (10) фиксировано правилом Брезовича. Кривая 5 имеет точку перегиба, т.е. участок самого крутого падения, при 0.244. Ограничим частоту поля сверху этим значением. Решая совместно систему уравнений

6я]У/ / цН = 0.244, /Н = С,

(28)

находим значения частоты и амплитуды поля

Н=

/ = \0244CMsУm

6п]

У

6ж]УС У 0.244MS Ут

. (29)

Полагая MS = 400 Гс (феррит), У/Ут ~ 10 и п ~ 10-2 П (вода), из уравнений (31) получаем достаточно разумные оценки: / = 17.6 кГц, Н = 340 Оэ = 27 кА/м.

1

2

1

0

+

+

1

0

1

2

1

0

0

1

1

1

0

Работа выполнена в рамках госбюджетной темы № AAAA-A20-120020690030-5

Список литературы

1. Dutz S., Hergt R. Magnetic particle hyperthermia -a promising tumour therapy? // Nanotechnology. 2014. Vol. 25. N. 45, 452001. DOI: 10.1088/09574484/25/45/452001

2. Kashevsky B. E., Kashevsky S. B., Korenkov V. S., Istomin Yu. P., Terpinskaya T. I., Ulashchik V. S. Magnetic hyperthermia with hard-magnetic nano-particles // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2015. Vol. 380. P. 335-340. DOI: 10.1016/j.jmmm.2014.10.109

3. Rosensweig R. E. Heating magnetic fluid with alternating magnetic field // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2002. Vol. 252. P. 370374. DOI: 10.1016/S0304-8853(02)00706-0

4. Игнатченнко В. А., Гехт Р. С. Динамический гистерезис суперпарамагнетика // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1975. Т. 67. № 4 (10). С. 1506-1515.

5. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Absorption of AC field energy in a suspension of magnetic dipoles // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2008. Vol. 320. N. 21. P. 2692-2695. DOI: 10.1016/j.jmmm.2008.05.041

6. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Nonlinear dynamic susceptibilities and field-induced birefringence in magnetic particle assemblies // Advances in Chemical Physics. 2004. Vol. 129. P. 419-588. DOI: 10.1002/047168077X.ch4

7. Leal L. G., Hinch E J. The effect of weak Browni-an rotations on particles in shear flow // Journal of Fluid Mechanics. 1971. Vol. 46. N. 4. P. 685-703. DOI: 10.1017/S0022112071000788

8. Herg R., Dutz S. Magnetic particle hyperthermia -biophysical limitations of a visionary tumour therapy // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2007. Vol. 311. N. 1. P. 187-192. DOI: 10.1016/j.jmmm.2006.10.1156

References

1. Dutz S., Hergt R. Magnetic particle hyperthermia -a promising tumour therapy? Nanotechnology, 2014, vol. 25, no. 45, 452001. DOI: 10.1088/09574484/25/45/452001

2. Kashevsky B. E., Kashevsky S. B., Korenkov V. S., Istomin Yu. P., Terpinskaya T. I., Ulashchik V. S. Magnetic hyperthermia with hard-magnetic nanoparticles. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2015, vol. 380, pp. 335-340. DOI: 10.1016/jjmmm.2014.10.109

3. Rosensweig R. E. Heating magnetic fluid with alternating magnetic field. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2002, vol. 252, pp. 370374. DOI: 10.1016/S0304-8853(02)00706-0

4. Ignatchenko V. A., Gekht R. S. Dynamic hysteresis of a superparamagnet. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1975, vol. 40, p. 750.

5. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Absorption of AC field energy in a suspension of magnetic dipoles. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2008, vol. 320, no. 21, pp. 2692-2695. DOI: 10.1016/jjmmm.2008.05.041

6. Raikher Y. L., Stepanov V. I. Nonlinear Dynamic Susceptibilities and Field-Induced Birefringence in Magnetic Particle Assemblies. Advances in Chemical Physics, 2004, vol. 129, pp. 419-588. DOI: 10.1002/047168077X.ch4

7. Leal L. G., Hinch E. J. The effect of weak Browni-an rotations on particles in shear flow. Journal of Fluid Mechanics, 1971, vol. 46, no. 4, pp. 685703. DOI: 10.1017/S0022112071000788

8. Herg R., Dutz S. Magnetic particle hyperthermia -biophysical limitations of a visionary tumour therapy. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 2007, vol. 311, no. 1, pp. 187-192. DOI: 10.1016/jjmmm.2006.10.1156

Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом:

Степанов В. И. Гипертермический эффект в магнитных наночастицах при слабых ориентационных флук-туациях // Вестник Пермского университета. Физика. 2024. № 1. С. 43-48. doi: 10.17072/1994-3598-20241-43-48

Please cite this article in English as:

Stepanov V. I. Hyperthermic effect in magnetic nanoparticles in the presence of weak orientation fluctuations. Bulletin of Perm University. Physics, 2024, no. 1, pp. 43-48. doi: 10.17072/1994-3598-2024-1-43-48

Сведения об авторе

Виктор Иванович Степанов, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник лаборатории Динамики дисперсных систем, Институт механики сплошных сред УрО РАН, ул. Академика Королева, 1, Пермь, 614013

Author information

Victor I. Stepanov, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Laboratory of Dynamics of Dispersed Systems, Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS; 1, Akademika Koroleva st., Perm, 614013, Russia