Гиперболические ортрисы гиперболической плоскости положительной кривизны Текст научной статьи по специальности «Математика»

При каждом j Е < рассмотрим множество Су, равномощное множеству А, и пусть qj : А ^ С• — биекция, реализующая взаимно-однозначное соответствие между ними. Определим отношение <• на Cj , полагая

qjЮ <• Щы ^ ах (12. (6)

Очевидно, что <• является линейным порядком па Су, то есть (Су, <• — цепь. В силу (5), (6) имеем

ах <ш а2 ^ (Уj = 1, ...,т)а1 <ш* а2 ^ (Уj = 1, ...,m)qj■ (ах) <• qj■ (а2).

Данная равносильность означает, что порядок и совпадает с Парето-предпочтением для задачи многокритериальной оптимизации (А^х,..., qm).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Подиновский В. В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М, : Наука, 1982.

2. Скорняков Л.А. Элементы теории структур. М, : Наука, 1970.

УДК 514.133

Л. Н. Ромакина

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ОРТРИСЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ

ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

На гиперболической плоскости Н положительной кривизны [1] зададим пучок О прямых с центром в действительной точке Б и действительную прямую 1,1 = О полю с Ь которой относительно абсолютной линии 7 не совпадает с точкой Б. На каждой прямой пучка построим точку, сопряженную относительно абсолюта точке пересечения этой прямой с I. Множество всех таких точек назовем ортрисой с базой I и вершиной Б. Прямую ЬБ назовем главной осью, а пучок О — определяющим пучком ортрисы. Соответственно типу прямой I ортрису будем называть гиперболической, эллиптической или параболической. В данной статье исследуем гиперболические ортрисы.

Б

плоскости Н определяющий пучок О соответственно типу измерения в нем будем называть гиперболическим, (эллиптическим). Если Б Е 7, О

В каноническом репере Я* первого типа [2] плоскости Н уравнение абсолюта в координатах текущей точки (касательной прямой) имеет вид

х2 + - = 0 (X2 + X2 - X2 = 0) , (1)

а координаты (т\ : т2 : т3) собственной (несобственной) на Н точки М удовлетворяют неравенству

т\ + т? - т3 > 0 (т? + т? - т3 < 0) . (2)

Теорема. Гиперболическая ортриса плоскости Н с гиперболической главной осью является одноветвевой гиперболической параболой, двуполостной бигиперболой или гиперболой тогда и только тогда, когда определяющий ее пучок параболический, гиперболический или соответственно эллиптический. Гиперболическая орт,риса с эллиптической главной осью является однополостной бигиперболой. Гиперболическая орт,риса с параболической главной осью является гиперболической прямой, параллельной базе ортрисы и проходящей через середину отрезка между вершиной ортрисы и полюсом относительно абсолюта базы ортрисы.

Доказательство. Расходуя три параметра, свяжем с ортрисой а единственный репер Я* вершины А2, А3 которого припадлежат /, и А = Г. В репере Я*: /(1:0: 0) ¿(1:0:0 :).

Рассмотрим три возможных случая.

1. Главная ось ЬБ ортрисы а является гиперболической прямой.

Вершину ортрисы можно задать в Я* координатами Б(1 : 0 : в), где в Е М. и в = 0, так как Б = Г. Текущей точке М ортрисы присвоим координаты (х! : х2 : х3). Тогда каждая прямая МБ пучка в задана в Я* координатами (вх2 : х3 - вх! : -х2) и пересекает прямую / в точке Т(0 : 1 : А), а абсолют (1) — в точках НН2, отношение первых двух координат которых равно

= 8X3 - в2Ж! ± (Ж3 - вЖ1)2 + ж2(в2 - 1)

Н~2 = Х2(1 - 82) . ()

М МБ

сительно 7 точке Т, т.е. (МТН!Н2) = -1. Применяя данное равенство и условие (3), находим уравнение ортрисы в координатах текущей точки и в тангенциальных координатах:

х2 + 8X1X3 - х3 = 0, 4X2 + 4вХ1Х3 + в2Х22 = 0. (4)

При заданных значениях в (в = 0) ортриса а (4) является овальной линией плоскости Н содержащей свою вершину Б и полюс Ь своей базы относительно абсолюта. Основные геометрические коварианты [2] линии а заданы в Я* координата ми: К!(0 : 1 : 1) К2(0 : 1 : -1), К3,4(в : ±\/1 - в2 : 1) — общие точки, к!;2(-в : ±2\/1 + в : в + 2), к3,4(в : ±2\/1 - в : в - 2) — общие касательные ортрисы с абсолютом.

Заметим, что при любом в точки К!? К2 — действительные различные, причем полюсом прямой К!К2 относительно абсолюта является точка Ь. Следовательно, ортриса с гиперболической главной осью имеет, по крайней мере, две общие действительные точки с абсолютом и содержит полюс прямой, соединяющей эти точки.

Б

1.1. Пусть Б Е 7. В этом случае прямые пучка в являются парал-

Б

значит, в = 1 или в = -1 и, следовательно, К3 = К4 = Б, и либо к! = к2, либо к3 = к4, причем совпавшие касательные содержат вершину Б ортри-

а

парабола. Определим ее тип.

ЬБ

А2 А2 ческие прямые, одна из них — БА2, другую обозначим к. Каждая прямая пучка с центром А2, разделяют,ая с к пару прямых БА2, К!К2, может быть задана в Я* координатами (1:0: -£), где Ь Е (0; 1), и пересекает ортрису (4) в двух действительных внутренних согласно (2) относительно 7 точках с координатами (Ь : ±д/ 1 - Ь : 1). Все указанные точки образуют две дуги ортрисы (К1Б и К2Б) с концами в точках абсолюта, т.е.

