Гиперболические функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. «Реальные применения мнимых чисел». - Изд. «Радянська школа», 1988. - С. 5-16.

3. Берд Дж. Инженерная математика. Карманный справочник. - М.: До-дэка-ХХ1, 2008. - С. 266-269.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

© Чернолих А.Р.*

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

В данной статье рассматриваются гиперболические функции, их некоторые свойства, приведены примеры вычисления и разложения в ряд, решения уравнений, содержащих гиперболические функции.

Ключевые слова: гиперболические функции, гиперболические тождества, графики гиперболических функций, уравнения, содержащие гиперболические функции.

Функции, связанные с коническими сечениями - гиперболами, называются гиперболическими функциями. Область применения гиперболических функций включает теорию линий передач и цепных подвесок [1, с. 76].

По определению:

Гиперболический синус х:

shx = е е

2

Гиперболический косинус х:

ex + e -chx = -

2

Гиперболический тангенс х:

shx ex - e~

thx ='-

chx ex + e Гиперболический косеканс х:

1 2

cschx = -

shx ex - e Гиперболический секанс х:

* Кафедра Электроэнергетики и электротехники. Научный руководитель: Дмух Г.Ю., доцент кафедры Алгебры, геометрии и анализа, к.п.н.

cshx = - 1

chx ex + e Гиперболический котангенс x:

1 ex + e cthx = — = -

1кх ех - е-Пример 1.

Вычислить сМ.2 с точностью до 4 значащих цифр.

еИ4,2 = 1 (е4'2 + в'4'2) = 1 (66,68633104 - 0,01499558) = = 1 (66,67133546) = 33,3357.

Для каждого тригонометрического тождества существует соответствующее гиперболическое тождество. Гиперболические тождества можно получить:

ех - е-х ех +е-х

- Заменяя $кх на-г— и скх на

2 2 - При использовании правила Осборна, которое гласит:

Шесть используемых в тригонометрических тождествах тригонометрических отношений, верных для произвольных углов, могут быть заменены соответствующими гиперболическими функциями, но при этом необходимо изменить на противоположный знак любого прямого или косвенного результата произведения двух синусов [1, с. 79-80].

Пример 2.

Поскольку cos2x + sin2x = 1, следовательно, по правилу Осборна сИ2х - sh2x = 1, т.е. тригонометрические функции заменены на соответствующие гиперболические функции, и поскольку sin2x - результат произведения двух синусов, то знак меняется с + на -.

Рассмотрим некоторые свойства гиперболических функций.

Если функция от х удовлетворяет равенству f-x) = -fx) при всех х, то f(x) называется нечетной функцией от x.

Замена x на -x в выражении shx = —-— дает:

e"x - e_(-x) e"x - ex ( ex - e~

sh(-x) =---= —-— = -| —--| = -shx.

1 shx ex - e~x

Замена x на -x в выражении thx =-=-— дает:

chx ex + e x

th( - x) =

e^-e"x)

e- + e~x)

e -e

ex +e

= -thx.

Следовательно, shx и thx - нечетные функции, так же как и

CSChx=|_L 1 и ск=Г--L ).

shx) ^ thx)

Если функция от x при всех x удовлетворяет равенству f-x) = fx), тогда называется четной функцией от х

Замена x на -x в выражении chx =

e + e 2

дает:

ch(-x) =

e x + e ( x) e x + ex

= chx.

Следовательно, chx - четная функция, так же как и cshx =-.

chx

y = sh x

1 2 3

y = ch x

Рис. 1

На рис.1 показан графики функций у = $Ьх и у = скх. Функция зкх является нечетной, поскольку ее график симметричен относительно начала координат.

График у = скх симметричен относительно оси у. Следовательно, скх -четная функция. Форма у = скх напоминает тяжелый трос, свободно провисающий под действием силы тяжести, и называется цепной линией. Примеры использования функции включают линии передачи, телеграфные провода, подвесные мосты, она также применяется при проектировании крыш и арок [1, с. 78-79].

e - e

e + e

Y

X

X

Рассмотрим способы решения уравнений, содержащих гиперболические функции.

Пусть дано уравнение вида си'кх + Ъекх = с, где а, Ъ, с - константы. Его можно решить следующими способами.

Способ 1. Построить графики а^'кх + Ъскх = с и у = с и определить точку пересечения. Более точен второй способ.

Способ 2. Использовать следующую процедуру:

ех - е-х ех + е~-

Заменить $кх на —г— и скх на

2 2

Привести уравнение к виду р(ех)2 + дех + г = 0, где р, д, г - константы.

Умножить каждый член на ех, в итоге получается уравнение вида р(ех)2 + гех + д = 0, поскольку (е"х)(ех) = е0 = 1.

Решить квадратное уравнение р(ех)2 + гех + д = 0 относительно ех, разложив уравнение на множители или используя формулу корней.

Если ех = а есть константа, полученная из решения предыдущего уравнения, взять натуральный логарифм от обеих частей выражений ех = а; в итоге получается х = 1п(сош1) [1, с. 80-81].

Пример 3.

Решить уравнение 2,6ск х + 5,Ъ'к х = 8.73 с точностью до 4 знаков после запятой.

Согласно описанной выше процедуре:

2,6скх + 5,Ъ'кх = 8,73.

2,6 (еИе! 1+5,/ 1=8,73.

Значит, 1,3ех + 1,3е-х + 2,55ех - 2,55е-х = 8,73; 3.85ех - 1,25е-х - 8,73=0. Умножим на ех:

3.85(ех)2 - 8,73ех - 1,25 = 0,

_ -(-8,73) [(8,73)2 - 4(3,85)(-1,25)| 8,73 ±795,463 _ 8,73 ± 9,7705

= 2(3,85) = 7/70 = 7,70

Следовательно, ех = 2,4027 или ех = -0,1351. х = 1п2,4027 или х = 1п(-0,1351) (второе значение не имеет смысла). Итак, х = 0.8766 с точностью до 4 знаков после десятичной точки. Гиперболические функции можно разложить в ряд. Разложим в ряд функции скх и зкх. По определению:

х , х2 х3 х4 х5 е = 1 + х + — + — + — + — +... 2! 3! 4! 5!

Подстановка -х вместо х дает:

х2 х3 х4 х5

= 1-х +---+---+...

2! 3! 4! 5!

екх -

ех + е

х2 х3 х4 х5 . 1 + х +— + — + — + — +... + 2! 3! 4! 5!

х2 х3 х4 х5

1-х +---+---+...

2! 3! 4! 5!

„ 2 х 2 х

2 +-+-+...

2! 4!

х2 х4

екх = 1 +---I---+... (что верно для любого значения х).

2! 4!

Функция екх - четная, поэтому содержит только четные степени х.

/ 2 3 4 5 4/

ькх =

е

2

х2 х3 х4 х5

1 + х +-+-+-+-+...

2! 3! 4! 5!

х2 х3 х4 х5

1-х +---+---+...

2! 3! 4! 5!

„ 2х3 2х5

2х +-+-+...

3! 5!

х3 х5

8кх = х +---I---+ (что верно для любого значения х).

3! 5!

Функция зкх - нечетная, поэтому содержит только нечетные степени х.

Список литературы:

1. Инженерная математика: Карманный справочник / Пер. с англ. - М.: ИД «^оАэка-КК^, 2008. - 544 с.: ил. - (Серия «Карманный справочник»).

2

КОНЕЧНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ВОЛНОВОГО ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА

© Яковлев А.С.*, Костомарова Т.В.*, Филатов А.В.*, Низамова Л.Р.*

Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева, г. Казань

Исходя из метода V-функции траекторное движение объекта сопряжено с волновым движением. Исследуются волновые свойства гармонического осциллятора. Показывается способ нахождения конечного

* Кафедра Специальной математики. Научный руководитель: Валишин Н.Т., доцент кафедры Специальной математики, кандидат физико-математических наук, доцент.