аа лютом три общие точки, следовательно, собственная наН часть ортрисы состоит из одной связной ветви. Таким образом, ортриса — одноветвевая гиперболическая парабола (см. [2]).

1.2. Пусть Б — собственная точка плоскости Н. Согласно соотвест-вующему неравенству из (2) |в| < 1. В этом случае прямые пучка в пересекающиеся, точки К (прямые к^), г = 1,4, действительные и попарно различны. Согласно классификации овальных линий плоскости Н (см. [2]) орт риса а, заданная уравнением (4), является двуполостной бигиперболой.

Б

соответствующему неравенству из (2) |в| > 1. В этом случае прямые пучка в являются расходящимися, точки К3, К4 являются мнимо сопряжен-

к1 к2 к3 к4

различными, в другой — мнимо сопряженными. Ни одна из точек К не лежит на прямой ку, j = 1, 4. Согласно классификации (см. [2]) в данном

случае ортриса является гиперболой.

2. Главная ось ЬБ ортрисы а является эллиптической прямой. В присоединенном репере Я* первого типа точку Б можно задать координатами (1 : в : 0), где в Е М. и в = 0, так как Б = Ь.

1

ординат (' : х2 : хз) текущей точки М ортрисы в репере Я* получим: МБ(в' : ' - в' : -^г), Т(0 : Л : 1) Н^ : й1 : йз), Н2(^1 : й2 : йз),

где

в2' — вх2 ± у7х3(1 + в2) — (х2 — вхх)2

2 О . 1 - в' I , О I \ /■ I II в_ I - I ' I . о - в' I , 1 I _

(5)

йз 'з(1 + в2) * ()

Применяя равенство (МТНхН2) = —1 и условие (5), определяющее ортрису, находим уравнение ортрисы в координатах текущей точки и в тангенциальных координатах:

'2 — вЖ1'2 — ' = 0, 4X2 + 4вХ^ + в2Хз2 = 0. (6)

При в = 0 уравнения (6) задают овальную линию плоскости Н", содер-

БЬ своеи базы относительно абсолюта. Основные геометрические коварианты ортрисы а (6) заданы в Я* координатами: К1(0 : 1 : 1), К2(0 : 1 : —1) Кз,4(—в : 1 : ±\/Г + в2) — общие точки, к1;2(—в : 2 — ¿в : ±2\/1 — ¿в), кз,4(—в : 2 + ¿в : ±2\/1 + ¿в) — общие касательные ортрисы с абсолютом. Полюсом прямой К1К2 (КзК4)

Ь ( Б)

При любом допустимом значении в точки Ку, j = 1,4, — действительные различные, а прямые ку — мнимо сопряжены в парах к1? к2 и кз, к4. Согласно классификации [2] ортриса а, заданная уравнением (6), является однополостной бпгпперболой.

ЬБ

Я

А1 А2

ЬБ

параболическую прямую ЬА^ В репе ре Я /(0 : 0 : 1) Ь(0 : 0 : 1),

Т (1: Л : 0) Б (1:0: в) в Е М в = 0.В используемых обозначениях Н1 Н2

й1 х2 ± ' — 4вх2(хз — вх1)

йз 2в' '

Уравнение ортрисы в репере Я имеет в ид 2вх1—хз = 0. Это уравнение определяет гиперболическую прямую, проходящую через точку абсолю-

та А2 и, следовательно, параллельную прямой /, так как А2 Е /. Середина N отрезка ЬБ ((ЬБХА1) = -1) имеет в Я координаты (1:0: 2в) и принадлежит ортрисе.

Теорема доказана. □

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М, : Наука, 1969.

2. Ромакина Л. Н. Овальные линии гиперболической плоскости положительной кривизны // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2012. Т. 12. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып. 3. С. 37-44.

УДК 517.927.25

B.C. Рыхлов

О РЕГУЛЯРНОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА 1-ГО ПОРЯДКА

В ПРОСТРАНСТВЕ

Далее используются обозначения: || • ||p есть норма в Lp[0,1] (1 < p < ю); W[0,1] := {y G Lp[0,1] : y' £ Lp[0,1]} с нормой ||y||p>! := ||y||p + ||y'||p; Lp[0,1] есть нормированное пространство n x n матриц-функций (м.-ф.) с компонентами из Lp[0,1] и с нормой |||X|||p := тах^>^ ||{X}j||p для n x n м.-ф. X(t) с компонентами {X(£)}j; W^[0,1] есть нормированное прострапство n x n м.-ф. с компонентами из Wp[0,1] и с нормой |||X |||p,i := maxjj ||{X }j ||p>i. Рассмотрим задачу на собственные значения:

Ly := y' - A(x, A)y = 0, My(0) + Ny(1) = 0, (1)

где y = (yi,y2,... ,yn)r, A(x, A) = AAi(x) + Ao(x), Ab Ao есть n xn м.-ф., a M и N числовые n x n матрицы.

В [1] рассматривался скалярный случай и при минимальных требованиях на коэффициенты дифференциального оператора были получены теоремы о базисности Рисса корневых функций этого оператора bL2[0, 1] и о равномерной равносходимости внутри отрезка [0,1] разложений в ряды по корневым функциям и по обычной тригонометрической системе. На оператор накладывались условия усиленной регулярности в первом

L

ющего краевую задачу (1), ситуация усложняется тем, что корни характеристического уравнения являются, вообще говоря, произвольными функциями. Целью данной статьи является определение регулярности и